Gravitationswellen - Grundlagen, Entstehung und Detektion

Inhaltsverzeichnis

3  Allgemeine Relativit atstheorie  7

3.1  Mannigfaltigkeiten  7

3.2  Vektoren  7

3.3  Dualvektoren  8

3.4  Tensoren  9

3.5  Der Metrische Tensor  10

3.6  Die Vernetzung  13

3.7  Geod aten  14

3.8  Die Kovariante Ableitung  15

3.9  Der Riemanntensor  16

3.10  Die Feldgleichung  19

4.1  Linearisierte Feldgleichung  21

4.2  Eichinvarianz  23

4.3  Die Einsteineichung  24

4.4  Ebene Gravitationswellen  25

4.5  Die TT Eichung  26

4.6  Polarisationszust ande  28

4.7  Energie  31

5.1  Strahlungscharakter  31

5.2  Doppelsternsysteme  33

5.3  Allgemeine Quellen  34

35  6 Detektion  

6.1  Interferometrische Detektoren  36

6.1.1  Mitbewegte Koordinaten  37

6.1.2  Fermi Normalkoordinaten  39

6.1.3  Detektorempfindlichkeit  40

6.1.4  Praktische Ausf uhrung  42

6.2  Mechanische Detektoren  44

6.2.1  Funktionsprinzip eines Zylinderdetektors  46

6.2.2  Empfindlichkeitssteigerung  47

6.2.3  Alternative Konzepte  48

Kurzfassung

Viele beeindruckende Ph¨ anomene und Experimente haben Einsteins Allgemeine Relativit¨ ats- theorie bereits best¨ atigt. Eine der letzten großen Herausforderungen an die Experimental- und Detektorphysik in dieser Hinsicht ist heute der Nachweis einer der faszinierendsten Vorher- sagen Einsteins: den Gravitationswellen. Als Ersch¨ utterungen der Raumzeit, hervorgerufen durch extreme astrophysikalische Vorg¨ ange, durchsetzen sie das gesamte Weltall und tragen bisher unzug¨ angliche Informationen unseres Universums und seiner Entstehungsgeschichte mit sich. Trotz ambitionierter Projekte und genialem Forschergeist ist es jedoch bis heute nicht gelungen, diese minimalen Ersch¨ utterungen der Raumzeit aufzusp¨ uren. Darum ist der Nach- weis von Gravitationsstrahlung ein viel versprechendes Feld der heutigen Gravitations- und Astrophysik, viele namhafte Gr¨ oßen haben sich deshalb der Suche nach Gravitationswellen verschrieben.

Das gr¨ oßte Hindernis auf diesem Weg stellt das minimale Ausmaß dieser Raumzeitersch¨ utte- rungen dar. Um die erforderliche Sensitivit¨ at in Gravitationswellendetektoren zu erreichen, sind ¨ außerst ausgefeilte Konzepte und Methoden, sowie pr¨ azise und genau verarbeitete Bau- teile aus Spezialmaterialien notwendig. Ein gelungener Nachweis von Gravitationswellen w¨ are eine exzellente Verbindung zwischen Theorie und Praxis, die der Wissenschaft v¨ ollig neue Einblicke in unser Universum erm¨ oglichen k¨ onnte.

Auf den folgenden Seiten soll die - der Gravitationsstrahlung zugrunde liegende - Allgemeine Relativit¨ atstheorie erl¨ autert und beschrieben werden und daraus als Konsequenz die Existenz von Gravitationswellen gezeigt werden. Ebenso sollen Charakteristika und Eigenschaften sowie Quellen und M¨ oglichkeiten des Nachweises angef¨ uhrt werden.

Abschließend soll erw¨ ahnt werden, dass s¨ amtliche Bestrebungen, Gravitationsstrahlung nachzuweisen, bis jetzt zwar erfolglos waren, dies jedoch nur auf die heute noch zu gerin- ge Sensitivit¨ at verwendeter Detektoren zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Viele dieser Detektoren werden in den n¨ achsten Jahren aufger¨ ustet bzw. nach neuen Konzepten erst gebaut. Ein Erforschen des Universums mittels Gravitationswellen ist also noch Zukunftsmusik, liegt aber bereits in greifbarer N¨ ahe.

