Modellspezifikation von multivariaten ökonomischen Zeitreihen

Inhaltsverzeichnis

  Abbildungsverzeichnis  IV

Tabellenverzeichnis  IV  IV

  Abkürzungsverzeichnis  V

  Symbolverzeichnis  VI

1  Einleitung  1

2  ZeitreihenundstochastischeProzesse  4

3  UnivariateZeitreihenmodelle  7

3.1  ARHModelle  7

3.2  MAHModelle  8

3.3  ARMAHModelle  10

3.4  ARIMAHModelle  13

4  ModellspezifikationvonunivariatenZeitreihen  14

4.1  Ablauf  14

4.2  BestimmungderModellordnung  15

4.3  SchätzenderModellparameter  18

4.4  VerfeinerungdesangepasstenModells  22

4.5  ÜberprüfungderAnpassungsgüte  24

5  MultivariateZeitreihenmodelle  25

5.1  VARHModelle  25

5.2  VMAHModelle  27

5.3  VARMAHModelle  30

6  SpezifikationvonVARHModellen  33

6.1  Ablauf  33

6.2  SchätzenderModellparameter  34

6.3  BestimmungderModellordnung  38

6.4  VerfeinerungdesangepasstenModells  41

6.5  ÜberprüfungderAnpassungsgüte  43

7  EigenschaftenvonVARMAHProzessen  45

7.1  AnmerkungenzuForschungen  45

7.2  VARMAvs VAR  46

7.3  LineareTransformationenvonVARHundVARMAHProzessen  48

II

8  SpezifikationvonVARMAHModellen  49

8.1  NichtHIdentifizierbarkeitderDarstellungsformen  49

8.2  IdentifizierbareDarstellungsformen  50

8.3  Schätzverfahren  53

8.4  SpezifikationderfinalenGleichungsHForm  56

8.5  SpezifikationderEchelonHForm  58

9  SpezifikationvonVARMAHModellenüberSkalarkomponenten  62

9.1  SkalarkomponentenHModelle  62

9.2  SpezifikationsprozedurnachTiao/Tsay(1989 )  66

9.3  KritikpunkteanderSpezifikationsprozedurnachTiao/Tsay(1989 )  75

9.4  SpezifikationsprozedurnachAthanasopoulos/Vahid(2008 )  77

10  SkalarkomponentenHModellevs EchelonHForm  82

10.1  TheoretischerVergleich  82

10.2  ExperimentellerVergleich  85

10.3  EmpirischerVergleich  91

11  Schlussbetrachtung  100

  Literaturverzeichnis  VII

III

  Abbildungsverzeichnis  

  Abbildung1 :EinemultivariateZeitreiheausPMP,PMEMPundPMCP  94

  Abbildung2 :PBHErgebnissebzgl /5 ('  97

  Abbildung3 :PBHErgebnissebzgl PN:/5 ('  97

  Tabellenverzeichnis  

Tabelle1 :BedingungenfürStationaritätundInvertierbarkeitinARH,MAHsowie   

  ARMAHProzessen  11

Tabelle2 :TypischeVerhaltensmustervonACFundPACFfürstationäreund   

invertierbareARMAHModelle   17

Tabelle3 :BedingungenfürStationaritätundInvertierbarkeitinVARH,VMAHsowie   

VARMAHProzessen   31

Tabelle4 :5 HWertederKroneckerHIndizes  L:L 5 áL 6  60

Tabelle5 :KriteriumHTabelle   71

Tabelle6 :RootHTabelle 72   

Tabelle7 :VergleichsHKonzeptevonSCMsundEchelonHForm 88   

Tabelle8 :ErgebnissefürDGP(29  )  89

Tabelle9 :ErgebnissefürDGP(30  )  89

Tabelle10 :ErgebnissefürDGP(31  )  89

Tabelle11 :ErgebnissefürDGP(32  )  89

Tabelle12 :ErgebnissefürDGP(33  )  89

Tabelle13 :ErgebnissefürDGP(34  )  89

Tabelle14 :ErgebnissefürDGP(35  )  89

Tabelle15 :ErgebnissefürDGP(36  )  89

Tabelle16 :ZeitreihenHKategorien 92   

Tabelle17 :ProduktionundEinkommen(1  )  92

Tabelle18 :BeschäftigungundArbeitslosigkeit(2  )  92

Tabelle19 :Konsum,WohnensowieUmsätzeausEinzelhandelundproduzierendem   

  Gewerbe(3 )  93

Tabelle20 :RealeWarenbeständeundVerkäufe(4  )  93

Tabelle21 :PreiseundLöhne(5  )  93

Tabelle22 :Zinssätze(6  )  93

IV

Tabelle23 :GeldmengenundKredit(7  )  94

Tabelle24 :Wechselkurse,AktienkurseundAktienvolumen(8  )  94

Tabelle25 :PBHErgebnissebzgl /5  ('  97

Tabelle27 :ErgebnissederMaßzahl4 /5  (' Û 98 Tabelle26 :PBHErgebnissebzgl PN:/5 ('  97

Tabelle28 :ErgebnissederMaßzahl4  P/5 (' Û  98

  Abkürzungsverzeichnis  

  Bezeichnung Seite BezeichnungSeite  

2  SLS 54 55 92 PMP  

3  SLS 55 39 QQ 25  3

  ACF 5 55 94 SA  

  23 KQ 19 94 SAAR  

  AR 2 MA 2 SARIMA  13

  ARIMA 2 ML 19 23  5

  ARMA 2 86 M O. SCM  3

  4 / 52 32 ULS  19

  BIP 12 94 NSA VAR  2

  CLS 19 16 VARMA 2  08

  DGP 4 PACF 5 VMA  2

  E O. 86 96 PB 10  90

78  PMCP  93

  (2 ' 40 PMEMP  92

V

Symbolverzeichnis

; à çá5 26 39 32 m:$;

m:$; ^Ô×Ý 86 M ¾¼Á m á :Já Iá F; 68 52 21

86 M Ì¼Æ 7 Ù:$;

44 ~ Ü »:Já Iá F; 67 26 m:V;

$á $ ^ã 25 N ˜ Ü 8 Ú:$; 7

o Ü %KR:ä ;

