Umsetzung von Modellen zur Beschreibung des kunststoffspezifischen Werkstoffverhaltens in das Finite Elemente Programm ABAQUS®

  cand. ing. Alexander Stekolshchik  

  Umsetzung von Modellen zur Beschreibung des kunststoffspezifischen Werkstoffverhaltens in das Finite Elemente  

  Programm ABAQUS  

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  Inhaltsverzeichnis  

1  Einleitung und Zielsetzung  5

2  Stand der Forschung  7

2.1  Vorhandene Möglichkeiten in kommerziellen FE-MProgrammen  7

2.2  Methoden zur Simulation der Stossbelastung  8

2.2.1  Dimensionierung gegen Formänderungsenergiedichte  8

2.2.2  Modifiziertes elastisches Materialmodell  9

2.3  Nichtlinear viskoelastisches Deformationsmodell  

3  Allgemeine Beschreibung von ABAQUS und Unterprogramm UMAT  

  14  

3.1  ABAQUS Input-Datei  

  14  

3.2  Definition der Beanspruchungsgeschichte durch Befehl STEP  15

3.3  Unterprogramm UMAT  16

4  Implementierung der Materialmodelle  20

4.1  Linear elastische Berechnung  20

4.2  Stossalgorithmus  21

4.3  Implementierung von einem nichlinear viskoelastischen Modell  25

5  Kritik und Ausblick  29

5.1  Stossalgorithmus  29

5.2  Nichtlinear viskoelastisches Deformationsmodel  30

6  Zusammenfassung und Summary  33

6.1  Zusammenfassung  33

6.2  Summary  34

7  Literaturverzeichnis  35

8  Formelzeichen und Abkürzungen  38

9  Anhang  40

9.1  Input-Datei für einen Zugstab  40

9.2  Programmcode zum Materialmodell bei stoßartiger Beanspruchung  44

9.3  Programmcode zum nichtlinear viskoelastischen Modell  54

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9.4 Verwendete Modellparameter für das Deformationsmodell 75

9.5 Variablenliste UMAT 76

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1 Einleitung und Zielsetzung

Formteile aus Thermoplasten sind in der Praxis häufig erwarteten oder unerwarteten Stoßbelastungen ausgesetzt /BOD83/. Die meisten Thermoplaste weisen eine relativ große Verformbarkeit, Zähigkeit und mechanische Dämpfung aus, weshalb sie für diese Beanspruchungsart oft sehr gut geeignet sind. Wenn man aber in den Datenblättern oder Werkstoffdatenbanken nach Angaben über Werkstoffverhalten bei Stoßbelastung sucht, so sind dort im allgemeinen nur die Werte für die Schlagzähigkeit und die U-Kerbschlagzähigkeit vorhanden, die nach Standartverfahren gemessen werden. Für die meisten Fälle werden die Messungen nur für einige, vor allem aber tiefe, Temperaturen durchgeführt. Diese Werte lassen aber nur vergleichende Aussagen über verschiedene Werkstoffe, z.B. für Fertigungskontrollen, zu. Für die Dimensionierungsrechnungen und für die Integrierung im gesamten CAE-Prozess sind sie nicht geeignet. Auch die Schlagbiegeprüfung, Fallbolzenversuche, Schlagzugprüfungen sowie die

