i  Inhaltsverzeichnis  

Inhaltsverzeichnis

  Abk urzungsverzeichnis  iii

  Symbolverzeichnis  iv

  Abbildungsverzeichnis  v

1  Einleitung  1

1.1  Die Mission Mars Express  1

1.2  Motivation und Aufgabenstellung  2

2  Radio-Science Messungen  3

2.1  Messtechnik  3

2.2  Gravity-Messungen mit Radio Science  4

3  Rauschen und periodische Vorg ange  5

3.1  Definition und Ursache von Rauschen  5

3.2  Periodische Vorg ange  7

4  Fast Fourier Transformation und Powerspektrum  9

4.1  Periodische Funktionen  9

4.2  Nichtperiodische Vorg ange  11

4.3  Theorie zu DFT/FFT, Zero-Padding und MATLAB  12

4.4  Beispielanwendung der Fast Fourier Transformation  13

4.4.1  Sinus-Signale  13

4.4.2  Sinus-Signale mit Rauschen uberlagert  16

4.4.3  Spektralanalyse in Abh angigkeit vom Signal-Rausch-Verh altnis  20

5  Kovarianzfunktionen  24

5.1  Stochastische Prozesse  24

5.2  Autokovarianzfunktion  25

5.3  Kreuzkovarianzfunktion  28

5.4  Anwendung in MATLAB  28

5.5  Beispielanwendung der Kovarianzfunktionen  28

5.5.1  Rauschen  28

5.5.2  Sinus-Signale  32

5.5.3  Sinus-Signale mit Rauschen uberlagert  35

6  Auswertung der Daten  40

6.1  Auswertung der FFT und des Powerspektrums  40

6.2  Auswertung der Autokovarianzfunktion  43

6.3  Auswertung der Kreuzkovarianzfunktion  47

7  Zusammenfassung und Ausblick  54

  Literaturverzeichnis  55

ii  Inhaltsverzeichnis  

A  MATLAB-Skripte  56

  A.1 Skript zum Testen der Fast Fourier Transformation  56

  A.2 Skript zur Berechnung des Signal-Rausch-Verh altnis  66

  A.3 Skript zum Test der Autokovarianzfunktion  68

  A.4 Skript zum Test der Kreuzkovarianzfunktion  74

  A.5 Skript zur Berechnung der FFT / Leistungsdichtespektrum der Gravity-  

  Daten  79

  A.6 Skript zur Berechnung der Autokovarianzfunktion der Gravity-Daten  80

A  7 Skript zur Berechnung der Kreuzkovarianzfunktion der Gravity-Daten  83

iii Abk¨ urzungsverzeichnis

Abk¨ urzungsverzeichnis

iv Symbolverzeichnis

Symbolverzeichnis

v Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1

2 3 4 5 6

7 8 9

10 Fast Fourier Transformation mit ’’

50 Hz und 120 Hz-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 11 Zeitverlauf einer generierten pseudorandom Sequenz . . . . . . . . . . . . 17 12 Fast Fourier Transformation einer generierten pseudorandom Sequenz . . 17 13 Leistungsdichtespektrum einer generierten pseudorandom Sequenz . . . . 18 14 Zeitverlauf einesTestsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten . . . . 18 15 Fast Fourier Transformation eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 16 Fast Fourier Transformation mit ’’ Zero-Padding” eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 19 17 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 Leistungsdichtespektrum eines verrauschtenTestsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SN R 0 = −3 dBHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

19 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SN R 0 = 9 dBHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 20 Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SN R 0 = 21 dBHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 21 Zeitverlauf eines verrauschten Testsignals mit 120 Hz-Komponente und einem SN R 0 = 21 dBHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 22 M¨ ogliche Verwirklichungen eines stochastischen Prozesses (Zeit-Reihen) . 24 23 Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz . . . . . 29 24 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 25 Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz, gefiltert 30 26 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion einer generierten pseudorandom Sequenz, gefiltert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 27 Kreuzkovarianzfunktion zweier generierter pseudorandom Sequenzen . . . 31 28 Autokovarianzfunktion eines Testsignals mit 20Hz-Komponente . . . . . 32 29 Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines Testsignals mit 20Hz-Komponente 33 30 Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 20 Hz und 40 Hz-Komponenten 33 31 Ausschnitt der Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 20 Hz und 40 Hz-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 32 Kreuzkovarianzfunktion zweier Testsignale mit 50 Hz und 120 Hz-Komponenten 34 33 Zeitverlauf eines verrauschten Testsignals mit 20 Hz-Komponente . . . . 35