%N:–;

@ Ü ':ä ;

 Ý

21 8 ç 69 5 è 8=N:ä ;

5 13 +:@; 5 é é Ü é :ä ; RA?:ä ;

… á ⁴ 35 28 y:$; 69

… é ⁴ 28 y:V; 35 26 ± è L:ä ; ± ì :D;

4 32 38 Ÿ Ý ⁴ :ä ;

L ^àÔë 86 35 51

86 L ¾¼Á 67 … àáç

86 L Ì¼Æ 67 … ááç?Ý?5

VI

“Ifunivariateautoregressiveintegratedmovingaverage(ARIMA)modellingisdifficult, thenvectorautoregressivemovingaverage(VARMA)modellingisevenmoredifficult

1 Einleitung

Die Veränderungen von Variablen über die Zeit können anhand von Zeitreihen dargestellt werden. Zeitreihen treten in allen wissenschaftlichen Bereichen auf, sobald die Dynamik und die zeitliche Entwicklung realer Systeme empirisch untersucht wird. Ökonomen können anhand von Zeitreihen insbesondere die Dynamik aggregierter ökonomischer Aktivitäten wie beispielsweise des Bruttoinlandsprodukts,derArbeitslosigkeitoderderInflationanalysieren. Die Analyse von Zeitreihen dient verschiedenen Zwecken, wobei Deskription, ModellierungundPrognosezudenHauptanwendungsgebietenzählen.ImRahmen der Deskription gilt es, den Verlauf einer Zeitreihe zu beschreiben und ihre Charakteristiken zu erkennen. Typischerweise wird hierbei eine Zerlegung der ZeitreiheineineTrendkomponente,einezyklischeKomponenteundeineirreguläre Restkomponente vorgenommen. Die Modellierung oder auch Modellspezifikation einer Zeitreihe bildet das Bestreben, die Reihe aus sich selbst heraus zu erklären. Dazu fasst man die empirischen und zeitlich geordneten Beobachtungen als Realisationen eines stochastischen Prozesses auf. Das Ziel des Modellfindungsprozesses ist nicht primär darin zu sehen, den unbekannten „wahren“ datengenerierenden Prozess zu finden, sondern vielmehr explorativ ein geeignetes Modell zu spezifizieren, das den Prozess adäquat abbildet. Ist ein passendesModellgefunden,kannesdazuverwendetwerden,eineStrukturanalyse durchzuführen und/oder zukünftige Werte zu prognostizieren. Die Präzision einer PrognosehängtdabeiimWesentlichenvonderGütedesangepasstenModellsab. JenachZielsetzungwerdenModellejeweilsanisolierteZeitreihenangepasstoder mehrere Zeitreihen in einem multivariaten Modell gemeinsam betrachtet. Die univariate Zeitreihenanalyse eignet sich dazu, die Dynamik einzelner Zeitreihen zu untersuchen, ist jedoch nicht in der Lage, dynamische Interaktionen zwischen

1

verschiedenenVariableneinzubeziehen.MultivariateZeitreihenmodellebetrachten mehrere Variablen simultan und können so die dynamischen Interaktionen der Variablenuntereinanderberücksichtigen.

Der Kern und damit das übergeordnete Ziel der vorliegenden Arbeit liegt darin, Verfahren zur Modellspezifikation von multivariaten Zeitreihen zu diskutieren und zu vergleichen. Da jedoch einer multivariaten meist eine univariate Modellierung vorausgeht bzw. die Modellspezifikation einer multivariaten Zeitreihe häufig die Modellspezifikation der univariaten Teilreihen erfordert, wird in dieser Arbeit die Spezifikation von univariaten Zeitreihenmodellen vorangestellt, bevor auf multivariateZeitreihenmodelleundihreSpezifikationeingegangenwird. ImDetailbestehtdasZieldieserArbeitdarin,dievonAthanasopoulos/Vahid(2008) modifizierte SkalarkomponentenHMethode zur Spezifikation von VektorH Autoregressiven MovingHAverageHModellen darzustellen und mit dem in weiten Teilen der Literatur vorherrschenden Spezifikationsverfahren über die EchelonH Formzuvergleichen.DerGangderUntersuchunggestaltetsichdabeiwiefolgt: Im zweiten Kapitel werden zunächst die Grundbegriffe undHzusammenhänge der Zeitreihenanalyse erläutert, bevor das dritte Kapitel univariate Zeitreihenmodelle einführt. Hierzu gehören Autoregressive (AR), MovingHAverageH (MA), Autoregressive MovingHAverageH (ARMA) und Autoregressive Integrierte MovingH AverageH (ARIMA) Modelle. Im Anschluss wird im vierten Kapitel beschrieben, wie univariate Modelle im Rahmen des Ansatzes nach Box/Jenkins (1976) spezifiziert werdenkönnen.

Das fünfte Kapitel stellt multivariate Zeitreihenmodelle vor, d.h. VektorH Autoregressive (VAR), VektorHMovingHAverageH (VMA) und VektorHAutoregressive MovingHAverageH(VARMA)Modelle.AndersalsbeiunivariatenZeitreihenisteshier nicht sinnvoll, die Spezifikation der verschiedenen multivariaten Modelle gemeinsamzubetrachten,weshalbimsechstenKapiteldieSpezifikationvonVARH Modellen separat beschrieben wird. Der Grund für eine getrennte Betrachtung ist darin zu sehen, dass sich die Spezifikationsprozeduren von VARH und VARMAH Modellen wesentlich voneinander unterscheiden. Eine Spezifikation von VMAH ModellenalsModellefürmultivariateZeitreihenwirdinderLiteraturnahezunicht

2

vorgenommen, weshalb dieser Spezialfall im Rahmen dieser Arbeit nicht extra betrachtetwird.

