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Charakterisierung und Parameterabhängigkeit komplexer Muster in einer Einspiegelanordnung

Diplomarbeit, 2001, 100 Seiten

Physik - Optik

Kompletter Text

Kategorie

Diplomarbeit

Institution / Hochschule

Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Note

1,7

Diplomarbeit

im Fach Physik

Charakterisierung und Parameterabh¨

angigkeit

komplexer Muster in einer Einspiegelanordnung

von

Daniel Rudolph

aus G¨ottingen

Westf¨alische Wilhelms-Universit¨at M¨unster

Institut f¨ur Angewandte Physik

Februar 2001

meinem Papa

Quand tu veux construire un bateau, ne commence pas

par rassembler du bois, couper des planches et distribuer

du travail, mais r´eveille au sein des hommes le d´esir de

la mer grande et large.

(Antoine de Saint-Exup´ery)

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

2Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

2.1

Optische R¨uckkopplung in einer Einspiegelanordnung . . . . . . . . . . . .

2.2

Natriumdampf als nichtlineares Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Modifizierte Einspiegelanordnung mit /4-Pl¨attchen . . . . . . . . . . . . .

2.4

Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

3.1

Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen . . . . . 15

3.1.1

Hexagone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.2

Quasimuster: Q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3

Uberstrukturen auf hexagonalem Grundgitter: SiH+SiH

. . . . . . 18

3.1.4

Uberstrukturen auf quadratischem Grundgitter: AS

2,1

+SiS . . . . . 19

3.1.5

Kontrastreiche Streifen:

Walls" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.6

Kontrastreiche Quadrate:

Chessboards" . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.7

Nicht eindeutig klassifizierte Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2

Beobachtung einer neuen Musterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3

Reproduzierbarkeit der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Kollimationskontrolle

4.1

Auskopplung mit einem Mikroskopobjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2

Auskopplung mit einem 2- Linsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3

Auskopplung mit Mikroskopobjektiv und Teleskop . . . . . . . . . . . . . . 34

Inhaltsverzeichnis

Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

5.1

Bifurkationsszenario bei T = 284

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2

Bifurkationsszenario bei T = 304

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3

Bifurkationsszenario bei T = 315

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4

Bifurkationsszenario bei T = 325

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5

Vergleich der Bifurkationsszenarien der verschiedenen Temperaturen . . . . 51

5.6

Abh¨angigkeit der Stabilit¨atsbereiche von experimentellen Parametern . . . 52

Einfluss der Laserstrahlkollimation

6.1

Systematische Variation der Laserstrahlkollimation . . . . . . . . . . . . . 57

6.2

Kollimationsabh¨angige Wellenzahl¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3

Beobachtung der 42

- Muster in divergenten Strahlen . . . . . . . . . . . . 60

6.3.1

Analyse eines experimentell beobachteten Muster 42 . . . . . . . . . 61

6.3.2

Vektoriell generiertes Muster 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3.3

Parameterabh¨angigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.4

H¨ohere Harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4

Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Zusammenfassung und Ausblick

A Messung der Teilchenzahldichte

A.1 Messung mittels Kleinsignalabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 Messung mittels des nichtlinearen Faraday- Effekt . . . . . . . . . . . . . . 78

A.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare Propagations-

funktion des Mediums

B.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.2 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.3 Reelle Streifen in der Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.4 Reelles Zwei- Moden- Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.5 Abschw¨achung der h¨oheren Harmonischen eines AS

2,1

+SiS . . . . . . . . . 87

B.6 Reelles Drei- Moden- Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Kapitel 1

Einleitung

Seit einigen Jahren ist ein wachsendes Interesse an Strukturbildungsprozessen zu beobach-

ten. Dabei ist es eine weitverbreitete Beobachtung, dass der homogene Gleichgewichtszu-

stand instabil wird, wenn das System durch ¨

Anderung eines Stressparameters weit genug

aus dem thermodynamischen Gleichgewicht getrieben wird [CH93]. Typischerweise bilden

sich an der Schwelle zun¨achst einfach periodische Muster (Streifen, Quadrate, Hexagone).

Viele ihrer Eigenschaften sind unabh¨angig von dem spezifischen musterbildenden System,

in dem sie auftreten [CH93]. Bei einer weiteren Erh¨ohung des Stressparameter kommt es

oft zu sekund¨aren Bifurkationen oder Sequenzen von Bifurkationen, in denen das System-

verhalten zunehmend komplexer wird. Vieluntersuchte M¨oglichkeiten sind das Auftreten

von Defektstrukturen und regul¨aren oder irregul¨aren Zeitabh¨angigkeiten. F¨ur einen ¨

Uber-

blick sei auf [Man90, CH93, BN98, BC98] verwiesen.

In den letzten Jahren wurde klar, dass es auch andere M¨oglichkeiten zur Erzeugung von

station¨aren Zust¨anden h¨oherer Komplexit¨at gibt, in denen eine hohe Regularit¨at ¨uber das

Grundgebiet erhalten bleibt. ¨

Uberstrukturen oder Supergitter, welche sich aus einfacheren

Gittern zusammensetzen lassen, wurden in hydrodynamischen Experimenten gefunden

[KPG98, AF98, WMK99]. Theoretische Beschreibungen sind erst in den Anf¨angen [DG92,

JS00, LLBRT96].

Uberstrukturen wurden vor kurzem in unserer Arbeitsgruppe in einem musterbildenden

optischen System beobachtet [GWHAL01]. Es handelt sich um eine experimentelle Rea-

lisierung einer so genannten Einspiegelanordnung [Fir90, DF91, DF92], die ein wichtiges

Modellsystem zur Untersuchung von Musterbildung in der nichtlinearen Optik ist. Sie

besteht aus einem nichtlinearen Medium und einem Spiegel, der einen Teil des durch

das Medium transmittierten Lichts in dasselbe zur¨uckkoppelt. Die Muster werden als

r¨aumliche Strukturen in der Ebene transversal zur Ausbreitungsrichtung beobachtet, d.h.

das Lichtfeld wird senkrecht zur Ausbreitungsrichtung aufgrund des Zusammenspiels von

Beugung und der Wechselwirkung mit einem nichtlinearen Medium moduliert.

Die Verwendung von Natrium als nichtlineares Medium erleichtert die Kontrolle ¨uber

die Bildung von Mustern, da die Nichtlinearit¨at in Abh¨angigkeit von experimentell gut

Kapitel 1. Einleitung

zug¨anglichen Parametern, wie dem Magnetfeld [AHLL97], der Polarisation [ABL

97] und

der Teilchenzahldichte, sich ¨uber eine große Spanne ¨andert [LAA

99]. Zudem existiert ein

etabliertes Modell [MDLM86].

Als interessante Erweiterung erwies sich das Einf¨ugen eines /4-Pl¨attchens zwischen das

nichtlineare Medium und den R¨uckkoppelspiegel [SF96]. Hiermit werden wesentlich klei-

nere Laserleistungen f¨ur die Musterbildung ben¨otigt. Vor allem werden Quasimuster und

Uberstrukturen beobachtet [Aum99, HGWA

99].

Ein zusammenfassender ¨

Uberblick ¨uber alle beobachteten Muster existiert bisher nicht. In

dieser Arbeit werden Mustertypen aufgef¨uhrt, welche die Muster nach ihren Eigenschaf-

ten klassifizieren. Die Muster werden hierzu ¨uber die Wellenvektoren ihrer Grundmoden

identifiziert. Winkel zwischen den Wellenvektoren, Wellenzahlverh¨altnisse unterschied-

lich langer Wellenvektoren innerhalb eines Musters, Intensit¨atsverh¨altnisse der einzelnen

Fouriermoden sowie das zugrunde liegende Grundgitter, auf dem die Wellenvektoren an-

geordnet sind, geh¨oren zu den Kerneigenschaften eines Musters. Variationen solcher idea-

lisierten Muster werden gesondert aufgef¨uhrt und deren Abweichungen vom Standardtyp

diskutiert.

Uber die Mechanismen der Musterselektion existiert noch keine umfassende Theorie. In

einigen Ans¨atzen werden Resonanzen von Vektorsummen von Wellenvektoren als Krite-

rium benutzt [VK97]. Eine Analyse der auftretenden Wellenzahlen in Abh¨angigkeit von

den Parametern soll helfen, Material f¨ur zuk¨unftige Interpretationen bereitzustellen.

Da bisher die Reproduzierbarkeit einiger Muster nicht gegeben war, wird nach einem

zuvor nicht gut kontrollierten Parameter gesucht. Es stellt sich heraus, dass der gesuchte

Parameter die Strahlkollimation ist. Damit er¨offnet sich aufgrund der hinzugewonnenen

Dimension des Parameterraums ein neuer Freiheitsgrad, der bisher noch nicht gezielt oder

uberhaupt nicht untersucht wurde. Durch systematische Kontrolle der Strahlkollimation

ist es m¨oglich, Muster eines neuen Mustertyps zu beobachten und zu analysieren.

Kapitel 2

Musterbildung in einer

Einspiegelanordnung

2.1

Optische R¨

uckkopplung in einer Einspiegelanord-

nung

Das in dieser Arbeit behandelte System basiert auf einem Modell, das von d'Alessandro

und Firth 1990 vorgeschlagen wurde [Fir90] und in Abb. 2.1 schematisch dargestellt ist.

Spiegel

xxxxxxxxxx

Kerr-

Medium

xxxx

Abbildung 2.1: Schematischer Aufbau einer Einspiegelanordnung

Auf eine d¨unne Schicht eines Kerr-Mediums wird eine ebene Lichtwelle eingestrahlt. Ein

ebener Spiegel im Abstand d hinter dem nichtlinearen Medium reflektiert das transmittier-

te Licht zur¨uck in das Medium. Der wesentliche Unterschied zu anderen musterbildenden

optischen Systemen ist die Trennung der Nichtlinearit¨at des Mediums einerseits und der

r¨aumlichen Kopplung transversal zur Ausbreitungsrichtung andererseits. Die Annahme ei-

nes d¨unnen Mediums ist entscheidend daf¨ur, dass die Beugung im Medium vernachl¨assigt

werden kann. Die Separation der Effekte erleichtert die theoretische Behandlung.

Das Zusammenspiel der Nichtlinearit¨at und der r¨aumlichen Kopplung f¨uhrt unter be-

Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

stimmten Umst¨anden dazu, dass periodische Muster in der Ebene transversal zur Aus-

breitungsrichtung des Lichtfeldes entstehen.

Der zur Musterbildung f¨uhrende Mechanismus kann anschaulich anhand des Talbot-Effekts

erkl¨art werden. Dieser besagt, dass eine periodische Phasen-bzw. Amplitudenmodulation

einer ebenen Welle durch Beugung bei der Ausbreitung im Vakuum in eine Amplituden-

bzw. Phasenmodulation umgewandelt wird. Eine ebene Welle erf¨ahrt durch eine Bre-

chungsindexverteilung, die aus einer periodischen Modulation des Brechungsindex senk-

recht zur Ausbreitungsrichtung entstanden ist, eine Phasenmodulation. F¨ur bestimmte

transversale Wellenzahlen wird diese Phasenmodulation bei der Propagation zum Spiegel

und zur¨uck in eine reine Amplitudenmodulation umgewandelt. Aufgrund der Nichtlinea-

rit¨at des Mediums verst¨arkt das zur¨uckgekoppelte Licht die anf¨anglich aus dem Rauschen

entstandene Modulation des Brechungsindex und erm¨oglicht ein Anwachsen der St¨orung

mit dieser Wellenzahl. Die Wellenzahl, die auf diese Weise bei Erh¨ohen der Leistung

zuerst selektiert wird, wird

kritische Wellenzahl" genannt. Die Richtung der periodi-

schen St¨orung wird durch einen

transversalen Wellenvektor" beschrieben. Eine belie-

bige Brechungsindexmodulation l¨asst sich durch Kombination mehrerer Wellenvektoren

beschreiben. Welche der Wellenvektoren gleicher L¨ange sich ausbilden, wird durch die

nichtlineare Wechselwirkung zwischen ihnen bestimmt. F¨ur das hier vorgestellte Modell-

system wurden hexagonale Muster an der Schwelle und turbulente Zust¨ande fernab von

der Schwelle zur Musterbildung vorhergesagt [DF91, DF92]. Da das Muster durch eine

selektive Verst¨arkung aus dem Rauschen heraus entsteht, spricht man von

spontaner

Musterbildung".

2.2

Natriumdampf als nichtlineares Medium

Zur Realisierung einer Einspiegelanordnung im Experiment wird ein endlich ausgedehnter

Gauß'scher Strahl, im Gegensatz zu einer nicht zu realisierenden ebenen Welle, auf ein

endlich ausgedehntes nichtlineares Medium eingestrahlt. Als nichtlineares Medium wird

Natriumdampf gew¨ahlt.

Natriumdampf als nichtlineares Medium bietet den Vorteil, dass sich die Wechselwirkung

mit Licht anhand eines mikroskopischen Modells gut beschreiben l¨asst und sich dieses

Modell durch experimentelle Untersuchungen [MDLM86] best¨atigt hat. Er zeichnet sich

außerdem durch seine hohe optische Qualit¨at und seine gute experimentelle Handhab-

barkeit aus. Die Nichtlinearit¨at des Natriumdampfes l¨asst sich gezielt ¨uber verschiedene

experimentell gut zug¨angliche Parameter beeinflussen (vgl. Kap. 2.4).

Im Experiment wird Licht der Frequenz in der N¨ahe der Natrium-D

-Linie eingestrahlt,

welches den 3S

1/2

- ¨

Ubergang anregt. Die Zugabe von Stickstoff als Puffergas

f¨uhrt zu einer homogenen Druckverbreiterung des ¨

Ubergangs. Dies erlaubt eine Beschrei-

bung des Mediums als homogen verbreiterten J =

Ubergang eines zweifach

entarteten Zwei-Niveau-Systems, da die Hyperfeinstrukturaufspaltung durch die Druck-

2.2. Natriumdampf als nichtlineares Medium

J=1/2

J'=1/2

=+1/2

=-1/2

|3>

|4>

|2>

|1>

Abbildung 2.2: Kastler-Diagramm der homogen verbreiterten Natrium-D

-Linie als

J =

Ubergang

verbreiterung ¨uberdeckt wird. Die beiden Energieniveaus sind jeweils zweifach nach der

Magnetquantenzahl m

= ±1/2 entartet, so dass das System durch zwei Unterzust¨ande

|1 > und |2 > des Grundzustands und die Unterzust¨ande |3 > und |4 > des angereg-

ten Zustandes beschrieben wird. Das Kastler-Diagramm [Kas50] in Abb. 2.2 verdeutlicht

den Prozess des optischen Pumpens.

-Licht erzeugt den ¨

Ubergang von |1 > nach |4 >,

-Licht erzeugt den ¨

Ubergang von |2 > nach |3 >.

Im Folgenden wird die Besetzungszahl des Unterzustands |i > mit n

angegeben. St¨oße

der angeregten Natriumatome mit den Molek¨ulen des Puffergases sorgen f¨ur Gleichbe-

setzung der angeregten Zust¨ande (n

= n

). Die Relaxation findet jeweils aus beiden

Unterzust¨anden des angeregten Zustandes in beide Unterzust¨ande des Grundzustands

statt. Durch die Gleichbesetzung ist damit die Relaxation in beide Unterzust¨ande |1 >

und |2 > gleich wahrscheinlich. Bei Verwendung von Stickstoff als Puffergas finden diese

Abregungen strahlungslos statt. Die Zerfallsrate

( 3,9·10

-1

) vom angeregten in den

Grundzustand ist groß gegen¨uber den Pumpraten P

(< 10

-1

), welche die Anregun-

gen aus dem Grundzustand auf das h¨ohere Energieniveau beschreibt. Dies rechtfertigt die

Annahme, dass die Besetzung des angeregten Zustandes gegen¨uber der des Grundzustan-

des vernachl¨assigt werden kann (n

= 0, n

= 0). Da die Gesamtanzahl an Besetzungen

konstant ist (n

+ n

= const.), ist der Besetzungszahlunterschied (n

- n

) zwischen den

Unterzust¨anden des Grundzustands die einzige Variable. Die Beschreibung wird somit

auf die sogenannte Orientierung w = n

- n

reduziert. Die zeitliche Entwicklung der

Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Orientierung w wird durch folgende Modellgleichung beschrieben [Ack96]:

w = -w + D

+ (P

- P

)

- (P

+ P

(2.1)

Die Terme auf der rechte Seite beschreiben (von links nach rechts) die Grundzustands-

relaxation, die Diffusion proportional zur Diffusionskonstanten D, das optische Pumpen

und die S¨attigung. Von der Orientierung des Mediums h¨angen Absorptionskoeffizient und

Brechungsindex des Natriumdampfes linear ab. Die nichtlineare Suszeptibilit¨at

der

beiden zirkularen Polarisationen ergibt sich aus [MDLM86]:

linear

(1 w)

(2.2)

Firth [Fir90] geht von einem Kerr-Medium aus. Hierbei handelt es sich um ein rein disper-

sives Medium ohne S¨attigung. In atomaren D¨ampfen hingegen wird durch das vollst¨andi-

ge Entleeren eines der beiden Unterzust¨ande des Grundzustands S¨attigung erreicht. Dies

geschieht, wenn die Differenz der zirkularen Pumpraten |P

- P

| groß gegen die Grund-

zustandsrelaxation ist. Letztere beschreibt die Austauschprozesse zwischen den Unter-

zust¨anden des Grundzustands. Die S¨attigung ist in der Modellgleichung (2.1) ber¨ucksich-

tigt.

Neben Absorption und Dispersion wird die Diffusion ber¨ucksichtigt. Durch diffundieren-

de Natriumatome werden r¨aumliche Orientierungsunterschiede ausgeglichen. Die Diffusion

wirkt also, wie die S¨attigung, der Musterbildung entgegen. Dadurch wird vor allem die

Verst¨arkung von Komponenten großer Wellenzahlen verhindert. Unter der Annahme eines

d¨unnen Mediums wird nur die Diffusion transversal zur Ausbreitungsrichtung ber¨ucksich-

tigt, indem in (2.1) im zweiten Term auf der rechte Seite der transversale Laplace-Operator

verwendet wird. Die im Experiment ebenfalls vorhandene longitudinale Diffusion wird

vernachl¨assigt. Eine Kontrolle der Diffusionsraten findet ¨uber den Puffergasdruck statt.

2.3

Modifizierte Einspiegelanordnung mit

/4-Pl¨

att-

chen

Die Verwendung von zirkular polarisiertem Licht f¨uhrt schon bei niedrigen Pumpraten

zu einer S¨attigung des Mediums, die in Verbindung mit der Diffusion die Entstehung

von Strukturen verhindert [AAGW

01]. F¨ur die Einstrahlung von linear polarisiertem

Licht, das sich zu gleichen Teilen aus

und

zusammensetzt, entsteht nach (2.1)

kein Besetzungszahlunterschied. Dennoch kann eine rauschinduzierte St¨orung in der Ori-

entierung selektiv verst¨arkt werden und zu so genannten Polarisationsmustern f¨uhren

[SF96, ABL

97]. In diesem Fall tritt keine S¨attigung des Mediums auf. Aufgrund der f¨ur

linear polarisierte Einstrahlung starken Absorption im Natriumdampf ist die Schwelle zur

Musterbildung in diesem Fall besonders groß [ABL

97]. Experimentelle Untersuchungen

sind von daher vorwiegend auf den Bereich in der N¨ahe dieser Schwelle begrenzt.

2.4. Experimenteller Aufbau

Pumpraten, die nur ein Drittel der bei linear polarisierter Einstrahlung ben¨otigten betra-

gen [AGWH

99], reichen f¨ur die Musterbildung aus, wenn zirkular polarisiert eingestrahlt

wird und zus¨atzlich der Aufbau um ein /4-Pl¨attchen zwischen Medium und Spiegel er-

weitert wird (Abb. 2.3). Bei zweimaligem Durchlauf verh¨alt sich dieses wie ein /2 und

xxxxxxxxxxxxxxxxx

Natriumdampf

/4-Plättchen

xxxxxxx

Spiegel

Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau einer Einspiegelanordnung mit /4-Pl¨attchen

bei Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht

tauscht somit die zirkularen Polarisationskomponenten gegeneinander aus. Da das Me-

dium die Polarisation nicht ¨andert, wird bei Einstrahlung von

-Licht in das Medium

-Licht zur¨uckgekoppelt und damit ein antagonistischer Pumpprozess erreicht, der S¨atti-

gung verhindert.

Die starke Absenkung der Schwelle erm¨oglicht die Untersuchung des Systems weit ober-

halb der Schwelle zur Musterbildung [GWHAL01]. Weiterhin vergr¨oßert sich die Fl¨ache

auf dem Gauß'schen Strahl, die lokal f¨ur Musterbildung gen¨ugend hohe Leistungen bereit

h¨alt.

Die Eigenschaften und Parameterabh¨angigkeiten der auftretenden Strukturen sollen im

Rahmen dieser Arbeit untersucht werden. Im Folgenden wird zun¨achst der zu Beginn der

Arbeit vorhandene experimentelle Aufbau beschrieben.

2.4

Experimenteller Aufbau

Der gr¨oßte Teil des Experiments entspricht dem in [Aum99, Ack96] beschriebenen Aufbau

(Abb. 2.4) und bestand schon vor Beginn dieser Arbeit. Da diese Elemente schon in den

erw¨ahnten Arbeiten ausf¨uhrlich dargestellt sind, werden sie im Folgenden nur kurz mit

Angabe von Referenzen erw¨ahnt. Der wesentliche Unterschied zu den meisten vorausge-

gangenen Experimenten liegt in der Verwendung eines

-Pl¨attchens zwischen Medium

(NZ) und R¨uckkoppelspiegel (S7) und der Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht.

Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Argon-Ionen-Laser

Frequenzstabilisierung

Farbstofflaser

glasfaser

Mehrmoden-

EOM

PSG

LP3

CCD2

L2/3

EE2

EE1

FTIR

LP1

LP2

CCD1

S10

/4 NZ /4

LP4

glasfaser

Einmoden-

S11

Abbildung 2.4: Experimenteller Aufbau: S: Spiegel, L: Linse, LP: Linearpo-

larisator, FR: Faraday Rotator, EE: Glasfaser-Einkoppeleinheit, AE: Glasfaser-

Auskoppeleinheit, WM: Wavemeter, EOM: Elektro-optischer Modulator, PSG: Po-

larisationsstellglied, D: Detektor, NZ: Natriumdampfzelle, BS: Strahlteiler, FTIR:

variabler Strahlteiler, FF: Fourierfilter, CCD: Kamera

Der beschriebene Aufbau erm¨oglicht die Kontrolle folgender Parameter:

1. Polarisationselliptizit¨at

pol

des eingestrahlten Lichtes,

2. ¨außeres Magnetfeld B am Ort der Natriumdampfzelle,

3. Verkippung des R¨uckkoppelspiegels,

4. Spiegelabstand d zur Mitte des Natriumdampfes,

5. Puffergasdruck p

6. Leistung des eingestrahlten Laserfeldes P

7. Verstimmung des Lasers gegen¨uber der Natrium-D

-Linie =

Laser

N a-D

8. Temperatur T der Natriumdampfzelle, beeinflusst Teilchenzahldichte N und Diffu-

sion im Natriumdampf

2.4. Experimenteller Aufbau

Lichtquelle

Als Lichtquelle dient ein frequenzstabilisierter Farbstofflaser, der durch einen Argon-

Ionen-Laser gepumpt wird [Aum99]. Bei einer Ausgangsleistung von 6,0 - 6,2 W des

Argon-Ionen-Lasers wird bei einer Wellenl¨ange von 589 nm eine Ausgangsleistung von

500 -700 mW des Farbstofflasers erreicht.

Eine optische Diode (F R mit LP 1 und LP 2 in Abb. 2.4) verhindert, dass der Laser

aufgrund von R¨uckreflexen instabil in Leistung oder Frequenz wird. Es muss ein Verlust

der Leistung von 25% in Kauf genommen werden.

Ein geringer Teil der Lichtintensit¨at wird zur Bestimmung der Wellenl¨ange mittels eines

Scanning-Michelson-Interferometers ('Wavemeter', W M) ausgekoppelt [Ohl87]. Eine Ab-

frage der Frequenz am Wavemeter per GPIB-Datenbus erm¨oglicht eine zur Bildaufnahme

synchrone Speicherung der Messwerte. Kurzzeitige Modenspr¨unge des Farbstofflasers las-

sen sich somit auch nachtr¨aglich erkennen. Aufnahmen, die nach einem Frequenzsprung

des Lasers gemacht werden, k¨onnen so erkannt und bei geeigneter Frequenz wiederholt

werden.

Die Regelung der Laserleistung geschieht ¨uber einen elektrooptischen Modulator (EOM),

uber den zus¨atzlich die Leistung hinter der Glasfaser mittels eines PID-Reglers stabilisiert

wird [Ack96, M¨92].