Bruchmechanik liefern bisher keine allgemeine Dimensionierungsgrundlage /BOD83/. Die Lösung dieses Problems ist sehr wichtig, weil heute viele hochwertige technische Teile mit entscheidender Bedeutung für die Funktion eines ganzen Gerätes oder Bauteiles aus Kunststoffen gefertigt werden und ein Versagen erhebliche finanzielle oder personelle Schäden zur Folge haben kann. Crash-Simulation ist heute eine Standardsimulationsanwendung in der Automobilindustrie. Typische Modelle haben bis zu 400.000 Elemente und benötigen bis zu vier Tage Simulationszeit (Stand 01/2000 auf einem Vier-Prozessor-Rechner der Firma Silicon Graphics) /KON00/. Die Crashsimulation ist eine sehr komplizierte Aufgabe, die normalerweise von einer Berechnungsabteilung übernommen wird. Die Ergebnisse einer Berechnung sind in Bild 1 und Bild 2 dargestellt. Die Kosten für eine solche Berechnung sind sehr hoch, es wird oft zusätzliche Software benötigt. Es fehlt an einer geeigneten Rechenvorschrift, die mit einem modifizierten, bereits vorhandenen linear-elastischen Ansatz eine einfache und kostengünstige Lösungsmöglichkeit anbietet. In der vorliegenden Arbeit soll für ein verbreitetes kommerzielles Programm für die Finite-Elemente-Berechnungen ABAQUS ^© ein Zusatzprogramm entwickelt werden, das die Werkstoffparameter in Abhängigkeit von Randbedingungen, wie z.B. Temperatur, und Belastungen, wie Kräfte- oder Druckeinfluss, im Laufe der Berechnung anpasst. Diese Werkstoffparameter sind im einfachsten Fall Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl. Dadurch werden bessere Aussagen über Werkstoff- und Bauteilverhalten möglich.

Das mechanische Verhalten von Kunststoffen ist von der Zeit, der Temperatur und der Beanspruchungshöhe abhängig. In der Realität werden die Bauteile durch die mechanische und thermische Belastung mehrachsigen Spannungszuständen ausgesetzt. Diese mehrachsigen Spannungszustände müssen nicht zeitlich konstant sein, sondern können, bedingt durch einen Belastungsverlauf, die sogenannte Lastgeschichte, variieren. Reale Werkstoffe weisen immer sowohl elastisches als auch

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plastisches und viskoses Verhalten auf. Diese Eigenschaften sind so stark ausgeprägt, dass Kunststoffe als viskoelastische Werkstoffe bezeichnet werden. Kunststoffe sind aber auch nicht-lineare Werkstoffe. Eine Verdoppelung der Spannung zum Beispiel führt im gleichem Zeitraum zu einer mehr als doppelt so hohen Deformation, bei einer Verdoppelung der Deformation ergibt sich im gleichen Zeitraum weniger als die zweifache Spannung. Ein Ziel dieser Arbeit ist deshalb auch, ein Berechnungsmodell in ABAQUS ^© mit dem die Berechnung des Verhaltens unter beliebigen mehraxialen Beanspruchungen ermöglicht wird, zu implementieren. Geeignete, bereits vorhandene Algorithmen zur Berechnung von Wärmespannungen und Simulation des Retardationsverhaltens werden in einem Unterprogramm realisiert. Die Programmierung beider Modelle wird in Fortran90 ausgeführt. Auch einzelne Features und Bibliotheken von Fortran95 werden angewendet. Somit werden in der Arbeit die Finite-Elemente-Methode und moderne Materialmodelle miteinander verknüpft. Weil die Aufgabe für den vorhandenen Zeitrahmen sehr umfangreich ist, ist es angestrebt zuerst einen Stoßalgorithmus zu implementieren. Für das Deformationsmodell muss zuerst ein Konzept der Implementierung aufgestellt werden, welcher danach teilweise in der Programmiersprache VisualFortran zu realisieren ist.

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2 Stand der Forschung

2.1 Vorhandene Möglichkeiten in kommerziellen FEM-Programmen

Statistische Untersuchungen zeigen, dass die meisten FEM-Berechnungen immer noch mit einfachen Berechnungsansätzen durchgeführt werden. Für einige Werkstoffe treffen diese Ansätze gut zu, wie zum Beispiel für Stähle. Die vorhandenen kommerziellen FEM-Programme bieten aber eine relativ breite Auswahl an Ansätzen zur Materialbeschreibung. Eine Auswahl von im FEM-Programm ABAQUS ^® vorhandenen Materialmodellen wird in Diagramm 2.1 aufgeführt:

Einige Werkstoffe können mit diesen Modellen sehr gut beschrieben werden, wie zum Beispiel Elastomere oder Stähle. Es existiert aber zur Zeit in keinem kommerziellen FEM-System ein Materialmodell, dass die Belastungsgeschichte und die Nichtlinearität der Spannungs-Dehnungs-Linien berücksichtigt.