vi  Abbildungsverzeichnis  

34  Leistungsdichtespektrum eines verrauschten Testsignals mit 20 Hz-Komponente  36

35  Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Hz-Komponente  36

36  Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit  

20  Hz-Komponente  37

37  Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit 20 Hz-Komponente,  

  gefiltert  37

38  Ausschnitt der Autokovarianzfunktion eines verrauschten Testsignals mit  

20  Hz-Komponente, gefiltert  38

39  Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale mit 20 Hz und  

40  Hz-Komponenten  38

40  Ausschnitt der Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale  

  mit 20 Hz und 40 Hz-Komponenten  39

41  Kreuzkovarianzfunktion zweier verrauschter Testsignale mit 50 Hz und  

  120 Hz-Komponenten  39

42  Darstellung des ersten Datensatzes  40

43  Darstellung des zweiten Datensatzes  41

44  Fast Fourier Transformation der Gravity-Daten des ersten Datensatzes  41

45  Fast Fourier Transformation der Gravity-Daten des zweiten Datensatzes  42

46  Powerspektrum der Gravity-Daten des ersten Datensatzes  42

47  Powerspektrum der Gravity-Daten des zweiten Datensatzes  43

48  Autokovarianz des ersten Datensatzes  44

49  Ausschnitt der Autokovarianz des ersten Datensatzes  44

50  Autokovarianz des ersten Datensatzes, gefiltert  45

51  Autokovarianz des zweiten Datensatzes  45

52  Ausschnitt der Autokovarianz des zweiten Datensatzes  46

53  Autokovarianz des zweiten Datensatzes, gefiltert  46

54  Kreuzkovarianz des ersten und zweiten Datensatzes  47

55  Der Vulkankrater Caldera des Olympus Mons.  48

56  Darstellung des ersten Datensatzes des  

  Uberflugs von Olympus Mons  48

57  Darstellung des zweiten Datensatzes des  

  Uberflugs von Olympus Mons  49

58  Darstellung des dritten Datensatzes des  

  Uberflugs von Olympus Mons  49

59  Darstellung des vierten Datensatzes des  

  Uberflugs von Olympus Mons  50

60  Kreuzkovarianz des ersten und zweiten Datensatzes  50

61  Kreuzkovarianz des ersten und dritten Datensatzes  51

62  Kreuzkovarianz des ersten und vierten Datensatzes  51

63  Kreuzkovarianz des zweiten und dritten Datensatzes  52

64  Kreuzkovarianz des zweiten und vierten Datensatzes  52

65  Kreuzkovarianz des dritten und vierten Datensatzes  53

1 1 Einleitung

1 Einleitung

1.1 Die Mission Mars Express

Seit dem Jahr 2003 liefert die Raumsonde Mars-Express wertvolle Daten zur Erforschung des Mars und seiner Monde. Mars-Express fliegt in einer polaren, elliptischen Umlaufbahn um den Planeten Mars und absolviert unter anderem Vorbeifl¨ uge am Marsmond Phobos (siehe Abb. 1). Bei diesen Vorbeifl¨ ugen werden Schwerefeldmessungen durchgef¨ uhrt, die zur Ermittlung der Masse von Phobos beitragen sollen. Von der Raumsonde werden Signale an die Bodenstationen gesendet. Die Ver¨ anderungen dieser Signale werden ausgewertet, sodass man auf den Einfluss des Himmelsk¨ orpers auf die Raumsonde schließen kann. Eine Vorhersage der erwarteten Ver¨ anderungen ist durch physikalische Modelle hergeleitet. Das beobachtete Signal kann Abweichungen von der Vorhersage des verwendeten Modells enthalten. In diesen Abweichungen sind neue Informationen enthalten, die es erm¨ oglichen das Modell zu verbessern. Die zu untersuchenden

Daten bestehen aus dem empfangenen Signal nach dem Abziehen der Vorhersage. Diese werden im Folgenden ’’ Residuen” genannt.

Abbildung 1: Vorbeiflug von Mars-Express an Phobos. (Aus [ESA(2008)])

2 1 Einleitung

An der Bodenstation entsteht beim Empf¨ anger thermisches Rauschen, das durch elektrische Schaltungen verursacht wird. Dieses unerw¨ unschte St¨ orsignal ¨ uberlagert sich mit

dem ankommendem Signal, sodass die Information aus dem Rauschen gewonnen werden muss. Als Maß f¨ ur die Qualit¨ at des Signals gilt das Signal-Rausch-Verh¨ altnis (SNR, Signal-to-Noise-Ratio). Es ist definiert als Verh¨ altnis zwischen der Signalleistung und der Rauschleistung. Je h¨ oher der Wert des SNR ist, desto geringer ist der Einfluss des Rauschens auf die Messung. Das bedeutet, dass der prozentuale Fehler in dem Wert der ermittelten physikalischen Gr¨ oße kleiner wird.