DieKapitelsiebenbiszehnwidmensichdenVARMAHModellenundeinerVielzahlan Spezifikationsprozeduren, insbesondere der SkalarkomponentenHMethode. Dazu liefert das siebte Kapitel in einem ersten Abschnitt einen groben Überblick zum GangderForschungenimBereichderVARMAHProzesse.DieAbschnitte7.2und7.3 stellen VARH und VARMAHProzesse gegenüber und führen einen Vergleich, wobei derSchwerpunktaufdenAuswirkungenlinearerTransformationenaufdieProzesse liegt. Im achten Kapitel wird eingangs in Abschnitt 8.1 das Problem der NichtH IdentifizierbarkeitvonVARMAHDarstellungenerörtert,währendinAbschnitt8.2die finale GleichungsH sowie die EchelonHForm als identifizierbare Darstellungsformen angeführt werden. Bevor in den Abschnitten 8.4 und 8.5 Prozeduren zur Spezifikation der finalen GleichungsH sowie der EchelonHForm vorgestellt werden, sindmöglicheVerfahrenzurParameterschätzungThemadesAbschnittes8.3. Das neunte Kapitel beginnt in Abschnitt 9.1 mit einer Einführung der SkalarkomponentenHModelle (SCMs). Abschnitt 9.2 behandelt die

SkalarkomponentenHMethode nach Tiao/Tsay (1989) und geht dabei insbesondere auf die Funktionsweise der kanonischen Korrelationsanalyse ein, die dem Spezifikationsverfahren zugrunde liegt. Der Publikation von Tiao/Tsay (1989) schließt sich eine umfassende Diskussion ihrer vorgeschlagenen SpezifikationsH prozedur an. Die angebrachten Kritikpunkte und Verbesserungsvorschläge sind in Abschnitt 9.3 zusammengetragen. Der Abschnitt 9.4 stellt die von Athanasopoulos/Vahid (2008) modifizierte SkalarkomponentenHMethode vor, die aufdenAusführungenvonTiao/Tsay(1989)basiert.

Im zehnten Kapitel erfolgt ein umfassender Vergleich von SCMs und der EchelonH Form auf theoretischer (Abschnitt 10.1), experimenteller (Abschnitt 10.2) und empirischerBasis(Abschnitt10.3).DertheoretischeVergleichsollerörtern,welche der beiden Darstellungsformen als sparsamer anzusehen ist. Das Ziel des experimentellen Vergleiches ist es, eine Aussage darüber treffen zu können, welches der Verfahren die Struktur von ex ante generierten Prozessen im Mittel genauer identifizieren kann. Die empirische Analyse unterzieht die

3

Prognosepräzision der Verfahren einem Vergleich und hat es so zum Ziel fest zu stellen,welchesVerfahrenimMittelstabilerePrognosenerzielt. Die Arbeit schließt mit dem elften Kapitel, das Methodik, Ergebnisse und ZusammenhängeimRahmeneinerSchlussbetrachtungzusammenstellt.

2 ZeitreihenundstochastischeProzesse Unter einer Zeitreihe versteht man einen endlichen Ausschnitt aus einer unendlichenFolgevonZufallsvariableneinesstochastischenProzesses; ç mitPÐ: , oder auch eine Folge U 5 áåáU Í von Realisationen eines solchen endlichen Ausschnittesvon; ç .6kennzeichnetdabeidieLängederZeitreihebzw.dieAnzahl an Realisationen der Zufallsvariablen. Da der stochastische Prozess ; ç die Beobachtungen generiert, wird er auch als datengenerierender Prozess (DGP) bezeichnet. Häufig wird allerdings nicht deutlich zwischen der Zeitreihe und dem stochastischen Prozess differenziert, weshalb die Symbolik ; ç oft für die Zeitreihe

selbstverwendetwird. In der Zeitreihenanalyse sind zwei spezielle Prozesse von besonderem Interesse: WhiteHNoiseH und GaußHProzesse. Stellt der DGP eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen dar, spricht man von einem WhiteHNoiseH Prozess. Hier wird üblicherweise die Notation 7 ç verwendet. Ein stochastischer Prozess wird als GaußHProzess bezeichnet, falls alle seine Randverteilungen Normalverteilungen sind. Die Kombination von WhiteHNoiseH mit GaußHProzessen führt zu Gaußschen WhiteHNoiseHProzessen. Ihre besondere Relevanz erlangen derartige Prozesse im Rahmen der Modellspezifikation. Folgen die Residuen eines angepassten Modells einem WhiteHNoiseHProzess, kann davon ausgegangen werden, dass alle systematischen Einflüsse in der Modellierung berücksichtigt wurden. Handelt es sich zudem um einen GaußHProzess, erlaubt dies die Anwendung diverser praktischer Verfahren zur Überprüfung der ParameterH

RelevanzsowieHVariabilität. Da sich die Zufallsvariablen eines stochastischen Prozesses typischerweise in

Wahrscheinlichkeitsverteilung Abhängigkeit voneinander entwickeln, können sie über eine gemeinsame L:; 5 áåá; Í ; beschrieben werden.

Zur

4

dieser Verteilung von Interesse. Erwartungswert, Varianz und Kovarianz können allerdingsnurdannausempirischenDatengeschätztwerden,wenndasNiveau,die Streuung und die Abhängigkeitsstruktur im Verlauf der Zeitreihe konstant, d.h. zeitinvariant ist. Eine Zeitreihe, die diese Bedingungen erfüllt, wird als schwach stationärbezeichnet.DanngiltÊPundÊì: ':; ç ; Lä(MittelwertHStationarität)

IstzudemdiegesamtegemeinsameWahrscheinlichkeitsverteilungzeitinvariant,gilt also L:; ç áåá; ç>Þ ; LL:; ç> áåá; ç>Þ> ;

ÊP, Êì und ÊG, spricht man von strenger Stationarität. Da schwache Stationarität fürdieweiterenBetrachtungenjedochhinreichendist,istimVerlaufdieserArbeit immerschwacheStationaritätgemeint,wennvonStationaritätgesprochenwird.Ist einederBedingungenfürschwacheStationaritätnichterfüllt,liegteineinstationäre Zeitreihevor.