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2.2 Methoden zur Simulation der Stoßbelastung

2.2.1 Dimensionierung gegen Formänderungsenergiedichte

Eine Methode, technische Bauteile aus Kunststoffen zu dimensionieren ist die Dimensionierung gegen eine zulässige Energieaufnahme. Die Formänderungsenergiedichte kann nach Gleichung 2.1 berechnet werden.

W max

= Spannung

= Dehnung W = Energie Die Energie ist hier die Fläche unter Spannungs-Dehnungs-Kurve, die bei einem Versuch ermittelt wird, z.B. bei einem Schnellzerreißversuch /STO98/. Alle Kunststoffe versagen bei genügend hoher Beanspruchungsgeschwindigkeit und genügend tiefen

zunehmender Geschwindigkeit einem Minimalwert, der für ein Bauteilversagen kleinste

zul v mit: W v = Formänderungsenergiedichte W zul = zulässige Formänderungsenergiedichte

W min = minimale Formänderungsenergiedichte S = Sicherheitsbeiwert

^max

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2.2.2 Modifiziertes elastisches Materialmodell

Wenn die Dehngeschwindigkeit genügend hoch ist, reagieren Kunststoffe mit einer annährend linearen Antwort. Dies bedeutet, dass das Bauteilverhalten durch ein quasielastisches Materialmodell beschrieben werden kann. Die mechanischen Kennwerte, wie E-Modul und Querkontraktionszahl müssen in Abhängigkeit von der Belastungsgeschwindigkeit angepasst werden. Die Geschwindigkeit ist aber in den meisten Fällen nicht konstant, sondern lokal unterschiedlich. Die Grundlage dieses Modells sind Spannungs-Dehnungs-Kurven, wie sie z.B. in der Campus-Datenbank abgelegt sind. Anschließend müssen die Kurven durch numerische Approximation für die Berechnung verfügbar gemacht werden. Dazu gibt es verschiedene Ansätze. In dieser Arbeit wird wie in /Sch97/ dafür eine 2-Parameter Funktion in Form einer Prony-Reihe verwendet:

, e 1 ^, S , , mit:

, S = Streckspannung

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:

Die Kurven in Bild 3 werden bei einer genormten Dehngeschwindigkeit aufgenommen, z.B. 1%/s. Deshalb werden die abweichenden Dehngeschwindigkeiten mit dem Zeit-Temperatur-Verschiebungs-Prinzip nach Arrhenius berücksichtigt. Mit Gleichung 2.5 wird nach diesem Prinzip die Referenztemperatur berechnet.

mit:

ref = Referenztemperatur in K ref

= Referenzdehngeschwindigkeit (Zugversuch) = aktuelle (Bauteil-) Temperatur in K = aktuelle Beanspruchungsgeschwindigkeit

3 2

k ^{1 k} 2 m

= Werkstoffkenngröße in K Diese Rechnung wird an jedem Integrationspunkt durchgeführt. Die Beanspruchung

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die Dehnung berechnet. Die Dehngeschwindigkeit wird nach der Gleichung 2.7 bestimmt, wodurch die Beanspruchungsgeschwindigkeit berücksichtigt wird.

Mit der eben berechneten Dehngeschwindigkeit kann nach der Gleichung 2.4 die Parameter Streckspannung und Relaxationsdehnung neu bestimmt werden, wonach die Schleife wiederholt wird. Als Ausstiegskriterium wird die Differenz zwischen den Dehngeschwindigkeiten aus 2 aufeinanderfolgenden Berechnungen genommen. Die Iterationsschleife wird in Bild 5 als Diagramm dargestellt.

Mit dem Hook’schen Gesetz, in Gleichung 2.8 für den einachsigen Fall dargestellt, folgt:

E

S

5

,

ref max E

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2.3 Modell zur Beschreibung der nichtlinearen Viskoelastität

Um viskoelastisches Materialverhalten zu beschreiben, müssen zeitabhängige Effekte in mathematischer Form erfasst werden /STO98/. Man kann das mechanische Verhalten von Kunststoffen durch die Kombination einer elastischen Komponente (Feder) und einer viskosen Komponente (Dämpfer) beschreiben. Mit Hilfe dieser Feder-Dämpfer-Modelle kann die Abhängigkeit des Spannungs-Dehnungs-Verhaltens der Kunststoffe von der Dehnung, der Dehngeschwindigkeit und der Temperatur näherungsweise abgebildet werden. Ein Maxwell-Element besteht aus einem Feder-und einem Dämpferelement, die in Reihe geschaltet sind (Bild 6).