1.2 Motivation und Aufgabenstellung

Zur Verbesserung des Signal- zu Rauschverh¨ altnis wurde zun¨ achst auf die Filtertheorie zur¨ uckgegriffen. In der Verarbeitung von analogen Signalen bestehen Filter aus passiven, sowie auch aus aktiven Bauteilen. Wenn die Bandbreitenbelegung des Eingangssignals begrenzt ist, reduzieren Filter das Rauschen ohne das Signal zu beeintr¨ achtigen. In der Digitalverarbeitung ist es m¨ oglich denselben Effekt durch Berechnungen zu erreichen. Diese Technik ist bekannt als ’’ Numerical Filtering“. Die Verbesserung des Signal- zu

Rauschverh¨ altnis mit verschiedenen numerischen Filterverfahren wurde untersucht und geeignete Filter wurden bestimmt. Dies f¨ uhrte dazu, dass der Fehler bei der Massenbestimmung von Phobos um den Faktor 2-3 reduziert werden konnte. (Siehe [Stiffel(2008)]) Um die Genauigkeit der Ergebnisse zu erh¨ ohen, werden in dieser Arbeit die Residuen weiter untersucht, um inh¨ arente Eigenschaften zu identifizieren, die eine noch wirkungsvollere Verarbeitung erm¨ oglichen. Ziel der Analyse ist es, n¨ utzliche Information, die eventuell noch im Residuum enthalten ist, aus dem Hintergrundrauschen zu gewinnen. Dies f¨ uhrt zum einen zu einer Verbesserung des ausgew¨ ahlten Modells und zum anderen zu einer Optimierung des Filterverfahrens.

Die Analysen, die im weiteren Verlauf durchgef¨ uhrt werden, bedienen sich klassischen Techniken der Statistik und der Signalverarbeitung. Angewendet werden sowohl die Fast Fourier Transformation (FFT) zur Berechnung des Powerspektrums, als auch die Autokovarianz- (AKV-) und Kreuzkovarianzfunktion (KKV-Funktion), sowie die spektrale Leistungsdichte.

Diese Studie soll zur Entwicklung eines Tools zur Analyse des Rauschens von Gravity-Daten beitragen, welches unter anderem Anwendung und Erweiterung von vorhandenen Filtern zur Verminderung des Rauschens erm¨ oglicht.

3 2 Radio-Science Messungen

2 Radio-Science Messungen

2.1 Messtechnik

Die Schwerefeldmessungen finden mit Hilfe der Radio-Science Technik statt. Die Radiosignale, die zur Kommunikation zwischen den Bodenstationen auf der Erde und der Raumsonde verwendet werden, k¨ onnen auch f¨ ur wissenschaftliche Studien, bzw. Experimente, genutzt werden. In diesem Fall wird das reine Tr¨ agersignal ohne modulierende Kommunikationssignale benutzt. Das Radio-Tr¨ agersignal wird von der Raumsonde ausgesendet und breitet sich im interplanetaren Raum aus. Durch die Ausbreitung durch neutrale Medien, wie zum Beispiel Planetenatmosph¨ aren, und ionisierten Medien, wie zum Beispiel Ionosph¨ aren, Sonnenwind und Sonnenkorona, sowie durch Reflexion an Planetenoberfl¨ achen entstehen ¨ Anderungen der Signalparameter. Bei der Radio-Science wird das Radio-Tr¨ agersignal auf kleine ¨ Anderungen in Frequenz (Phase), Amplitude

und Polarisation untersucht. Die wissenschaftlichen Anwendungsbiete der Radio-Science Technik sind Schwerefelder der Planeten, Monde, Asteroiden und Kometen, Neutralatmosph¨ aren, Ionosph¨ aren, Sonnenkorona, Oberfl¨ achen (Bistatisches Radar), Planetenringe, Gravitationswellen und Kometenkoma (Staub und Gas).

F¨ ur einen optimalen Signalempfang sind die Bodenstationen von großer Bedeutung. Zum Empfang der wissenschaftlichen Daten und Aussendung der Kommandos zur Telekommunikation der Raumsonden werden die NASA-Antennenkomplexe des Deep Space Network (DSN) und die neuen Antennen der ESA in Perth, Australien, sowie in Ceberos, Spanien, genutzt. Danach k¨ onnen diese Daten weiter prozessiert werden. Die empfangenen Signale, die von der Raumsonde ausgesendet wurden, weisen nur geringe Leistungen auf. Dies liegt daran, dass die verf¨ ugbare Sendeleistung der Raumsonde aus technischen und finanziellen Gr¨ unden sehr begrenzt ist und gleichzeitig sich der Raumflugk¨ orper viele hundert Millionen Kilometer von der Erde entfernt befindet. Die Leistung verteilt sich auf kugelf¨ ormigen Fl¨ achen, das heißt, dass sie umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist. Daraus resultiert, dass die Bodenstationen mit riesigen Satellitensch¨ usseln ausgestattet sein m¨ ussen. Dadurch kann die Fangfl¨ ache der Antenne mehr der einfallenden Leistung des Radiosignals aufnehmen und es k¨ onnen kaum wahrnehmbare Signale aus dem thermischen Hintergrundrauschen herausgepickt werden. Zudem wird hierbei auf die Minimierung des Eigenrauschens geachtet und die ◦ C, abgek¨ uhlt. Empfangssysteme auf 30K, etwa −243