Handeltessichbei; ç umeinenstationärenstochastischenProzess,wird Û L%KR:; ç á; ç> ;

mit Pá ì Ð : als Autokovarianzfunktion bezeichnet. Sie hat allerdings den Nachteil, dass sie von der Einheit der Variablen abhängt. Als Instrument zur Beschreibung eines stationären Prozesses ist sie daher nur bedingt geeignet. Die Autokorrelationsfunktion(ACF)

é LÛ Û 4

Prozesses ; ç ist die Folge der partiellen Korrelationen von ; ç und ; ç? , wobei die mitÛ 4 Lê ⁶ vermeidetdiesenSchwachpunkt.NebenderACFistauchdiepartielle

Zufallsvariablen ; ç?5 áåá; ç?>5 festgehalten werden. Es wird è 4 Ls und è 5 Lé 5 Autokorrelationsfunktion (PACF) von Interesse. Die PACF è eines stationären

entsprichtdiePACFgeradederACF. gesetzt. Für ìLr ist ; ç also perfekt mit sich selbst korreliert und für ìLs Im ökonomischen Kontext weisen Zeitreihen häufig systematische

5

Schwankungenbedingtsein.BeikürzerenZeitreihenäußertsiesichallerdingsmeist inFormeinesTrends,d.h.ineinerpersistentenAufwärtsHoderAbwärtsHBewegung der Variablen über die Zeit. Die Ursache einer solchen MittelwertHInstationarität kannsowohleinedeterministischealsaucheinestochastischeKomponenteinder ProzessHGenerierungsein.EshandeltsichumeinendeterministischenTrend,wenn eineFunktionderZeitB:P;indenProzesseinfließt.DiePfadevon; ç bewegensich dann um die durch die Trendfunktion gegebene Niveaulinie. Ein stochastischer Trend weist hingegen keinen Pfad von ; ç um eine Niveaulinie auf. Bei deterministischenTrendsistdieWirkungvonSchockslediglichvorübergehend,bei stochastischen Trends ist sie persistent. Aus diesem Grund spricht man stochastischen Trends ein „langes Gedächtnis“ zu. Ein Beispiel für einen stochastischenTrendistderRandomHWalkHProzess ; ç L Ã 7 ^{Ü ç} ,

Ü@4

deralsModellfüreinenIrrfahrtsprozessdienenkann.

Möchte man die stochastischen Charakteristika einer instationären Zeitreihe bestimmen, ist in einem vorherigen Schritt die Stationarität über ein geeignetes Verfahrenherzustellen.HandeltessichumeinetrendbehafteteReihe,istunbedingt die Trendform zu beachten. Bei deterministischen Trends wird das Trendpolynom durch eine Regressionsschätzung ermittelt. Die Differenz von beobachteter Zeitreihe und der Regressionsfunktion liefert dann stationäre Residuen. Weist ein Prozess einen stochastischen Trend auf, kann er durch das Bilden von einfachen oder ggf. mehrfachen Differenzen in einen stationären Prozess überführt werden. Daher werden deterministische Trends auch als trendHstationär und stochastische TrendsalsdifferenzenHstationärbezeichnet.

In ökonomischen Modellen werden in der Regel stochastische Trends unterstellt. Die Materie ist zu vielschichtig und von Überraschungen gekennzeichnet, als dass sie mit einem deterministischen Trend und seiner Vorhersehbarkeit in Einklang gebracht werden kann. Es ist zudem unrealistisch anzunehmen, dass externe SchockswiebeispielsweiseGeldangebotsänderungenoderKonsumeinbrüchekeine nachhaltigen Wirkungen auf die Ökonomie nach sich ziehen. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden deshalb immer stochastische Trends bzw. differenzenH stationäreProzesseunterstellt,wenneinetrendbehafteteZeitreihevorliegt.

6

3 UnivariateZeitreihenmodelle

3.1 ARHModelle

Ein stochastischer Prozess ; ç wird als Autoregressiver Prozessder Ordnung L oder kurzalsAR[L]HProzessbezeichnet,wennerdurchdieModellgleichung

; ç LÙ 4 EÙ 5 ; ç?5 E®EÙ ã ; ç?ã E7 ç

(1)

mitPÐ:undLÐ3 4 beschriebenwerdenkann.DabeiwirdfürdieInnovationen7 ç ein WhiteHNoiseHProzess mit ':7 ç ; Lr und 8=N:7 ç ; Lê ⁶ unterstellt. (1) kann

umgeschriebenwerdenzu ; ç FÙ 5 ; ç?5 F®FÙ ã ; ç?ã LÙ 4 E7 ç

undunterVerwendungdesBackshiftHOperators$(mitunterauchalsLagHOperator .bezeichnet)kompakterdargestelltwerdenals

:s F Ù 5 $F®FÙ ã $ ^ã ;; ç LÙ 4 E7 ç oderinKurzschreibweiseals

Ù:$;; ç LÙ 4 E7 ç . Der BackshiftHOperator $ mit dem Exponenten @, $ ^× , verschiebt die gesamte

Zeitreihe um @ Einheiten in die Vergangenheit bzw. in die Zukunft: $ ^× ; ç L; ç?× bzw.$ ^?× ; ç L; ç>× . DerErwartungswertävon; ç ergibtsichzu äLÙ 4 :s F Ù 5 F®FÙ ã ;,

indem auf beiden Seiten von (1) der Erwartungswert gebildet wird. Wird für das InterzeptÙ 4 Lrunterstellt,istderProzess; ç zentriertbeir. DieBezeichnungdesModellsals„autoregressiv“rührtdaher,dass(1)formaleinem

Regressionsansatz entspricht. Die Regressoren sind hierbei allerdings keine

unabhängigen Variablen, sondern vergangene Beobachtungen der abhängigen Variablen.

7

; ç LÙ; ç?5 E7 ç (2) mit PÐ: verdeutlicht werden. Die zugehörige charakteristische Gleichung lautet sFÙVLr und hat die Lösung V 5 LsÙ. V 5 Ps ist hierbei nur im Falle von

Ù Os erfüllt. Der Prozess ; ç ist daher nur dann stationär, wenn Ù Os gilt. Ist

Ù Ls bzw. Ù Ps, handelt es sich um einen nichtHstationären RandomHWalkH Prozessbzw.umeinenexplodierendenProzess.