Ein einzelnes Maxwell-Element kann jedoch das mechanische Verhalten eines Thermoplasten nicht ausreichend genau beschreiben. Zum Beispiel relaxiert ein Grundelement immer auf den Spannungswert gleich 0, obwohl in Versuchen sich die Spannung gegen einen endlichen Wert annähert. Auch die nichtlinear viskoelastischen Eigenschaften können nur mit dem Dämpfer abgebildet werden, der eine von der Belastung abhängige Viskosität aufweist. Von Schmachtenberg wurde ein Modell entwickelt, dass das zeit- und temperaturabhängige Werkstoffverhalten in einer Parallelschaltung von Grundelementen beschreibt /SCH85/. Im Modell wird für jedes Element ein Zustand definiert:

elastisch. Die auftretenden äußeren Dehnungsänderungen werden vollständig durch die Feder als Hook’sches Element aufgenommen.

Die Dehnungsänderung wird sowohl vom Dämpfer als auch von der aktiv. Feder aufgenommen.

werden plastisch. Es keine Spannungen mehr aufgebaut, die

Dehnungsänderung wird vollständig vom Dämpfer übernommen.

Wie sich jedes Element verhält, wird durch die Fließlinie (die Viskosität) des Dämpfers und durch den E-Modul bestimmt. Über die Fließlinie wird der Fließwiderstand definiert, der für die vorgegebene Fließgeschwindigkeit und Temperatur die resultierende Elementspannung angibt. Mit diesem Modell kann das Spannungs-Dehnung-Verhalten nichtlinear viskoelastischer Werkstoffe berücksichtigt werden. Die Dämpfereigenschaften werden in Abhängigkeit von der Deformationsgeschwindigkeit über Fließfunktionen definiert. Die Arrheniusgleichung wird benutzt, um eine Temperaturänderung in eine Dehngeschwindigkeitsänderung umzurechnen. Die Voraussetzung für die Umrechnung ist, dass keine Umwandlungstemperaturen, wie zum Beispiel Glasübergang- oder Kristallitschmelztemperatur durchlaufen werden. Kalibriert wird das Modell anhand von isothermen uniaxialen Zugversuchen, die durch verschiedene mathematische Ansätze approximiert werden können.

Dieses Modell wurde von Schöche /SCH97/ für die Berechnung von wärmebedingten Spannungen erweitert. Die Fließeigenschaften des Dämpfers wurden in /SCH97/ temperaturabhängig definiert. Der Nachteil der bis hierhin beschriebenen Modelle ist, dass sie nur einachsige Beanspruchungen berechnen können.

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In /WAN99/ wurde ein auf /SCH85/ basierendes Modell zur Berechnung des mechanischen Verhaltens unter mehrachsigen Beanspruchungen vorgestellt. Dieses Modell ist in der Lage dreidimensionale Interaktionen der Spannungen und Dehnungen zu erfassen. Das Wanders’sche Modell besteht aus der Parallelschaltung von 3D-Grundelementen, die als 3D-Maxwellelemente angesehen werden können (Bild 7). Jedes einzelne Grundelement besteht aus einem elastischen Element, beschrieben durch ein ideal-elastisches Werkstoffgesetz. Die viskosen Eigenschaften werden durch ein System von Dämpfern, die durch Leitungen miteinander verbunden sind, beschrieben. Das Fließen geschieht unter der Bedingung der Volumenkonstanz. Das Modell wird im System der Hauptnormalspannungen verwendet.

Für dieses Deformationsmodell wurde ein Algorithmus zur Berechnung von dreidimensionalen Spannungs-Dehnungs-Zuständen entwickelt. Durch Angabe der Dehnungen im zeitlichem Verlauf wurde ermöglicht, die Spannungen in jedem Zeitschritt zu berechnen. Im Programm wurde aber nicht die Möglichkeit, auch kombinierte Zustände, also durch Angabe von Spannungen und Dehnungen in verschiedenen Richtungen, implementiert. Diese Implementierung erfolgte in /STE01/, wo auch die Wärmeausdehnung berücksichtigt wurde. Die Berechnung in diesem Programm erfolgte aber nur für einen infinitesimalen Quader und nicht in einem FE-System. In dieser Arbeit wird versucht, das Modell für die Berechnungen in einem verbreiteten FEM-Programm zu implementieren. In Bild 8 sind die vorgestellten viskoelastischen Modelle in einem Diagramm dargestellt.