Eine besonders hohe Pr¨ azision ist bei der Bewegung der Antenne gefragt, damit die Daten ¨ uber l¨ angere Zeit gesendet und empfangen werden k¨ onnen. Der sogenannte Tracking Error”, der bei der Nachf¨ uhrung der Antenne entsteht, darf in Abh¨ angigkeit

’’

von der Sendefrequenz nur wenige Tausendstel bis Hundertstel Grad betragen. Die neuen Antennen der ESA in Perth, Autralien, 35 m (siehe Abb. 2), und in Ceberos, Spanien, 35 m, und auch das Deep Space Network (DSN) der NASA, 34 m und 70 m, mit den Antennenkomplexen in Kalifornien, Spanien und Australien, geh¨ oren zu den Bodenstationen, die als Bestandteil des sogenannten ’’ Groundsegment”, den Betrieb

einer Weltraummission wie Mars-Express erm¨ oglichen. Die Komplexe des DSN sind so angeordnet, dass sie jeweils etwa 120 L¨ angengrade voneinander entfernt sind. Dadurch ist gew¨ ahrleistet, dass trotz der Erdrotation zu jeder beliebigen Raumsonde permanent Kontakt gehalten werden kann.

Die Informationen, die aus den Messungen bei den Bodenstationen empfangen werden,

4 2 Radio-Science Messungen

sind Amplitude, Frequenz und Polarisation des Radiosignals und werden als Funktion der Zeit an der Bodenstation gespeichert. Durch Verarbeitung und Auswertung dieser Daten k¨ onnen Aussagen ¨ uber die untersuchten physikalischen Gr¨ oßen, (in diesem Fall die Masse des Mars Mondes Phobos) getroffen werden. (Aus [Radio Science Uni K¨ oln(2008)])

Abbildung 2: Bodenstation der ESA in New Norcia (bei Perth, Australien, 35 m Durchmesser. (Aus [Radio Science Uni K¨ oln(2008)])

2.2 Gravity-Messungen mit Radio Science

Die Gravitationskr¨ afte der Himmelsk¨ orper f¨ uhren Bahn¨ anderungen und somit auch Geschwindigkeits¨ anderungen der Raumsonde herbei. Dies wirkt sich auf die Frequenz des Tr¨ agersignals aus. Die Messungen werden im so genannten ’’ Two-Way-Mode” durchgef¨ uhrt. Hierbei handelt es sich um ein Phasenkoh¨ arentes Verfahren: Das von der Bodenstation Up-Link Tr¨ agersignal wird nach dem Empfang in der Raumsonde wieder als Down-Link zur¨ uckgesendet. Damit es nicht zu Interferenzen zwischen dem Up-Link und dem Down-Link Signalen kommt, wird die Frequenz des empfangenen Up-Link Signals um einen festen Faktor versetzt. Somit funktioniert die Raumsonde einfach als ’’ Spiegel”

und das Signal kann wieder auf der Erde empfangen und ausgewertet werden. Da das Radio-Signal an der Bodenstation von einem H 2 -Maser Oszillator gesteuert −15 ) und erm¨ oglicht somit sehr genaue Messungen der wird, ist es sehr stabil (Δf/f ∼ 10

Geschwindigkeit und Entfernung des Satelliten entlang der Sichtlinie zwischen der Bodenstation und dem Satelliten selbst, sodass die Bahn¨ anderungen mit der erforderlichen Genauigkeit untersucht werden k¨ onnen.

Die Frequenzvorhersagen basieren auf komplexen Modellen, die neben dem Gravitationsfeld der Himmelsk¨ orper auch den klassischen Dopplereffekt, sowie die Effekte der Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen in der planetarischen Atmosph¨ are mit ber¨ ucksichtigen. F¨ ur jede Messung wird eine Vorhersage berechnet und dann von den gemessenen Daten abgezogen. Das daraus resultierende Residuum wird untersucht. Es wird dabei gepr¨ uft, ob noch Restinformation vorhanden ist. Dadurch kann man neue Information gewinnen und somit das Modell verbessern.