Raumfilterung mittels Einmodenglasfaser

Ein m¨oglichst rotationssymmetrisches und gaußf¨ormiges Strahlprofil wird durch Raumfil-

terung mittels einer Einmodenglasfaser erzwungen. Eine konfektionierte Glasfaser (Thor-

labs FSSN 3224, w

= 2µm) [Tho98] erwies sich im Vergleich zu der bisher verwendeten

[Ack96] als geeigneter. Da sich die konfektionierte Glasfaser in einem dickeren Schutz-

mantel befindet, reagiert diese wesentlich unempfindlicher auf Luftstr¨omungen. Leichtes

Vibrieren der alten Faser ließ vor allem die Polarisationselliptizit¨at des ausgekoppelten

Lichtes stark schwanken. Da die Polarisation hinter der neuen Faser stabil ist, kann auf

den zus¨atzlichen Linearpolarisator LP 4 hinter der Auskopplung (AE) verzichtet werden.

Dies bedeutet weniger Leistungsverlust zwischen Laser und Natriumdampfzelle.

Mit Hilfe eines Polarisationsstellgliedes (PSG) [GN89] wird das Licht hinter S6 vertikal

linear polarisiert. M¨ogliche Depolarisationen an den Spiegeln S5 und S6 werden dadurch

kompensiert.

Zu Beginn wurde ein Mikroskopobjektiv (Spindler & Hoyer, f = 15,48 mm) in der Auskop-

peleinheit der Glasfaser benutzt, um das stark aufgeweitete Lichtb¨undel auf Entfernung

der Zellenmitte zu kollimieren. Im Verlauf des Experiments wurden zwei weitere Verbes-

serungen vorgenommen, die in Kapitel 4 detailliert diskutiert werden. Der Astigmatismus

hinter der Auskoppeleinheit der Faser ist kleiner als 3%.

Ein /4-Pl¨attchen vor der Natriumdampfzelle stellt bei allen Experimenten zu dieser

Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Arbeit die Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht (

pol

= 1) sicher.

Einspiegelanordnung: Natriumdampfzelle und R¨

uckkopplung

Zur Pr¨aparation des Natriumdampfes in einer Stickstoff-Puffergasatmosph¨are dient die in

[Aum99] beschriebene Natriumdampfzelle (NZ in Abb. 2.4).

Die Teilchenzahldichte N der Natriumatome im Gaszustand wird ¨uber die Zellentempe-

ratur T geregelt, wobei T im Bereich 280

C bis 340

C variiert wird. Die Methode zur

Bestimmung von N ist in Anhang A beschrieben.

Die folgenden Untersuchungen werden, wenn nicht anders vermerkt, bei einem Puffer-

gasdruck des Natriumdampfes von 300 mbar durchgef¨uhrt. Hierf¨ur l¨asst sich die Wech-

selwirkung zwischen Licht und Medium in guter N¨aherung als homogen verbreiterter

J =

- ¨

Ubergang modellieren [MDLM86].

Die Zelle ist von drei senkrecht zueinander stehenden Helmholtzspulenpaaren eingefasst.

Die erzeugte Magnetfeldst¨arke ist zu den gemessenen Spulenstr¨omen proportional [Heu95].

Die longitudinale Komponente B

wird groß gegen die transversale B

gew¨ahlt (B

), da sich ein solches System in der theoretischen Beschreibung der Wechselwirkung

des Mediums mit Licht wie eines ohne Magnetfeld verh¨alt [Aum99]. Die transversale

Erdmagnetfeld-Komponente B

wird auf 2 µT genau kompensiert. Um B

gew¨ahrleisten, wird B

= 187 - 189µT gew¨ahlt.

Das durch die Zelle transmittierte Licht wird durch einen hochreflektierenden Spiegel S7

(R = 91, 5% [Ack96], sp¨ater R = 99%) in die Zelle zur¨uckgekoppelt. Der Abstand zur

Zellenmitte wird im Experiment zwischen 79 mm und 120 mm variiert. Ein kleinerer

Abstand ist aufgrund der geometrischen Ausmaße der Zelle und des /4-Pl¨attchens nicht

m¨oglich.

Mittels einer Dreipunkthalterung mit drei Differentialschrauben [B¨u97] kann die Verkip-

pung des Spiegels kontrolliert werden. Auf zwei dieser Schrauben sind Piezotranslatoren

montiert, die mittels einer Regelschaltung die horizontale und vertikale Verkippung kon-

stant halten. Die Verkippung des R¨uckkoppelspiegels wird stets minimal gehalten und

allenfalls in einem solchen Maße zugelassen, dass der Locking-Mechanismus [SAS

97] f¨ur

Hexagone an der Schwelle zur Musterbildung greift. Ein Driften der Hexagone wird ver-

mieden.

Zwischen Spiegel und Zelle wird ein /4-Pl¨attchen platziert. Dies wirkt bei zweimaligem

Durchlauf wie ein /2-Pl¨attchen, tauscht also die zirkularen Komponenten des Lichtfeldes

aus.

2.4. Experimenteller Aufbau

Analyseoptik

Hinter der Einspiegelanordnung wird der Strahl durch den Strahlteiler BS (vgl. Abb. 2.4)

zur getrennten Betrachtung von Fern-und Nahfeld aufgespalten.

Das Ende des Natriumdampfes wird mittels der plan-konvex Linse L4 (f = 300 mm)

vergr¨oßert auf die CCD-Kamera CCD1 mit Multi-Channel-Photomultiplier (Proxitro-

nic Nanocam HF4 S 5N) abgebildet. Es wird eine Belichtungszeit von 3 µs verwendet.

Uber die Abbildung eines Gitters (Gitterabstand d = 103, 8 µm [GW99], Gitterkonstante

g = 60,53 mm

-1

), wird die Abbildung des Natriumdampfes auf die Kamera geeicht. Das

Aufl¨osungsverm¨ogen ist durch die L¨ange gegeben, die auf einen Pixel auf die Kamera ab-

gebildet wird. Diese variierte zwischen 9,85 µm bei Experimenten zu Beginn dieser Arbeit

und 9,63 µm bei Experimenten gegen Ende der Arbeit.

Die optische Fouriertransformierte wird mittels der plan-konvexen Linse L5 (f = 600 mm)

erhalten. In Brennweitenentfernung hinter der Linse wird die nullte Ordnung der Fourier-

transformierten optisch ausgeblendet (F F ). Dieses gefilterte Fernfeld wird mit der Linse

L6 auf die CCD-Kamera CCD2 (Pulnix TM-765 [Ack96]) abgebildet. Im Fernfeld ent-

spricht die Breite eines Pixels auf der Kamera einer Wellenzahl von 0,219 mm

-1

eines

Musters im Natriumdampf. An der Kamera CCD2 wird

Shutter 5" eingestellt, wodurch

eine Belichtungszeit von 1/2000 s = 500 µs gew¨ahlt wird. Die Kamerafenster sind beid-

seitig antireflexbedampft ( = 590 nm unter 0

). Vorder-und R¨uckseite schließen einen

Keilwinkel von 30 Bogenminuten ein, um Interferenzen zu minimieren.

Eine Synchronisation der beiden Kameras ist erforderlich, da in Bereichen der Multistabi-

lit¨at eine zeitliche Dynamik vorherrscht. Aus der Proxitronic-Kamera (

Master") werden

uber die horizontalen und vertikalen Synchronisationssignale herausgef¨uhrt und in die

Pulnix-Kamera (

Slave") eingespeist. Auf diese Weise l¨auft die Bildaufnahme synchron.

Gleichzeitiges Einlesen (

Grabben") der Bilder wird durch ein externes Triggersignal mit

der Frequenz von 1 Hz an die IMAQ-Framegrabberkarten erzwungen.

Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Kapitel 3

Uberblick ¨

uber beobachtete

Mustertypen

3.1

Beobachtung der bisher bekannten Muster und

einiger Variationen

In der Einspiegelanordnung mit /4-Pl¨attchen wird bei Einstrahlung von zirkular po-

larisiertem Licht eine besonders große Vielfalt an Strukturen beobachtet [HGWA

99,

GWHAL01]. Im Folgenden werden die Muster, die in den Experimenten zu dieser Ar-

beit beobachtet werden, detailliert vorgestellt und nach ihren Eigenschaften klassifiziert.

Die quantitativen Eigenschaften wie Wellenzahlen und Winkel zwischen Wellenvektoren

werden analysiert und mit idealisierten Strukturen verglichen. Die Auswahl der Muster

in Abh¨angigkeit von den experimentellen Parametern Temperatur und Strahlkollimation

wird in den Kapiteln 5 bzw. 6 diskutiert.

Von den Mustern werden jeweils das Nahfeld und das dazugeh¨origen Fernfeld aufgenom-

men. Die Aufnahmen der Kamera sind in allen hier gezeigten Bildern invertiert auf einer

Grauwertskala linear skaliert. Intensit¨atsmaxima im Strahl sind dunkel, Minima hell dar-

gestellt.

Das Fernfeld zeigt die optische Fouriertransformierte des Nahfeldes. Diese besteht aus we-

nigen intensit¨atsstarken Maxima, die um einen Mittelpunkt herum angeordnet sind. Jeder

Fourierkomponente liegt das Maximum ihrer Komplexkonjugierten gegen¨uber. Neben die-

sen Maxima der

Grundmoden" existieren h¨aufig weitere Maxima, die zu Wellenvektoren

gr¨oßerer Wellenzahl geh¨oren. Diese Nebenkomponenten entsprechen einer Vektoraddition

mehrerer Grundmoden und werden deshalb als

h¨ohere Harmonische" bezeichnet. Ihre

Fourieramplituden sind um ein Vielfaches schw¨acher, so dass diese bei zur Intensit¨at pro-

portionaler Graustufenskalierung kaum sichtbar sind. Zu jedem Mustertyp wird deshalb

ein kontrastverst¨arktes Bild des Fernfeldes gezeigt (z.B. Abb. 3.1c), in welchem die Ne-

benkomponenten deutlich zu sehen sind.

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

Die Bilder sind in unterschiedlichen Maßst¨aben dargestellt. In der Bildunterschrift wird

jeweils die Fl¨ache des gesamten Ausschnitts angegeben.

3.1.1

Hexagone

An der Schwelle zur Musterbildung bilden sich aus dem unmodulierten Zustand in Expe-

rimenten zu dieser Arbeit immer hexagonale Strukturen, kurz Hexagone, aus (Abb. 3.1).

Abbildung 3.1: Hexagone, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

= 119 mW, =

3,6 GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

Das Fernfeld setzt sich aus sechs Intensit¨atsmaxima zusammen, von denen zwei gegen¨uber-

liegende jeweils einer Fouriermode und ihrer komplexkonjugierten entsprechen. Die zu-

geh¨origen Wellenvektoren haben alle ungef¨ahr die gleiche L¨ange. Benachbarte Wellen-

vektoren unabh¨angiger Fouriermoden schließen einen Winkel von 120

ein, woraus sich

eine sogenannte Triade aus drei Fourierkomponenten ergibt. Weiter oberhalb der Schwelle

werden h¨ohere Harmonische sichtbar, die sich aus einfachen Summen der Grundmoden

mit ihren benachbarten komplexkonjugierten Wellenvektoren zusammensetzen. Diese sind

jedoch um ein Vielfaches schw¨acher als die Maxima der Grundmoden.

Im Nahfeld setzt sich das periodische Muster aus Punkten minimaler Intensit¨at zusam-

men, die auf einem hexagonalen Gitter angeordnet sind. Auf einem idealen hexagonalen

Gitter ist der Abstand zweier Minima im Nahfeld bei einer Musterwellenl¨ange =

durch d =

gegeben. Dieser Abstand gibt die Periodizit¨atsl¨ange des Musters an. Da es

sich um Minima im Nahfeld handelt, spricht man von negativen Hexagonen. Die Summe

der Phasen einer Triade ist dann gleich .

F¨ur kleine Verstimmung treten Hexagone in einer subkritischen Bifurkation aus dem

unmodulierten Zustand auf, so dass eine Hysterese zwischen dem Entstehen und Ver-

schwinden der Hexagone beobachtet wird. Teilweise reicht der Bistabilit¨atsbereich ¨uber

In ¨ahnlichen Systemen [Aum99] treten auch positive Hexagone auf. Diese bestehen aus hexagonal an-

geordneten Punkten maximaler Intensit¨at und weisen eine verschwindende Phasensumme auf. In unserem

System werden diese jedoch nicht beobachtet.

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen

die Resonanz hinaus, so dass Hexagone f¨ur resonante Einstrahlung stabil sind. F¨ur große

Verstimmungen wird diese Hysterese nicht beobachtet, obwohl sie f¨ur das Modell von

Firth (vgl. Kap. 2.1) vorausgesagt wird [CH93]. Numerisch wurden diese Abweichungen

von der Theorie in einer vorausgegangenen Arbeit [Rud00] untersucht.

3.1.2Quasimuster: Q

Bei Quasimustern mit zw¨olfz¨ahliger Drehsymmetrie (Q

) handelt es sich um Muster, die

im Nahfeld keine Periodizit¨at aufweisen. Da sie sich -wie aus dem Fernfeld (Abb. 3.2b)

ersichtlich wird -aber aus wenigen periodischen Funktionen zusammensetzen, spricht man

von quasiperiodischen Mustern oder Quasimustern.

Abbildung 3.2: zw¨olfz¨ahlige Quasimuster, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld

(104 × 104 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (134 × 134 mm

-2

), d) aus zw¨olf

Fourierkomponenten generiertes Q

, Parameter zu a)-c): P

= 66 mW, = 4,5 GHz,

d = 76 mm, p

= 301 mbar, T = 325

C, N = 1,27 ·10

-3

, R = 99%

Das Fernfeld (Abb. 3.2b) besteht aus zw¨olf Intensit¨atsmaxima, die auf einem Kreis liegen

und gegenseitig einen Winkel von 30

mit ihren Nachbarn einschließen. Dabei handelt es

sich um sechs paare von Wellenvektoren im Winkel von 60

zueinander.

In der Nahfeldaufnahme (Abb. 3.2a) sieht man immer nur einen Teilausschnitt des quasi-

periodischen Musters (Abb. 3.2d) [AL00]. Diese Einzelst¨ucke bestehen aus einem Punkt,

der von f¨unf etwas l¨anglichen Minima auf einem Kreis umgeben ist. Dieser kleine, verwischt

wirkende Kreis wird von einem großen Kreis mit doppeltem Radius aus zw¨olf gleichm¨aßig

verteilten Maxima eingefasst. Die Einzelst¨ucke setzen sich in Dreier-und Vierergruppen

zu einem Quasimuster aneinander.

H¨ohere Harmonische entstehen durch Addition von zwei fundamentalen Wellenvektoren.

Besonders stark ausgepr¨agt sind diejenigen, die durch Vektoraddition der zu benachbarten

Fourierkomponenten geh¨orenden Wellenvektoren entstehen (Abb. 3.2c).

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

3.1.3

Uberstrukturen auf hexagonalem Grundgitter: SiH+SiH

Bei den in diesem und dem n¨achsten Abschnitt diskutierten ¨

Uberstrukturen handelt es

sich um Kombinationen aus Unterstrukturen, deren Wellenvektoren unterschiedliche Wel-

lenzahlen haben. Von einem Q

ausgehend wird durch Variation der Wellenzahlen die

zw¨olfz¨ahlige Drehsymmetrie gebrochen. Durch Reduktion der Drehsymmetrie im Fernfeld

wird die bei Q

nicht vorhandene Periodizit¨at im Nahfeld wieder hergestellt wird. Die

Nahfelder dieser ¨

Uberstrukturen ¨ahneln sich sehr, deshalb ist eine Charakterisierung ¨uber

das Fernfeld sinnvoll.

Abbildung 3.3: SiH+SiH, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), d) aus zw¨olf Fourierkomponenten

generiertes SiH+SiH, Parameter a)-c): P

= 206 mW, = 3,6 GHz, d = 77 mm,

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

Die in Abb. 3.3 gezeigten Muster besitzen zw¨olf Fourierkomponenten. Jeweils sechs der

dazugeh¨origen Wellenvektoren haben die gleiche L¨ange (Abb. 3.3) und bilden hexagonale

Triaden, indem sie untereinander Winkel von 120

einschließen. Das Wellenzahlverh¨altnis

der gezeigten Triaden liegt bei k

= 1,088. Die Maxima der kleinen Triade liegen auf

der Winkelhalbierenden der großen Triade.

Das Nahfeld (Abb. 3.3a) weist, trotz der sechsz¨ahligen Drehsymmetrie des Fernfeldes, nur

eine zweiz¨ahlige Drehsymmetrie auf. Es besteht aus l¨anglichen Maxima, die von sechs

Maxima, angeordnet auf einem gestreckten hexagonalen Gitter, umgeben sind.

Die beobachteten Muster weisen h¨ohere Harmonische auf, die sich durch Vektoradditionen

der Grundmoden beschreiben lassen (Abb. 3.3c). Zus¨atzlich ist das Resultat f¨ur die Ad-

dition eines k¨urzeren Wellenvektors (z.B. Vektor 2 in Abb. 3.3b) mit sich selbst dasselbe

wie das f¨ur die Addition der Wellenvektoren der gr¨oßeren Triade (Vektor 1 + Vektor 3 in

Abb. 3.3b), die links und rechts neben dem k¨urzeren liegen.

In der N¨ahe des ¨

Ubergangs zu Hexagonen wird ein starker Intensit¨atsunterschied zwischen

beiden Triaden beobachtet (Abb. 3.3b). Der ¨

Ubergang verl¨auft stetig, indem die zweite

Triade mit zunehmender Entfernung von dem Bifurkationspunkt anw¨achst.

Liegen die beiden Triaden in einem Winkel von 30

zueinander und weisen ein Wellen-

zahlverh¨altnis zwischen den Triaden von k

= 2/3 1,155 auf, liegen sie auf einem

gemeinsamen hexagonalen Grundgitter und werden Simple Hexagon + Simple Hexagon

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen

(kurz: SiH+SiH, [DG92]) genannt. Ein aus diesen Grundmoden generiertes Muster ist in

Abb. 3.3d gezeigt.

Das Wellenzahlverh¨altnis der in Abb. 3.3 gezeigten Muster ist etwas kleiner als das der

idealen SiH+SiH. Im Zentrum des Gauß'schen Strahls stimmt das Nahfeld des beobach-

teten Musters jedoch gut mit dem idealen SiH+SiH ¨uberein, da der Wellenzahlunter-

schied sich erst weit entfernt vom Zentrum auswirkt. Durch den begrenzten Gauß'schen

Strahl haben die Maxima des Fernfeldes eine Breite von 5% der Wellenzahl, wodurch trotz

Wellenzahlunterschied ein Beitrag zur idealen Wellenzahl im Fourierraum eines SiH+SiH

vorhanden ist. Beobachtete Muster wie dieses werden deshalb als SiH+SiH klassifiziert.

3.1.4

Uberstrukturen auf quadratischem Grundgitter: AS

2,1

+SiS

Die zweite beobachtete ¨

Uberstruktur besitzt im Fernfeld ebenfalls zw¨olf Hauptmaxima

(Abb. 3.4b), jedoch mit vierz¨ahliger Drehsymmetrie. Acht Wellenvektoren haben die glei-

che L¨ange k

, wobei im Mittel abwechselnd Winkel

= 54, 3

und

= 35, 7

einge-

schlossen werden. Die restlichen vier Wellenvektoren haben eine etwas kleinere Wellenzahl

Abbildung 3.4: AS

2,1

+SiS, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 x 101 mm

-2

), d) aus zw¨olf Fourierkomponenten

generiertes AS

2,1

+SiS, Parameter a)-c): P

= 100 mW, = 8,4 GHz, d = 77 mm,

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

und bilden mit 1% Winkelgenauigkeit ein Quadrat. Die Maxima zu den kleineren Wel-

lenvektoren liegen jeweils ann¨ahernd auf der Verbindungsgeraden zweier Maxima zu den

gr¨oßeren Wellenvektoren und haben eine etwas geringere Intensit¨at. Bei dem beobachteten

Muster (Abb. 3.4b) betr¨agt k

= 1,074.

Das Fernfeld weist zus¨atzlich h¨ohere Harmonische auf (Abb. 3.4c). Diese sind in etwa auf

einem quadratischen Grundgitter angeordnet. Vier der h¨oheren Harmonischen ergeben

sich, wie f¨ur SiH+SiH anhand Abb. 3.3b erkl¨art, durch zwei verschiedene Vektoradditio-

nen. Sie sind sehr viel schw¨acher ausgepr¨agt als h¨ohere Harmonische, die nur durch eine

Vektorsumme beschrieben werden k¨onnen. Diese Beobachtung erlaubt Aussagen ¨uber die

Phasenbeziehungen der beteiligten Fouriermoden und wird in Anhang B.5 n¨aher disku-

tiert.

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

Das Nahfeld (Abb. 3.4a) besteht aus l¨anglichen Minima, die jeweils in Vierergruppen

angeordnet sind. Es weist eine vierz¨ahlige Drehsymmetrie auf.

Muster der hier beschriebenen Form werden in [GWHAL01] als ¨

Uberlagerung eines qua-

dratischen ¨

Ubergitters AS

2,1

(anti-square

2,1

nach Notation aus [DG92]) mit einem ein-

fachen Quadrat (SiS, simple square) im Fourierraum interpretiert. Liegen beide Unter-

strukturen auf demselben quadratischen Grundgitter, so betr¨agt das Wellenzahlverh¨alt-

nis 5/2 1,118. Ein aus diesen Wellenvektoren generiertes Muster wird in Abb. 3.4d

gezeigt.

Das Wellenzahlverh¨altnis des beobachteten Musters (Abb. 3.4b) ist mit 1,074 deutlich

kleiner als das f¨ur eine ideale Struktur erwartete.

Wie schon bei den SiH+SiH in Kap. 3.1.3 gesehen, sind die Abweichungen von der idea-

lisierten Struktur erst bei Betrachtung eines gr¨oßeren Auschnitts erkennbar. In dem be-

grenzten Bereich des Gauß'schen Strahls rechtfertigt die große ¨

Ahnlichkeit des beobachte-

ten Musters (Abb. 3.4a) mit den generierten (Abb. 3.4d) die Klassifikation als AS

2,1

+SiS.

Es wird f¨ur Variation unterschiedlicher Parameter eine stetig zunehmende Stauchung des

Fernfeldes und somit eine Reduktion von vier-auf zweiz¨ahlige Drehsymmetrie beobachtet.

Speziell f¨ur hohe Leistungen und einen divergenten Strahl treten von AS

2,1

+SiS abgeleitete

Muster verst¨arkt in der gestauchten Form (Abb. 3.5) auf.

Abbildung 3.5: Gestauchte AS

2,1

+SiS, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld

(78 × 78 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter:

= 214 mW, = 8,4 GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

Mit zunehmender Stauchung nimmt die Intensit¨at der Fourierkomponenten der gestauch-

ten Wellenvektoren ab. Die Fourierkomponenten des gestauchten Untergitters des Qua-

drats werden besonders stark geschw¨acht.

Im Nahfeld (Abb. 3.5a) sind die Minima l¨anglicher als bei idealen AS

2,1

+SiS. Die Stau-

chung im Fourierraum ¨außert sich hier durch Streckung und Ausrichtung der einzelnen

Minima in Richtung der geschw¨achten Fourierkomponenten.

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen

3.1.5

Kontrastreiche Streifen:

Walls"

Die einfachsten Muster sind Streifen. Sie werden durch nur eine Grundmode beschrieben.

Die in diesem System beobachteten Streifen weisen im Nahfeld (Abb. 3.6a) sch¨arfere Kon-

traste als eine sinusf¨ormige Modulation auf. Im Fernfeld wird dies durch Auftreten stark

Abbildung 3.6: Streifen, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

= 231 mW, =

9,0 GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

ausgepr¨agter h¨oherer Harmonischer best¨atigt (Abb. 3.6c), deren Intensit¨aten 15% der

Intensit¨aten der Hauptmaxima betragen. Fourierfilter-Experimente [GWHAL01] zeigen,

dass diese h¨oheren Harmonischen f¨ur die Stabilit¨at der Muster entscheidend sind. Um

den wesentlichen Unterschied zu einfachen Streifen (ohne h¨ohere Harmonische) heraus-

zustellen, werden diese kontrastreichen Streifen

Walls" (

Mauern") genannt. Da nur sie

in Experimenten zu dieser Arbeit zu beobachten sind, wird im Weiteren

Streifen" als

Synonym f¨ur

Walls" benutzt.

Die Ursache f¨ur das Auftreten h¨oherer Harmonischer wird in Anhang B.3 mittels eines

theoretischen Ansatz versucht zu kl¨aren.