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3 Allgemeine Beschreibung von ABAQUS ® und dem Unterprogramm UMAT

Als FEM-Programm für die vorhandene Aufgabenstellung wird das CAE-Paket ABAQUS ^® verwendet. Dieses Programm die Möglichkeit, benutzerdefiniertes Materialverhalten zu programmieren. Dies geschieht durch das Einsetzen des Unterprogramms UMAT. Darüber hinaus sind in ABAQUS ^® andere Befehle vorhanden, die die Implementierung der Modelle erleichtern, wie zum Beispiel die Abfragen von Vergleichspannungen, Tensoroperationen usw.

3.1 ABAQUS ® -Input-Datei

Als Grundlage für eine FEM-Berechnung in ABAQUS ^® dient eine Input-Datei. Dies ist eine ASCII-Textdatei, die vom Preprozessor von ABAQUS ^® erstellt wird. Auch in einigen anderen CAD/CAE-Programmpaketen existiert die Möglichkeit, vorhandene FE-Modelle nach ABAQUS ^® zu exportieren. Es können allerdings in diesem Fall einige Schnittstellenprobleme auftreten, die deshalb entstehen, weil CAE-Programme teilweise unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten anbieten. Die Input-Datei lässt sich in verschiedene Bereiche aufteilen:

Dateikopf. Hier werden Dienstkommentare vom Preprozessor gespeichert. Definition des Finite Elemente Netzes. Die Elemente und die dazugehörigen Knoten werden hier definiert. Über den Elementtyp wird dem Element automatisch ein Verschiebungsansatz zugewiesen.

Materialdefinition. An dieser Stelle wird ein Materialmodell aufgerufen, zum Beispiel linear-elastisch oder es wird das Unterprogramm UMAT gestartet. Ranbdbedingungen und Belastungsbeschreibung (siehe Kapitel 3.2). Ausgabeoptionen. Der Benutzer hat die Möglichkeit festzulegen, welche Werte in die Ergebnisdatei geschrieben werden. Es ist auch grundsätzlich möglich, Ausgabegrößen selbst zu definieren, zum Beispiel Vergleichsspannungen nach Kegelkriterium.

Zusätzliche Bereiche. Hier können Elemente oder Knoten zu bestimmten Gruppen zugewiesen werden. Zusätzliche Befehle, Steuerungen u.ä. werden hier platziert.

In der Berechnung wird vom Compiler an erster Stelle die Input-Datei überprüft. Bei vorhandenen Fehlern wird der Solver abgebrochen. Die Unterprogramme (z.B. UMAT) werden durch Aufruf vom entsprechenden Compiler (z.B. Fortran) eingelesen und auf Programmierfehler getestet. Ein Fehler in einem Unterprogramm bedeutet einen Abbruch der Berechnung. Aber auch spätere numerische Fehler, wie Dividieren durch Null, können zum Abbruch der ganzen Berechnung führen. In Anhang Kapitel 9.1 wird

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eine Input-Datei für eine Probegeometrie (Bild 9) gezeigt. Die Berechnung kann entweder aus ABAQUS-CAE oder aus der Befehlszeile gestartet. Beim Starten aus der Eingabezeile wird folgender Befehl eingegeben: Version ABAQUS ^® 5.8: abaqus job=c:\musterpfad\mustername.inp Ab Version 6.1: abaqus job=c:\musterpfad\mustername.inp user=c:\musterpfad\ MusterUMATDatei.for