; ç LÙ 5 ; ç?5 E®EÙ ã ; ç?ã E7 ç , (3)

kannwiefolgthergeleitetwerden:

(4)

DiesistdieAutokovarianzfunktioneinesAR[L]HProzesses.DieACF

é LÙ 5 é ?5 E®EÙ ã é ?ã

(6)

folgt aus (5) durch Division der ProzessHVarianz ê Ò 6

LÛ 4 . (4), (5), (6) werden als YuleHWalkerHGleichungenbezeichnet ¹ .

AR[L]HModelle können unter der Stationaritätsbedingung in eine andere Modellklasseüberführtwerden,dieThemadesnächstenAbschnittesist. 3.2 MAHModelle

Ein stochastischer Prozess ; ç heißt MovingHAverageHProzess der Ordnung M oder

8

vorangegangenen Innovationen dargestellt, wobei die Innovationen unkorreliert sind.MA[M]HModellesindalsoeineendlichegewichteteSummevonunabhängigen Zufallsvariablenunddaherstetsstationär.MA[»]HProzessesindstationär,wenndie Koeffizienten absolut summierbar sind, also ÃÚ Ü O» gilt. Die

AutokovarianzfunktioneinesMA[M]HProzesssergibtsichzu cFÚ EÚ 5 Ú >5 E®EÚ ä? Ú ä gì Q M Û LJ rì PM ⁶ ê ^Î .

WeistmanfüreinenProzessnach,dassersichäquivalentzueinemMA[»]HProzess verhält,sokannüberdiesenWegdessenStationaritätgezeigtwerden.IsteinAR[L]H Prozess stationär, lässt er sich gerade als MA[»]HProzess darstellen. Dies soll am Beispiel eines AR>s?HProzesses mit Ù Os gezeigt werden. Rekursives Einsetzen

von(2)führtzu ; ç LÙ; ç?5 E7 ç LÙ ⁶ ; ç?6 EÙ7 ç?5 E7 ç L®LÃ Ù ^Ü 7 ç?Ü E7 ç , ^¶ mit absolut summierbaren Koeffizienten :Ù ^Ü ;. ; ç L Ã Ù ^Ü 7 ç?Ü E7 ç ,wird als Ü@4

¶ Ü@4

MA[»]HDarstellungdesAR>s?HProzessesbezeichnet.ÜberdieseArtderDarstellung kann ein relativ einfacher Zugang zur theoretischen Analyse hergestellt werden. JederProzess,dereinedoppeltunendlicheMAHDarstellungbesitzt,wirdalslinearer Prozess bezeichnet. Lineare Prozesse erhalten durch den Wold’schen Zerlegungssatz ² eine besondere Bedeutung. Hiernach lässt sich jeder stationäre Prozess eindeutig in zwei unkorrelierte Komponenten zerlegen. Eine Komponente ist dabei deterministisch, d.h. sie lässt sich exakt aus ihrer eigenen Vergangenheit vorhersagen.DieandereKomponenteistreinnichtHdeterministischundstellteinen MA[»]HProzessdar.

Um ein MA[M]HModell schätzen zu können, muss auf die beobachtbaren Größen zurückgegriffen werden. Die nichtHbeobachtbaren Innovationen selbst können nur über die empirischen Zeitreihenwerte geschätzt werden. Es ist also von zentraler Bedeutung, dass MA[M]HModelle in ARHModelle überführt werden können. Diese Eigenschaft wird als Invertierbarkeit bezeichnet. Hierzu muss der Prozess 7 ç als FiltrationdesProzesses; ç , 7 ç LÚ ^?5 :$;; ç ,

² Vgl.Wold(1938).

9

geschrieben werden können. Dies ist gegeben, wenn alle Nullstellen des charakteristischenPolynoms sFÚ 5 VFÚ 6 V ⁶ F®FÚ ä V ^ä Lr

außerhalb des Einheitskreises liegen. Jeder invertierbare MA[M]HProzess besitzt danneineAR[»]HDarstellung. DiessollanhandeinesMA>s?HProzesses

; ç L7 ç FÚ7 ç?5 (7) mitPÐ:durchrekursivesEinsetzenderModellgleichung(7)verdeutlichtwerden: ¶ Ü@5 7 ç L; ç EÚ7 ç?5 L; ç EÚ:; ç?5 EÚ7 ç?6 ; L®L; ç E Ã Ú ^Ü ; ç?Ü . ^¶ 7 ç L; ç E Ã Ú ^Ü ; ç?Ü

Ü@5 wirdalsAR[»]HDarstellungdesMA>s?HProzessesbezeichnet. DascharakteristischePolynomdesMA>s?HProzessesergibtsichzusFÚVLr,die

LösungistdemnachV 5 LsÚ.V 5 PsistnurimFallevonÚ Oserfüllt.Esmuss alsofürdenAR[»]HProzessÚ Osgelten,damiterstationärist. DieEigenschaftderInvertierbarkeitvonMAHProzessenistprimärnotwendig,umdie Innovationen und Koeffizienten über die empirischen Zeitreihenwerte schätzen zu können. Sie ist aber auch ein ergänzendes Kriterium zur Modellspezifikation, da unterschiedliche MAHProzesse der gleichen

Ordnung dieselbe Autokorrelationsfunktion nach sich ziehen können. Es liegt nahe, ARHProzesse mit

einem MAHFehlerterm zu modellieren und eine gemischte Modellklasse zu

konstruieren.DieseThematikwirdimnächstenAbschnitterörtert. 3.3 ARMAHModelle DieKombinationvonARHProzessenderOrdnungLmitMAHProzessenderOrdnung

[Lá M], kurz ARMA[Lá M]HProzesse. Die Definitionsgleichung ergibt sich aus einer

; ç LÙ 5 ; ç?5 E®EÙ ã ; ç?ã E7 ç FÚ 5 7 ç?5 F®FÚ ä 7 ç?ä

10

Ù:$;; ç L Ú:$;7 ç .

Die Eigenschaften der Stationarität und der Invertierbarkeit sind auch im ARMA[Lá M]HKontext von Relevanz. Liegen alle Wurzeln des charakteristischen PolynomsdesARHTeils sFÙ 5 VFÙ 6 V ⁶ F®FÙ ã V ^ã Lr

außerhalbdesEinheitskreises,hatderProzess; ç eineMA[»]HDarstellung ; ç LÙ:$; ^?5 Ú:$;7 ç .