Abbildung 3.7: modulierte Streifen, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78

× 78 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

237 mW, = 8,0 GHz, d = 85 mm, p

= 304 mbar, T = 318, 9

C, N = 6, 7·10

-3

Neben den in Abb. 3.6 gezeigten Streifen wird eine Variation bei kleineren Frequenzen

des eingestrahlten Lichtes beobachtet. Es treten im Fourierraum schw¨achere Nebenkom-

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

ponenten senkrecht zu den Wellenvektoren der Grundmoden im Abstand der Wellenzahl

auf (vgl. Abb. 3.7c). Im Nahfeld (Abb. 3.7a) wirkt sich dies durch eine Modulation der

einzelnen Streifen aus, die diese in periodischen Abst¨anden ein-oder gar abschn¨urt.

Abbildung 3.8: Streifen mit Hexagonen am Rand, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

b) Fernfeld (104 × 104 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (134 × 134 mm

-2

Parameter: P

= 211 mW, = 3,0 GHz, d = 76 mm, p

= 301 mbar, T = 305

N = 1,8 ·10

-3

, R = 99%

Als weitere Variation werden die in Abb. 3.8 gezeigten Streifen beobachtet. An den Seiten

parallel zur Richtung des Wellenvektors schließen sich Hexagone an. Im Fernfeld hinter-

lassen diese jedoch nur sehr schwache Maxima als breite Intensit¨atsverteilung auf einem

Kreis mit dem Radius der Wellenzahl der Streifen.

Inhomogenit¨aten des Dampfes k¨onnen als Ursache f¨ur die Ver¨anderung am Rand des

Gauß'schen Strahls ausgeschlossen werden, da das Muster unter unterschiedlichen Win-

keln gedreht beobachtet wird.

Diese Variante der Streifen tritt meist dann auf, wenn ein sehr schmaler Stabilit¨atsbereich

der Streifen vorliegt.

3.1.6

Kontrastreiche Quadrate:

Chessboards"

Wie die Streifen, sind auch die beobachteten Quadrate (vgl. Abb. 3.9) kontraststark und

weisen im Fernfeld stark ausgepr¨agte h¨ohere Harmonische aus. Die Maxima des Fernfeldes

sind auf einem quadratischen Grundgitter angeordnet.

Der Begriff

Quadrate" wird in der Literatur f¨ur Muster aus zwei senkrecht zueinan-

der stehenden Wellenvektoren ohne oder nur mit schwachen h¨oheren Harmonischen be-

nutzt. Die hier beobachteten kontrastreichen quadratischen Muster werden zur Abgren-

zung

Chessboards" (

Schachbrettmuster") genannt, da das Nahfeld aus abwechselnd

angeordneten quadratischen Fl¨achen minimaler und maximaler Intensit¨at besteht. Die

h¨oheren Harmonischen sind, im Gegensatz zu normalen Quadraten, f¨ur die Stabilit¨at der

Chessboards notwendig, wie Fourierfilter-Experimente gezeigt haben [GWHAL01].

Im Folgenden wird jedoch nur der Begriff

Quadrate" als Synonym f¨ur

Chessboards"

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen

Abbildung 3.9:

Chessboards", a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 ×

78 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

= 212

mW, = 6,5 GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R =

91,5%

benutzt, da diese die einzigen in dieser Arbeit beobachteten quadratischen Strukturen

sind.

Die Ursache f¨ur das Auftreten h¨oherer Harmonischer wird in Anhang B.4 mittels eines

theoretischen Ansatz versucht zu kl¨aren.

3.1.7

Nicht eindeutig klassifizierte Muster

Nicht immer lassen sich die beobachteten Muster einer Musterklasse zuweisen. Besonders

im ¨

Ubergangsbereich zwischen zwei Mustertypen werden nicht immer scharfe Zustands-

wechsel, sondern stetige ¨

Uberg¨ange beobachtet. Die hier beobachteten Muster setzen sich

aus einer Mischform der beteiligten Mustertypen zusammen.

Abbildung 3.10: nicht klassifiziertes Muster mit 12 Fourierkomponenten, a) Nahfeld

(3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

), Parameter: P

= 51 mW, = 6,5

GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, T = 324

C, N = 8 · 10

-3

, R = 91,5%

In Parameterbereichen, in denen eine Multistabilit¨at zwischen Q

, SiH+SiH und AS

2,1

+SiS

vorliegt, werden vereinzelt Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten (Abb. 3.10) beobach-

tet, die keine eindeutigen Wellenzahl-und Winkelverh¨altnisse aufweisen, wie aus einem

Vergleich mehrerer Aufnahmen hervorgeht. Als Quasimuster lassen sich diese aufgrund

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

der starken Winkelabweichungen von bis zu 3,8

vom Mittelwert nicht klassifizieren.

Andererseits betr¨agt das Wellenzahlverh¨altnis der gr¨oßten zur kleinsten Wellenzahl nur

max

min

= 1,064, welches noch unter denen der experimentell gefundenen AS

2,1

+SiS und

SiH+SiH liegt. Die Drehsymmetrie ist im Fernfeld auf eine zweifache reduziert. H¨ohere

Harmonische sind auch nach Kontrastverst¨arkung nicht zu sehen.

Abb. 3.11 zeigt ein Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten aus einem Parameterbereich,

in dem eine schnelle zeitliche ¨

Anderung der Muster beobachtet wird. In der Momentauf-

Abbildung 3.11: dynamische Muster mit 12 Fourierkomponenten, a) Nahfeld (3,44 ×

3,44 mm

), b) Fernfeld (104 × 104 mm

-2

), c) FFT des Nahfeldes (109 × 109 mm

-2

Parameter: P

= 159 mW, = 4,6 GHz, d = 76 mm, p

= 301 mbar, T = 327

= 1,27 ·10

-3

, R = 99%

nahme ist dies durch verwischte Fourierkomponenten, die auf dem Kreis der zugeh¨origen

Wellenzahl liegen, zu erkennen. Trotz der Synchronisation von Nah-und Fernfeldaufnah-

me ist ein Unterschied zwischen Fernfeld (Abb. 3.11b) und der numerischen Fouriertrans-

formation des Nahfeldes (Abb. 3.11c) sichtbar. Die wesentlich k¨urzere Belichtungszeit

der Kamera f¨ur das Nahfeld gegen¨uber der f¨ur das Fernfeld f¨uhrt zu einer unterschied-

lichen zeitlichen Integration. Das Nahfeld (Abb. 3.11a) und vor allem seine numerische

Fouriertransformierte (Abb. 3.11c) zeigen den ¨

Ubergang zwischen zwei unterschiedlichen

Mustern gleicher Wellenzahl, die nicht klassifiziert werden k¨onnen. Die Integration ¨uber

ein l¨angeres Zeitintervall, wie es mit der Kamera im Fernfeld (Abb. 3.11b) geschieht, zeigt

jedoch ein Q

. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Multistabilit¨at, bei der Q

Mittel bevorzugt werden. Aufschluss kann jedoch nur eine Kamera mit noch k¨urzerer

Belichtungszeit geben.

Im gleichen Parameterbereich, in dem Streifen (in transversal modulierter und unmo-

dulierter Form) und gestauchte AS

2,1

+SiS auftreten, werden vereinzelt die in Abb. 3.12

gezeigten, bisher noch nicht beschriebenen Muster beobachtet.

Zu den Fourierkomponenten, die bei modulierten Streifen (vgl. Abb. 3.7) auftreten, kom-

men vier weitere unter einem Winkel von 45

(± 2,5

) hinzu. Die Wellenzahlen liegen ca.

2% ¨uber der Wellenzahl der Grundmode der Streifen.

Die Intensit¨aten der h¨oheren Harmonischen in Richtung der stark ausgepr¨agten Grund-

mode stehen mit denen der Grundmode im Verh¨altnis 1:10 und sind somit wesentlich

3.2. Beobachtung einer neuen Musterform

Abbildung 3.12: ¨

Ubergang von modulierten Streifen zu anderen Mustern, a) Nahfeld

(3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 × 78 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld

(101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

= 223 mW, = 6,3 GHz, d = 77 mm, p

= 306

mbar, T = 337, 5

C, N = 3, 39 · 10

-3

, R = 91,5%

schw¨acher als die h¨oheren Harmonischen reiner Streifen (vgl. Kap. 3.1.5).

Das Nahfeld ¨ahnelt dem der modulierten Streifen. Es besteht jedoch aus Minima unter-

schiedlicher Gr¨oße und Intensit¨at und weist deshalb auf der Fl¨ache des Gauß'schen Strahls

keine Periodizit¨at auf.

3.2Beobachtung einer neuen Musterform

Erstmals wird von einem neuen Typ von ¨

Uberstrukturen berichtet, die aus drei Wellen-

vektoren gleicher L¨ange aufgebaut sind.

Abbildung 3.13:

Muster 42", a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm

), b) Fernfeld (78 ×

78 mm

-2

), c) kontrastverst¨arktes Fernfeld (101 × 101 mm

-2

), Parameter: P

= 207

mW, = 6,5 GHz, d = 77 mm, p

= 308 mbar, R = 91,5%, T = 324

C, N =

8 · 10

-3

Nah-und Fernfeld weisen eine zweiz¨ahlige Drehsymmetrie auf. Das Nahfeld besteht aus

versetzt angeordneten Minima in Halbmond-Form, die durch kleinere kreisrunde Minima

in Zweierreihen getrennt werden.

Das Fernfeld (vgl. Abb. 3.13b) wird durch sechs Intensit¨atsmaxima gebildet. Die dazu-

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

geh¨origen Wellenvektoren schließen einen Winkel von 42

ein. Dieses Muster wird daher

als

Muster 42"

bzw. 42

-Muster bezeichnet.

Eine n¨ahere Untersuchung und Interpretation dieser Muster erfolgt in Kap. 6.3.

Die ¨

Ahnlichkeit mit Halbmonden oder M¨undern ließen diese Muster kurzzeitig unter dem Arbeitstitel

M¨onder" auftauchen.

3.3. Reproduzierbarkeit der Messungen

3.3

Reproduzierbarkeit der Messungen

So spannend die Entdeckung neuer Muster auch ist, so ist sie nur von Wert, wenn der

Parameterbereich f¨ur ihre Entstehung angegeben werden kann. Zu Beginn der Arbeit

war diese Reproduzierbarkeit nicht gegeben. Quadrate konnten nicht an jedem Messtag

trotz gezielter Variation der in Kap. 2.4 aufgef¨uhrten Parameter gefunden werden. Nach

jedem Austausch der Glasfaser konnte das zuvor gemessene Bifurkationsdiagramm nicht

qualitativ, also mit denselben Mustertypen, reproduziert werden. Ein Umbau der Faser

auf eine Position, von der aus auf die Umlenkspiegel S5 und S6 verzichtet werden konnte

(um weniger Lichtleistung zu verlieren), bewirkte denselben Effekt.

Folglich muss es einen Systemparameter geben, auf den das System bei kleinen Variatio-

nen mit qualitativen ¨

Anderungen des Bifurkationsverhaltens reagiert und der f¨ur voraus-

gegangene Experimente keine entscheidende Rolle gespielt hat. Im Folgenden wird dieser

Parameter

kritischer Parameter" genannt.

Abh¨

angigkeit vom Puffergasdruck

Der Variation des Puffergasdrucks sind Grenzen gesetzt. Der Druck wird ¨uber 100 mbar

gew¨ahlt, damit die Hyperfeinstruktur noch durch die Druckverbreiterung ¨uberdeckt wird

[MDLM86]. F¨ur Dr¨ucke ¨uber 1000 mbar ist die Vakuum-Apparatur nicht ausgelegt. Inner-

halb dieser Spanne zeigt ein Vergleich der Dr¨ucke 200 mbar, 300 mbar und 500 mbar, dass

sich das Bifurkationsverhalten nicht entscheidend ¨andert. Nur f¨ur 100 mbar wird eine Ab-

nahme der Anzahl der auftretenden Mustertypen verzeichnet. Alle folgenden Experimente

werden deshalb bei einem Druck von p

300 mbar durchgef¨uhrt.

Die Tests bei 200 und 500 mbar zeigen, dass experimentell bedingte Schwankungen von

±10 mbar um 300 mbar herum die Reproduzierbarkeit nicht beeintr¨achtigen.

Abh¨

angigkeit vom Spiegelabstand

Eine Ver¨anderung des Spiegelabstandes wirkt sich qualitativ auf das Experiment aus. Zu

gr¨oßeren Spiegelabst¨anden hin wird nach Anpassung der Leistung eine geringere Vielfalt

an Mustern beobachtet. Quadrate k¨onnen durch eine Erh¨ohung des Spiegelabstandes in

Streifen ¨uberf¨uhrt werden. Die Reproduzierbarkeit dieser Ergebnisse zeigt, dass es sich

nicht um den gesuchten kritischen Parameter handelt.

Abh¨

angigkeit von der Spiegelreflektivit¨

Der zu Beginn verwendete dielektrische Spiegel S7

mit einer Reflektivit¨at von R = 91, 5%

und unbekannter Spezifikation bez¨uglich Parallelit¨at zwischen Vorder-und R¨uckseite

[Ack96] wird durch einen Spiegel S7

mit einer Reflektivit¨at von R = 99% und einem

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

Keilwinkel zwischen Vorder-und R¨uckseite kleiner eine Bogensekunde ersetzt, um einen

h¨oheren R¨uckkopplungseffekt zu erzielen. Der kleine Keilwinkel verhindert zus¨atzliche In-

terferenzen durch Reflexe an der R¨uckseite des Spiegels. F¨ur die verwendeten Kameras

reicht die geringere Transmission aus.

Bei Auftreten von Quadraten oder Muster 42 wurde durch einen zeitweiligen Austausch

des Spiegels ¨uberpr¨uft, ob diese Muster bei beiden Reflektivit¨aten zu beobachten sind.

Qualitative ¨

Anderungen werden nicht beobachtet.

Abh¨

angigkeit von der Polarisationselliptizit¨

Eine leichte Abweichung der Polarisationselliptizit¨at von der zirkularen Polarisation von

0,94

pol

1,00 durch Drehen des /4-Pl¨attchens vor der Zelle um bis zu 10

bewirkt

keine qualitativen ¨

Anderungen. Resultate f¨ur große Variationen der Polarisationsellipti-

zit¨at (

pol

< 0,5) werden in [AGWH

99] beschrieben. Als kritisch im o.g. Sinne kann

dieser Parameter nicht angesehen werden.

Abh¨

angigkeit vom Magnetfeld

In Bezug auf kleine ¨

Anderungen der Longitudinalkomponente des Magnetfeldes ist das

System unempfindlich, wenn B

erf¨ullt ist. Kleine transversale Beitr¨age beeinflus-

sen das Bifurkationsverhalten auch nicht, solange B

eingehalten wird. Eine ¨

Ande-

rung des Vorzeichens der Longitudinalkomponente B

f¨uhrt ebenfalls zu keiner ¨

Anderung

des Bifurkationsverhaltens.

Abh¨

angigkeit von der Form des Natriumst¨

ucks

Teilweise werden im Experiment Muster beobachtet, die sich als gestauchte Variante eines

der in Kapitel 3.1.1-3.1.6 gezeigten Grundformen interpretieren lassen. Besonders ausge-

pr¨agt ist die Form der gestauchten AS

2,1

+SiS (Abb. 3.5).

Eine inhomogene Teilchenzahlverteilung k¨onnte dies erkl¨aren. Es soll ¨uberpr¨uft werden,

ob die Form des verwendeten Natriumst¨ucks einen Teilchenzahlgradienten verursacht.

Eine praktikable Form ist ein Quader mit den Maßen 2 mm × 2 mm × 10 mm, der

auf ein Tantal-R¨ohrchen in der Zelle gelegt wird. Der Dampf in kurzer Entfernung zum

Natriumst¨uck ist dichter als der in gr¨oßerer Entfernung.

Um R¨uckwirkungen auf das Experiment ausschließen zu k¨onnen, wird als Alternative ein

Ring aus Natrium gestanzt. Durch die radialsymmetrische Anordnung wird eine Verbes-

serung der Homogenit¨at der Teilchenzahlverteilung erwartet.

Mit dieser Form des Natriums werden jedoch die gleichen gestauchten Muster beobach-

tet. Der durch einen Quader erzeugte Teilchenzahlgradient beeinflusst die qualitativen

3.3. Reproduzierbarkeit der Messungen

Ergebnisse des Experiments also nicht. Da die Quaderform zudem einfacher zu pr¨aparie-

ren ist und einen geringeren Materialverbrauch bedeutet, wird weiterhin die Quaderform

gew¨ahlt.

Abh¨

angigkeit von der Spiegelverkippung

Bei kleinen durch ¨

Anderung der Piezotranslatoren gesteuerten Verkippungen wird das in

[SAS

97] beschriebene Driften der Muster reproduziert, eine qualitative ¨

Anderung des

Mustertyps tritt nicht auf. Erst bei großen Spiegelverkippungen werden ¨

Uberg¨ange zu

anderen Mustertypen beobachtet. Die Muster entsprechen keinem der bei ideal justiertem

Spiegel beobachteten Mustertypen und werden in dieser Arbeit nicht diskutiert.

Abh¨

angigkeit von der Strahlkollimation

Keiner der bekannten Parameter erm¨oglicht eine zuverl¨assige Reproduktion der gesuchten

Quadrate und Muster 42. Folglich existiert ein Parameter, der bisher nicht ausreichend

genau kontrolliert worden ist.

Messungen zur Lage der Strahltaille weisen große Schwankungen auf. Dies zeigt, dass die

Glaserfaserauskopplung auf Vibrationen und kleine Verschiebungen des Mikroskopobjek-

tivs sehr empfindlich reagiert. Die Strahlkollimation scheint der gesuchte kritische Para-

meter zu sein, welcher sich mit dem bisher vorhandenen Aufbau nicht gut kontrollieren

l¨asst.

Kapitel 3.

Uberblick ¨

uber beobachtete Mustertypen

Kapitel 4

Kollimationskontrolle

Das Modellsystem aus Kap. 2.1 macht theoretische Voraussagen f¨ur eingestrahltes Licht

mit einer ebenen Phasenfront. Ein Gauß'scher Strahl erf¨ullt diese Bedingung nur am Ort

seiner Strahltaille. Mit Hilfe der Linse in der Glasfaserauskopplung kann die Strahltaille in

die N¨ahe der Mitte des Natriumdampfes verschoben werden. Das vorherige Kapitel zeigt,

dass bei Pr¨aparation der Strahlparameter das System sehr empfindlich auf Verschiebungen

der Linse reagiert. Durch eine Verbesserung der Glasfaserauskopplung kann die Kontrolle

uber die Kollimation erleichtert und verbessert werden. Es werden drei Varianten der

Glasfaserauskopplung vorgestellt, von denen die letzten zwei den Aufbau von [Ack96]

erweitern.

Aufgrund des geringen Modenradius der Glasfaser von w

= 2 µm, ist der die Glasfaser

verlassende Strahl stark divergent. Dies erzwingt die Verwendung einer kurzbrennweitige

Linse wenige Millimeter hinter dem Faserende. Die Strahltaille kann damit nur grob auf die

Entfernung der Natriumdampfzelle justiert werden. In Kap. 4.1 werden die Auswirkungen

auf die Kollimationskontrolle bei Verwendung des bisherigen Aufbaus untersucht. Im Kap.

4.2 wird beschrieben, wie die grobe Kollimation durch die kurzbrennweitige Linse durch

eine Linse gr¨oßerer Brennweite fein nachkorrigiert werden kann. Durch den Einbau einer

weiteren Linse mit großer Brennweite (Kap. 4.3) wird ein Teleskop gebildet, welches die

Feinjustage weiter erleichtert.

4.1

Auskopplung mit einem Mikroskopobjektiv

Zu Beginn wurde ein Mikroskopobjektiv (Spindler & Hoyer, f = 15,48 mm) in der Auskop-

peleinheit (AE in Abb. 2.4) der Glasfaser benutzt, um das stark aufgeweitete Lichtb¨undel

so zu kollimieren, dass die Strahltaille in der Zelle liegt.

Das Objektiv wird im Folgenden wie eine einzelne kurzbrennweitige Linse mit derselben

effektiven Brennweite behandelt. Der Zusammenhang zwischen der Lage der Strahltaille

hinter der Linse und der Lage der Strahltaille z

vor der Linse (vgl. Abb. 4.1) errechnet

Kapitel 4. Kollimationskontrolle

Abbildung 4.1: Experimenteller Aufbau mit einer Linse hinter der Glasfaserauskopp-

lung (links), w

ist die Strahltaille in der Natriumdampfzelle (rechts)

sich nach [PPBS96] nach:

- f = V

- f)

(4.1)

Die Vergr¨oßerung V ist gegeben durch:

V =

- f)

(4.2)

Um die Strahltaille in die Zelle z

= 2,286 m mit einer Strahltaille w

= 1,42 mm zu

verschieben, muss das Objektiv einen Abstand z

= f + 4,51 µm von der Faserauskopplung

haben (vgl. Abb. 4.1).

Die Empfindlichkeit auf kleine Abstands¨anderungen wird untersucht, indem die Verschie-

bung der Strahltaille hinter der Linse z

+ z

bei einer Abweichung der Lage der Strahl-

taille vor der Linse z

+ z

von der Brennebene f errechnet wird. Eine Verschiebung

der Linse um z

= 1µm (z

= f + 5,51 µm) aus der Brennebene heraus bewirkt eine

Verschiebung der Strahltaille hinter der Linse um z

= 442 mm. Eine gute Kontrolle

der Lage der Strahltaille ist folglich mit nur einer Linse nicht m¨oglich. Deshalb wurden

zwei Teleskopsysteme getestet, die eine feinere Justage erlauben sollten.

4.2Auskopplung mit einem 2

-Linsensystem

F¨ur das erste Teleskop wird das Mikroskopobjektiv durch eine asph¨arische Linse (f

11 mm) ersetzt. Im Abstand L hinter der ersten (AE) Auskopplungslinse wird eine zweite

(L2) mit gr¨oßerer Brennweite (f

= 100 mm) aufgestellt

(vgl. Abb. 4.2). Auf diese

Weise kann der stark aufgeweitete Strahl hinter der Glasfaser grob kollimiert werden.

Die hierf¨ur ben¨otigte kurze Brennweite hat eine hohe Empfindlichkeit in Bezug auf die

Lage der Strahltaille zur Folge. Diese Position wird mit der langbrennweitigen Linse fein

justiert (vgl. Abb. 4.2). L2 ist in eine Gewindehalterung eingefasst, die die Variation der

Entfernung L zur ersten Linse AE erm¨oglicht.

3 existiert in diesem Aufbau nicht

4.2. Auskopplung mit einem 2-Linsensystem

Abbildung 4.2: Experimenteller Aufbau mit einer kurzbrennweitigen und einer lang-

brennweitigen Linse hinter der Glaserfaserauskopplung (links), w

ist die Strahltaille

in der Natriumdampfzelle (rechts)

Die Strahltaille w

= 2 µm ist durch den Modenradius der Glasfaser vorgegeben. In einer

Entfernung L = 2286 mm in der Mitte der Natriumdampfzelle soll eine Strahltaille mit

einem Radius von w

= 1,42 mm liegen. Daf¨ur m¨ussen die Linsenpositionen so gew¨ahlt

werden, dass die Strahltaille w

hinter der ersten Linse der Strahltaille w

vor der zweiten

Linse entspricht, die sich ergibt, wenn man von der Strahltaille w

den Lichtweg r¨uckw¨arts

betrachtet. Die Strahltaille w

= w

muss von beiden Seiten aus gesehen an der gleichen

Stelle liegen und den gleichen Radius haben. Diese sogenannte Modematching-Bedingung

ist erf¨ullt, wenn die Summe der Entfernungen der Strahltaillen zueinander gleich dem

gew¨unschten Abstand L zwischen w

und w

ist,

+ z

= L,

(4.3)

und wenn die Vergr¨oßerungen V

= V

, w

, z

) und V

= V

, w

, z

) den gleichen

Strahlradius

= w

(4.4)

ergeben. Vereinfachend wird f¨ur (4.3) z

= L gefordert, da z

+ z

gilt. In

(4.4) setzt man jeweils (4.2) ein, wobei V

statt von z

und w

von z

und w

abh¨angt.

Durch das Aufl¨osen nach z

erh¨alt man zwei L¨osungen f¨ur die Linsenpositionen, da die

gemeinsame Strahltaille sowohl zwischen den Linsen (z

> 0) als auch vor der ersten Linse

liegen kann (z

< 0), ohne dass sich die Situation in der Zelle ¨andert. F¨ur den Fall z

> 0

sind die Linsen etwas weiter von einander entfernt als im zweiten Fall. Sie lassen sich

deshalb so experimentell etwas besser handhaben. In diesem Fall sind: z

= 12,733 mm,

= 80,796 mm und z

= 100,167 mm.

Eine Verschiebung von L2 um z

= 1 µm bewegt die Strahltaille um z

= 11,225 mm

von der Zellenmitte weg. Eine 1/16 Umdrehung der Gewindehalterung entspricht einer

Verschiebung der Linse von z

= 31,25 µm und bewirkt schon eine Verschiebung der

Strahltaille um z

= 34,4 cm.