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Abstract

There have been many breathtaking phenomena and experiments that have proved Einstein’s theory of general relativity. One of the greatest challenges for experimental and detector physics today regarding this is the proof of one of Einstein’s most exciting predictions: gravi- tational waves. Caused by extreme astrophysical activities, they propagate throughout space as vibrations of spacetime itself and carry informations about our universe and its creation that are inaccessible for now. However, despite ambitious projects and scientific genius the detection of these tiny ripples in spacetime remains unsuccessful to this day. That’s why de- tection of gravitational waves is a promising field of modern astro - and gravitation physics, many well known scientists have therefore devoted themselves to the search for gravitational waves.

The greatest obstacle is the tiny dimension of these spacetime vibrations. In order to achieve the necessary sensitivities in gravitational wave detectors, elaborate concepts and methods as well as precisely fabricated parts from special materials are necessary. A successful detection of gravitational waves would render an excellent connection between theory and practice, that would grant today’s science completely novel insights into our universe.

Throughout the following pages the founding theory - general relativity - will be explained and described and as a consequence thereof, gravitational wave solutions will be introdu- ced. Properties and features as well as possible sources and possible means of detection of gravitational radiation will be discussed too.

Conclusively it should be mentioned that all efforts in detecting gravitational radiation have been unsuccessful until now, but only due to the still lacking sensitivities of detectors in use. Many of these detectors will be upgraded in the coming years or are still to be built following new approaches and techniques. Hence, exploration of the universe by means of gravitational waves are still dreams of the future, but lie already within our grasp.

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1 Einleitung

Don’t try to describe motion relative to faraway objects. Physics is only simple when analyzed ” locally. And locally the world line that a satellite follows [in spacetime, around the Earth] is already as straight as any world line can be. Forget all this talk about ” deflection“ and ” force

of gravitation“. I’m inside a spaceship. Or I’m floating outside and near it. Do I feel any force of gravitation“? Not at all. Does the spaceship ” ” about it? Recognize that the spaceship and I traverse a region of spacetime free of all force. Acknowledge that the motion through that region is already ideally straight.“ [1, Kap. 1.1.]

Ohne Zweifel stellt die Allgemeine Relativit¨ atstheorie eine der elegantesten und revolution¨ arsten Theo- rien der Physik dar. Der entscheidende Schritt, Gravitation als etwas Fundamentaleres als eine bloße Kraft“, n¨ amlich als Kr¨ ummung der Geometrie der Raumzeit aufzufassen, zog weitreichende interessante ” und faszinierende Konsequenzen nach sich. Bis heute sind zahlreiche beeindruckende Best¨ atigungen Ein- steins wahrscheinlich bedeutsamster Leistung erfolgt, einige davon (Merkurpr¨ azession, Rotverschiebung) wurden von ihm selbst vorgeschlagen.

Heute ist die Allgemeine Relativit¨ atstheorie sowohl in der modernen Astrophysik als auch in unserem Alltag (z.B. relativistische Korrekturen in GPS - Signalen) bereits fest verankert.

Nach den Erkenntnissen der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie wurden viele faszinierende Ph¨ anomene und Folgerungen vorgeschlagen. Prominentestes Beispiel hierzu ist wohl das Schwarze Loch, auch bekannt sind der Gravitationslinseneffekt, die Gravitationsrotverschiebung und die gravitationsbedingte Zeitdilatation. Ein weniger bekanntes Ph¨ anomen, das aber bereits von Einstein selbst in seiner Originalpublikation vorgeschlagen wurde, sind Gravitationswellen. Sie stellen Ersch¨ utterungen der Raumzeit selbst dar. Wie die Kreise, die ein Stein, der ins Wasser f¨ allt, zieht, so ist auch das Universum mit solchen ” Kreisen“ extremer astrophysikalischer Ereignisse wie Supernovae oder dem Verschmelzen zweier Schwarzer L¨ ocher oder Neutronensterne erf¨ ullt.

Wie elektromagnetische Strahlung ist Gravitationsstrahlung ebenfalls an kein Medium gebunden und bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. Als Ersch¨ utterungen der Geometrie der Raumzeit selbst sind sie jedoch an keine Art der Wechselwirkung gebunden und k¨ onnen durch ihre geringe Kopplung beinahe alles ungehindert durchdringen.