5 3 Rauschen und periodische Vorg¨ ange

3 Rauschen und periodische Vorg¨ ange

3.1 Definition und Ursache von Rauschen

Rauschen ist praktisch allgegenw¨ artig. Es tritt in unterschiedlichen Formen auf. In der Natur kann man das Rauschen eines Wasserfalls h¨ oren. Dies entsteht durch das Aufeinanderprallen vieler Tr¨ opfchen. Die jeweiligen Schallwellen dieser Zusammenst¨ oße uberlagern sich und sind als Rauschen h¨ orbar. Auch in der Elektronik taucht Rau¨

schen auf. Bekannt sind das Rauschen im Lautsprecher der Stereoanlagen oder bei Bild¨ ubertragungen mittels Satelliten aus dem Weltraum. Allgemein kann man sagen, dass Rauschen auftritt, wenn man durch immer h¨ ohere Verst¨ arkung beliebig kleine Signale messbar, h¨ orbar oder sichtbar machen m¨ ochte. Da verschiedene Arten von Rauschen existieren, werden im Folgenden einige Arten vorgestellt. Zun¨ achst gibt es das Thermische Rauschen, das auch das Johnson- oder Nyquist-Rauschen genannt wird. Dieses Rauschen entsteht aufgrund der Brownschen Bewegung der Ladungstr¨ ager in elektrischen Schaltkreisen. Dies ¨ außert sich besonders bei ohmschen Widerst¨ anden. Im stromlosen Zustand ist eine Leerlauf-Rauschspannung an den Enden der Widerst¨ ande messbar. Wenn die Enden kurzgeschlossen werden, fließt ein Kurzschluss-Rauschstrom. Diese Werte sind von der Temperatur abh¨ angig und bilden einen stochastischen Prozess (Stochastische Prozesse werden in Kapitel 5 beschrieben). Die Varianz der Rauschspannung berechnet sich wie folgt:

² σ U = 4kT BR , (1) W

−23 wobei k = 1, 38 · 10 die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur in [K], B

HzK

die Messbandbreite in [Hz] und R der Widerstand in [Ω] sind. Daraus ist zu erkennen, dass bei 0K keine thermische Bewegung stattfindet und dadurch ein rauschfreier Widerstand entsteht. Je h¨ oher die Temperatur ist, desto h¨ oher ist das Thermische Rauschen. Eine andere Art des Rauschens ist das Schrotrauschen. Dies tritt nur auf, wenn Strom fließt und dieser eine Potentialschwelle ¨ uberwinden muss. Hierbei m¨ ussen die

Ladungstr¨ ager eigene kinetische Energie nutzen, die keine deterministische Gr¨ oße ist, sondern durch eine statistische Verteilung charakterisiert ist. Daraus ergibt sich eine geringe Schwankung der Flussdichte um einen Mittelwert. Beim Schrotrauschen h¨ angt die Gr¨ oße des Rauschens von der Gr¨ oße des fließenden Stromes ab. Eine direkte Temperaturabh¨ angigkeit wie beim Thermischen Rauschen ist nicht erkennbar. Das Auftreten von Schrotrauschen ist typisch bei Sperrstr¨ omen bei Dioden und Transistoren, Bias-und Gateleckstr¨ omen, Photostrom und Dunkelstrom bei Photodioden und Vakuum-Photozellen, sowie bei Anodenstrom von Hochvakuum-R¨ ohren. Das Funkelrauschen ist eine weitere Form des elektronischen Rauschens und tritt bevorzugt in tieferen Frequenzbereichen auf. Es entsteht bei Elektronenr¨ ohren, wenn durch spontane Umkristallisationen langsame ver¨ anderliche Emissionen einzelner Gebiete der geheizten Kathode stattfinden. Die emittierten Elektronen funkeln an der Oberfl¨ ache der Kathode.

Als einen idealisierten regellosen Vorgang (zuf¨ alliger Prozess) definiert man das ’’ weiße

Rauschen”. Charakteristisch f¨ ur dieses Rauschen ist, dass die spektrale Leistungsdichte konstant ¨ uber das gesamte Frequenzspektrum ist: Im weißen Rauschen sind alle Fre- quenzen enthalten. Aus diesem Grund ist der Name entstanden, da die Summe aller