Dieser Aufbau f¨uhrte in gr¨oßerer Entfernung hinter der Faser (ca. 2 m) zu ringf¨ormigen

Modulationen des Gauß'schen Strahlprofils.

Kapitel 4. Kollimationskontrolle

4.3

Auskopplung mit Mikroskopobjektiv und Tele-

skop

Vollkommene Entkopplung von Faserauskopplung und Kollimationskontrolle erh¨alt man

durch Verwendung eines 1:1-Teleskops aus zwei Linsen gleicher Brennweite (f = 100 mm)

hinter der Auskoppeleinheit (vgl. Abb. 4.3).

Abbildung 4.3: Experimenteller Aufbau mit einer kurzbrennweitigen Linse hinter der

Glaserfaserauskopplung (links) und einem Teleskop aus zwei Linsen, w

ist die Strahl-

taille in der Natriumdampfzelle (rechts)

In der Auskoppeleinheit wird wieder das o.g. Mikroskopobjektiv anstatt der asph¨arischen

Linse benutzt. Die Strahltaille wird erst ohne Teleskop ungef¨ahr in die Zellenmitte z

2,286 m verschoben. Der Strahl hat dort einen Radius von w

= 1,4 mm. Eine Korrektur

der Lage der Strahltaille findet dann mittels Teleskop statt. Es werden zwei plan-konvexe

Linsen L2 und L3 (antireflexbedampft f¨ur = 590 nm) verwendet, wobei die plane Seite

jeweils zur Innenseite des Teleskops gerichtet ist. Die Linsen befinden sich in Gewindehal-

terungen, die bei einer ganzen Umdrehung einen Versatz von (0,5 ± 0,015) mm bewirken.

Um eine Strahltaille mit einem Radius von w

= 1,42 mm in der Zellenmitte mit Teleskop

zu erreichen, wird Linse L2 33 cm hinter der Auskopplung und Linse L3 200,025 mm

hinter L2 aufgestellt. Mit diesem Aufbau wird ein Astigmatismus kleiner 2% erreicht.

Die Justagegenauigkeit entspricht der des Aufbaus mit nur zwei Linsen (Kap. 4.2). Dies ist

anschaulich klar, wenn der Lichtweg r¨uckw¨arts betrachtet wird und f¨ur L2 aus dem Zwei-

Linsen-System die gleiche Entfernung zur Mitte der Zelle wie f¨ur L3 aus dem Teleskop-

System angenommen wird.

Mit dem Teleskopaufbau ist das Experiment jedoch flexibler, da das Teleskop einfach

aus dem Strahlengang entfernt bzw. diesem hinzugef¨ugt werden kann, ohne die Position

der kurzbrennweitigen Linse anpassen zu m¨ussen. Ein Abbau des Teleskops kann wichtig

werden, wenn ein geringer Leistungsgewinn auf Kosten der Kollimation erw¨unscht ist.

Entscheidender Unterschied zum Aufbau aus Kap. 4.2 ist das verbesserte Strahlprofil des

Strahls in der Zelle.

4.3. Auskopplung mit Mikroskopobjektiv und Teleskop

Um die Messungen aus den beiden n¨achsten Kapiteln interpretieren zu k¨onnen, muss das

Teleskop geeicht sein, d.h. es muss bekannt sein, f¨ur welche Einstellung der Teleskopl¨ange

die Strahltaille in der Natriumdampfzelle liegt. Hierf¨ur wird der Strahldurchmesser an

mehreren Orten vor und hinter der Zelle f¨ur unterschiedliche Teleskopl¨angen bestimmt.

F¨unf verschiedene L¨angeneinstellungen werden durch Drehen der Linsenhalterung jeweils

um eine halbe Umdrehung erhalten. F¨ur die zwei k¨urzesten Teleskopl¨angen wird ein di-

vergenter Strahl festgestellt, f¨ur die zwei l¨angsten ein konvergenter Lichtstrahl. Wird von

konvergentem" oder

divergentem Strahl" berichtet, ist dies auf die Kollimation des

Strahls in der Natriumdampfzelle zu beziehen.

Da sich die Lage der Strahltaille jetzt auf ca. z = ±40 cm genau einstellen l¨asst, kann

nach [PPBS96]:

R(z) = z +

(4.5)

(Lage der Strahltaille bei z = 0) von einem minimalen Kr¨ummungsradius von 300 m

ausgegangen werden. Auf der Fl¨ache eines Gauß'schen Strahls mit einem Radius von

= 1,42 mm bewirkt dies rechnerisch maximal einen Gangunterschied von 6,7 nm. Dies

entspricht einer Phasenkr¨ummung von 71,7 mrad.

Die urspr¨unglich geplante gezielte Untersuchung des Systems auf Parameterabh¨angigkeit

wird nun durch die gegebene eindeutige Festlegung aller relevanten Parameter m¨oglich.

Kapitel 4. Kollimationskontrolle

Kapitel 5

Abh¨

angigkeit der Musterbildung von

der Temperatur

Im Experiment wird eine Vielfalt an Mustern beobachtet. Ziel der folgenden Untersuchun-

gen ist es, Ordnung in den Musterzoo zu bringen. Maßgebliche Effekte zur Bildung der

Muster sind die Nichtlinearit¨at des Mediums und die r¨aumliche Kopplung. Die r¨aumliche

Kopplung kommt durch die R¨uckkopplung zustande, ließe sich also ¨uber eine ¨

Anderung

der Reflektivit¨at des R¨uckkoppelspiegels kontrollieren. Dies ist jedoch im Experiment

nicht leicht zu realisieren. Die Gr¨oße der Nichtlinearit¨at des Mediums wird maßgeblich

durch die Teilchenzahldichte N an Natriumatomen im Dampf beeinflusst, N ist proportio-

nal zur Suszeptibilit¨at. Kontrolliert wird die Teilchenzahldichte ¨uber die Temperatur der

Natriumdampfzelle. Bei Raumtemperatur und unterhalb des Siedepunktes von Natrium

ist kein Dampf und somit auch keine Nichtlinearit¨at des Gases in der Zelle vorhanden. Es

werden keine Muster beobachtet. Mit Erh¨ohung der Temperatur, und der damit verbunde-

nen Teilchenzahldichte, wird eine Zunahme der Komplexit¨at des Bifurkationsdiagramms,

also eine gr¨oßere Anzahl auftretender Mustertypen, erwartet.

Die folgenden vier Messungen bei vier verschiedenen Temperaturen (284

C, 304

C, 315

und 325

C) wurden an einem Messtag durchgef¨uhrt, um eine Alterung des Natriumst¨ucks

auszuschließen. Nur so ist ein Vergleich unterschiedlicher Temperaturwerte sinnvoll und

die Identifikation mit Teilchenzahldichten erlaubt.

Im Experiment wurde bei hohen Temperaturen begonnen, im Folgenden werden die Er-

gebnisse jedoch in umgekehrter Reihenfolge vorgestellt, da die ¨

Ubersichtlichkeit so besser

gewahrt bleibt. Nach Ver¨andern der Heizspannung wird jeweils ca. 45 Minuten gewartet,

bis sich eine konstante Temperatur einstellt und von einem Gleichgewichtszustand mit

konstanter Teilchenzahldichte ausgegangen werden kann.

F¨ur die folgenden Messungen werden konstant gehalten: d = 76 mm, p = 301 mbar,

R = 99%. Es werden nur positive Verstimmungen (Frequenzen oberhalb der Resonanz)

untersucht, da hier die gr¨oßere Vielfalt an Mustern auftritt.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

F¨ur jede Temperatur wird ein Bifurkationsdiagramm gezeigt, welches die Musterselektion

in Abh¨angigkeit von Verstimmung und Leistung verdeutlicht. Dazu wird f¨ur eine feste

Verstimmung die Leistung variiert und die auftretenden Muster anhand von Nah-und

Fernfeld klassifiziert.

Der erste Schritt bei der theoretischen Analyse von musterbildenden Systemen ist die

lineare Stabilit¨atsanalyse (LSA) der Modellgleichungen. Als L¨osungen liefert diese zu al-

len Wellenzahlen die Schwellleistungen, bei denen der unmodulierte Zustand zugunsten

eines Musters mit dieser Wellenzahl instabil wird. Bei unterschiedlichen experimentellen

Parametern werden unterschiedliche Wellenzahlen verst¨arkt bzw. ged¨ampft. F¨ur die Mus-

terselektion scheint es deshalb darauf anzukommen, aus welchen Wellenzahlen sich ein

Muster zusammensetzt und in welchem Verh¨altnis diese zueinander stehen. Im Folgenden

wird f¨ur jede Temperatur eine Analyse der Wellenzahlen in Abh¨angigkeit von der Leistung

gegeben.

5.1

Bifurkationsszenario bei

T = 284

Die ersten bei Erh¨ohung der Temperatur auftretenden Muster sind (negative) Hexagone

bei einer Temperatur von T = 284

C, f¨ur die die Teilchenzahldichte mittels des in Anhang

A beschriebenen Verfahrens auf N = 8,2 ·10

-3

bestimmt wird. Es werden ausschließ-

lich Hexagone beobachtet. Abb. 5.1 zeigt ein bei dieser Temperatur aufgenommenes Bi-

furkationsdiagramm. Die Skalierung der Abszisse wird so gew¨ahlt, dass das Diagramm

ohne Umskalieren mit denen der folgenden drei Szenarios vergleichbar ist.

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, liegt f¨ur eine Verstimmung von

= 2,5 GHz bei 61 mW. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis

P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung = 4,6 GHz.

F¨ur kleine Verstimmungen ( < 2 GHz) wird eine stark ausgepr¨agte Hysterese beobach-

tet: F¨ur konstant gehaltene Leistung entstehen aus dem homogenen Zustand bei Vergr¨oße-

rung der Verstimmung bei 0,9 GHz Hexagone. Bei Verkleinerung der Verstimmung

von diesem Zustand ausgehend bleiben die Hexagone stabil. F¨ur Leistungen P > 150 mW

existiert dieser Bistabilit¨atsbereich bis hin zu kleinen negativen Verstimmungen ¨uber die

Resonanzfrequenz hinweg.

Abb. 5.2 zeigt die Entwicklung der hexagonalen Muster bei Variation der Leistung f¨ur

die Verstimmung, f¨ur die die kleinste Schwelle zur Musterbildung festgestellt wurde. Im

Bifurkationsdiagramm markiert eine senkrechte strichpunktierte Linie diese Verstimmung.

Auf den Bildern des Fernfeldes ist bei allen Leistungen unterhalb des Ringes mit dem

Radius der kritischen Wellenzahl ein einzelnes Maximum zu sehen. Hierbei handelt es

sich um einen R¨uckreflex in dem optischen System, der nur auf Kosten der Justage des

Systems h¨atte vermieden werden k¨onnen. Dieser ist auch bei den anderen Temperaturen

5.1. Bifurkationsszenario bei T

= 284

100

150

200

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.1: Bifurkationsdiagramm, Grenze zum Auftreten von Hexagonen (+) mit

Hysterese am linken Rand, strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.2 gezeigten Bilder.

Parameter: T = 284

C, d = 76 mm, p

= 301 mbar, R = 99%

in den Abb. 5.5, 5.8 und 5.11 vorhanden.

Die Abb. 5.2a-c verdeutlichen, dass keine klare Abgrenzung zwischen dem unmodulierten

Zustand und dem hexagonalen Muster vorgenommen werden kann. In Abb. 5.2b ist keine

hexagonale Struktur in Fern-und Nahfeld erkennbar, im Fernfeld ist die kritische Wel-

lenzahl fast homogen auf einem Kreis angeregt. Im Nahfeld kann der Modulation an der

Schwelle (Abb. 5.2b) kein periodisches Muster zugeordnet werden. Als Schwelle zur Mu-

sterbildung, kurz Schwellleistung, wird deshalb als die Leistung festgelegt, bei der zuerst

hexagonale Strukturen erkennbar sind.

Wenig oberhalb der Schwelle zur Musterbildung sind sechs Maxima ausgepr¨agt. Diese

sind unscharf, da ein kleiner Beitrag zur kritischen Wellenzahl unabh¨angig vom Winkel

vorhanden ist (Abb. 5.2c). Mit zunehmender Leistung nehmen die Lokalisationen der Fou-

rierkomponenten und gleichzeitig die Fl¨ache, auf der Musterbildung zu sehen ist, und da-

mit die Anzahl der Elementarzellen (Abb. 5.2c-e) zu. Bei maximaler Leistung (Abb. 5.2e)

sind zus¨atzlich zu den sechs Hauptmaxima im kontrastverst¨arkten Fernfeld schw¨achere

Maxima h¨oherer Ordnung zu sehen.

Zur Analyse der Wellenzahlen wurden f¨ur die Parameter aus Abb. 5.3 die Leistung schritt-

weise erh¨oht und bei jeder Leistung f¨unf bis 20 Nah-und Fernfeldaufnahmen ausgewertet.

Abb. 5.2 zeigt allen in den Mustern auftretenden Wellenzahlen in Abh¨angigkeit von der

Leistung.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.2: Variation der Leistung bei T = 284

C und Verstimmung = 2,5 GHz,

a) P = 54 mW, b) P = 64 mW, c) P = 69 mW, d) P = 96 mW, e) P = 188 mW,

obere Reihe: Nahfeld (3,44 x 3,44 mm

), mittlere Reihe: Fernfeld (104 x 104 mm

-2

untere Reihe: kontrastverst¨arktes Fernfeld (134 x 134 mm

-2

), Parameter: d = 76 mm,

= 301 mbar, R = 99%

Die großen Kreise markieren die Mittelwerte ¨uber alle Wellenzahlen aus einem schma-

len Leistungsintervall. In diesem und alle folgenden Diagrammen, in denen Wellenzahlen

aufgetragen sind, beziehen sich die Mittelwerte auf ein Leistungsintervall von bis zu 4

mW und einen Satz von ein bis 15 Bildern. Jeder kleine Punkt repr¨asentiert eine einzelne

Fourierkomponente einer Aufnahme eines Musters.

Um Trends zu erkennen, wird die Abh¨angigkeit der Mittelwerte von der Leistung be-

trachtet. Auf diese Weise werden alle Werte unabh¨angig davon, wie viele Aufnahmen pro

Leistungswert aufgenommen wurden, gleich gewichtet. Bei dieser Temperatur ist die Wel-

lenzahl der Hexagone im Rahmen der Messgenauigkeit unabh¨angig von der Leistung und

betr¨agt k = (25,2 ± 0,2) mm

-1

5.2. Bifurkationsszenario bei T

= 304

23.5

24.5

25.5

26.5

100

120

140

160

180

200

220

Wellenzahl (mm

-1

)

Leistung (mW)

Abbildung 5.3: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone von der Leistung, große

Kreise: Mittelwerte ¨uber alle Aufnahmen ungef¨ahr gleicher Leistung, Parameter: s.

Abb. 5.2

5.2Bifurkationsszenario bei

T = 304

Bei einer Temperatur von T = 304

C (N = 1,8 ·10

-3

) treten bei mittlerer Ver-

stimmung und hoher Leistung Streifen (vgl. Kap. 3.1.5) als sekund¨are Bifurkation von

Hexagonen auf. Qualitativ sind die Szenarios bei T = 295,0

C und T = 304

C gleich, von

ihnen wird das zweite detailliert beschrieben.

In Abb. 5.4 ist zus¨atzlich zu den Grenzen, bei denen Hexagone bzw. Streifen bei Erh¨ohung

der Leistung erstmals auftreten, ein Bistabilit¨atsbereich zwischen Streifen und Hexagonen

eingetragen.

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, betr¨agt 33 mW f¨ur eine Ver-

stimmung von = 3,0 GHz. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen

bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung = 8,0 GHz.

Eine starke Hysterese der Hexagone nahe der Resonanz wird auch hier beobachtet. Die

kleinste Leistung, bei der die Hexagone ¨uber die Resonanz hinaus stabil sind, betr¨agt

90 mW. F¨ur hohe Leistung wird keine Verstimmung beobachtet, f¨ur die die Hexagone

instabil werden.

Abb. 5.5 zeigt Aufnahmen bei Variation der Leistung von Werten unterhalb der Schwelle

zur Musterbildung bis zu 220 mW bei einer Verstimmung von = 3,0 GHz.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

100

150

200

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.4: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨atsbereiche von Hexagonen (+) mit

Hysterese und Streifen (3), strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.5 gezeigten Bilder.

Die Grenze der Hexagone im Bereich der Streifen zeigt die Schwelle an, ab der Hexa-

gone nicht mehr zu beobachten sind. Parameter: T = 304

C, d = 76 mm, p

= 301

mbar, R = 99%

F¨ur die drei kleinsten Leistungen (Abb. 5.5a-c) wird qualitativ das gleiche Verhalten

wie bei T = 284

C beobachtet. Auch ein Zustand, bei dem die kritische Wellenzahl

gleichm¨aßig auf einem Kreis angeregt wird (vgl. Abb. 5.2b), wird f¨ur P = 33 mW beob-

achtet, ist jedoch nicht abgebildet.

Mit steigender Leistung nimmt die Fl¨ache, auf der sich Hexagone ausbilden, im Nahfeld zu.

Im Fernfeld treten weitere Harmonische h¨oherer Ordnung auf, die sich aus Vektoraddition

aus Vielfachen der Grundmoden zusammensetzen (Abb. 5.5d). Die bisher beschriebenen

h¨oheren Harmonischen erster Ordnung, die sich aus einfachen Summen der Grundmoden

ergeben, gewinnen an Intensit¨at. Das Nahfeld (Abb. 5.5b-d) nimmt an Kontrast zu. F¨ur

hohe Leistungen sind die im Nahfeld beobachteten Intensit¨atsminima nicht rund wie in

Abb. 5.5b, sondern l¨anglich (Abb. 5.5c) bzw. haben eine rechteckige Form (Abb. 5.5d).

Jede einzelne Aufnahme besitzt eine Vorzugsrichtung, die die Drehsymmetrie auf eine

zweiz¨ahlige reduziert. Mehrere Aufnahmen untereinander verglichen zeigen jedoch Strei-

fen, die unterschiedlich orientiert sind, wodurch eine Inhomogenit¨at des Mediums oder

des Lichtstrahls als Ursache ausgeschlossen wird.

F¨ur P > 160 mW werden Streifen in Kombination mit Hexagonen am Rand des mu-

sterbildenden Bereichs beobachtet (vgl. Kap. 3.1.5). Bis 200 mW treten diese bistabil

5.2. Bifurkationsszenario bei T

= 304

Abbildung 5.5: Variation der Leistung bei T = 304

C und = 3,0 GHz, a) P =

27 mW, b) P = 41 mW, c) P = 79 mW, d) P = 170 mW, e) P = 214 mW,

Parameter: wie bei Abb. 5.2

mit Hexagonen auf. Das System wechselt bei konstanten Parametern in diesem Bereich

zeitlich zwischen beiden Zust¨anden.

Die Wellenzahlen der bei = 3,0 GHz auftretenden Hexagone und Streifen sind in Abb.

5.6 gegen die Leistung aufgetragen.

An der Schwelle zur Musterbildung betr¨agt die Wellenzahl der Hexagone k = 25,4 mm

-1

Diese nimmt mit zunehmender Leistung ab, erreicht ein Minimum bei ca. 70-75 mW mit

einem Mittelwert k

min

24,2 mm

-1

und steigt dann wieder an. Die ab 160 mW auf-

tretenden Streifen haben im ¨

Ubergang zu Hexagonen ungef¨ahr die gleichen Wellenzahlen

wie diese. In diesem kleinen Bistabilit¨atsbereich nimmt die Wellenzahl der Hexagone mit

zunehmender Leistung zu. Streifen behalten ihre Wellenzahl der Gr¨oßenordnung k

24,3 mm

-1

bis P = 230 mW bei.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

23.5

24.5

25.5

26.5

80 100 120 140 160 180 200 220 240

Wellenzahl (mm

)

Leistung (mW)

Abbildung 5.6: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone ( ) und Streifen (3)

von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨uber alle Aufnahmen ungef¨ahr gleicher

Leistung, Parameter: s.Abb. 5.5

5.3

Bifurkationsszenario bei

T = 315

Bei T = 315

C (N = 6,1 ·10

-3

) liegt die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung

einsetzt, f¨ur eine Verstimmung von = 4,5 GHz bei P = 31 mW (vgl. Abb. 5.7). Der

Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis P = 200 mW vorzufinden ist,

erstreckt sich bis zu einer Verstimmung = 12,0 GHz.

Die Hysterese der Hexagone bleibt bestehen. Bei einer Leistung von P = 130 mW bleiben

Hexagone bei konstanter Leistung auch bei Variation der Verstimmung ¨uber die Resonanz

hinaus stabil.

Es treten erstmals Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten als sekund¨are Bifurkation von

Hexagonen auf. Diese entstehen ab einer Leistung von P > 59 mW. Im Bereich von Ver-

stimmungen 2,5 GHz 3,9 GHz werden SiH+SiH (vgl. Kap. 3.1.3) beobachtet. Diese

gehen zu gr¨oßerer Verstimmung in andere Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten ¨uber.

Da hier neben Quasimustern (vgl. Kap. 3.1.2) auch Mischformen aus Q

und AS

2,1

+SiS

sowie dynamische Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten und nicht klar definierten Win-

kelzusammenh¨angen (vgl. Kap. 3.1.7) auftreten, sind diese im Bifurkationsdiagramm zu

einer Gruppe

12 FK" zusammengefasst.

Der Bistabilit¨atsbereich bei hoher Leistung und mittlerer Verstimmung zwischen Streifen

und Hexagonen, der bei T = 304

C auftritt, wird durch eine Multistabilit¨at zwischen

5.3. Bifurkationsszenario bei T

= 315

100

150

200

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.7: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨atsbereiche von Hexagonen (+),

SiH+SiH (×), 12 FK () und Streifen (3), strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.8

gezeigten Bilder. Parameter: T = 315

C, d = 76 mm, p

= 301 mbar, R = 99%

Streifen und Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten abgel¨ost.

Die Variation der Leistung zeigt f¨ur kleine Leistungen (Abb. 5.8a-d) dasselbe Verhalten

des Systems wie f¨ur T = 284

C beschrieben. Eine r¨aumliche Verzerrung wie bei T = 304

wird nicht beobachtet.

Durch das Anwachsen von sechs weiteren Intensit¨atsmaxima im Fernfeld bildet sich eine

zweite Triade heraus (Abb. 5.8e). Die Winkel variieren hier von Aufnahme zu Aufnahme.

Auch die Wellenzahlverh¨altnisse der Triaden zueinander sind nicht immer gleich. Das Bild

in Abb. 5.8e zeigt ein Muster, das aufgrund seiner Winkel von ungef¨ahr 30

einem SiH+SiH

(vgl. Kap. 3.1.3) am ¨ahnlichsten von allen bei diesen Parametern beobachteten Muster

sieht. Das Wellenzahlverh¨altnis der beiden Triaden ist mit k

1,04 jedoch wesentlich

kleiner als das f¨ur ideale SiH+SiH. Bei h¨oherer Leistung haben alle Intensit¨atsmaxima

des Fernfeldes ungef¨ahr die gleiche Intensit¨at. Es treten haupts¨achlich Muster wie in Abb.

5.8f gezeigt auf. Gleiche Winkel zur Bildung von Q

stellen sich nur vereinzelt ein. In

diesem Bereich werden auch Muster beobachtet, deren Wellenvektoren zwar die Winkel

wie bei einem AS

2,1

+SiS aufweisen, die Wellenzahlen jedoch alle ann¨ahernd gleich sind.

F¨ur Leistungen P 160 mW (Abb. 5.8g) zeigen die Muster eine so schnelle Dynamik, dass

nicht mehr eindeutig zu erkennen ist, ob es sich um Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten

handelt (vgl. Kap. 3.1.7). Es ist ann¨ahernd nur eine einzelne Wellenzahl angeregt.

Vereinzelt werden modulierte Streifen beobachtet, dessen Nahfeld am Rand des Gauß'schen

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.8: Variation der Leistung bei T = 315

C und = 4,5 GHz, a) P =

23 mW, b) P = 33 mW, c) P = 41 mW, d) P = 53 mW, e) P = 65 mW, f) P =

105 mW, g) P = 157 mW, h) P = 210 mW, Parameter: wie bei Abb. 5.2

5.3. Bifurkationsszenario bei T

= 315

Strahls anderen Mustern aus einzelnen Minima aufweist. F¨ur h¨ohere Leistungen (Abb.

5.8h) treten diese dann stabil auf. Aufgrund der geringen Ausdehnung im Nahfeld ist nicht

eindeutig erkennbar, zu welchem Mustertyp diese zuordnet werden k¨onnten. Die Muster

als Kombination gesehen ¨ahneln, vor allem im Fernfeld, der in Kap. 3.1.5 beschriebenen,

Zusammensetzung aus Streifen und Hexagonen.