Im Folgenden sollen die Grundlagen f¨ ur die Beschreibung von Gravitationswellen, das mathematische Repertoire der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie, kurz erl¨ autert werden. Im Weiteren soll die Wellenl¨ osung aus der linearisierten Version der Einsteinschen Feldgleichung demonstriert werden und Eigenschaften wie Eichinvarianz, Transversalit¨ at und Polaristaionsrichtungen beschrieben werden. Fortsetzend werden dann Strahlungsnatur und m¨ ogliche Quellen von Gravitationsstrahlung und zu guter Letzt M¨ oglichkeiten des Nachweises von Gravitationswellen behandelt.

2 Konventionen

Vor der Behandlung der mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie sollen noch einige oft verwendete Konventionen erl¨ autert werden.

2.1 Einheiten

Es ist weitgehend ¨ ublich, in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie geometrische Einheiten mit c = G = 1 zu verwenden. Dabei bezeichnet c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und G die Gravitationskonstante. In weiterer Folge werden diese Konstanten im Allgemeinen nicht geschrieben, es sei denn, es wird explizit darauf hingewiesen. F¨ ur Ergebnisse in SI - Einheiten m¨ ussen durch Dimensionsvergleiche die Konstanten

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2.2 Einsteinsche Summenkonvention

c und G wieder entsprechend eingef¨ ugt werden, welche folgende Gr¨ oße und Dimension besitzen m

2.2 Einsteinsche Summenkonvention

Da in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie viel mit indexbehafteten tensoriellen Gr¨ oßen gearbeitet wird, wird meist die Einsteinsche Summenkonvention bem¨ uht. Diese besagt, dass ¨ uber doppelt vorkommende Indices automatisch summiert wird, ohne das Summenzeichen explizit anschreiben zu m¨ ussen

Dabei muss darauf geachtet werden, dass immer ¨

summiert wird. Tragen z.B. zwei obere Indices den gleichen Buchstaben, d.h. wird ¨ uber zwei obere Indices summiert, liegt i.A. kein wohldefinierter Tensorausdruck vor bzw. es wurde irgendwo ein Fehler gemacht.

2.3 Indices

In der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie wird generell mit einer vierdimensionalen Raumzeit gearbeitet, welche eine Zeit- und 3 Raumkomponenten enth¨ alt. Um diese Komponenten zu indizieren, werden grie- chische Buchstaben als Indices verwendet, die von 0 bis 3 laufen. Ist nur von den Raumkomponenten die Rede, werden lateinische Buchstaben als Indices verwendet, sie laufen von 1 bis 3

Im Speziellen wird ein allgemeiner Punkt der Raumzeit (

”

x µ = (t, x, y, z) notiert (c = 1!), der rein r¨ aumliche Anteil lautet dann x i = (x, y, z).

2.4 Partielle Ableitungen

Als Schreibweise f¨ ur die partielle Ableitung wird manchmal

verwendet. Wegen des aus der Kettenregel folgenden kovarianten Transformationsverhaltens der partiellen Ableitungen wird ein unterer Index verwendet.

2.5 Kroneckertensor

Die in der Differentialgeometrie verwendete Version des Kronecker - Deltas hat nun einen oberen und einen unteren Index und entspricht in dieser Form der Einheitsmatrix

Der Kroneckertensor bleibt in dieser Form unter beliebigen Koordinatentransformationen invariant.

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3 Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ausgangspunkt der Beschreibung von Gravitationswellen ist die Einsteinsche Feldgleichung der Allgemei- nen Relativit¨ atstheorie. Die spezielle Relativit¨ atstheorie stellt zwar eine ausreichende Verbindung zwischen Mechanik und Elektromagnetismus her, kann aber Probleme wie die Gleichheit von schwerer Masse, die auf Gravitation reagiert und tr¨ ager Masse, die angreifenden Kr¨ aften einen Widerstand entgegen stellt, oder die Frage, was ein Inertialsystem zu einem solchen macht, nicht l¨ osen. Auch nimmt die Gravitation in der Newtonschen Mechanik eine Sonderstellung ein, da in der Gravitationsbeschleunigung nach Newton die tr¨ age Masse m I des K¨ orpers gem¨ aß