3.2 Definition der Beanspruchungsgeschichte durch den Befehl STEP

Die Analysegeschichte wird in ABAQUS durch eine Aufteilung in einzelne Steps dargestellt. Ein Step kann wie eine Phase in der Berechnung betrachtet werden. Die Berechnungsmethoden und Randbedingungen können für jeden Step separat definiert werden. Der Modellstatus wird von einem Step zu dem anderen übergeben, dass bedeutet, dass die Effekte von vorherigen Steps (Spannungen, Dehnungen usw.) auch die nachfolgenden Steps beeinflussen. Man benutzt verschiedene Steps nicht nur um die Analysedefinitionen zu ändern, sondern auch um zum Beispiel die Ausgabeoptionen oder Beanspruchung zu modifizieren. Der Benutzer kann den Analysetyp aus verschiedenen Simulationsarten wählen: statische oder dynamische Spannungsanalyse Berechnung von Schwingungswerten Wärmeübertragungsproblematik

andere physikalische Problemstellungen (elektrisch, chemisch usw.) Es gibt zwei Möglichkeiten für die Kontrolle der Berechnung: automatische Zeitinkrementierung und benutzerdefinierte Inkrementierung. Automatische

Inkrementierung wird in den meisten Fällen verwendet. Der Benutzer kann in diesem Fall die Genauigkeit der Berechnung mit Parametern angeben und ABAQUS wählt die Zeitaufteilung um diese Berechnungsgenauigkeit zu erreichen. Die benutzerdefinierte Inkrementierung kann in den Fällen die Berechnungszeit stark verkürzen, wenn die Problemstellung und das passende Inkrementierungsschema bekannt sind. In nichtlinearen Berechnungen wird in ABAQUS die Extrapolation für die Beschleunigung der Berechnung angewendet. Die Extrapolation weist in diesem Fall auf die Methode zur Feststellung der Werte für den ersten Versuch bei der inkrementellen Lösung. Dieser Versuch wird durch Größe des Zeitinkrementes in Abhängigkeit von der gewählten Option bestimmt. Die möglichen Einstellungen sind LINEAR, PARABOLIC und NO. 100% der ermittelten Größen aus dem vorherigen STEP werden bei der Wahl LINEAR verwendet. Die parabolische Extrapolation verwendet Lösungen aus zwei letzten Inkrementen um zu erster Schätzung zu kommen. Weil für die parabolische Annahme immer zwei Werten erforderlich sind, wird für das zweite Inkrement in diesem Fall automatisch lineare Extrapolation verwendet. Die Extrapolation kann durch eine Einstellung NO unterdrückt werden. Dies wird dann

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benutzt, wenn zum Beispiel in einem Modell ein Bruch definiert wird, was durch einen unerwarteten Sprung der mechanischen Größen gekennzeichnet wird.

3.3 Unterprogramm UMAT

UMAT ist ein in ABAQUS enthaltenes Unterprogramm. Mit diesem Unterprogramm übernimmt der Benutzer die Kontrolle über Materialeigenschaften. Es wird vom Input -File automatisch aufgerufen, wenn hinter der Angabe des Materialnamens die Programmzeile „*USER MATERIAL“ steht. Der Materialname ist dann beliebig und dient nur noch der Identifikation. Mit dem *USER MATERIAL Befehl können noch mehrere beliebige Materialkonstanten, die für den Werkstoff von Bedeutung sind und sich während der Berechnung nicht ändern, wie z.B. die Querkontraktionszahl oder der Ursprungs-E-Modul, dem aufrufenden ABAQUS Solver übergeben werden. Dies stellt auch eine Möglichkeit der Steuerung des Unterprogramms dar, wenn man als Variablen Programmeinstellungen übergibt, die danach in UMAT durch logische Befehle bearbeitet werden. An UMAT werden von ABAQUS ^® am Anfang eines Zeitschrittes folgende Variablenwerte übergeben (Bild 10):

1. aktueller Spannungstensor. Er besteht aus 3 Normalspannungen und 3 Schubspannungen im Elementenkoordinatensystem.

2. aktueller Dehnungstensor. Er besteht aus 3 Normaldehnungen und 3 Gleitungen.

3. aktuelle Dehnungsinkremente.

4. aktuelle Zeit und Zeitinkrement.

5. aktuelle Steifigkeitsmatrix (Jacobi-Matrix).

6. aktuelle Temperatur und Temperaturinkrement.