Die Ergebnisse der Untersuchung auf Wellenzahl¨anderungen in Abh¨angigkeit von der Lei-

stung ist in Abb. 5.9 dargestellt.

23.5

24.5

25.5

26.5

100 120 140 160 180 200

Wellenzahl (mm

)

Leistung (mW)

Abbildung 5.9: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone ( ), Muster der Gruppe

12 FK" () und Streifen (3) von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨uber

alle Aufnahmen ungef¨ahr gleicher Leistung, Parameter: s.Abb. 5.8

Hexagone zeigen, wie f¨ur T = 315

C, bei Erh¨ohung der Leistung eine starke Abnahme

der Wellenzahl. Das bei T = 315

C beobachtete Minimum wird nicht beobachtet.

Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten entstehen mit einer ca . 1% gr¨oßeren Wellenzahl

als die Hexagone bei n¨achst kleinerer Leistung. Ihre Wellenzahl bleibt von 70 mW bis

160 mW fast konstant im Bereich 24,8 mm

-1

< k < 25,05 mm

-1

Die Wellenzahlen der f¨ur P > 155 mW beobachteten Streifen nehmen mit zunehmender

Leistung linear ab. Im Bistabilit¨atsbereich 155 mW < P < 160 mW haben Streifen

eine deutlich geringere Wellenzahl als die Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten. Das

Verh¨altnis betr¨agt k

Str

12F K

= 0,98.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

5.4

Bifurkationsszenario bei

T = 325

F¨ur die h¨ochste untersuchte Temperatur T = 325

C (N = 1,27 ·10

-3

) treten erstmals

Quadrate (vgl. Kap. 3.1.6) auf. Sie werden f¨ur ¨ahnliche Leistungen wie Streifen, P >

164 mW, und etwas kleinere Verstimmung beobachtet (vgl. Abb. 5.10).

100

150

200

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.10: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨atsbereiche von Hexagonen (+),

SiH+SiH (×), 12 FK (), Streifen (3), Quadraten (2), strichpunktierte Linie: die

in Abb. 5.11 gezeigten Bilder. Parameter: T = 325

C, d = 76 mm, p

= 301 mbar,

R = 99%

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, liegt f¨ur Verstimmungen 3,0 GHz

5,0 GHz bei 31 mW. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen

bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung = 13,5 GHz.

Die Hysterese der Hexagone wird weiterhin beobachtet. Auf der Resonanz sind Hexagone

ab einer Leistung von P = 95 mW stabil.

Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten entstehen ab einer Leistung von P > 46 mW. F¨ur

kleinere Verstimmung entstehen in dem Bereich, in dem Muster mit zw¨olf Fourierkom-

ponenten auftreten, nur SiH+SiH. Dieser Bereich ist mehr als doppelt so breit wie bei

T = 315

C. F¨ur gr¨oßere Verstimmungen existieren, wie bei T = 315

C, Q

, AS

2,1

+SiS,

SiH+SiH und nicht n¨aher klassifizierte Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten in Mul-

tistabilit¨at zueinander. F¨ur T = 325

C wird f¨ur den Stabilit¨atsbereich der Gruppe der

Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten (

12 FK") eine Obergrenze f¨ur die Leistung gefun-

den. Dies ist der einzige Bereich (f¨ur alle Diagramme), der nach oben hin geschlossen ist.

5.4. Bifurkationsszenario bei T

= 325

Bei Leistungen P > 200 mW werden Streifen bzw. Quadrate bevorzugt.

Bis auf Streifen lassen sich bei einer Verstimmung von = 4,5 GHz durch Variation der

Leistung alle Muster, die im Bifurkationsdiagramm auftreten, beobachten (Abb. 5.11).

Hexagone zeigen das gleiche Verhalten wie bei T = 315

C. F¨ur Leistungen zwischen 48

und 230 mW werden Muster aus zw¨olf Fourierkomponenten beobachtet, von denen die

meisten weder anhand ihres Nahfelds noch anhand der Winkel-oder Wellenzahlverh¨altnis-

se im Fernfeld klassifiziert werden k¨onnen (vgl. Kap. 3.1.7). F¨ur kleine Leistungen werden

Muster bevorzugt, die aus zwei hexagonalen Triaden mit leicht unterschiedlichen Wel-

lenzahlen und Intensit¨aten gebildet werden (Abb. 5.11e). Da diese aber nicht auf einem

hexagonalen Grundgitter liegen, k¨onnen diese nicht der Klasse der SiH+SiH zugeordnet

werden. Eine Interpretation als Mischform zwischen SiH+SiH und Q

w¨are denkbar.

Vereinzelt k¨onnen f¨ur etwas h¨ohere Leistungen Q

(Abb. 5.11f) aufgenommen werden.

Bei weiterer Erh¨ohung der Leistung verlagern sich die Winkelverh¨altnisse zu denen eines

typischen AS

2,1

+SiS, d.h. es werden quadratische Grundgitter eingenommen. Die meis-

ten der beobachteten Muster in diesem Parameterbereich besitzen jedoch ein kleineres

Wellenzahlverh¨altnis zwischen den beiden Unterstrukturen als f¨ur ideale AS

2,1

+SiS er-

wartet. Abb. 5.11h zeigt ein Muster, das am besten der theoretischen Erwartung einer

periodischen ¨

Uberstruktur dieser Art entspricht.

An der Schwelle zu Quadraten werden sich zeitlich schnell ¨andernde Muster einer Wel-

lenzahl beobachtet, wie sie schon f¨ur T = 315

C beschrieben wurden. Der ¨

Ubergang zu

Quadraten ist vergleichsweise abrupt, stetige ¨

Uberg¨ange oder Mischzust¨ande werden nicht

beobachtet.

Die Abh¨angigkeit der Wellenzahlen der bei = 4,5 GHz aufgenommenen Muster von der

Lichtleistung wird in Abb. 5.12 dargestellt.

Die Abnahme der Wellenzahl der Hexagone entspricht in etwa dem Verhalten, wie es bei

T = 315

C beobachtet wird. Im Unterschied zu dieser Temperatur tritt f¨ur 40 mW < P <

50 mW eine Bistabilit¨at zu Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten auf. Die mittlere

Wellenzahl dieser komplexeren Muster ist signifikant gr¨oßer als die der Hexagone.

Im Bereich 60 mW < P < 190 mW bleiben die mittleren Wellenzahlen der Muster mit

zw¨olf Fourierkomponenten nahezu konstant mit k 24,65 mm

-1

. Die einzelnen Wellen-

zahlen streuen um diesen Mittelwert. Diese Streuung ist gr¨oßer als bei T = 315

C. Die

Zunahme der Streuung kann auf das Auftreten von AS

2,1

+SiS zur¨uckgef¨uhrt werden, da

diese im Vergleich zu anderen Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten das gr¨oßte Verh¨alt-

nis der Wellenzahlen der beiden Untergitter zueinander aufweisen.

Auch die Mittelwerte der Wellenzahlen zeigen eine gr¨oßere Streuung als bei T = 315

Eine gr¨oßere Streuung der Mittelwerte kann durch die gr¨oßere Vielzahl an Mustern erkl¨art

werden, da sich der Mittelwert je nach Mustertyp etwas ver¨andert.

Die Wellenzahl der f¨ur 170 mW < P < 220 mW auftretenden Quadrate ¨andert in diesem

Bereich nicht signifikant. Im Mittel betr¨agt diese k = 24,85 mm

-1

und unterscheidet sich

somit nicht wesentlich von der der Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten.

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.11: Variation der Leistung bei T = 325

C und = 4,5 GHz, a) P =

19 mW, b) P = 31 mW, c) P = 36 mW, d) P = 40 mW, e) P = 53 mW, f) P =

66 mW, g) P = 106 mW, h) P = 118 mW, i) P = 147 mW, j) P = 207 mW,

Parameter: wie bei Abb. 5.2

5.5. Vergleich der Bifurkationsszenarien der verschiedenen Temperaturen

22.5

23.5

24.5

25.5

26.5

80 100 120 140 160 180 200 220

Wellenzahl (mm

)

Leistung (mW)

Abbildung 5.12: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone ( ), Muster der Gruppe

12 FK" () und Quadrate (2) von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨uber

alle Aufnahmen ungef¨ahr gleicher Leistung, Parameter: s.Abb. 5.11

5.5

Vergleich der Bifurkationsszenarien der verschie-

denen Temperaturen

Allgemein treten f¨ur h¨ohere Temperaturen mehr Muster auf. Muster bleiben bei Erh¨ohung

der Temperatur evtl. unter Anpassung der Leistung und Verstimmung bestehen; kein

Muster verschwindet aus dem Bifurkationsdiagramm. Das Bifurkationsdiagramm wird

komplexer und feiner strukturiert.

Hexagone sind bei allen Temperaturen das bevorzugte Muster an der Schwelle zur Mu-

sterbildung und entstehen bei Erh¨ohen der Temperatur als erstes. Der Vergleich der Bifur-

kationsdiagramme zeigt, dass mit zunehmender Temperatur der Frequenzbereich, in dem

Musterbildung stattfindet, gr¨oßer wird. Musterbildung wird also bei gr¨oßerer Verstim-

mung m¨oglich. Die Schwelle zur Musterbildung scheint sich asymptotisch einem Grenz-

wert anzun¨ahern: Von niedrigen zu hohen Temperaturen werden die Schwellen 61 mW,

33 mW und, f¨ur T = 315

C und T = 325

C, 31 mW gemessen. Die Wellenzahlen der

Hexagone an der Schwelle zur Musterbildung werden mit h¨oherer Temperatur gr¨oßer. Die

linke Grenze des Bereichs der Musterbildung in der N¨ahe der Resonanz ist f¨ur alle Tempe-

raturen gleich. Die Breite der Hystereseschleife zwischen dem homogenen, unmodulierten

Zustand und Hexagonen ist f¨ur hohe Temperaturen in etwa gleich, f¨ur T = 284

C jedoch

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

etwas schmaler.

Es wird eine sekund¨are Bifurkation von Hexagonen zu Streifen (T = 304

C) und zu

Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten (T = 315

C und T = 325

C) beobachtet. Im Ver-

gleich der beiden h¨ochsten Temperaturen nimmt die minimale Leistung, bei der Muster

mit zw¨olf Fourierkomponenten auftreten, von 59 mW auf 46 mW ab. Im ¨

Ubergang von

Hexagonen zu Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten wird eine Vergr¨oßerung der Wellen-

zahl beobachtet. Dies best¨atigt numerische Voraussagen [DV96]. F¨ur beide Temperaturen

bleibt die Wellenzahl der Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten ¨uber den untersuchten

Leistungsbereich weitgehend konstant. Beim ¨

Ubergang von Streifen zu Hexagonen nimmt

die Wellenzahl leicht ab.

Bei den beiden h¨ochsten Temperaturen tritt eine terti¨are Bifurkation von Mustern mit

zw¨olf Fourierkomponenten zu Streifen auf. Im ¨

Ubergang bei Erh¨ohen der Leistung ist die

Wellenzahl der Streifen kleiner als die der Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten.

F¨ur T = 325

C wird eine weitere terti¨are Bifurkation von Mustern mit zw¨olf Fourier-

komponenten zu Quadraten beobachtet. Im ¨

Ubergang zwischen diesen Mustern wird kein

Wellenzahlunterschied beobachtet.

Die Spanne der auftretenden Wellenzahlen nimmt mit h¨oherer Temperatur zu. Dies l¨asst

sich am ehesten auf die zunehmende Anzahl an unterschiedlichen Mustertypen zur¨uck-

f¨uhren.

-Muster (vgl. Kap. 3.2) werden w¨ahrend der gesamten Messung nicht beobachtet. Da

f¨ur das Experiment eine Teleskopeinstellung gew¨ahlt worden ist, die einen kollimierten

Strahl in der Zelle gew¨ahrleistet, tritt das Muster 42 folglich nur f¨ur einen nicht kollimier-

ten Strahl auf.

5.6

Abh¨

angigkeit der Stabilit¨

atsbereiche von experi-

mentellen Parametern

Mittels der linearen Stabilit¨atsanalyse (LSA) werden die station¨aren L¨osungen der Modell-

gleichungen [Aum99] auf ihre Stabilit¨at gegen kleine St¨orungen untersucht. Der Wachs-

tumskoeffizient , der als L¨osung eines Eigenwertproblems das Ergebnis der LSA ist, gibt

an, ob eine periodische (sinusf¨ormige) St¨orung einer bestimmten Wellenzahl bei vorgege-

benen Parametern anw¨achst ( > 0) oder ged¨ampft ( < 0) wird.

In die Gleichungen gehen Teilchenzahldichte und Diffusionskonstante direkt ein, eine An-

gabe der Temperatur ist hier nicht erforderlich. Beide h¨angen jedoch von der Temperatur

ab [Ack97]. Aus der kinetischen Gastheorie folgt die Diffusionskonstante D:

D = D

1,7

= 1, 3873861

mbar

1,7

(5.1)

F¨ur die Konstante D

wird der von unterschiedlichen Autoren bestimmte Wert gemit-

5.6. Abh¨

angigkeit der Stabilit¨

atsbereiche von experimentellen Parametern

telt angegeben. Eine Temperatur¨anderung um 14% von 284

C auf 325

C w¨urde demnach

eine Puffergasdruck¨anderung um 26% erfordern, um die Diffusionsrate konstant zu hal-

ten und somit ihren Einfluss auf die Ergebnisse auszuschließen. Eine Verwendung von

p = 300 mbar bei T = 284

C h¨atte eine Druck¨anderung auf p = 378 mbar bei T = 325

erfordert. Bei konstanten Druck hingegen bewirkt eine Temperatur¨anderung um 14% eine

Anderung der Diffusionskonstanten um 26%. Die Teilchenzahldichte erh¨oht sich von 284

auf 325

C auf das 15,9-fache. Im Vergleich zur Diffusion ¨andert sich die Teilchenzahldichte

63mal so stark. Dies rechtfertigt eine Vernachl¨assigung der ¨

Anderung der Diffusionskon-

stanten und erm¨oglicht den Vergleich des Experiments, in dem die Temperatur variiert

wird, mit theoretischen Untersuchungen, in denen die Teilchenzahldichte ge¨andert wird.

Zur Gew¨ahrleistung der Vergleichbarkeit wird die Diffusionskonstante f¨ur alle Graphen

D = 225,9 mm

/s gew¨ahlt, welche nach dem experimentell gefundenen Zusammenhang

(5.1) einer Temperatur von T = 300

C und einem Puffergasdruck von p = 300 mbar

entspricht.

Es werden die Teilchenzahldichten N

= 10

-3

, N

= 10

-3

und N

= 10

-3

untersucht. Diese liegen am unteren und oberen Ende bzw. in der Mitte der Spanne der

im Experiment gemessenen Teilchenzahldichten.

In Abb. 5.13a ist f¨ur die drei Teilchenzahldichten die Grenze = 0 in Abh¨angigkeit von

Leistung und Verstimmung eingezeichnet, die den Bereich der Musterbildung von dem

Bereich trennt, in dem der unmodulierte Zustand gegen beliebige, kleine St¨orungen stabil

ist.

100

150

200

250

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

100

150

200

250

300

Leistung (mW)

Wellenzahl (mm

-1

)

Abbildung 5.13: links Schwellwertkurven nach der LSA, rechts Instabilit¨atsballons

nach der LSA, jeweils f¨ur eine Verstimmung, bei der die Schwellwertkurve ein Mini-

mum hat, durchgezogene Linie: N = 10

-3

, strichpunktierte Linie: N = 10

-3

gestrichelte Linie: N = 10

-3

, Parameter:

= 6,83 ·10

-1

, D = 356,3 mm

/s,

R = 99%, L = 76 mm

F¨ur h¨ohere Teilchenzahldichten ist der Frequenzbereich der Musterbildung breiter. Die

kleinste Leistung, f¨ur die Modulationsinstabilit¨aten auftreten, liegt f¨ur N = 10

-3

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

mit P = 43 mW h¨oher als f¨ur die beiden anderen Teilchenzahldichten, bei denen diese

Leistung P = 27 mW betr¨agt. F¨ur N = 10

-3

wird das Minimum der ben¨otigten

Leistung f¨ur eine Verstimmung = 1,05 GHz beobachtet. Das Minimum der beiden

h¨oheren Teilchenzahldichten liegt bei einer etwas gr¨oßeren Verstimmung bei = 1,8 GHz.

Alle drei Schwellwertkurven liegen f¨ur kleine Verstimmungen dicht bei einander. F¨ur eine

Verringerung der Verstimmung ist ein steiler Anstieg der Schwellleistung f¨ur alle drei

Teilchenzahldichten gleichermaßen zu verzeichnen.

Die Verbreiterung des musterbildenden Bereichs best¨atigt den im Experiment beobach-

teten Trend; bei gleicher Teilchenzahldichte ist der Bereich im Experiment jedoch breiter

als durch die LSA vorausgesagt. Im Experiment ¨andert sich die Breite des Bereichs, in

dem Musterbildung stattfindet, und die Lage des Minimums dieses Bereichs im Bifurka-

tionsdiagramm f¨ur hohe Temperaturen am wenigsten. Dies zeigt eine ¨

Ubereinstimmung

mit dem Verhalten, das die LSA f¨ur hohe Teilchenzahldichte prognostiziert.

Die steile Flanke bei kleiner Verstimmung findet sich im Experiment qualitativ wieder.

Es handelt sich dabei um die Grenze der Hysterese der Hexagone, die die Grenze zur

Instabilit¨at des homogenen Zustands markiert. Die zweite Grenze der Hysterese, welche

durch die subkritische Bifurkation zustande kommt, wird von der LSA nicht beschrieben.

Sowohl die hohe Schwelle f¨ur kleine Teilchenzahldichten als auch die Konstanz der Schwelle

f¨ur große Teilchenzahldichten tritt im Experiment auf, wobei dort die Schwellen insgesamt

niedriger sind.

Ein entscheidender Unterschied zwischen den theoretischen und den experimentell be-

stimmten Bereichen ist die Form der Schwellwertkurve in Abh¨angigkeit von der Verstim-

mung. Im Experiment sind diese nahezu symmetrisch zu einer vertikalen Achse; die aus

der LSA bestimmten Schwellwertkurven weisen eine Schiefheit in Richtung der Resonanz

auf.

Abb. 5.13b gibt Aufschluss ¨uber die zuvor nicht ber¨ucksichtigte Abh¨angigkeit des Wachs-

tumskoeffizienten von der Wellenzahl der periodischen St¨orung. Die LSA gibt nicht nur

Auskunft ¨uber die Parameter, bei denen eine Modulationsinstabilit¨at auftritt, sondern

auch dar¨uber, welche Wellenzahlen bei gegebenen Parametern verst¨arkt werden. H¨aufig

liefern erste ¨

Uberlegungen anhand der im System erlaubten Wellenzahlen bei der Ana-

lyse der Musterselektion gute qualitative Ergebnisse. In der Leistung-Wellenzahl-Ebene

aufgetragene Kurven marginaler Stabilit¨at f¨ur = 0 liefern mehrere nach oben ge¨offne-

Instabilit¨atsballons" (Abb. 5.13). F¨ur die Berechnung wird als Verstimmung jeweils

die vorgegeben, die eine minimale Schwellleistung zur Folge hat. Aus Abb. 5.13a werden

hierf¨ur f¨ur die kleinste Teilchenzahldichte = 1,0 GHz, f¨ur die anderen beiden =

1,8 GHz bestimmt.

In dem Bereich der Leistung, der im Experiment zur Verf¨ugung steht, P < 250 mW,

werden f¨ur alle drei Teilchenzahldichten drei Instabilit¨atsballons berechnet. F¨ur die beiden

h¨ochsten Teilchenzahldichten stimmen alle drei jeweils miteinander ¨uberein. Die Ballons

bei N = 10

-3

sind schmaler und weisen ihre Minima bei h¨oheren Leistungen auf.

5.6. Abh¨

angigkeit der Stabilit¨

atsbereiche von experimentellen Parametern

Bei der kleinsten Teilchenzahldichte wird ein steilerer Anstieg der Schwellleistung mit

zunehmender Wellenzahl beobachtet. F¨ur N = 10

-3

betragen die Verh¨altnisse der

minimalen Leistungen der Ballons h¨oherer Wellenzahlen P

und P

zur minimalen Leis-

tung der ersten Ballons P

= 2, 64

und

= 4, 27.

F¨ur N = 10

-3

und N = 10

-3

sind dies nur

= 2, 54

und

= 4, 07.

Diese ¨

Anderung der Steigung tritt trotz konstanter Diffusion auf.

Die zu den minimalen Leistungen geh¨orenden kritischen Wellenzahlen der drei Ballons

stehen f¨ur die kleinste Teilchenzahldichte im Verh¨altnis

= 1, 63

und

= 2, 07,

f¨ur N = 10

-3

und N = 10

-3

im Verh¨altnis

= 1, 60

und

= 2, 03

und liegen somit f¨ur h¨ohere Teilchenzahldichten enger bei einander.

Diskussion

SiH+SiH sowie AS

2,1

+SiS treten erst f¨ur h¨ohere Temperaturen und somit h¨ohere Teilchen-

zahldichten auf. Da sich diese Muster aus etwas voneinander abweichenden Wellenzahlen

zusammensetzen, sind hierf¨ur Instabilit¨atsballons einer gewissen Breite notwendig. F¨ur

h¨ohere Teilchenzahldichten sagt die LSA breitere Ballons sowie eine gr¨oßere Breite bei

h¨oherer Leistung voraus. Dies liefert einen Hinweis darauf, dass die komplex periodischen

Strukturen bevorzugt bei h¨oheren Temperaturen beobachtet werden.

Die im Experiment zur Verf¨ugung stehende Leistung erm¨oglicht eine Anregung des drit-

ten Instabilit¨atsballons nach Aussage der LSA nur f¨ur Teilchenzahldichten N > 10

-3

Die h¨oheren Harmonischen von Streifen stehen ungef¨ahr im Verh¨altnis 1:2,00 zur Grund-

mode und fallen somit in den Bereich des dritten Instabilit¨atsballons. Die ¨

Uberlegungen

liefern damit einen Erkl¨arungsansatz, warum Streifen erst bei großen Teilchenzahldich-

ten auftreten. Fourierfilter-Experimente best¨atigen die Notwendigkeit des dritten Insta-

bilit¨atsballons. Wird die Wellenzahl des dritten Ballons aus dem r¨uckgekoppelten Strahl

herausgefiltert, entstehen Hexagone anstatt Streifen [GWHAL01].

Kapitel 5. Abh¨

angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Kapitel 6

Einfluss der Laserstrahlkollimation

In Experimenten zu Beginn dieser Arbeit, die ohne das in Kap. 4 beschriebene Tele-

skop durchgef¨uhrt worden sind, konnten teilweise Bifurkationsszenarien nicht eindeutig

reproduziert werden. Quadrate konnten zum Teil nicht erzeugt werden. Außerdem wur-

de ein neues Muster gefunden, das nicht auftritt, wenn der Strahl so kollimiert ist, dass

die Strahltaille in der Zelle liegt. Es muss daher in dem Bereich eines divergenten oder

konvergenten Strahls gesucht werden.

Ziel dieses Kapitels ist es, den Einfluss der Lage der Strahltaille auf die Strukturbildung

systematisch zu untersuchen und die Bereiche, in denen das neue Muster 42 auftritt, zu

bestimmen, um dieses n¨aher zu analysieren.

6.1

Systematische Variation der Laserstrahlkollima-

tion

Um die Kollimation gezielt zu ¨andern, wird die Linse L3 des Teleskops f¨ur das Expe-

riment in 1/8-Umdrehungen gedreht. Dies entspricht jeweils einer L¨angen¨anderung des

Teleskops L

um (0,0625 ± 0,0313) mm, welche eine Verschiebung der Strahltaille um

ca. (70 ± 35) cm bewirkt. L

= 0 markiert die Linsenposition, f¨ur die die Strahltaille in

der Zellenmitte liegt. Diese wird wie in Kap. 4.3 beschrieben bestimmt. Eine Verk¨urzung

des Teleskops (L

< 0) bewirkt einen divergenten, eine Verl¨angerung (L

> 0) einen

konvergenten Strahl.

F¨ur jede Teleskopl¨ange wird bei maximaler Leistung (P = 230 mW) die Frequenz des

Lasers variiert. Die Abh¨angigkeit der auftretenden Muster von Verstimmung und Teleskop-

l¨angenvariation ist in Abb. 6.1 dargestellt. Der leichte Versatz der einzelnen horizontalen

Balken gegeneinander dient nur der ¨

Ubersichtlichkeit. ¨

Uberlappende Balken geh¨oren zu

derselben Teleskopl¨ange und signalisieren Multistabilit¨at mehrerer Muster.

Alle in Kap. 3.1 dargestellten Muster treten in wohl definierten Bereichen des durch

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.1: Bifurkationsszenario in Abh¨angigkeit von der Kollimation und der

Verstimmung, Parameter: T =324,7

C, P = 230 mW, d = 76 mm, p

= 300 mbar,

R = 99%

Kollimation und Verstimmung aufgespannten Bifurkationsdiagramms auf.