F = m I a G nicht mehr auftritt. Es ist also eine allgemeine Relati-

vit¨ atstheorie notwendig, die aber zwangsweise die bereits best¨ atigte spezielle Relativit¨ atstheorie enthalten muss. Bedeutende Grundlage zur Formulierung einer allgemeinen Relativit¨ atstheorie ist das Einsteinsche ¨ Aquivalenzprinzip (siehe Abschnitt 3.10). Um nun das Problem der Inertialsysteme zu l¨ osen, muss man sich von der Einschr¨ ankung durch Koordinatensysteme befreien. Dies f¨ uhrt zu einer vollst¨ andigen Be- schreibung der Physik durch geometrische Objekte und einer kovarianten Formulierung durch tensorielle Gr¨ oßen. Es sollen im Folgenden die ben¨ otigten Begriffe und Elemente f¨ ur die Konstruktion der Allgemei- nen Relativit¨ atstheorie und der Einsteinschen Feldgleichung eingef¨ uhrt und kurz erl¨ autert werden.

3.1 Mannigfaltigkeiten

Zur Beschreibung einer gekr¨ ummten Raumzeit bedient man sich der Theorie differenzierbarer Mannig- faltigkeiten. Der ungekr¨ ummte, euklidsche Raum R n stellt einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit dar. Eine Mannigfaltigkeit soll nun komplizierte gekr¨ ummte Topologien beschreiben, ” lokal jedoch euklidsch aussehen“. Damit meint man eine Konstruktion von sich ¨ uberdeckenden Abbildungen (Karten), die die gesamte Mannigfaltigkeit offen und eineindeutig auf den R n abbilden, den sogenannten Atlas. Meistens ben¨ otigt man zum Abdecken einer Mannigfaltigkeit mehrere Karten, wie am Beispiel der zweidimensio- nalen Kugeloberfl¨ ache ersichtlich ist [2, S. 59]. Die zweidimensionale Zylinderoberfl¨ ache hingegen ist mit einer einzigen Karte abdeckbar.

Die in der Allgemeine Relativit¨ atstheorie verwendete vierdimensionale Raumzeit wird nun als vierdi-

mensionale, beliebig gekr¨ ummte Mannigfaltigkeit beschrieben, ein Punkt nigfaltigkeit wird als Ereignis bezeichnet. Die Rolle der Gravitation ¨ freien Fall“ (d.h. kr¨ aftefrei) auf einer Geod¨ ate 1 bewegen, k¨ onnen sich nun Zwei Testk¨ orper, die sich im ” rein aufgrund der geometrischen Kr¨ ummung der Raumzeit aufeinander zu oder voneinander weg bewe- gen. Diese relative Geod¨ atenbeschleunigung wird durch den von den Ableitungen des metrischen Tensors (Abschnitt 3.5) abh¨ angigen Riemanntensor (Abschnitt 3.9) beschrieben.

Mehr zu Mannigfaltigkeiten in [1, Kap. 9.7] [2, Kap. 2.2] [3, Kap. 3.2].

3.2 Vektoren

Auf Mannigfaltigkeiten ist es nun nicht mehr m¨ oglich, einen Vektor global zu definieren, er existiert viel- mehr nur lokal an einem Punkt der Mannigfaltigkeit, im dort definierten Tangentialraum T p , welcher alle m¨ oglichen Vektoren an diesem Punkt enth¨ alt. Man muss sich also von dem Begriff eines Vektors, der im betrachteten Raum frei verschiebbar ist und von einem Punkt zu einem anderen zeigt, verabschieden. Ge- nauer identifiziert man den Raum der Richtungsableitungsoperatoren d dλ aller m¨ oglichen Kurven f durch einen Punkt p auf der Mannigfaltigkeit als den Tangentialraum T p , λ ist dabei der Kurvenparameter. Als Basis des Tangentialraums T p dienen z.B. die partiellen Ableitungen ∂ µ eines beliebigen Koordinatensys- tems. Die Richtungsableitungsoperatoren d dλ sind nun koordinatensystemunabh¨ angig und k¨ onnen nach der Kettenregel in jedem beliebigen Koordinatensystem ausgedr¨ uckt werden dx µ