EinARMA[Lá M]HProzessheißtdaherstationär,wennV 5 P sáåá+V ã +Pserfülltist.

Eristinvertierbar,wennalleWurzelndercharakteristischenGleichungdesMAHTeils sFÚ 5 VFÚ 6 V ⁶ F®FÚ ä V ^ä Lr

außerhalb des Einheitskreises liegen. Dann besitzt der ARMA[Lá M]HProzess eine AR[»]HDarstellung Ú:$; ^?5 Ù:$;; ç L7 ç .

Damit ist gezeigt, dass ein stationärer und invertierbarer ARMA[Lá M]HProzess sowohleineAR[»]H,alsauchalsMA[»]HDarstellungbesitzt.EinARMA[Lá M]HProzess lässt sich also unter geeigneten Bedingungen und ausreichend hohen Ordnungen durch einen reinen AR[L]H oder einen reinen MA[M]HProzess approximieren. Die folgendeTabellefasstdieBedingungenfürStationaritätundInvertierbarkeitinARH, MAHundARMAHProzessenzusammen.

Bedingungfür AR[–] MA[—]

Einheitskreises charakteristischen charakteristischen Invertierbarkeit

PolynomsdesMAH Polynomsliegen

Teilsliegenaußerhalb außerhalbdes

desEinheitskreises PasstmaneinergegebenenZeitreiheeinAR[L]H,einMA[M]HundeinARMA[L²á M²]H

^{Tabelle1:BedingungenfürStationaritätundInvertierbarkeitinARH,MAHsowieARMAHProzessen} Modellan,benötigtdasARMAHModellbeiannäherndgleicherAnpassungsgütedie

11

L² E M² Q M. ARMAHModelle sind also in der Lage, komplexes Verhalten einer

Zeitreihe bereits über eine geringe Anzahl an Parametern zu beschreiben ³ . Im RahmendesAnsatzesnachBox/Jenkins(1976)werdenmöglichstsparsameModelle favorisiert,umeinehohePrognosestabilitätzuerreichen.FolgtmandiesemPrinzip der Sparsamkeit, sind ARMA[Lá M]HModelle reinen AR[L]H bzw. MA[M]HModellen vorzuziehen ⁴ .

Ein weiterer Vorteil dieser gemischten Modellklasse zeigt sich bei einer Überlagerung unabhängiger ARMAHProzesse. Die Summe zweier ARMAHProzesse führt erneut zu einem ARMAHProzess. Seien die Ordnungen der unabhängigen

ARMAHProzesse>L 5 áM 5 ?und >L 6 áM 6 ?,danngiltfürdieOrdnung>Lá M?desdurchdie Summe beider Prozesse entstehenden neuen ARMAHProzesses LQL 5 EL 6 und

MQ ƒ š : L 5 EM 6 áL 6 EM 5 ;. An LQL 5 EL 6 zeigt sich zudem, dass eine Überlagerung zweier MAHProzesse einen reinen MAHProzess nach sich zieht, während eine Überlagerung zweier ARHProzesse meist einen gemischten ARMAH Prozess ergibt, dessen MAHTeil nichtHverschwindend ist. Liegt ein als WhiteHNoiseH Prozes unterstellter Beobachtungsfehler bei einem ARHProzess vor, führt dies

ebenfallszueinemARMAHProzess. Derartige aggregierte Zeitreihen sind insbesondere im ökonomischen Kontext von Relevanz. Hier sind u.a. Aggregationen über Haushalte oder Regionen hinweg gebräuchlich.AlsBeispielseidasBruttoinlandsprodukt(BIP)alsmakroökonomische Kennzahl für die Wertschöpfung eines Landes angeführt, dass sich gemäß der Verwendungsrechnung in jeder Periode aus der Summe von privaten Konsumausgaben, Bruttoinvestitionen, Staatsausgaben und dem Außenbeitrag ergibt. ARMAHModelle stellen demnach häufig eine adäquate Modellklasse für univariate ökonomische Zeitreihen dar. Da ökonomische Zeitreihen, wie das angeführte BIP, allerdings meist keinen stationären Verlauf aufweisen, sondern einemTrendfolgen,musseinewichtigeErgänzungeingeführtwerden. EinertrendbehaftetenZeitreihekanndirektkeinARMAHModellangepasstwerden. Möchte man dennoch ein ARMAHModell anpassen, kann dies nur für die

trendbereinigteZeitreiheerfolgen.IsteineexpliziteModellierungderinstationären

³ Vgl.Schlittgen(2001),S.63.

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Ausgangsreihe das Ziel, führt dies zu einer anderen Modellklasse, den ARIMAH Modellen.

3.4 ARIMAHModelle Autoregressive Integrierte MovingHAverageHModelle der Ordnung [Lá @á M], kurz als ARIMA[Lá @á M]HModellebezeichnet,könnenaufeinfacheWeiseInstationaritätenin Zeitreihenberücksichtigen.DerGradderDifferenzenbildung@gibthierbeian,wie häufigeinfacheDifferenzenzubildensind,umeinenstationärenARMAHProzesszu erzeugen. Allgemeingültig formuliert heißt ein stochastischer Prozess ; ç integriert

von der Ordnung @, ; ç 1+:@;, wenn seine @Hfachen Differenzen :s F $; ^× ; ç einen

stationärenProzessbilden.DieAusgangsreihefolgteinemARIMA[Lá @á M]HModell Ù:$;:s F $; ^× ; ç LÚ:$;7 ç

mitPÐ:und@Ð3 4 ,dasdurchIntegrationauseinemARMAHModellhervorgeht. DerTeil:s F $; ^× ; ç istdabeistationär.Gilt@Lr ,stelltdieAusgangsreihebereits einen stationären Prozess dar. Unter einem ARIMA[Lá @á M]HModell ist also ein Modell zu verstehen, dessen @Hte Differenzen einem ARMA[Lá M]HModell folgen.