7. andere Daten für die Information, wie z.B. die Elementennummer oder die Anzahl der Spannungskomponenten

In UMAT werden Werte modifiziert oder geändert. Folgende Variablen müssen in einer mechanischen Berechnung neu definiert werden:

1. Spannungstensor

2. Jacobi-Matrix

3. Falls Energie ausgegeben wird: spezifische Volumenänderungsenergie und plastische Dissipation.

Weil die Definition von Spannungen und der Steifigkeitsmatrix besonders wichtig für den Verlauf der Berechnung ist, wird an dieser Stelle auf diese Frage näher eingegangen. Die Spannungen werden in UMAT und ABAQUS ^® nach dem 3dimensionalen ideal-elastischen Gesetz definiert (Gleichung 3.1). Die Komponenten der Gleichung 3.1 sind Tensoren bzw. Matrizen.

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mit: J

= Jacobi- oder Steifigkeitsmatrix Die Gleichung 3.1 kann durch Einsetzen von Größen erweitert werden( Gleichung 3.2).

Die Steifigkeitsmatrix wird hier anisotrop dargestellt. mit: E ij = Steifigkeiten in einzelne Richtungen = Normalspannungen in entsprechenden Richtungen

= Schubspannungen in entsprechenden Richtungen = Normaldehnungen in entsprechenden Richtungen

= Gleitungen in entsprechenden Richtungen

Es wird im Rahmen dieser Arbeit angenommen, dass das Werkstoffverhalten isotrop ist. In diesem Fall kann die Jacobi-Matrix mit 2 Kenngrößen - Elastizitätsmodul und

Querkontraktionszahl definiert werden. Sie werden zu sogenannten Lameschen

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mit: S

= Relaxationsdehnung , S

Mit Hilfe von Gleichungen 3.9 und 3.4 wird die Gleichung 3.2 folgendermaßen modifiziert:

Die Steifigkeitsmatrix wird wegen der Isotropie diagonalsymmetrisch definiert /STO98/. Dies spielt in ABAQUS ^® eine sehr große Rolle, weil dadurch viel Rechenzeit gespart wird. Eine leicht unsymmetrische Jacobi-Matrix bedeutet eine Rechenzeitvergrößerung um den Faktor 4-5.

Die Variablen, die in UMAT eingelesen und ausgegeben werden, werden im Anhang 9.5 aufgeführt. Das Unterprogramm wird in der Programmiersprache VisualFortran geschrieben. Dies ist eine DIN-Version von Fortran 90/95. Das Programm wird mit der Programmoberfläche von VisualFortran entwickelt, was dem Ingenieur erlaubt, das Programm auf die möglichen Fehlerursachen zu untersuchen, ohne eine Berechnung in ABAQUS ^® starten zu müssen. Der Benutzer hat in UMAT den Zugriff auf die ganze Palette von Fotranbefehlen und -prozeduren. Darüber hinaus können die in ABAQUS ^® eingebauten Funktionen gestartet werden, wie zum Beispiel Spannungstransformation oder die Bildung von Vergleichsspannungen. Das Problem in UMAT entsteht, wenn die Dehnungen berechnet werden müssen. Es können von ABAQUS ^® keine Dehnungsinkremente übernommen werden, was bedeutet, dass der Benutzer im UMAT-Programm Dehnungsinkremente des folgenden Berechnungsschrittes über die Spannungen und die Steifigkeitsmatrix steuert. Die neuen Dehnungsinkremente für den nächsten Berechnungsschritt werden danach vom Solver selbst gerechnet. In Kapitel 5 wird dies erörtert.