6 3 Rauschen und periodische Vorg¨ ange

Wellenl¨ angen im sichtbaren Bereich vom menschlichen Augen als weiße Farbe wahrgenommen wird. Eine weitere wichtige Eigenschaft, ¨

wird, ist die ’’ Stationarit¨ at”: Ein Prozess wird als station¨ ar definiert, wenn seine statistischen Parameter konstant ¨ Stationarit¨ at siehe Kapitel 5). In der Realit¨ at kann kein derartiger Prozess existieren, da jedes physikalische System nur ¨ uber eine beschr¨ ankte Bandbreite verf¨ ugt. Demzufolge wird der Begriff in der Praxis eher zur Kennzeichnung von station¨ aren Zufallsprozessen verwendet, die in einem beschr¨ ankten Frequenzbereich eine konstante Leistungsdichte aufweisen (siehe Abb. 3). Statistisch weist das weiße Rauschen eine Gaußsche Verteilung, auch ’’ Normalverteilung”

genannt, der Amplitudenwerte auf (siehe Abb. 4).

Abbildung 3: Leistungsdichte f¨ ur weißes Rauschen. (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

Abbildung 4: Amplitudenverteilung von Gaußschem Rauschen. (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

Zus¨ atzlich zum weißen Rauschen, zu dem das Thermische Rauschen und das Schrotrauschen geh¨ oren, existieren noch das so genannte ’’ Rosa Rauschen” und das ’’ Rote

Rauschen”. Das rosa Rauschen ist im Bereich der Akustik n¨ utzlich, da das Rauschsignal die gleiche Leistung nicht im absoluten Frequenzintervall, das in Hz angegeben wird, enth¨ alt, sondern pro relativem Frequenzintervall, wie einer Oktave oder Terz. Es wird daher auch 1/f -Rauschen genannt. Beim roten Rauschen nimmt der Amplitudenverlauf umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenz ab, sodass dieses Rauschen auch als ² -Rauschen bezeichnet wird. (siehe [HAMEG Instruments(2005)]) 1/f

7 3 Rauschen und periodische Vorg¨ ange

Wesentlich h¨ aufiger kommen Prozesse in der Natur vor, bei denen die Leistungsdichte im Bereich niedriger Frequenzen am gr¨ oßten ist und nach h¨ oheren Frequenzen hin gleichm¨ aßig abnimmt. Dies entspricht dem beschriebenem roten Rauschen. Da viele regellose Vorg¨ ange in der Natur kein rotes Spektrum mit monoton nach h¨ oheren Frequenzen abfallender Leistung besitzen, sondern in gewissen Bandbereichen dominierende Amplituden haben, spricht man auch von farbigen Rauschen (siehe Abb. 5).

Abbildung 5: Leistungsdichte f¨ ur rosa Rauschen (beide Skalen logarithmisch). (Aus [HAMEG Instruments(2005)])

3.2 Periodische Vorg¨ ange

Da es bei manchen stochastischen Prozessen einen Zusammenhang gibt zwischen dem Zeitablauf des Signals und dessen statistischen Eigenschaften, ist es m¨ oglich die zeitliche Korrelationsfunktion als statistische Korrelation zu interpretieren. Es handelt sich dabei um besondere Prozesse, unter denen auch das weiße Rauschen z¨ ahlt, die der Eigenschaft der ’’ Ergodizit¨ at” besitzen. (In dieser Arbeit wird nicht auf die Therorie der ergodischen Prozesse eingegangen; f¨ ur eine Betrachtung des Themas sei auf Fachliteratur hingewiesen.)

Da die Fourier Transformation der Spektralleistungsdichte laut dem ’’ Wiener-Kintchine

Theorem” gleich die Zeitkorrelation ist, kann man aufgrund der o.g. Ergodizit¨ at zeigen, dass die einzelnen Werte der Rauschamplitude keinen Zusammenhang mit den vorherigen Werten zeigen, unabh¨ angig davon wie kurz das Zeitintervall zwischen den Samples ist (Korrelation = 0). Daraus ergibt sich, dass idealerweise kein periodisches Rauschen an sich existiert. In der Tat erlaubt die Begrenzung der Bandbreite der mit hineingezogenen Systemen keine unendliche Signalgeschwindigkeit. Das heißt, dass die einzelnen Rauschen-Samples einen gewissen Korrelationsgrad aufweisen. Trotzdem kann man in der folgenden Analyse des Rauschen als nicht periodisch (unkorreliert) betrachten, da die gesuchte Information einen h¨ oheren Korrelationsgrad aufweist. Demzufolge nimmt man an, dass periodische Vorg¨ ange, die eventuell in den Residuen auftauchen, die Anwesenheit von n¨ utzlicher Information verraten. Zu diesem Zweck wird eine Spektralanalyse der Residuen durchgef¨ uhrt: Sollten sich im Powerspektrum ei- nige Frequenzen deutlich vom Hintergrundrauschen abheben, ist anzunehmen, dass sich

8 3 Rauschen und periodische Vorg¨ ange

periodische Vorg¨ ange dahinter verbergen. Diese gilt es zu selektieren und in die Modellfunktionen einzurechnen, damit so viel wie m¨ oglich vom Signal aus den gemessenen Daten genommen werden kann. Eine andere M¨ oglichkeit, die sich anbietet, ist, dass man die Information ¨ uber die erkannten Frequenzen nutzen kann, um optimal abgestimmte Filter zu berechnen. Die somit hergestellten numerischen Filter kann man auf die Residuen anwenden, um das Signal deutlicher aus dem Hintergrundrauschen auftauchen zu lassen.