d

1 siehe 3.7

7

in der Basis ∂ µ . Da sich die partiellen Ableitungen bei einem Koordinatensystemwechsel nach der Ket- tenregel wie folgt kovariant transformieren ∂x µ

folgt aus der Bedingung, dass sich ein Vektor als abstraktes geometrisches Objekt unter Koordinaten- transformation nicht ¨ andern darf d

dass sich die Komponenten V µ der Vektoren dx µ

da die Transformationsmatrizen ∂x µ

¨

Ublicherweise l¨ asst man bei der Darstellung eines Vektors V die Basisvektoren weg und spricht nur von den Komponenten V µ in einem - v¨ ollig beliebigen - Koordinatensystem. Man beachte, dass Vektorkom- ponenten wegen ihres kontravarianten Transformationsverhaltens (3.5) stets mit oberen Indices notiert werden.

Mehr zu Vektoren in [1, Kap. 9.2] [2, Kap. 1.4,2.3].

3.3 Dualvektoren

Zu jedem Vektorraum V n kann man nun den dazugeh¨ origen Dualraum ∗ V n definieren, der dieselbe Di- mension besitzt. Er enth¨ alt nun alle m¨ oglichen linearen Abbildungen ω, die den betrachteten Vektorraum auf die reellen Zahlen abbilden (ω : V → R). Dualvektoren fungieren also als Abbildungen normaler Vektoren auf die reellen Zahlen. Sie k¨ onnen ebenfalls als Summe ihrer Komponenten in einer - beliebigen

- Basis und ihrer Basisvektoren geschrieben werden. Als Basisdualvektoren ergeben sich die Koordina- tendifferentiale dx µ , indem man

fordert, mit

Θ (µ) den Basisdualvektoren (nicht deren Komponenten) des Dualraumes ∗ V n und e (ν) den bereits bekannten Basisvektoren ∂ µ des Vektorraumes V n . F¨ ur allgemeine Differentiale gilt in einem allgemeinen Koordinatensystem mit den Koordinatenfunktionen x µ (siehe (3.12)) laut Kettenregel

Mit den Koordinatendifferentialen dx µ als

Genau wie bei Vektoren schreibt man ¨

l¨ asst wieder die Basis weg.

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3.4 Tensoren

L¨ asst man nun einen Dualvektor auf einen Vektor wirken, erh¨ alt man ein Skalar, das unter Koordina- tentransformationen invariant sein soll

Aus dieser Forderung ergibt sich das kovariante Transformationsverhalten der Dualvektorkomponeten ω µ und der Basisdualvektoren dx µ (die bereits bekannte Kettenregel) ∂x µ

Mehr zu Dualvektoren in [1, Kap. 9.4] [2, Kap. 1.5,2.4].

3.4 Tensoren

Tensoren stellen eine Verallgemeinerung von Vektoren und Dualvektoren dar. Ein Tensor vom Rang (k, l) ist als multilineare Abbildung von k verschiedenen Dualvektoren und l verschiedenen Vektoren auf R definiert, d.h. der Tensor fungiert wie ein ” k - facher Vektor“ und ein ” l - facher Dualvektor“. Der Tensor ist dann von (k + l). Stufe

Tensoren lassen sich ebenfalls mittels ihrer Komponenten und Basistensoren schreiben. Daf¨ ur f¨ uhrt man das sogenannte Tensorprodukt ein

T = T µ1...µ k ν1...ν l

uber alle µ i und ν i summiert und es ergeben sich n l+k Summanden und damit auch n l+k Dabei wird ¨ Komponenten T µ1...µ k ν1...ν l des Tensors T mit n der Dimension der betrachteten Mannigfaltigkeit. L¨ asst man nun einen Tensor T von Rang (k, l) auf k Dualvektoren und l Vektoren wirken, so wirken die Basisvektoren bzw. Basisdualvektoren im Tensorprodukt gem¨ aß ihrer Reihenfolge auf den enstprechenden Dualvektor bzw. Vektor. Es ergibt sich dann in einfacher Indexschreibweise ¨ uber (3.7) aus (3.13)

da sich durch die Summation ¨

Aus der Forderung der Transformationivarianz des erhaltenen Skalars P ergibt sich ¨ mationen der Dualvektoren und Vektoren das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten ∂x µ1 ∂x µ k ∂x λ1 ∂x λ l ∂x ν l ∂x γ k oder als konkretes Beispiel f¨ ur einen (2, 1) - Tensor ∂x µ ∂x ν ∂x γ ∂x α ∂x β Das heißt also, dass die oberen Indices eines Tensors kontravariant wie ein Vektor und die unteren Indices kovariant wie ein Dualvektor transformieren. Analog zu Vektoren und Dualvektoren schreibt man nur die Tensorkomponenten.