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Der neue Spannungstensor und die Jacobi-Matrix werden zurück an ABAQUS ^® gegeben (Bild 11). In ABAQUS werden die Spannungswerte in Kräfte umgerechnet und von den Integrationspunkten zurück auf die Knoten des zu berechnenden FE-Modells bezogen. Aus einer Gleichgewichtsberechnung für die gesamte Struktur folgen die Verschiebungen der einzelnen Knoten. Mit den Verschiebungen zu Beginn des Zeitschritts wird eine Verschiebungsänderung berechnet. Diese wird wieder in eine Dehnungsänderung umgerechnet und an UMAT übergeben. Dort wird eine neue, gering von 1 verschiedene Spannung 2 berechnet. Die Steifigkeitsmatrix bleibt unverändert zum vorherigen Aufruf von UMAT. Auch dieser Spannungszustand wird zurück an ABAQUS gegeben. Dort wird nach einer Umrechnung die maximale Kraftdifferenz innerhalb des Knotensystems gesucht und diese mit einer zulässigen Toleranzgrenze verglichen. Wenn diese Grenze nicht überschritten wird, konvergiert die Gleichgewichtsberechnung. Ansonsten wird eine neue Gleichgewichtsverschiebung an UMAT übergeben. Man spricht in diesem Fall von einem Iterationsprozess. Kommt das Programm auch nach mehreren Iterationen nicht zu einem Ergebnis, wird die Zeitschrittweite angepasst. Falls eine vorgegebene Zahl von Iterationen überschritten wird oder die Zeitinkremente werden kleiner als von Benutzer zugelassen, wird die Berechnung mit einer Fehlermeldung abgebrochen.

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4 Implementierung der Materialmodelle

4.1 Linear elastische Berechnung

In dem ersten Schritt werden in der Arbeit zwei Berechnungen mit einer Probegeometrie mit einem elastischem Ansatz durchgeführt. Die erste Berechnung wird mit der Option *ELASTIC durchgeführt. Als Kennwerte werden der Ursprungs-E-Modul von POM bei 0°C und Querkontraktionszahl von 0,4 verwendet. In zweiter Berechnung wird UMAT gestartet. In UMAT wird versucht, das gleiches Materiallmodell wie ABAQUS-interner *ELASTIC-Befehl mit eigener Spannungsdefinition zu erreichen. Dadurch sollen die Zusammenhänge zwischen ABAQUS und UMAT geklärt werden. Darüber hinaus wird überprüft, ob die Spannungstensoren und Elastitätsmatrix korrekt definiert werden. Da diese Definitionen in weiteren Modellen identisch sind, erleichtert diese Überprüfung die Fehlersuche bei den weiteren Entwicklungen. Nach einigen Versuchen wird erreicht, dass die Ergebnisse in beiden Berechnungen sehr gut übereinstimmen, weshalb hier auf die Darstellung der Ergebnisse verzichtet wird. Die auftretenden Abweichungen im Bereich von 0,001% sind darauf zurückzuführen, dass in UMAT und in ABAQUS Variablen mit den verschiedenen Genauigkeiten und der Anzahl an Nachkommastellen verwendet werden. Für die weiteren Modelle werden die Module für die Spannungs- und Jacobimatrixdefinition mit geringen Änderungen übernommen. Ein Merkmal der Berechnung mit dem Aufruf von UMAT ist die Vergrößerung der Rechenzeit um den Faktor 2, obwohl das gleiche Materialgesetz verwendet wird. Dies zeigt, dass die Berechnungen mit UMAT grundsätzlich länger sind. Es ist damit zu erklären, dass zusätzliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie zum Beispiel, die Kompilation der VisualFortran-Datei, UMAT-Aufrufe usw. Darüber hinaus geht die Zeit bei zusätzlichen Hardwareoperationen verloren, wie zum Beispiel Festplattenzugriffe u.ä. In Bild 12 wird am Beispiel eines mittelkomplexes Bauteiles gezeigt, wie viele Modellaufrufe in Laufe einer Berechnung zustande kommen. Durch die hohe Anzahl der Aufrufe führt jede Verzögerung im Millisekundenbereich durch Summieren zu einer bemerkenswerten Vergrößerung der Rechenzeit.

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4.2 Stoßalgorithmus

Als zweites Teil der vorliegenden Diplomarbeit wird die Implementierung eines Algorithmus in ABAQUS durchgeführt, der es ermöglichen soll, die Abhängigkeit der Eigenschaften von Kunststoffen von der Beanspruchungsgeschwindigkeit zu berücksichtigen. Die theoretischen Grundlagen werden in Kapitel 2.2.2 ausführlich behandelt. Das Programmlisting des Algorithmus befindet sich im Anhang 9.1. Das Programm wird in einzelne Teile aufgeteilt, die in der Tabelle 4.1 beschrieben werden.