9 4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

4.1 Periodische Funktionen

Periodische Funktionen k¨ onnen mit Hilfe der Fourierreihe entwickelt werden. Dabei wird die periodische Funktion in Sinus- und Cosinus-Anteile zerlegt und aufsummiert. Um die entsprechende Funktion als Fourierreihe darstellen zu k¨ onnen, m¨ ussen bestimmte Voraussetzungen gelten. Die periodische Funktion x(t) ist eindeutig und besitzt die unabh¨ angige Variable t mit der Periode T . Zudem gen¨ ugt sie den Dirichletschen Bedingungen. Das bedeutet, x(t) besitzt h¨ ochstens endlich viele Diskontinuit¨ aten, Maxima und Minima in einem endlichen Intervall. Die letzte Voraussetzung ist die Beschr¨ anktheit der Funktion T |x(t)|dt ≤ c < ∞ , (2) 0

Nun kann x(t) in Form der Fourierreihe

∞ x(t)

= dargestellt werden. Aufgrund der vorherigen Bedingungen konvergiert diese Reihe. Wo x(t) stetig ist, nimmt die Reihe auch den Wert x(t) an. In den Unstetigkeitsstellen wird das Mittel des rechts- und linksseitigen Grenzwertes der Funktionen an diesen Unstetigkeitsstellen angenommen.

Die Fourierkoeffizienten sind die Konstanten a n und b n und sind aus x(t) bestimmbar. Die Gleichung 3 wird auf beiden Seiten mit cos (2πf 0 mt) bzw. sin (2πf 0 mt) multipliziert. Durch die Integration bez¨ uglich t von 0 bis T erh¨ alt man f¨ ur die Fourierkoeffizienten die Ausdr¨ ucke T

a n =

b n =

0

Es ist allerdings vorteilhafter x(t) in komplexer Fourierreihen-Darstellung anzugeben, da es mathematisch besser gehandhabt werden kann. Unter Anwendung von

cos (2πnf 0 t) = sin (2πnf 0 t) =

2i

l¨ asst sich die Gleichung 3 in folgender Form darstellen:

10 4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

∞ ∞ x(t)

= F¨ ur n werden negative Werte eingef¨ uhrt und unter Ber¨ ucksichtigung von

T

a −n =

b −n = −

0

folgt f¨ ur den letzten Term der Gleichung 6 ∞ −∞

Damit ergibt sich f¨ ur die periodische Funktion ∞

x(t) =

mit

1

(a n − ib n ) , n = 0, ±1, ±2, ± . . . . X n = (10)

2

Durch Einsetzten der Beziehungen aus 4 in die Gleichung 10, erh¨ alt man

T

X n =

0

Damit kann eine gegebene periodische Funktion x(t), die den Dirichletschen Bedingungen gen¨ ugt, im Intervall von 0 bis T durch die Fourierreihe 9 mit den komplexen Fourierkoeffizienten 10 dargestellt werden. Die periodische Funktion x(t) wird mit Hilfe −i2πnf 0 t und Bildung des Mittel- Gleichung 11 und der Multiplikation von x(t) mit e wertes dieses Produkts ¨ uber der Periode T in ihre spektralen Anteile zerlegt. Es entsteht ein diskretes Linienspektrum, da n nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Dieses Spektrum stellt die Zerlegung von x(t) mit der Grundfrequenz f 0 und deren ganzzahlige Vielfache nf 0 dar.

Laut des Parsevalschen Theorem ist die Leistung von x(t) gleich der Summe ¨ uber

² wird als Podas Absolutquadrat des komplexen Spektrums X(f ). Die Gr¨ oße |X(f )|

werspektrum der Funktion x(t) bezeichnet. (vgl. [Baher(1990)]) Es gilt

T

∞

⁰ n=−∞

11 4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

Das Powerspektrum zeigt ein diskretes Spektrum, das Peaks bei den entsprechenden Frequenzen bildet. Zus¨ atzlich zum Powerspektrum unterscheidet man das Amplitudenspektrum, das mit |X(f )| gebildet wird, und das Phasenspektrum, das den Winkel der

Fourier Transformierten arg(X(f )) darstellt.