Vektoren und Dualvektoren sind dann Tensoren 1. Stufe, ein Vektor ist ein (1, 0) - Tensor, ein Dualvek- tor ein (0, 1) - Tensor. Skalare entsprechen Tensoren 0. Stufe und bleiben bei Koordinatentranformationen invariant

P = P .

(3.18)

9

3.5 Der Metrische Tensor

Matrizen werden auf Vektoren angewandt und ergeben wieder einen Vektor, sie entsprechen also (1, 1) - Tensoren

X µ = T µ ν Y ν .

(3.19)

Multipliziert man nun Vektoren, Dualvektoren und/oder Tensoren h¨ oherer Stufe miteinander, so erge- ben sich durch diese Tensormultiplikation wieder Tensoren, z.B.

S µνλ

Sind T und R Tensoren, so handelt es sich bei S ebenfalls um einen wohldefinierten Tensor. Setzt man nun zwei Indices eines Tensors k. Stufe gleich, so ergibt sich durch Verj¨ ungung ein Tensor (k − 2). Stufe

S µν γν = T µ

dabei wurde ¨ uber den Index ν summiert, welcher im rechten Ausdruck dann nicht mehr vorkommt. Es kann nur immer jeweils ¨ Tensor von (k − 2). Stufe zu erhalten. Setzt man in dem Transformationsgesetz (3.16) einen oberen und unteren Index gleich, kann man zeigen, dass sich dann wegen (3.9) ein wohldefinierter Tensor von (k − 2). Stufe ergibt [3, S. 39]. Ein Spezialfall stellt die Verj¨ ungung eines (1, 1) - Tensors dar, es ergibt sich die Spur der betrachteten Matrix, also ein Skalar als Tensor 0. Stufe. Mittels Tensormultiplikation und Verj¨ ungung kann man nun Indices von Tensoren ” herauf - und her- unterziehen“. Dazu ben¨ otigt man jeweils einen symmetrischen (2, 0) - und (0, 2) - Tensor g µν und g µν , die invers zueinander sind 2 g µν g νλ = δ µ Multipliziert man dann einen Tensor T µλ mit g µν ergibt sich

Der Tensor T µ

anderer - n¨ amlich ein (1, 1) - Tensor. Genauso kann man nun mit g µν Indices hinaufziehen. Zieht man einen Index zuerst hinunter und dann wieder hinauf, so ergibt sich wegen (3.22) wie gefordert wieder derselbe Tensor.

Mehr zu Tensoren in [1, Kap. 9.5] [2, Kap. 1.6,2.4] [3, Kap. 3.6].

3.5 Der Metrische Tensor

Der Metrische Tensor stellt eine zentrale Gr¨ oße in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie dar, alle sp¨ ater hier eingef¨ uhrten Gr¨ oßen/Tensoren werden in gewisser Weise von der Metrik abh¨ angen. Die Metrik er- laubt es, Entfernungen und L¨ angen auf einer Mannigfaltigkeit anzugeben. Sie ersetzt das herk¨ ommliche Skalarprodukt des euklidschen Raums, wo die Metrik einfach der Einheitsmatrix entspricht. Die Metrik erlaubt es nun, das infinitesimale Ereignisintervall ds zwischen zwei Ereignissen x µ und x µ +dx µ zu berechnen. Beschreibt man nun die kartesischen Koordinaten x µ der Ereignisse als Funktionen eines beliebigen anderen Koordinatensystems x µ , also x µ = x µ (x ν ) ,

so kann man das Intervall zun¨ achst in euklidscher Geometrie als

2 Dies fordert man, um nach dem Herauf- und Herunterziehen desselben Indexes wieder denselben Tensor zu erhalten.

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