F¨ur den bisher betrachteten Fall, dass die Strahltaille in der Zellenmitte liegt, treten

bis auf 42

-Muster alle in Kap. 3.1 diskutierten Muster auf (vgl. Abb. 6.1). Eine hohe

Temperatur und ein kleiner Spiegelabstand sind daf¨ur allerdings Voraussetzung.

Bei allen Teleskopl¨angen sind die Hexagone auf der Resonanz stabil. Die Breite des Stabi-

lit¨atsbereichs der Hexagone nahe der Resonanz scheint unabh¨angig von der Kollimation

zu sein. Die Hysterese ist nicht eingezeichnet, da eine Destabilisierung der Hexagone nur

durch Verringern der Leistung erreicht werden kann. Der Spektralbereich, in dem Muster-

bildung gefunden wird, ist f¨ur alle Teleskopl¨angen ungef¨ahr gleich breit; eine Tendenz ist

6.2. Kollimationsabh¨

angige Wellenzahl¨

anderungen

nicht erkennbar. Die gr¨oßte Verstimmung, die Musterbildung zul¨asst, liegt zwischen 12

und 13 GHz.

Alle Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten werden, wie in Kap. 5.3 diskutiert, zu einer

Gruppe

12 FK" zusammengefasst.

Die beobachteten Streifen gehen bei kleinerer Verstimmung in die orthogonal zum Wel-

lenvektor modulierte Form ¨uber. In F¨allen, wo dieser ¨

Ubergang klar zu bestimmen ist,

ist der Balken in Abb. 6.1 durch einen senkrechten Strich in zwei Teile geteilt. Liegt eine

solche Markierung nicht vor, ist der ¨

Ubergang stetig und erstreckt sich ¨uber einen breiten

Spektralbereich.

Eine Verl¨angerung des Teleskops f¨uhrt zu einem konvergenten Strahl in der Zelle. Der Sta-

bilit¨atsbereich der Hexagone f¨ur große Verstimmungen ist etwas schmaler als f¨ur den Fall

= 0. Die Stabilit¨atsbereiche der SiH+SiH und der Quadrate werden schon f¨ur kleine

Verschiebungen der Teleskoplinse kleiner und verschwinden bereits bei L

> 0,125 mm

(SiH+SiH) bzw. L

> 0,063 mm (Quadrate). In diesem Bereich werden ausschließlich

Hexagone, Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten und Streifen beobachtet. Der Bereich,

in dem Streifen entstehen, wird mit zunehmender Teleskopl¨ange breiter.

Ein divergenter Strahl wird durch Verk¨urzung des Teleskops erreicht. F¨ur eine Verk¨urzung

bis L

-0,25 mm wird der Bereich, in dem Quadrate auftreten, auf Kosten der Breite

des Bereiches, in dem Streifen entstehen, breiter. SiH+SiH werden f¨ur diese Teleskop-

einstellungen jeweils ¨uber einen Frequenzbereich gleicher Breite beobachtet. F¨ur zwei

Einstellungen der Teleskopl¨ange (Verk¨urzung um L

= -0,188 bzw. L

= -0,25 mm)

treten vereinzelt 42

-Muster auf (in Abb. 6.1 als

RM" f¨ur

rhombische Muster" ein-

gezeichnet). Eine Breite des Stabilit¨atsbereichs kann f¨ur diese Muster nicht angegeben

werden, da diese innerhalb der Messungenauigkeit der Frequenz liegt. In diesem Bereich

muss also sp¨ater die Analyse der Muster stattfinden.

Bei Justage eines stark divergenten Strahls treten f¨ur L

< -0,313 mm keine Qua-

drate und SiH+SiH mehr auf. Diese beiden Mustertypen treten also fast immer f¨ur die

gleiche Kollimationseinstellung auf. In diesem Frequenzbereich werden nun Muster mit

zw¨olf Fourierkomponenten beobachtet, von denen ein großer Anteil gestauchte AS

2,1

+SiS

sind. Auch hier nimmt die Breite des Stabilit¨atsbereichs der Streifen mit der Teleskop-

verk¨urzung monoton ab und ist f¨ur die k¨urzeste Teleskopl¨ange am schmalsten. In Zukunft

k¨onnte ¨uberpr¨uft werden, ob Streifen f¨ur eine noch st¨arkere Verk¨urzung des Teleskops ganz

verschwinden.

6.2Kollimationsabh¨

angige Wellenzahl¨

anderungen

Wie in der Einleitung zu Kap. 5 geschildert, ist die Wellenzahlentwicklung in Abh¨angigkeit

von der Leistung f¨ur die Interpretation der Musterselektion interessant.

Hexagone werden bei sonst gleichen Parametern f¨ur alle Kollimationseinstellungen beob-

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

achtet. Zur Sicherung der Vergleichbarkeit werden die Wellenzahlen von Hexagonen nahe

der Schwelle bei 42 mW < P < 44 mW untersucht (Abb. 6.2).

23.6

23.8

24.2

24.4

24.6

24.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

mittlere Wellenzahl (mm

)

Verschiebung der Teleskoplinse (mm)

Abbildung 6.2: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone an der Schwelle von der

Kollimation, Parameter: T = 335,3

C, P = (43 ± 1) mW, = 3,7 GHz, d = 97 mm,

= 300 mbar, R = 99%

Die Teleskopeinstellung L

= 0 bewirkt eine minimale Wellenzahl der Hexagone. Je

konvergenter der Strahl eingestellt wird, desto gr¨oßer werden die Wellenzahlen. F¨ur di-

vergenten Strahl ist kein monotones Verhalten erkennbar. Die beobachteten Muster haben

jedoch eine gr¨oßere Wellenzahl als bei L

= 0.

6.3

Beobachtung der 42

-Muster in divergenten Strah-

len

Das in Kap. 3.2 kurz vorgestellte Muster 42 ist nun durch die Ergebnisse aus Kap. 6.1

reproduzierbar. Die bemerkenswerten Eigenschaften dieses Musters werden hier im Detail

diskutiert.

6.3. Beobachtung der

-Muster in divergenten Strahlen

6.3.1

Analyse eines experimentell beobachteten Muster 42

Das Muster 42 wird im Wesentlichen aus drei Wellenvektoren gebildet, die alle ungef¨ahr

die gleiche Wellenzahl haben und einen Winkel von ungef¨ahr 42

einschließen. Zu diesem

¨außerst einfachen Fourierspektrum geh¨ort eine erstaunlich komplexe Struktur im Nah-

feld, die sich aus zwei unterschiedlichen Musterelementen kleine Vollkreise und große

Halbkreisscheiben zusammensetzt (Abb. 6.3a).

Das Nahfeld l¨asst sich aus unterschiedlichen Einheitszellen aufbauen: Aus benachbarten

kreisrunden Intensit¨atsminima in Abb. 6.3a werden die eingezeichneten Vektoren a, b und

c konstruiert. Unter Ber¨ucksichtigung des Abbildungsverh¨altnisses (vgl. Kap. 2.4) ergeben

sich f¨ur die eingezeichneten Vektoren in Abb. 6.3a im Mittel die L¨angen a = 1029 µm,

b = 552 µm und c = 397 µm.

a und c spannen ein Rechteck mit dem Kantenl¨angenverh¨altnis a/c = 2,6 auf. Eine Ele-

mentarzelle ist dies jedoch nicht, da zwei weitere Einheitszellen gefunden werden, die den

halben Fl¨acheninhalt aufweisen. Die Vektoren b und c spannen ein Parallelogramm auf.

und c schließen einen Winkel von 68,3

ein und stehen im L¨angenverh¨altnis b/c = 1,4

zueinander. Eine weitere Elementarzelle wird durch b und dessen Spiegelung an a gebildet.

Beide Vektoren schließen einen spitzen Winkel von 43,1

ein und bilden somit eine Raute.

Diese bildet die Basis zu einem rhombischen Grundgitter

Die zu den drei st¨arksten Intensit¨atsmaxima des Fernfeldes geh¨orenden Wellenvektoren

haben ungef¨ahr die gleiche L¨ange. Die in Abb. 6.3b gezeigten ¨außeren Fourierkomponenten

sind etwas k¨urzer als die in Richtung der Symmetrieachse (mit Angabe der Gr¨oßtfehler-

absch¨atzung):

1,3,4,6

= (24, 02 ± 0,13) mm

-1

< q

2,5

= (24, 17 ± 0,02) mm

-1

Die Indizes hier und im Folgenden beziehen sich auf die Nummerierung der Maxima in

Abb. 6.3c. Sie schließen Winkel von

1,2

2,3

4,5

5,6

41,9

bzw.

3,4

6,1

96,1

ein. Das mittlere Maximum ist etwas schw¨acher als die beiden ¨außeren. In den in Abb. 6.3b

gezeigten Mustern betr¨agt Verh¨altnis der Intensit¨aten I

1,3,4,6

2,5

= 1,5. Die Verh¨altnisse

In den beobachteten Mustern dieser Art tritt eine Spanne der Verh¨altnisse der Intensit¨aten

zwischen 1,3 und 1,7 auf.

Das Grundgitter des Fernfeldes hat die gleiche rhombische Struktur, wenn, wie in Abb.

6.3c f¨ur das kontrastverst¨arkte Feld gezeigt, benachbarte Intensit¨atsmaxima durch Gera-

den verbunden werden. Die Ausrichtung des Gitters ist orthogonal zu der im Nahfeld. Das

Gitter wird durch zwei Gitterkonstanten G und g beschrieben. Die große Gitterkonstante

l¨asst sich sowohl aus den Abst¨anden der Hauptmaxima zueinander

1,2

2,3

4,5

5,6

17,22 mm

-1

Eine Interpretation als gestauchtes, hexagonales Grundgitter ist ebenfalls m¨oglich, aber un¨ublich.

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.3: Muster 42, a) Nahfeld, b) Fernfeld, c) kontrastverst¨arktes Fernfeld auf

einem rhombischen Gitter, Parameter: T = 324,3

C, P = 211 mW, = 6,5 GHz,

d = 77 mm, p

= 308 mbar, R = 99%

6.3. Beobachtung der

-Muster in divergenten Strahlen

als auch aus den Abst¨anden dieser Maxima zu ihren n¨achsten Nachbarn gr¨oßerer Wellen-

zahl

1,7

3,9

4,10

6,12

17,44 mm

-1

bestimmen. Die Abweichung kann aufgrund er nicht kreisrunden Form der Hauptmaxi-

ma zustande kommen. Im Mittel betr¨agt dieser Abstand G = 17,33 mm

-1

. Die kleine

Gitterkonstante kann aus den Positionen gegen¨uberliegender Maxima der Grundmoden

1,6

3,4

11,92 mm

-1

und

2,5

12,08 mm

-1

und aus den Abst¨anden der mittleren Wellenvektoren zu ihren Nachbarn n¨achstgr¨oßerer

Wellenzahl

2,8

5,11

11,82 mm

-1

bestimmt werden. Wegen der minimalen Abweichung der Wellenzahlen der Grundmo-

den voneinander ist g

2,5

etwas gr¨oßer als die anderen Werte. Als Mittelwert wird g =

11,91 mm

-1

berechnet. Die beiden Gitterkonstanten stehen im Verh¨altnis G/g = 1,45.

Nah-und Fernfeld lassen sich ¨uber das Verh¨altnis von Periodizit¨atsl¨angen a, b und c (aus

dem Nahfeld) und mittlere Musterwellenl¨ange =

= 261 µm (aus dem Fernfeld) in

Verbindung setzen:

3,94

2,11

1,52

(6.1)

6.3.2Vektoriell generiertes Muster 42

Im Folgenden werden die gemessenen Gr¨oßen anhand theoretischer ¨

Uberlegungen in Re-

lation zu einander gesetzt.

Das Experiment legt nahe, dass sich die Fourierkomponenten auf einem rhombischen

Gitter befinden, das senkrecht zum mittleren Wellenvektor orientiert ist. Desweiteren sind

die beobachteten Wellenzahlen der drei st¨arksten Fourierkomponenten nahezu gleich. F¨ur

die Analyse wird daher angenommen, dass beide Voraussetzungen exakt erf¨ullt sind. Die

Fourierkomponenten sollen deshalb auf den folgenden Gitterpunkten liegen:

= -

- (

)

q =

(6.2)

(6.3)

(6.4)

Unter dieser Annahme schließen sie einen Winkel von = arccos(

0,75

) = 41, 41

ein.

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Das Gitter wird durch zwei Gittervektoren e

und e

aufgespannt:

= q

- q

-7/4

1/4

= q

- q

7/4

1/4

Sie haben die L¨ange |e

| = |e

| = q/2 und schließen einen Winkel von

= 2 arctan

7/4

1/4

138,6

ein. Hieraus folgt f¨ur die gebildete Raute ein spitzer Winkel von = 41,41

. Die Ele-

mentarzelle ist ¨ahnlich zu der Raute, die durch zwei benachbarte Wellenvektoren der

Grundmoden aufgespannt wird.

Aus den drei Wellenvektoren l¨asst sich durch numerische Fouriertransformation ein r¨aum-

liches Muster erzeugen (Abb. 6.4). Abb. 6.4c bzw. d zeigen eine kontrastverst¨arkte Va-

riation des generierten Bildes in a) bzw. b), die durch einen ¨

Ubergang zu einer bin¨arer

Darstellung erreicht wird.

Abbildung 6.4: Aus drei Fourierkomponenten numerisch generiertes Muster

42,

Amplitudenverh¨altnis

)=(1|1|1), b) Amplitudenverh¨altnis

)=(1|0,59|1), c) zu (a) geh¨orendes Bin¨arbild, d) zu (b) geh¨orendes

Bin¨arbild

6.3. Beobachtung der

-Muster in divergenten Strahlen

Die relativen Phasen der einzelnen Komponenten zu einander werden gleich Null gew¨ahlt,

da sich so ein dem experimentellen Bild am ehesten entsprechendes Muster ergibt und

keine Hinweise daf¨ur vorliegen, dass eine andere Phasenbeziehung realistischer w¨are.

Werden die Amplituden alle gleich groß gew¨ahlt (Abb. 6.4a und c), sind die Halbmonde

erkennbar. An den Stellen, an denen im Experiment kleine Vollkreise beobachtet werden,

treten Minima auf, die schw¨acher ausgepr¨agt sind als die Halbmonde (vgl. Abb. 6.4a)

sowie eine l¨angliche anstatt einer runden Form (vgl. Abb. 6.4c) aufweisen.

Ein Amplitudenverh¨altnis der ¨außeren zur mittleren Amplitude von A

1,3

= 1,7 ent-

spricht in etwa dem im Experiment gemessenen Verh¨altnis (Abb. 6.4b und d). Hier werden

die kleinen Kreise etwas st¨arker hervorgehoben (vgl. Abb. 6.4c) und weisen zwar eine vier-

eckige Form auf, ¨ahneln aber schon eher der im Experiment beobachteten Form (vgl. Abb.

6.4d).

Der Vergleich der Bin¨arbilder zeigt in Abb. 6.4c l¨anglichere Minima als in Abb. 6.4d. Das

unterschiedliche Amplitudenverh¨altnis erzeugt also auch eine Form der kleinen Minima,

die eher der im Experiment beobachteten entspricht.

Die Periodizit¨atsl¨angen a, b und c lassen sich auch f¨ur das generierte Muster m(r) ermit-

teln. Periodizit¨at ist in Richtung eines Vektors p gegeben, falls:

m(r) = sin((q

· p)r) + sin((q

· p)r)

= sin((q

· p)(r + p)) + sin((q

· p)(r + p))

= m(r + p)

Es m¨ussen q

· p = 2n

, q

· p = 2n

und q

· p = 2n

, n

N) erf¨ullt sein.

Einsetzen der Wellenvektoren aus (6.2 -6.4) ergibt folgende Bedingungen an den Vektor

p =

= n

(6.5)

Aus (6.5) ergibt sich die Nebenbedingung 2/3(n

+ n

) = n

. Tabelle 6.3.2 stellt f¨ur

verschiedene ganze Zahlen n

, n

und n

, die diese Bedingung erf¨ullen, die sich daraus

ergebenen Vektoren der Einheitszellen gegen¨uber.

Insbesondere finden sich die drei o.g. Vektoren a, b und c wieder:

a =

b =

c =

Die L¨angen entsprechen in etwa den im Experiment bestimmten Periodizit¨atsl¨angen (vgl.

(6.1)) in Einheiten von :

|a| = 4, |b| = 2,14, |c| = 1,51

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

/ |p|/

1,51

3,02

2,13

3,02

4,00

Tabelle 6.1: Vektor p der Periodizit¨atsl¨ange in Abh¨angigkeit von n

, n

und n

6.3.3

Parameterabh¨

angigkeiten

Die Divergenz des Laserstrahls in der Zelle ist f¨ur die Bildung von 42

-Mustern notwendig.

Sie entstehen nur f¨ur Temperaturen T > 318

, wobei f¨ur eine sehr hohe Temperatur

die Muster ¨uber einen breiteren Bereich zu beobachten sind. F¨ur kleine Spiegelabst¨ande

sind die Muster leichter als f¨ur große zu stabilisieren, beim Auftreten der Muster waren

Spiegelabst¨ande zwischen d = 76 mm und d = 85 mm eingestellt.

Das Muster 42 wird f¨ur Parameters¨atze aus Temperatur, Puffergasdruck und Spiegelab-

stand beobachtet, in denen auch Streifen und Quadrate auftreten. Teilweise werden sie in

Bistabilit¨at zu Quadraten gemessen. Generell enstehen sie von Quadraten ausgehend zu

gr¨oßerer Verstimmung, meist im ¨

Ubergangsbereich zwischen Quadraten und Streifen. Die

Schwellleistung der 42

-Muster ist im Allgemeinen gr¨oßer als die der Quadrate.

Abb. 6.5 zeigt ein typisches Bifurkationsdiagramm f¨ur Parameter, bei denen das Muster

42 besonders ausgepr¨agt auftritt.

S¨amtliche in Kap. 3.1 aufgef¨uhrten Muster werden auch bei dieser Parameterwahl beob-

achtet. Insbesondere sind 42

-Muster ¨uber einen Frequenzbereich von ¨uber 1 GHz stabil.

Die Schwellleistung f¨ur 42

-Muster liegt bei P = 200 mW und damit 50 mW ¨uber der

der Quadrate. Streifen werden nur in einem sehr schmalen Bereich transient zu Hexa-

gonen und Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten beobachtet. F¨ur eine Verstimmung

= 6,5 GHz werden Quadrate transient zu 42

-Mustern beobachtet. Der ¨

Ubergang zwi-

schen 42

-Mustern und Mustern mit zw¨olf Fourierkomponenten bzw. Quadraten erfolgt

sprunghaft, es werden keine Muster beobachtet, die sich als Mischzust¨ande interpretieren

lassen.

Die in dieser Messung bei einer Verstimmung = 6,5 GHz und unterschiedlichen Leis-

tungen aufgenommenen Bilder werden auf ihre Wellenzahlen hin untersucht (Abb. 6.6).

F¨ur Quadrate und 42

-Muster sind der ¨

Ubersichtlichkeit halber nur die mittleren Wellen-

zahlen pro Satz Bilder gleicher Leistung aufgetragen. F¨ur Muster mit zw¨olf Fourierkom-

ponenten sind alle Wellenzahlen aufgetragen. F¨ur hohe Leistungen (P > 120 mW) besitzt

6.3. Beobachtung der

-Muster in divergenten Strahlen

100

150

200

-2

Leistung (mW)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 6.5: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨atsbereiche von Hexagonen (+),

SiH+SiH (×), 12 FK (), Streifen (3), Quadraten (2) und Muster 42 ( ), Pa-

rameter: T = 324

C, d = 77 mm, p

= 308 mbar, R = 91,5%

die Wellenzahlverteilung eine deutliche Strukturierung in 4 Gruppen (mit den einzelnen

Mittelwerten 20,7, 22,5, 23,2 und 24,5 mm

-1

). Diese entsteht aufgrund einer Stauchung

der in diesem Bereich ausschließlich beobachteten AS

2,1

+SiS (vgl. Kap. 3.1.4). Ab einer

Leistung P = 195 mW entstehen 42

-Muster, transient dazu Quadrate und vereinzelt

gestauchte AS

2,1

+SiS. Die Wellenzahl der 42

-Muster ist ungef¨ahr 2% gr¨oßer als die der

Quadrate und 5% gr¨oßer als die der gestauchten AS

2,1

+SiS bei gleicher Leistung. Mit

k = 24,1 mm

-1

ist die Wellenzahl des Muster 42 so groß wie die mittlere Wellenzahl von

Hexagonen an der Schwelle. Im Bereich 195 mW P 220 mW nehmen die Wellenzahlen

aller drei Muster zu h¨oheren Leistungen hin leicht (ca. 1%) ab.

Eine Bestimmung der Winkel zwischen den ¨außeren und den mittleren Wellenvektoren

anhand einer Mittelung ¨uber alle Bilder ergibt = (42,01 ± 0,12 mm

-1

) (Standardab-

weichung als Fehler).

Um einen Zusammenhang zwischen Quadraten, Streifen und 42

-Mustern herstellen zu

k¨onnen, wird (bei vergleichbaren Parametern) f¨ur konstante Leistung die Verstimmung

variiert und die Wellenzahlen dieser Muster analysiert (Abb. 6.7).

Im ¨

Ubergang von Quadraten zu 42

-Mustern weisen letztere eine 3% gr¨oßere Wellenzahl

als Quadrate etwas kleinerer Verstimmung auf. Das Muster 42 erf¨ahrt von kleiner zu

gr¨oßerer Verstimmung eine leichte Stauchung, die sich in einer Vergr¨oßerung des Verh¨alt-

nisses k

2,3

und somit in einer st¨arkeren Streuung der Wellenzahlen und einem gr¨oßeren

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

20.5

21.5

22.5

23.5

24.5

25.5

80 100 120 140 160 180 200 220

Wellenzahl (mm

)

Leistung (mW)

Abbildung 6.6: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Hexagone ( ), 12 FK (), Quadrate

(2) und Muster 42 ( ) von der Leistung, Parameter: T = 324

C, = 6,5 GHz,

d = 77 mm, p

= 308 mbar, R = 91,5%

Mittelwert ¨außert. Streifen haben, wie Quadrate, eine deutlich kleinere Wellenzahl als das

Muster 42, am ¨

Ubergang weichen die Wellenzahlen jedoch nur um 2% voneinander ab.

Die bei den Verstimmungen = 7,3 GHz und = 8,8 GHz gemessenen Streifen weisen

senkrecht zum Wellenvektor periodische Modulationen auf, die Streifen f¨ur noch gr¨oßere

Verstimmung sind unmoduliert. Die Wellenzahlen aller drei Muster nehmen zu gr¨oßerer

Verstimmung hin zu.

6.3.4

H¨

ohere Harmonische

Neben den sechs Grundmoden treten mehrere h¨ohere Harmonische auf. Sechs davon (in

Abb. 6.3c mit 7-12 bezeichnet) weisen neben den Maxima der Grundmode die zweith¨ochste

Intensit¨at im Fernfeld auf. Ihre Intensit¨aten stehen mit den Grundmoden ungef¨ahr im

Verh¨altnis 5:1. Die ¨außeren Wellenvektoren (Nr. 7, 9, 10, 12) des in Abb. 6.3b gezeigten

Fernfeldes haben eine L¨ange von k

7,9,10,12

= 40,4 mm

-1

, die mittleren (Nr.5 und 11) eine

L¨ange von k

5,11

= 36,0 mm

-1

. Im Verh¨altnis zur Grundmode sind dies: k

7,9,10,12

1-6

= 1,68

und k

5,11

1-6

= 1,49. Die ¨außeren Wellenvektoren schließen mit den mittleren im Mittel

einen Winkel von = 53,1

ein.

Deutlich geringere Intensit¨at (ungef¨ahr 1/8 der Intensit¨at der Hauptmaxima) weisen die

vier Fourierkomponenten 13-16 auf, deren Wellenvektoren der mittleren L¨ange

6.3. Beobachtung der

-Muster in divergenten Strahlen

15.6

15.8

16.2

16.4

16.6

16.8

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10 10.5

Wellenzahl (mm

)

Verstimmung (GHz)

Abbildung 6.7: Abh¨angigkeit der Wellenzahl der Quadrate (2), Muster 42 ( ) und

Streifen (3) von der Verstimmung

, Parameter: T = 319

C, P = 240 mW, d =

85 mm, p

= 304 mbar, R = 91,5%

13,14,15,16

= 45,0 mm

-1

mit den mittleren Wellenvektoren (Nr. 2 und 5) einen Winkel von

= 20,9

einschließen.

In der idealisierten Variante dieses Musters liegen die Wellenvektoren bei

mit den L¨angen

| = 1,52q,

| = 1,5q,

| = 1,87q

Die Vektoren q

, q

und q

ergeben sich aus q

durch entsprechende Vorzeichenwechsel.