4.2 Nichtperiodische Vorg¨ ange

Bei nichtperiodischen Vorg¨ angen ist die Darstellung eines diskreten Linienspektrums gem¨ aß Gleichung 11 nicht m¨ oglich. Hier ist allerdings die M¨ oglichkeit gegeben eine kontinuierliche Spektralverteilung anzugeben. Eine Funktion x(t) muss auf einem beliebigen Intervall den Dirichletschen Bedingungen gen¨ ugen und kann dann als Fourier-Integral

∞

x(t) = −∞ mit

∞

X(f ) = −∞ bzw. in der Form

∞ ∞

x(t) = −∞ −∞

dargestellt werden. In einer modifizierten Form gilt auch hier, dass das Integral ∞

|x(t)|dt beschr¨ ankt ist. In diesem Fall konvergiert das Integral und x(t) geh¨ ort

−∞

zu der Klasse der absolut integrierbaren Funktionen. Vorg¨ ange, die zu einem festen Zeitpunkt beginnen und eine endliche Energie besitzen, geh¨ oren zu dieser Klasse. Die Kreisfrequenz ω = 2πf wird eingef¨ uhrt und die Gleichungen 13 und14 lassen sich wie folgt schreiben

∞

x(t) =

−∞ mit

∞

X(ω) = −∞

Das Fourier-Integral 14 konvergiert f¨ ur alle reellen Werte von f , wenn x(t) absolut integrierbar ist. X(f ) ist die Darstellung von x(t) im Frequenzbereich. Dies wird als komplexes Spektrum von x(t) bezeichnet. Die Synthese einer nichtperiodischen Funktion aus einem unendlich breiten kontinuierlichen Spektrum X(f ) stellt die Gleichung 13 dar. Die Zeitfunktion x(t) erscheint als Superposition von komplexen Schwingungen i2πf t . Dabei ist aus Gleichung 13 erkennbar, dass jede Schwingung einen infinitesi- e

malen Faktor X(f )df hat anstatt eines endlichen. Gleichung 14 zufolge l¨ asst sich die nichtperiodische Funktion unter den Dirichletschen Bedingungen in ein kontinuierliches Frequenzspektrum zerlegen. (siehe [Buttkus(1991)])

12 4 Fast Fourier Transformation und Powerspektrum

4.3 Theorie zu DFT/FFT, Zero-Padding und MATLAB

Die Daten, die analysiert werden sollen, bestehen aus Sequenzen. Diese entstehen durch die Abtastung des analogen Signals. Das bedeutet, dass keine kontinuierlichen Signale vorliegen und die Diskrete Fourier Transformation angewendet werden muss. Dadurch kommt es zu einer diskreten Darstellung. Die Werte des diskreten Spektrums entsprechen den Koeffizienten der Fourierreihenentwicklung des unterliegenden kontinuierlichen Signals. Bei der DFT wird eine Anzahl ’’ N” von Samples analysiert, die eine Zeitspanne von ’’ T” Sekunden entspricht. Der Abstand zwischen den Spektralsamples (Frequenz- ¹ aufl¨ osung) ist gleich . Ein wichtiger Aspekt ist, dass sich die Signaleigenschaften ¨ uber

T

die Periode T ¨ andern k¨ onnten. Dadurch kommt es zu einem Konflikt zwischen der Stationarit¨ at und der Aufl¨ osung des Spektrums. Hier muss f¨ ur jeden einzelnen Fall ein Kompromiss geschaffen werden.

Wenn die Aufl¨ osung im Frequenzbereich nicht optimal ist, k¨ onnen nahe aneinander liegende Peaks zu einem verschmelzen. Um eine bessere Aufl¨ osung zu bekommen, wird auf die Methode des ’’ Zero-Padding” zur¨ uckgegriffen.

Da die Frequenzaufl¨ osung die Inverse der Beobachtungszeit (Periode T ) ist, gilt es zur Verbesserung der Spektralaufl¨ osung die Periode zu verl¨ angern ohne dass sich die zu untersuchenden Signalparameter signifikant ver¨ andern. Dies kann erreicht werden, wenn Nullen zur beobachteten Periode hinzugef¨ ugt werden. Somit wird die urspr¨ ungliche verl¨ angert und die Frequenzaufl¨ osung um den Faktor Periode in T verbessert (siehe

T

Abb. 6 und 7). Dazu muss beachtet werden, dass durch ’’ Zero-Padding” keine neue

Information hinzugef¨ ugt wird: Diese Methode dient nur zu einer besseren Darstellung der schon vorhandenen Information.

Abbildung 7: Die f¨ ur das ’’