Somit sind ARIMAHModelle eine geeignete Klasse, um differenzenHstationäre Prozesseabzubilden. Eine Zeitreihe kann zusätzlich saisonale Effekte aufweisen. Dies ist der Fall, wenn eine Beobachtung in einem bestimmten Monat von Beobachtungen der Vorjahre

desgleichenMonatsabhängt.ZeigteineZeitreihesolcheineSaisonfigur,kanndies durchAufnahmevonSaisondifferenzenimARIMAHModell Ù:$;:s F $; ^× :s F $ ^æ ; ^½ ; ç LÚ:$;7 ç mitOÐ3und&Ð3 4 berücksichtigtwerden.&gibtdabeian,wiehäufigsaisonale

DifferenzenderSaisonperiodeOzubildensind,umdieZeitreihevonderSaisonzu

bereinigen.FolgtmandemPrinzipderSparsamkeit,bietetsichallerdingseherdie Modellklasse der saisonalen ARIMAHModelle an. Ein SARIMA>Lá @á M? H >2á &á 3? æ H

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4 ModellspezifikationvonunivariatenZeitreihen

4.1 Ablauf

Die Modellspezifikation von univariaten Zeitreihen vollzieht sich grundsätzlich in vier Schritten. In einem ersten Schritt ist der Typ des DGP und seine Ordnung zu bestimmen.HierhatsichderAnsatznachBox/Jenkins(1976)alsStandardverfahren etabliert,welcheraufderACFundderPACFbasiert.BeideKennfunktionenweisen jenachzugrundeliegendemProzesscharakteristischeVerhaltensweisenauf,diees im Rahmen des Box/JenkinsHAnsatzes zu erkennen gilt. Handelt es sich bei ; ç um eineninstationärenARIMAoderSARIMAHProzess,sindzuerst@und&zuermitteln undderProzessgeeignetzustationarisieren,bevordieOrdnungenLundMsowie ggf.2und3bestimmtwerdenkönnen.

Der zweite Schritt dient der Parameterschätzung des Modells. Je nach Modelltyp sind dabei unterschiedliche Schätzverfahren anwendbar. Handelt es sich um ein reinesARHModell,kanndasModelleinfachergeschätztwerden,alswennessichum einMAHodereingemischtesARMAHModellhandelt.Aufein(S)ARIMAHModellsind nachgeeigneterDifferenzenbildungdieselbenSchätzverfahrenanwendbarwieauf einARMAHModell.

Sind die Modellparameter geschätzt, kann in einem dritten Schritt untersucht werden, ob alle Koeffizienten signifikant von null verschieden sind oder die Anpassung von SubsetHModellen angebracht ist. Ein SubsetHModell kennzeichnet dabei eine restringierte Neuschätzung des ursprünglich angepassten Modells, in dem insignifikante Parameterwerte null gesetzt werden. Enthält ein Modell insignifikanteParameter,wirdesalsüberangepasstbezeichnet.DieAnpassungvon SubsetHModellen ist damit Ausdruck des SparsamkeitHPrinzips, nach dem eine Überanpassungzuvermeidenist.DerdritteSchrittendetmiteinemVergleichder angepasstenModelle,umdasgeeignetsteModellzubestimmen. ImviertenundletztenSchrittistdieGütedervorgenommenenModellanpassungzu überprüfen. Ein Modell ist korrekt spezifiziert, wenn die empirischen Residuen als Realisationen eines WhiteHNoiseHProzesses angesehen werden können. Erst dann kann davon ausgegangen werden, dass alle systematischen Komponenten der Zeitreiheadäquatmodelliertsind.ZudemsinddieResiduenaufNormalverteilungzu überprüfen.NormalverteilteResiduensindnichtnureinezwingendeVoraussetzung

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zurAnwendungderMLHMethode,sondernvereinfachenauchdieÜberprüfungder ParameterrelevanzüberPHStatistiken.LiegtkeineNormalverteilungindenResiduen vor, kann dies eine Transformation der Ausgangsreihe nahelegen oder auf eine schlechteModellanpassunghindeuten.

Auf die einzelnen Schritte im Rahmen der Modellspezifikation von univariaten ZeitreihenwirddetailliertindennächstenAbschnitteneingegangen.

4.2 BestimmungderModellordnung BevoreingeeignetesModellfüreinegegebeneZeitreihespezifiziertwerdenkann, mussentschiedenwerden,obsiedieRealisationeinesinstationärenstochastischen Prozessesist.Zuerstist dieBetrachungundAnalysedesZeitreihenplotssowieder empirischenACFangezeigt.AmPlotlässtsichbereitserkennen,obessichumeine stationäre oder um eine instationäre Zeitreihe handelt. Die empirische ACF zeigt klare Verhaltensmuster bei trendH und saisonbehafteten Zeitreihen. Ist die Ausgangsreihetrendbehaftet,klingtdieACFnursehrlangsamab.Zeigtsiesaisonale Schwankungen,sindsieinderACFebenfallssichtbar. WeistdieZeitreiheeinenTrendund/odereineSaisonauf,istzuüberprüfen,wieoft einfache und saisonale Differenzen zu bilden sind. Das ist notwendig, da die Ordnungen Lá M sowie 2á 3 erst auf Basis der stationarisierten Reihe ermittelt werden können. Die Methode der variaten Differenzen stellt hierzu ein adäquates heuristisches Hilfsmittel dar ⁵ . Mit ihr können die benötigten Grade der Differenzenbildung @ bzw. & bestimmt werden. Es werden unterschiedliche Kombinationen von einfachen und saisonalen Differenzen gebildet und die Kombination aus @ und & ausgewählt, die das kleinste Varianzverhältnis der gefiltertenReihezurAusgangsreihe

:s F $; ^× :s F $ ^æ ; ^½ ; ç O ^{Ò 6} nach sich zieht. Die Auswahl erfolgt leicht anhand der ausgegebenen Tabelle von VarianzverhältnissenfürverschiedeneKombinationenaus@und&. Ist die Ausgangsreihe bereits stationär oder wurden in einem vorherigen Schritt

entsprechende Differenzen gebildet, können nun die Ordnungen des Prozesses

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einen stationären AR[L]HProzess gilt, dass die theoretische ACF é und tendenziell auch ihr empirisches Gegenstück é Ü nach dem Lag L exponentiell abklingt. Die