Gleiches gilt f¨ur die Vektoren gr¨oßerer Wellenzahl in Bezug auf q

und q

Bei dem Versuch, Wellenvektoren gr¨oßerer Wellenzahl durch Addition der Grundvektoren

auszudr¨ucken, f¨allt auf, dass f¨ur vier der sechs am st¨arksten ausgepr¨agten Nebenkompo-

nenten, Nr. 7, 9, 10 und 12, drei statt nur zwei der Grundvektoren ben¨otigt werden. So

ergibt sich Vektor q

z.B. aus: q

= q

+ q

. Die durch Addition zweier benachbarter

Vektoren erh¨alt man die wesentlich schw¨acher ausgepr¨agten q

bis q

. Durch Addition

der beiden ¨außeren Grundmoden (z.B. q

+ q

) erh¨alt man jeweils die mittlere h¨ohere

Nebenkomponente (im Beispiel: q

). Die Additionen der Grundvektoren mit sich selbst

f¨uhren auf noch schw¨acher ausgepr¨agte Maxima. Gleiches gilt f¨ur die Addition von q

+ q

sowie die spiegelsymmetrische Variante q

+ q

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Neben den h¨oheren Harmonischen werden vier subharmonische Wellenvektoren (17-20)

beobachtet, die k = 17,5 mm

-1

eine kleinere Wellenzahl als die Grundmoden aufweisen.

Jeweils zwei schließen einen spitzen Winkel von 43,2

ein, der dem der Elementarzelle

im Nahfeld im Rahmen der Messgenauigkeit entspricht. Die Intensit¨aten der Subharmo-

nischen sind kleiner als alle der bisher erw¨ahnten h¨oheren Harmonischen. Sie betragen

ungef¨ahr 1/8 der Intensit¨at der Hauptmaxima. Auf dem idealisierten rhombischen Git-

ter betrachtet entstehen die Subharmonischen durch Vektoraddition zweier Grundmoden

(z.B. q

= q

+ q

6.4

Diskussion

Die Messung zu Kap. 6.1 zeigt, dass sich das Bifurkationsverhalten mit ¨

Anderung der

Kollimation stark ¨andert. Quadrate treten f¨ur einen konvergenten Strahl nicht auf. F¨ur

Messtage, an denen keine Quadrate beobachtet wurden, kann jetzt geschlossen werden,

dass ein konvergenter oder sogar stark divergenter Strahl, dessen Strahltaille nicht ausrei-

chend nahe an der Zellenmitte lag, verwendet wurde. Variierende Musterselektion wird in

der Theorie meist ¨uber eine ¨

Anderung der Wellenzahlen erkl¨art. Hexagone an der Schwelle

zur Musterbildung sind eine M¨oglichkeit, bei allen Kollimationseinstellungen die Wellen-

zahl zu vergleichen. Diese weisen tats¨achlich eine starke Abh¨angigkeit der Wellenzahl von

der Kollimation auf (Kap. 6.2).

Sowohl in Kap. 6.1 als auch in Kap. 6.2 ist die Position L

= 0 durch bestimmte Beob-

achtungen besonders ausgezeichnet: F¨ur diese Kollimationseinstellung, bei der Hexagone

ein Minimum ihrer Wellenzahl aufweisen, ist der Bereich der Verstimmung, in dem He-

xagone auftreten, besonders breit und der Bereich, in dem andere Muster als Hexagone

auftreten, f¨ur alle Teleskopl¨angen am schmalsten. Inwiefern dieser Zusammenhang theo-

retische Relevanz hat, muss noch untersucht werden.

Das Bifurkationsverhalten ¨andert sich f¨ur divergenten Strahl sogar so, dass Muster stabi-

lisiert werden k¨onnen, die sonst nicht auftreten. Diese setzen sich in vielerlei Hinsicht von

bisher beobachteten Mustern ab:

Obwohl in den Grundmoden nur eine Wellenzahl auftritt, hat das Nahfeld den Charakter

einer ¨

Uberstruktur. Es setzt sich aus zwei unterschiedlich geformten Maxima zusammen

und hat ein minimale Periodizit¨atsl¨ange, die gr¨oßer ist als die sich aus den Wellenvektoren

ergebene Musterwellenl¨ange.

Dass die st¨arksten Nebenkomponenten nur durch Addition dreier Vektoren der Grund-

moden entstehen, ist einzigartig unter allen in dieser Arbeit diskutierten Mustern. Dies

ist ein Hinweis darauf, dass in der Theorie Kopplungen dritter oder h¨oherer Ordnung zur

Interpretation dieser Muster ber¨ucksichtigt werden m¨ussen.

Wichtig f¨ur das theoretische Verst¨andnis des Muster 42 k¨onnen die Phasenbeziehungen

sein. Eventuell erkl¨aren diese auch die geringe Intensit¨at einiger Harmonischer, die durch

6.4. Diskussion

Addition von nur zwei Vektoren der Grundmoden entstehen.

Dem Muster 42 ¨ahnelnde Muster wurden schon in anderen Arbeiten gefunden. Inwiefern

sich diese mit dem Muster 42 vergleichen lassen, wird im Folgenden gezeigt.

Bei Einstrahlung eines linear polarisiertem Laserstrahls, wurden von A. Aumann [Aum99]

die in Abb. 6.8 gezeigten Muster beobachtet.

Abbildung 6.8: Transiente Muster aus drei Moden aus [Aum99], a) Nahfeld, b) Fern-

feld

Diese weisen im Fernfeld eine gewisse ¨

Ahnlichkeit mit dem Muster 42 auf. Die detaillierte

Analyse zeigt jedoch, dass die Wellenvektoren unterschiedliche Winkel einschließen und

andere Intensit¨atsverh¨altnisse untereinander aufweisen. Zwei Wellenvektoren schließen

einen Winkel von 41

ein. Der dritte Wellenvektor schließt einen Winkel von 46

zu ei-

nem der beiden ersten. Das dazugeh¨orige Maximum hat eine schw¨achere Intensit¨at als die

der beiden anderen. Dies steht im Gegensatz zu dem Muster 42, bei denen die mittlere

Komponente schw¨acher als die ¨außeren ist. Als h¨ohere Harmonische dominieren die, die

durch Vektoraddition zweier benachbarter Grundmoden entstehen. Die bei dem Muster

42 am st¨arksten ausgepr¨agten Nebenkomponenten werden nicht beobachtet. Das Nahfeld

weist keinerlei ¨

Ahnlichkeit zu dem des Muster 42 auf. Die Muster treten nur transient

zu Mustern mit zwei Moden auf und besitzen im Gegensatz zu den 42

-Mustern keine

Spiegelsymmetrie.

D. Leduc et al. [LLBRT96] berichten von numerisch gefundenen Mustern (Abb. 6.9) in

einer Einspiegelanordnung. Diese unterscheidet sich im Wesentlichen durch Verwendung

von Rubidium als nichtlineares Medium, linear polarisiertem Licht und fehlendem /4-

Pl¨attchen von dem in dieser Arbeit beschriebenen System. Dieses Muster hat, wie das

Muster 42, sechs Fourierkomponenten gleicher Wellenzahl, die vier spitze und zwei stumpfe

Winkel einschließen.

Es wird ein Winkel von = arccos(

) 48,2

angegeben und das Muster im Nah-

feld als quasiperiodische Struktur klassifiziert. Als ben¨otigte eingestrahlte Lichtintensit¨at

wird das Doppelte der Intensit¨at an der Schwelle zur Musterbildung angegeben. H¨ohere

Harmonische wurden scheinbar nicht untersucht.

Das Nahfeld besteht aus periodischen Reihen (in Abb. 6.9 von links und nach rechts oben),

die um eine halbe Periodenl¨ange versetzt nebeneinander gesetzt sind. Diese Beobachtung

Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.9: Numerisch berechnete Struktur aus drei Moden aus [LLBRT96], links

Nahfeld, rechts Fernfeld

widerspricht der Behauptung der Quasiperiodizit¨at von [LLBRT96], spiegelt aber die Be-

schreibung des Nahfeldes des Muster 42 wieder. Ein Unterschied besteht in der Form der

Elementarzellen, Halbmonde sind in Abb. 6.9 nicht zu sehen.

Kapitel 7

Zusammenfassung und Ausblick

In der in dieser Arbeit beschriebenen Einspiegelanordnung mit /4-Pl¨attchen im R¨uck-

koppelarm wird bei Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht eine vielf¨altige Struktur-

bildung beobachtet [AGWH

99, HGWA

99, GWHAL01]. Ziel dieser Arbeit war es, diese

Musterbildung ¨uber einen großen Parameterbereich genauer zu charakterisieren und insbe-

sondere beobachtete Strukturen Parameterbereichen zuzuordnen. Dar¨uberhinaus wurden

Variationen dieser Muster sowie ein neuer Mustertyp beobachtet und erstmals dokumen-

tiert.

Ein Ansatz, den Parameterraum systematisch zu untersuchen, ist eine Aufnahme von Bi-

furkationsdiagrammen in Abh¨angigkeit von Leistung und Verstimmung bei unterschiedli-

chen Werten der Temperatur. Diese bestimmt ¨uber die Teilchenzahldichte die nichtlineare

Suszeptibilit¨at des Mediums.

Je gr¨oßer die Temperatur im Experiment gew¨ahlt wird, desto gr¨oßer ist der Bereich im

Bifurkationsdiagramm, in dem Musterbildung auftritt, und desto mehr Mustertypen kom-

men hinzu. Zun¨achst entstehen bei geringer Temperatur Hexagone, die auch f¨ur beliebige

Temperaturen immer an der Schwelle zur Musterbildung auftreten. Bei Erh¨ohen der Tem-

peratur wird eine sekund¨are Bifurkation beobachtet. Diese f¨uhrt zun¨achst zu Streifen. Bei

h¨oherer Temperatur gehen Hexagone in Muster mit zw¨olf Fourierkomponenten ¨uber. Ha-

ben Wellenvektoren die gleiche L¨ange und schließen sie gleiche Winkel ein, so entstehen

quasiperiodische Muster. Die Wellenzahlen k¨onnen jedoch auch verschieden sein. Dann

werden komplexere, periodische ¨

Uberstrukturen, die als AS

2,1

+SiS bzw. SiH+SiH bezeich-

net werden, sowie irregul¨are Muster ohne erkennbare Periodizit¨at beobachtet. Streifen tre-

ten hier als terti¨are Bifurkation auf. Bei der h¨ochsten untersuchten Temperatur werden

zus¨atzlich zu Streifen auch Quadrate als terti¨are Bifurkation ausgehend von Mustern mit

zw¨olf Fourierkomponenten beobachtet.

Neben den bekannten, bisher beschriebenen Grundformen werden von verschiedenen Mus-

tern Variationen beobachtet. Ein Beispiel sind transversal modulierte Streifen (vgl. Kap.

3.1.5), die als Mischzustand zwischen Streifen und Quadraten gedeutet werden k¨onnen.

Ihre Stabilit¨at erscheint bemerkenswert, da vom Mischzustand zwischen Hexagonen und

Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

Streifen bekannt ist, dass sie als defektfreie Muster instabil sind [CCL

90]. Einige der

Mustervariationen treten nur sehr kurzzeitig auf. Es ist in weiteren Experimenten zu

pr¨ufen, ob dies allein auf rauschinduzierte ¨

Uberg¨ange in einem Multistabilit¨atsbereich

zur¨uckzuf¨uhren ist oder ob andere Mechanismen zu der beobachteten Zeitabh¨angigkeit

beitragen.

Die Untersuchung der Modellgleichungen mittels einer linearen Stabilit¨atsanalyse (LSA)

reproduziert die Zunahme der Breite des Verstimmungsbereiches, in dem Musterbildung

stattfindet, sowie die Absenkung der Schwellleistung bei zunehmender Teilchenzahldich-

te. Dar¨uber hinaus zeigt die LSA eine Verbreiterung der Instabilit¨atsballons f¨ur zuneh-

mende Teilchenzahldichten, d.h. die Breite des linear instabilen Wellenzahlbandes nimmt

zu. Daher erscheint es plausibel, dass Muster die mehrere verschiedene Wellenzahlen der

Grundmoden enthalten, bevorzugt bei hoher Temperatur auftreten. Eine h¨ohere Teil-

chenzahldichte erniedrigt zudem die Schwellen der Instabilit¨atsballons h¨oherer Ordnung.

Mit der im Experiment zur Verf¨ugung stehenden Leistung kann nur f¨ur eine hohe Teil-

chenzahldichte der dritte Ballon angeregt werden. Da die zugeh¨orige kritische Wellenzahl

ungef¨ahr doppelt so gross wie die des ersten Instabilit¨atsballons ist, fallen die Wellenzah-

len der h¨oheren Harmonischen der Streifen in diesen Bereich. Dies k¨onnte die selektive

Entstehung von Streifen bei h¨oheren Temperaturen erkl¨aren.

Eine kontrollierte Durchf¨uhrung der beschriebenen Experimente und Reproduktion der

Ergebnisse war nur mit einer Erweiterung des experimentellen Aufbaus um ein 1:1-

Teleskops hinter der Glasfaserauskopplung m¨oglich. Dieses erlaubt eine bessere Kontrol-

le der Strahlkollimation und eine systematische Variation derselben. Schon bei kleinen

Anderungen der Teleskopl¨ange um 30 µm, welche eine Verschiebung der Strahltaille um

ca. 34 cm aus der Zellenmitte heraus bewirkt, ¨andert sich das Bifurkationsverhalten qua-

litativ. Nicht alle Muster treten bei allen Kollimationseinstellungen auf. Insbesondere

werden Quadrate und SiH+SiH f¨ur einen schwach konvergenten Strahl nicht beobach-

tet. Dies erkl¨art die Probleme der Reproduzierbarkeit der Beobachtungen, die zu Beginn

dieser Arbeit bestanden.

Bei Verwendung eines divergenten Strahls wird ein neuer Mustertyp beobachtet, der zuvor

in der Literatur nicht beschrieben wurde. Diese Muster werden durch drei Wellenvektoren

ungef¨ahr gleicher L¨ange beschrieben, die im Experiment jeweils einen Winkel von 42

ein-

schließen. Bei diesem so genannten Muster 42 handelt sich um eine ¨

Uberstruktur, deren

Fourierkomponenten auf einem rhombischen Grundgitter liegen. Das Muster 42 ist die ein-

zige in dieser Arbeit beobachtete Struktur, die deutlich sichtbare Subharmonische besitzt.

Dies best¨atigt den Charakter einer ¨

Uberstruktur. Im Gegensatz zu allen anderen in dieser

Arbeit beobachteten Mustern entstehen beim Muster 42 einige der stark ausgepr¨agten

h¨oheren Harmonischen aus der Vektorsumme mindestens dreier Grundmoden. Zur theo-

retischen Erkl¨arung der Stabilisierung der 42

-Muster liegt daher eine Ber¨ucksichtigung

von Termen bis zu f¨unfter Ordnung in den Amplitudengleichungen der Grundmoden nahe.

Alternativ ist die Behandlung h¨oherer Harmonischer als aktive Moden denkbar.

Theoretische ¨

Uberlegungen zur Stabilit¨at oder den Eigenschaften von ¨

Uberstrukturen

auf einem rhombischem Gitter sind nicht bekannt. Die bis jetzt nur f¨ur quadratisches

und hexagonales Grundgitter existierende Theorie [DG92] m¨usste f¨ur ein rhombisches

erweitert werden.

Die experimentellen Ergebnisse zeigen, dass das Systemverhalten empfindlich von den

Strahleigenschaften abh¨angen kann. Daraus folgen einerseits hohe Anforderungen an die

experimentelle Kontrolle der Kollimation, andererseits er¨offnet sich ein neuer Parameter-

bereich, der bisher in Experimenten und Theorie zu Einspiegelanordnungen unber¨ucksich-

tigt blieb.

Ein Interesse an den Auswirkungen von Wellenfunktionkr¨ummungen scheint seit kurzer

Zeit auch f¨ur andere optische Systeme vorhanden zu sein, wie z.B. f¨ur die Beschreibung

der Strahlausbreitung in ausgedehnten nichtlinearen Medien [Sie00]. Ein gemeinsames

Profitieren von Ergebnissen und Erkenntnissen w¨are w¨unschenswert.

Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

Anhang A

Messung der Teilchenzahldichte

Die Teilchenzahldichte an Natriumatomen im Gaszustand l¨asst sich nur indirekt mes-

sen. In vorausgegangenen Arbeiten wurde die Teilchenzahldichte mittels eines Verfahrens

bestimmt, das auf Kleinsignalabsorption basiert [Kl¨u98, Vor92]. Das Problem dieses Ver-

fahrens liegt in der Fehleranf¨alligkeit bei hohen Temperaturen (T > 300

C). Weiterhin

ist das Verfahren sehr zeitintensiv. In dieser Arbeit wird deshalb ein anderes Verfahren

getestet, welches auf dem nichtlinearen Faraday-Effekt beruht. Im Folgenden wird das in

vorausgegangenen Arbeiten verwendete Verfahren mit dem f¨ur diese Arbeit verwendeten

verglichen.

A.1

Messung mittels Kleinsignalabsorption

Das Absorptionsprofil in Abh¨angigkeit von der Verstimmung wird bei einer festen Tem-

peratur f¨ur kleine eingestrahlte Leistungen aufgenommen. Mit Hilfe des bekannten Ab-

sorptionskoeffizienten von Natriumdampf wird auf eine Teilchenzahldichte zur¨uckgerech-

net. Das Hauptproblem dieses Verfahrens besteht darin, dass aufgrund der Verbreiterung

des Absorptionsprofil bei hohen Teilchenzahldichte, die Messung f¨ur hohe Temperaturen

(T > 300

C) ungeeignet ist. Um auch bei hohe Temperatur Aufschluss ¨uber die vorlie-

gende Teilchenzahldichte zu erhalten, werden die Teilchenzahldichten f¨ur mehrere kleine

Temperatur bestimmt. An diese wird die Clausius-Clapeyron-Gleichung angepasst und

die Teilchenzahldichte f¨ur hohe Temperaturen extrapoliert. Die Faktoren A, B und C der

Fit-Funktion werden nach dem Prinzip des kleinsten quadratischen Fehlers ermittelt:

ln(N/(1m

-3

)) = A +

T /(1

C) + 273.15

+ C · ln(T/(1

C) + 273.15)

(A.1)

Abb. A.1 zeigt, dass die in [Kl¨u97] ermittelten Faktoren A = 2788, B = -217022 und

C = -372,58 zwar f¨ur Interpolationen im Bereich T = 230

C-290

C ausreichend genau

sind, eine Extrapolation aber als unzul¨assig angesehen werden muss. Eine Abnahme der

Anhang A. Messung der Teilchenzahldichte

0.001

0.01

0.1

220 240 260 280 300 320 340

Teilchenzahldichte (10

-3

)

Temperatur (

Abbildung

A.1:

Clausius-Clapeyron-

Gleichung mit Parametern aus [Kl¨u97]

1.5

2.5

3.5

280

290

300

310

320

330

Teilchenzahldichte (10

-3

)

Temperatur (

Abbildung A.2: Teilchenzahldichtemes-

sung mittels Kleinsignalabsorption aus

[Aum99]

Teilchenzahldichte oberhalb T = 310

C ist nicht realistisch. Die Methode der Kleinsignal-

absorptionsmessung liefert f¨ur hohe Temperaturen sehr große Fehler. Diese weisen auch

die Messungen von [Aum99] (S.189) auf. Abb. A.2 zeigt eine Ausschnittsvergr¨oßerung f¨ur

hohe Temperaturen.

Ein weiteres Problem ist der Zeitaufwand f¨ur eine solche Messung. F¨ur die Aufnahme

einer Messkurve muss f¨ur jeden Messpunkt die Temperatur variiert werden. Eine kon-

stante Teilchenzahldichte des Systems stellt sich erst nach ca. 45 Minuten ein, so dass

f¨ur eine ausreichende Anzahl an Messpunkten ein ganzer Tag ben¨otigt wird. Von Tag zu

Tag ¨andern sich jedoch die Eigenschaften des Natrium so, dass bei gleicher Temperatur

eine geringere Teilchenzahldichte erreicht wird. Deshalb ist eine t¨agliche Teilchenzahl-

dichtemessung zu jedem Experiment vonn¨oten, welche die Absorptionsmessung f¨ur große

Temperaturen nicht liefern kann.

A.2Messung mittels des nichtlinearen Faraday-Effekt

Aus der beschriebenen Problemlage heraus wird hier ein alternatives Verfahren untersucht,

das auf dem nichtlinearen Faraday-Effekt beruht. Das /4 vor der Zelle wird benutzt, um

linear bzw. leicht elliptisch polarisiert einzustrahlen. Zur Messung wird das transmittier-

te Licht mit einem Linearpolarisator als Analysator und einen Photodetektor dahinter

analysiert.

Durch Einstellung auf lineare Polarisation werden die Nullstellungen des /4-Pl¨attchens

und des Analysators

bestimmt. F¨ur mehrere Einstellungen des /4-Pl¨attchens ()

wird jeweils der Winkel des Analysators bestimmt, f¨ur den die transmittierte Leistung

minimal ist. Die Polarisationselliptizit¨at

pol

vor der Zelle ergibt sich aus:

pol

= sin(2( -

))

(A.2)

A.3. Diskussion

Der Drehwinkel ist nach [GWKL

00] proportional zum Kleinsignalabsorptionskoef-

fizienten

, zur L¨ange des Mediums L, zur auf die halbe Linienbreite

normierten

Verstimmung ¯

= 2/

und zur Orientierung des Mediums w:

L ¯

(A.3)

Da die Grundzustandsrelaxation f¨ur die in diesem Verfahren verwendeten Leistungen

von 100-200 mW klein gegen die Gesamtpumprate P

+ P

ist, gilt:

w =

- P

+ P

- P

+ P

pol

(A.4)

Setzt man dies und

aus [B¨u97]

N|µ

¯h

+ 1

(A.5)

in (A.3) ein, so erh¨alt man den Proportionalit¨atszusammenhang zwischen und

pol

NL|µ

¯h

1 + ¯

pol

(A.6)

ist die Wellenl¨ange der Na-D

-Linie.

Aus der Steigung mfit des linearen Zusammenhangs wird die Teilchenzahldichte errechnet:

N = mfit

¯h

( ¯

+ 1)

(A.7)

A.3

Diskussion

Da nur die sich gerade eingestellte Teilchenzahldichte anstatt des Temperatur-Teilchen-

zahldichte-Zusammenhanges ¨uber eine große Temperaturspanne gemessen wird, ist der

Zeitaufwand gegen¨uber dem bisherigen Verfahren erheblich reduziert. Die Messung kann

deshalb am Ende eines jeden Experimentes durchgef¨uhrt werden. Das Verfahren ist auch

bei hohen Temperaturen einsetzbar, da der Messfehler keine so große Temperaturabh¨angig-

keit wie beim Verfahren mittels Kleinsignalabsorption zeigt. Ein weiterer Vorteil ist die

einfache Auswertung der Messung, die u.a. durch die geringere Anzahl von freien Para-

metern der zugrundegelegten linearen Fit-Funktion beg¨unstigt wird.

Unabh¨angig von der Temperatur wird ein großer Fehler der Messungen beobachtet. Zur

Evaluierung des Verfahren werden jeweils zwei Messungen mit gleichem Betrag der Ver-

stimmung, jedoch unterschiedlichem Vorzeichen, verglichen. Der Drehwinkel der Polarisa-

tion sollte bis auf ein Vorzeichen der gleiche sein. In der Praxis werden jedoch Unterschiede

bis zu 100% beobachtet. Unterschiedliche Verstimmungen liefern außerdem unterschiedli-

che Ergebnisse f¨ur die Teilchenzahldichte.

Anhang A. Messung der Teilchenzahldichte

Anhang B

Entstehung von Fourierkomponenten

durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

B.1

Motivation

Zwischen der Orientierungsverteilung im Medium und der Feldverteilung des transmit-

tierten Lichtes besteht ein nichtlinearer Zusammenhang, der im Folgenden

Propagations-

funktion" genannt wird. Eine sinusf¨ormige Modulation der Orientierung (mit nur einer

Frequenz im Fourierspektrum) erzeugt h¨ohere Harmonische in der Fouriertransformierten

des Feldes.

Die folgende Rechnung soll zeigen, ob dieser Beitrag zu vernachl¨assigen ist. Ist dies der

Fall, ist das Bilden der Fouriertransformierten der Orientierung als N¨aherung f¨ur das

Fernfeld ausreichend. Muster ließen sich also, wie in vorhergehenden Arbeiten, aus wenigen

Fourierkomponenten generieren.

Weiterhin soll gekl¨art werden, ob die experimentell beobachteten Muster h¨ohere Fourier-

komponenten in der Intensit¨atsverteilung nur aufgrund der Propagationsfunktion oder

auch schon in der Orientierung selbst aufweisen.