Rekursion

é Ü LÙ Ü 5 é Ü ?5 E®EÙ Ü ã é Ü ?ã mitìPrsolltedabeinäherungsweiseerfülltsein.DietheoretischePACFè zeigt einAbbrechennachdemLagL,

è Lrfürì PL, während die empirische PACF è Ü für ì PL mit großer Wahrscheinlichkeit

innerhalb der Grenzen G¾6 verbleibt. Aufgrund von è Ü ý 08:rá s6; entspricht die doppelte Standardabweichung in etwa einem 95%HSchwankungsintervall. ACF und PACF legen daher einen AR[L]HProzess nahe, wenn die ACF nach dem Lag L exponentiell abklingt und die PACF nach dem Lag L abbricht bzw. innerhalb der 95%HGrenzenverbleibt.DasletzteLaginderPACF,dassdie95%HGrenzenschneidet, wird damit als Ordnung L des ARHProzesses gewählt. Es kann davon ausgegangen werden, dass das Modell über das Lag L hinaus keine weiteren von null verschiedenen Koeffizienten besitzt. Zeichnen sich für spätere einzelne Lags signifikante Ausschläge in einer der Kennfunktionen ab, sind sie grundsätzlich nur dann in der Modellierung zu berücksichtigen, wenn es einen inhaltlichen Ansatzpunkt hierfür gibt. Der Grund für die fälschlicherweise ausgewiesene Signifikanz dieser vereinzelten Lags kann in dem Problem des multiplen Testens gesehenwerden,dafürjedesLagseparateinTestmit5%Irrtumswahrscheinlichkeit

durchgeführtwird. Liegt ein MA[M]HProzess vor, bricht die theoretische ACF é für ìPM ab. Für die empirischeACFé Ü giltnachdemLagMapproximativ ^{6 6} é Ü 108krá ks E té 5 E®Eté ä

o6o. DietheoretischePACFè klingtfürìPMexponentiellab.IhrempirischesPendant è Ü weist für ìPM tendenziell ebenfalls einen exponentiell abklingenden Verlauf ^{6 6} auf. ks E té 5 E®Eté ä

o6 gibt die asymptotische Varianz der empirischen ACF an und wird als Formel von Bartlett bezeichnet. So lassen sich BartlettHGrenzen

konstruieren,diederdoppeltengeschätztenStandardabweichung ⁶ E®Eté Ü ä

Gt§:s E té Ü 5

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entsprechen. Sie sind zudem aufgrund der asymptotischen Normalverteilung der empirischenAutokorrelationenals95%HSchwankungsintervallinterpretierbar.Über die BartlettHGrenzen kann daher die Ordnung M des MAHProzesses anhand der empirischen ACF ermittelt werden. Klingt die PACF für ìPM exponentiell ab und brichtdieACFnachdemLag Mabbzw.verbleibtfür ìPMinnerhalbderBartlettH Grenzen, spricht dies für einen MA[M]HProzess. Das letzte Lag, dass die Grenzen schneidet, wird zugleich als Ordnung M des MAHProzesses gewählt. Sollten vereinzelte spätere (inhaltlich irrelevante) Lags signifikante Ausschläge aufweisen, sindsieausdemobenerläutertenGrundinderRegelzuvernachlässigen. Bei stationären ARMA[Lá M]HProzessen gestaltet sich die Bestimmung der Ordnungen auf Basis der Kennfunktionen schwieriger. Sowohl ACF als auch PACF klingen exponentiell ab. Weisen die empirischen Kenngrößen also beide einen exponentiell abklingenden Verlauf auf und brechen nicht nach einem bestimmten Lagabruptab,sprichtdasfüreingemischtesModellderARMAHKlasse.Esgenügen meist schon geringe Werte für L und M, da ARMAHModelle geringer Ordnungen bereitskomplexesVerhaltenabbildenkönnen.

Die Tabelle 2 gibt die typischen Verhaltensmuster der Kennfunktionen für stationäreundinvertierbareARMAHModellewieder.

exponentiellab

Klingtexponentiellab ^{Tabelle2:TypischeVerhaltensmustervonACFundPACFfürstationäreundinvertierbareARMAHModelle} FürdenFall,dassdieAusgangsreiheeineSaisonfiguraufweistunddieMethodeder variatenDifferenzeneinenpositivenWertfür&ausgewiesenhat,könnenüberdie

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4.3 SchätzenderModellparameter

IstdieOrdnungbestimmt,sinddieParameterdesModellszuschätzen.Daesfürdie ParameterschätzungeinenUnterschiedmacht,obeinARH,MAHoderARMAHModell angepasst werden soll, werden die Verfahren im Folgenden nach Modelltypen getrenntvorgestellt,wobeifürjedenModelltypauchaufeinspezifischesVerfahren eingegangenwird.

DieSchätzverfahrenfürARHModellebasierenaufzentriertenReihen

(9) mit PÐ: und LÐ3 4 . 7 ç ist ein WhiteHNoiseHProzess mit ':7 ç ; Lr und

8=N:7 ç ; Lê ⁶ . Ù 5 áåáÙ ã áä sind die zu schätzenden Parameter. Es liegt nahe, ä überdenempirischenMittelwert: $ überalle6Beobachtungenzuschätzen. Speziell bei ARHModellen existiert eine einfache Beziehung zwischen Parametern und Autokorrelationen, die über die LevinsonHDurbinHRekursion genutzt werden kann, Schätzer mit sehr guten numerischen Eigenschaften zu erhalten. Diese É

­ Ù ã r. ÜberdieseDarstellungkönnendieé 5 áåáé ã undmitihnenrekursivdieé ermittelt werden. Die durch die YuleHWalkerHGleichungen gegebene Rekursionsbeziehung

kann auch dazu genutzt werden, die Ù 5 áåáÙ ã auf Basis der é zu schätzen. Zur SchätzungderParameterwerdenalsolediglichdieempirischenAutokorrelationen benötigt. Der Vektor der YuleHWalkerHSchätzer Ù ÜLk Ù Ü 5 áåáÙ Ü ã o" konvergiert für 6\» gegen den wahren Parametervektor Ù. Diese asymptotische Verteilungsaussage zeigt, dass sich YuleHWalkerHSchätzer bei langen Zeitreihen

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