Anhang B. Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

B.2Allgemeines

Das durch das Medium der L¨ange L transmittierte Feld der beiden Polarisationskompo-

nenten E

, L, t) h¨angt mit der ¨uber die Strecke L gemittelten Orientierung wie folgt

zusammen:

, L, t) = E

±,0

· e

(-i

+1)L(1(x,y,t))

(B.1)

mit r

, linearen Absorptionskoeffizienten

, normierter Verstimmung ¯

und Feld

des eingestrahlten Lichtes E

±,0

Die beobachtete Intensit¨atsverteilung im Fernfeld ist die Fouriertransformierte:

|FT(E

dxdye

-2i(

±,f

(x, y, L)

= |E

±,f,0

· e

-2

dxdye

-2i(

(-i

+1)L(x,y,t)

=:Prop(x,y)

In folgenden Abschnitten wird vereinfacht geschrieben:

B := ±

(-i

+ 1)L

(B.2)

B ist komplex und Real-und Imagin¨arteil liegen typischerweise in der Gr¨oßenordnung 1

bis 10, wenn man

100 m

-1

, L = 1,5 mm, = 4,5 GHz annimmt.

B.3

Reelle Streifen in der Orientierung

Die einfachste Modulation der Orientierung sind Streifen, da diese sich durch nur einen

transversalen Wellenvektor beschreiben lassen. Als Besetzungszahlunterschied handelt es

sich bei der Orientierung um eine reelle Gr¨oße.

Allgemein:

(x, y, t) =

+ A · cos(qx + ),

mit

Bei nur einer Mode (Streifen) kann zwar o.B.d.A. = 0 gesetzt werden, wird aber hier

ber¨ucksichtigt, um in sp¨ateren Rechnungen darauf zur¨uckgreifen zu k¨onnen.

Eine Zerlegung in Exponentialfunktionen

reell

(x) =

+ A · cos(qx + ) =

i(qx+)

+ e

-i(qx+)

)

erfordert eine Faltung der Fouriertransformierten:

F T (P rop

) := F T (e

reell

(x)

) = e

· FT(e

BA/2e

(qx+)

) FT(e

BA/2e

-i

(qx+)

)

B.3. Reelle Streifen in der Orientierung

F¨ur die Transformation der doppelten Exponentialfunktionen wird die ¨außere Exponen-

tialfunktion durch ihre Reihenentwicklung ersetzt und die Integralschreibweise der Dirac-

-Funktion mit =

benutzt:

F T (e

±iqx

)(

) = (

) ·

dxe

-2i(

±iqx

±i

= (

) ·

j=0

(

j/)

(B.3)

F T (P rop

)

(B.3)

(

j,k=0

(BA/2)

j+k

j!k!

i(j-k)

· (

- (j - k)/)

Betrachtet wird jetzt nur die Fourierkomponente, die f¨ur

nicht verschwindet, also

den Summanden der Reihe ¨uber k mit n = j - k j = n + k. Dabei ist zu beachten,

dass auch negative n existieren!

k=0

(

)

2k+n

k!(n + k)!

i(j-k)

= e

i(j-k)

k=0

(

)

2k+n

k!(n + k + 1)

= e

i(j-k)

(BA) = e

i(j-k)

-n

(iBA)

(B.4)

wobei I

(BA) modifizierte Besselfunktionen erster Gattung sind. J

heißen Besselfunktio-

nen erster Gattung.

Somit:

F T (P rop

) = (

) · e

n=-

· (

- n/) · I

(BA)

(B.5)

Die Fourieramplituden der lokalen Maxima n-ter Ordnung sind:

F T

:= F T (

, 0) = e

· e

(BA)

(B.6)

Die im Experiment zu Kap. 5 auftretenden Streifen weisen ein Verh¨altnis

|FT

= 0, 156

auf. Aus den dazugeh¨origen Parametern (P

= 216 mW, = 4,5 GHz, d = 77 mm, p

308 mbar, N = 6,1 ·10

-3

) berechnet sich nach (A.5)

= 57,9 m

-1

und damit nach

(B.2):

B = 0, 868736 - 2,41761i

Anhang B. Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

In Abb. B.1 ist das Intensit¨atsverh¨altnis der zweiten zur ersten Ordnung der Maxima im

Fernfeld von Streifen

2,1

|FT

(BA)I

in Abh¨angigkeit von der Modulationsamplitude A aufgetragen. B wird hier den experi-

mentellen Parametern entsprechend gew¨ahlt.

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2,1

Abbildung B.1: Intensit¨atsverh¨altnis der zweiten zur ersten Ordnung von Streifen in

Abh¨angigkeit von der Modulationsamplitude A f¨ur B = 0,868736 -2,41761 i

Eine Amplitude A = 0, 573 ergibt ein V

2,1

= 0,156, welches dem experimentell gefunde-

nen entspricht. Dies w¨urde heißen, dass die zweite Ordnung nur aufgrund der Propaga-

tionsfunktion vorhanden ist. Die tats¨achliche Amplitude kann jedoch auch kleiner sein,

was einen kleineren Beitrag zur zweiten Ordnung bei gleicher Amplitude erster Ordnung

bedeutet, so dass ein zus¨atzlicher Beibetrag vorhanden ist, der unabh¨angig von der Pro-

pagationsfunktion ist. Die Rechnungen lassen also keine R¨uckschl¨usse auf die Herkunft

der zweiten Ordnung zu, zeigen aber, dass ein Fehlen einer zweiten Ordnung in der Ori-

entierung bei Streifen durchaus denkbar ist.

B.4

Reelles Zwei-Moden-Problem

Bei Mustern, die sich aus mehreren Wellenvektoren zusammensetzen, k¨onnen h¨ohere har-

monische Komponenten durch die Kopplung jeweils zweier unterschiedlicher Grundmoden

entstehen.

Gegeben sei:

+ A

· cos(q

r +

) + A

· cos(q

r +

)

O.B.d.A. gilt:

mit r =

und

B.4. Reelles Zwei-Moden-Problem

Gesucht ist die Fouriertransformierte:

F T (P rop

)

· FT e

cos(qx+

)

FT e

cos(q

x+q

)

(B.7)

(B.5)

(

n=-

· (

(BA

) FT e

cos(q

x+q

)

Der zweite Teil in (B.7) setzt sich zusammen aus:

F T e

cos(q

x+q

)

= F T e

BA2

iqxx

iqy y

)

FT e

BA2

-iqxx

-iqy y

-i2

)

(B.8)

Dies wird mit C

±i

und mit

F T e

±iqxx

±iqy y

)

dye

-2i(

±iqyy

dxe

-2i(

±iqxx

(B.3)

j=0

(

)(

)

nach Auswertung der Faltung zu

F T e

cos(q

x+q

)

j,m=0

(

)

j+m

)

j-m

j!m!

· (

j - m

) · (

j - m

)

n,m=0

(

)

2m+n

(n + m)!m!

· (

)

· (

mit n = j - m j = n + m

(B.4)

n=-

· I

(BA

) · (

)

Eingesetzt in (B.7) ergibt sich:

F T (P rop

) = e

n,m=-

i(n

)

· I

(BA

) · I

(BA

) · (

)

(

) · (

)

= e

n,m=-

i(n

)

· I

(BA

) · I

(BA

) · (

)

(B.9)

Anhang B. Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

Die Fourieramplituden der lokalen Maxima des Fernfeldes berechnen sich nach:

F T (P rop

)(0, 0) = F T

0,0

= e

(BA

) · I

(BA

)

(B.10)

F T (P rop

)(

) = F T

0,1

= e

· I

(BA

) · I

(BA

)

(B.11)

F T (P rop

)(

, 0) = F T

1,0

= e

· I

(BA

) · I

(BA

)

(B.12)

F T (P rop

)(

) = F T

1,1

= e

)

· I

(BA

) · I

(BA

) (B.13)

Die Verh¨altnisse der Intensit¨aten der ersten zur zweiten Ordnung sind

|FT

1,1

|FT

0,1

(BA

)

(BA

)

(B.14)

|FT

1,1

|FT

1,0

(BA

)

(BA

)

(B.15)

Die Rechnungen zeigen, dass die Intensit¨atsverh¨altnisse bei der Kopplung von zwei Moden

unabh¨angig von der Phase sind. Erst bei der Addition von mehr als zwei komplexen

Amplituden kann die Phase z.B. auch destruktive Interferenz bewirken.

Quadrate, die beiden den Parametern T = 325

C, d = 76 mm, p

= 301 mbar,

N = 1,27 ·10

-3

, R = 99% auftreten, weisen ein Verh¨altnis V

2,1

0,2 der zweiten

zur ersten Ordnung auf.

Nach (B.2) ist bei diesen Parametern

B = 1, 80868 - 5,03339i.

In Abb. B.2 ist das Intensit¨atsverh¨altnis der zweiten zur ersten Ordnung der Maxima im

Fernfeld von Quadraten V

2,1

in Abh¨angigkeit von der Modulationsamplitude A aufgetra-

gen. B wird den experimentellen Parametern entsprechend gew¨ahlt.

Die zweite Ordnung w¨urde bei einer Modulationsamplitude A = 0,306 vollst¨andig durch

die Propagationsfunktion erzeugt werden. Da aber auch ein kleineres A im Experiment

denkbar w¨are, gelten f¨ur Quadrate die gleichen Schlussfolgerungen wie f¨ur Streifen (vgl.

Kap. B.3). Zus¨atzlich wird festgehalten, dass durch die Propagationsfunktion die zweite

Ordnung in der Intensit¨at st¨arker ausgepr¨agt sein kann als die erste, auch wenn in der

Orientierung keine h¨oheren Harmonischen vorhanden sind.

(z) berechnet sich in Mathematica mittels BesselI[n,z].

B.5. Abschw¨

achung der h¨

oheren Harmonischen eines AS

2,1

+SiS

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

2,1

Abbildung B.2: Intensit¨atsverh¨altnis der zweiten zur ersten Ordnung von Quadraten

in Abh¨angigkeit von der Modulationsamplitude A f¨ur B = 1,80868 -5,03339 i

B.5

Abschw¨

achung der h¨

oheren Harmonischen eines

2,1

+SiS

1 2

Abbildung B.3: Kopplung

von

Grundmoden

eines

2,1

+SiS zu einer h¨oher-

en Harmonischen

Beim der ¨

Uberstruktur AS

2,1

+SiS entstehen vier der

h¨oheren Harmonischen durch zwei unterschiedliche Vektor-

additionen der Grundmoden (vgl. Kap. 3.1.4 und Abb. B.3).

Die erste Summe bilden zwei lange Vektoren, hier q

und

genannt. Den gleichen Ergebnisvektor erh¨alt man durch

Verdopplung der L¨ange des k¨urzeren, zwischen q

und q

liegenden Vektors q

Beim ¨

Ubergang von der Veranschaulichung durch Wellen-

vektoren zur Amplitude des Fernfeldes werden zus¨atzlich

die Phasen der Fourierkomponenten zueinander ber¨ucksich-

tigt. Die Amplitude des Fernfeldes F T (

x,0

y,0

) der hier

diskutierten h¨oheren Harmonischen enth¨alt einen Beitrag

F T

(vgl. (B.6)) durch die Addition des Vektors q

mit sich

selbst. Der zweite Beitrag von q

+ q

mit den Phasen

und

ist durch F T

1,1

nach (B.13) gegeben. Das Fernfeld

an der Stelle (

x,0

y,0

) berechnet sich bei gleicher Amplitude A der Grundmoden aus der

Summe der beiden Einzelsummen:

F T (

x,0

y,0

) = F T

+ F T

1,1

= e

(BA)e

+ e

)

· I

(BA) · I

(BA))

Es wurde behauptet [GW00], dass bei AS

2,1

+SiS zwischen den Vektoren q

, q

und q

die

Phasenbeziehung

+ 2

besteht.

Anhang B. Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

Mit dieser Annahme ergibt sich f¨ur das Betragsquadrat der Amplitude mit I

:= I

(BA):

|FT(

x,0

y,0

= (I

· e

+ I

)((I

)

-i

+ I

)

(B.16)

= |I

+ |I

- (I

+ (I

)

(B.17)

= |FT

1,1

+ |FT

- 2 Re(I

)

(B.18)

Wechselwirken die beiden Vektorkopplungen q

+ q

und q

+ q

miteinander, ist die be-

obachtete Intensit¨at |FT(

x,0

y,0

kleiner als die Summe der Intensit¨aten der beiden

Kopplungen |FT

1,1

+ |FT

einzelnen betrachtet. Die beiden unterschiedlichen Vek-

torkopplungen interferieren folglich am Ort der h¨oheren Harmonischen destruktiv. Dies

best¨atigt die auf andere Weise gewonnenen Erkenntnisse, von denen in [GW00] berichtet

wurde.

B.6

Reelles Drei-Moden-Problem

Bei komplexeren Mustern so auch beim neu gefundenen Muster 42 (Kap. 3.2) lassen

sich einige h¨ohere Komponenten nur ¨uber Kopplungen von mehr als zwei Grundmoden

erkl¨aren. Hierf¨ur kann die folgende Rechnung interessant werden, die sich auch leicht auf

den allgemeinen Fall von n Komponenten ¨ubertragen l¨asst.

Gegeben sei:

j=1

· cos(q

r +

)

mit

, r =

F T (P rop

)

dxdye

-2i(

·cos(q

x+q

)

= e

l,n,m=-

(1)

· I

(2)

· I

(3)

· (

) · (

)

Hierbei wurde I

(n)

:= e

· I

(BA

) gesetzt.

Literaturverzeichnis

[AAGW

01] T. Ackemann, A. Aumann, E. Große Westhoff, Yu. A. Logvin, and W. Lan-

ge. Polarisation degrees of freedom in optical pattern forming systems: alkali

vapor in a single-mirror arrangement. eingereicht J. Opt. B, 2001.

[ABL

97]

A. Aumann, E. B¨uthe, Yu. A. Logvin, T. Ackemann, and W. Lange. Pola-

rized patterns in sodium vapor with single mirror feedback. Phys. Rev. A,

56:R1709R1712, 1997.

[Ack96]

T. Ackemann. Spontane Musterbildung in einem atomaren Dampf mit opti-

scher R¨uckkopplung. Dissertation, M¨unster, 1996.

[Ack97]

T. Ackemann. Ableitung von Stoßraten und Diffusionskonstanten aus gas-

kinetischen Gleichungen und Messungen, 1997. Interner Bericht.

[AF98]

H. Arbell and J. Fineberg. Spatial and temporal dynamics of two interacting

modes in parametrically driven surface waves. Phys. Rev. Lett., 81:4384

4387, 1998.

[AGWH

99] A. Aumann, E. Große Westhoff, R. Herrero, T. Ackemann, and W. Lan-

ge. Interplay of dispersion and absorption in a new optical pattern-forming

system. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 1:166170, 1999.

[AHLL97]

T. Ackemann, A. Heuer, Yu. A. Logvin, and W. Lange. Light-shift induced

level crossing and resonatorless optical bistability in sodium vapour. Phys.

Rev. A, 56:23212326, 1997.

[AL00]

T. Ackemann and W. Lange. Optical pattern formation in alkali metal

vapors: Mechanisms, phenomena and use. Appl. Phys. B, 2000.

[Aum99]

A. Aumann. Optical patterns and quasipatterns in an alkali metal vapor with

feedback. Dissertation, M¨unster, 1999.

[BC98]

F. H. Busse and R. M. Clever. Mechanisms of the onset of time-dependence

in thermal convection. In P. A. Tyrand et al., editors, Time-dependent

nonlinear convection, pages 149. Computational Mechanics Publications,

Boston, 1998.

Literaturverzeichnis

[BN98]

C. Bowman and A. C. Newell. Natural patterns and wavelets. Rev. Mod.

Phys., 70:289301, 1998.

[B¨u97]

E. B¨uthe. Untersuchungen zur polarisationsabh¨angigen Musterbildung in

Natriumdampf mit optischen Musterbildung. Diplomarbeit, M¨unster, 1997.

[CCL

90]

S. Ciliberto, P. Coullet, J. Lega, E. Pampaloni, and C. P´erez-Garc´ia. Defects

in roll-hexagon competition. Phys. Rev. Lett., 65:23702373, 1990.

[CH93]

M. C. Cross and P. C. Hohenberg. Pattern formation outside of equilibrium.

Rev. Mod. Phys., 65:8511112, 1993.

[DF91]

G. D'Alessandro and W. J. Firth. Spontaneous hexagon formation in a

nonlinear optical medium with feedback mirror. Phys. Rev. Lett., 66:2597

2600, 1991.

[DF92]

G. D'Alessandro and W. J. Firth. Hexagonal spatial pattern for a Kerr slice

with a feedback mirror. Phys. Rev. A, 46:537548, 1992.

[DG92]

B. Dionne and M. Golubitsky. Planforms in two and three dimensions. Z.

angew. Math. Phys., 43:3662, 1992.

[DV96]

E. V. Degtiarev and M. A. Vorontsov. Dodecagonal patterns in a Kerr-

slice/feedback-mirror type optical system. J. Mod. Opt., 43:9398, 1996.

[Fir90]

W. J. Firth. Spatial instabilities in a Kerr medium with single feedback

mirror. J. Mod. Opt., 37:151153, 1990.

[GN89]

E. Grimm and W. Nowak. Lichtwellenleitertechnik. H¨uthig Verlag, Heidel-

berg, 1989.

[GW99]

E. Große Westhoff. Eichung verschiedener Gitter mittels des Fernfeldes,

1999. Pers¨onl. Mitteilung.

[GW00]

E. Große Westhoff.

Phasenselektion ¨uber Vier-Wellenvektor-Wechsel-

wirkungen. Interner Bericht, 2000.

[GWHAL01] E. Große Westhoff, R. Herrero, T. Ackemann, and W. Lange. Self-organized

superlattice patterns with slightly different wave numbers. in Vorbereitung,

2001.

[GWKL

00] E. Große Westhoff, V. Kneisel, Yu. A. Logvin, T. Ackemann, and W. Lange.

Pattern formation in the presence of an intrinsic polarization instability. J.

Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 2:386392, 2000.

[Heu95]

A. Heuer. "Light shift"-induzierte optische Bistabilit¨at in einer Einspiegel-

anordnung. Diplomarbeit, M¨unster, 1995.

Literaturverzeichnis

[HGWA

99] R. Herrero, E. Große Westhoff, A. Aumann, T. Ackemann, Yu. A. Logvin,

and W. Lange. Twelvefold quasiperiodic patterns in a nonlinear optical

system with continuous rotational symmetry. Phys. Rev. Lett., 82:4627

4630, 1999.

[JS00]

S. L. Judd and M. Silber.

Simple and superlattice Turing patterns in

reactiondiffusion systems: bifurcation, bistability and parameter collapse.

Physica D, 136:4565, 2000.

[Kas50]

A. Kastler. Quelques suggestions concernant la production optique et la

d´etection optique d'une in´egalit´e de population des niveaux de quantification

spatiale des atomes. application a l'exp´erience de stern et gerlach et a la

r´esonance magn´etique. journal de physique et le radium, 11:255265, Juni

1950.

[Kl¨u97]

S. Kl¨umper. Teilchenzahldichtebestimmung durch Analyse von Absorpti-

onsprofilen, 1997. Semesterarbeit.

[Kl¨u98]

S. Kl¨umper. Untersuchung der nichtlinearen optischen Eigenschaften von

Rubidiumdampf durch entartete Vier-Wellen-Mischung.

Diplomarbeit,

M¨unster, 1998.

[KPG98]

A. Kudrolli, B. Pier, and J. P. Gollub. Superlattice patterns in surface waves.

Physica D, 123:99111, 1998.

[LAA

99]

W. Lange, T. Ackemann, A. Aumann, E. B¨uthe, and Yu. A. Logvin. Atomic

vapors a versatile tool in studies of optical pattern formation. Chaos,

Solitons & Fractals, 10:617626, 1999.

[LLBRT96] D. Leduc, M. Le Berre, E. Ressayre, and A. Tallet. Bifurcation from 8-

fold orientational order quasipattern in a polarization instability device.

Opt. Commun., 130:181191, 1996.

[M¨92]

M. M¨oller. Verallgemeinerte optische Bistabilit¨at und Chaos: ein nichtlinea-

res Szenario in einem natriumdampfgef¨ullten Fabry-P´erot-Resonator. Dis-

sertation, M¨unster, 1992.

[Man90]

P. Manneville. Dissipative structures and weak turbulence. Academic Press,

Boston, 1990.

[MDLM86]

F. Mitschke, R. Deserno, W. Lange, and J. Mlynek. Magnetically induced

optical self-pulsing in a nonlinear resonator. Phys. Rev. A, 33:32193231,

1986.

[Ohl87]

J. Ohlenbusch. Entwicklung eines kosteng¨unstigen, Mikroprozessor gesteu-

erten Wavemeters. Diplomarbeit, Hannover, 1987.

Literaturverzeichnis

[PPBS96]

Pedrotti, Pedrotti, Bausch, and Schmidt. Optik, Eine Einf¨uhrung. Prentice

Hall, 1 Auflage, 1996.

[Rud00]

D. Rudolph. Numerische Untersuchungen zur Hysterese der subkritischen

Bifurkation von Hexagonen in einer Einspiegelanordnung, 2000. Bericht zum

Hauptpraktikum.

[SAS

97]

J. P. Seipenbusch, T. Ackemann, B. Sch¨apers, B. Berge, and W. Lange.

Drift instability and locking behavior of optical patterns. Phys. Rev. A,

56:R4401R4404, 1997.

[SF96]

A. J. Scroggie and W. J. Firth. Pattern formation in an alkali-metal vapor

with a feedback mirror. Phys. Rev. A, 53:27522764, 1996.

[Sie00]

A. E. Siegmann. Small-scale self-focusing effects in tapered optical beams.

in Vorbereitung, 2000.

[Tho98]

Thorlabs. European catalog, 1998.

[VK97]

M. A. Vorontsov and A. Yu. Karpov. Pattern formation due to interballoon

spatial mode coupling. J. Opt. Soc. Am. B, 14:3450, 1997.

[Vor92]

C. Vorgerd. Experimentelle Untersuchungen zum Mechanismus der Trans-

versalen Optischen Bistabilit¨at im Natriumdampf. Diplomarbeit, Univer-

sit¨at M¨unster, 1992.

[WMK99]

C. Wagner, H. W. M¨uller, and K. Knorr. Faraday waves on viscoelastic

liquid. Phys. Rev. Lett., 83:308311, 1999.

Literaturverzeichnis

Danksagung

Mein erster Dank gilt Herrn Prof. Dr. Wulfhard Lange, der es mir erm¨oglicht hat, diese

Arbeit auf einem vielf¨altigen Forschungsgebiet zu schreiben.

Ganz besonders m¨ochte ich Dipl.-Phys. Edgar Große Westhoff danken, dessen hervorra-

gende Betreuung mir st¨andig neue Motivation und Begeisterung f¨ur die Aufgabe gegeben

hat. Ich bedanke mich bei Dr. Thorsten Ackemann f¨ur die zahlreichen Diskussionen, die

die Dinge aus einer anderen Perspektive beleuchtet haben.

Ich m¨ochte allen Mitgliedern der Arbeitsgruppe Lange f¨ur die Unterst¨utzung fachlicher

und pers¨onlicher Natur danken. Die fruchtbare Kommunikation l¨oste so manche Probleme.

Die Zusammenarbeit sorgte f¨ur ein angenehmes und lockeres Arbeitsklima.

Der Feinmechanischen Werkstatt danke ich f¨ur die schnelle Unterst¨utzung bei technischen

Problemen im Labor.

Lars Stollenwerk danke ich f¨ur den

-Tipp.

Nicht zuletzt m¨ochte ich mich bei meiner Mutter und meinen Schwestern f¨ur ihr Verst¨and-

nis danken. Kathleen Wiencke danke ich f¨ur die Unterst¨utzung in den arbeitsintensiven

Phasen.

Ich danke jedem, der diese Arbeit mit Interesse gelesen hat. Das gibt ihr erst den richtigen

Wert.

Textauszug: 100 von 100 Seiten - nach oben

Beschreibung

Titel:

Charakterisierung und Parameterabhängigkeit komplexer Muster in einer Einspiegelanordnung

Veranstaltung:

Keine

Autor:

Daniel Rudolph

Jahr:

2001

Seiten:

100

Archivnummer:

V115577

ISBN (eBook):

978-3-640-17696-0

ISBN (Buch):

978-3-640-18232-9

DOI:

10.3239/9783640176960

Dateigröße:

1542 KB

Sprache:

Deutsch

Anmerkungen:

Diplomarbeit im Bereich der spontanen Musterbildung in optisch nicht-linearen Systemen

Schlagworte:

Arbeit zitieren:

Daniel Rudolph, 2001, Charakterisierung und Parameterabhängigkeit komplexer Muster in einer Einspiegelanordnung, München, GRIN Verlag GmbH

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Einbetten

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