Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  4

2  Grundlegende Def initionen und S atze  6

2.1  Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe  6

2.2  Einfache Gruppen  7

2.3  Kommutatoren, Klasse-2-nilpotente und p-Gruppen  8

3  Quasiprimitivit at  13

4  Modif ikationen  19

4.1  Charakteristische Quasiprimitivit at  19

4.2  K-Quasiprimitivit at  48

4.3  Zentralistische Gruppen  53

5  Nachbetrachtungen  55

5.1  Quasinilpotenz  55

5.2  Permutationsgruppen  56

Bezeichnungen

x Aut(G)

x p : vom Element x erzeugte zyklische Gruppe der Ordnung p

C , IR, ^/ Q , Z : Mengen der komplexen, reellen, rationalen und ganzen Zahlen /

1 : je nach Sachlage ganze Zahl oder neutrales Element einer Gruppe

G : Kommutatorgruppe der Gruppe G

G ⁽ⁿ⁾ : n-te Kommutatorgruppe der Gruppe G

ord(x) : Ordnung des Gruppenelementes x

Gal(L|K) : Galois-Gruppe der galois’schen K¨ orpererweiterung L ¨ uber K

(n, m) : gr¨ oßter gemeinsamer Teiler der ganzen Zahlen m und n

Φ(G) : Frattini-Gruppe von G

Z(G) : Zentrum der Gruppe G

Z ⁿ (G) : n-tes Glied der aufsteigenden Zentralreihe von G

Z ^∞ (G) : Hyperzentrum der Gruppe G

C G (X) : Zentralisator der Untergruppe X in der Gruppe G

p : Primzahl

χ N

ν ^G : vom Charakter ν einer Untergruppe U auf G induzierter Charakter

A ∨ | B : direktes Produkt von A und B bei vereinigten Zentren

χ g

Irr(X) : Menge aller irreduziblen Charaktere einer Gruppe X

α, β, γ, κ... : Automorphismen von Gruppen bzw. K¨ orpern

SN C-Gruppe

S Γ : Gruppe aller Permutationen auf der Menge Γ

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1 Einleitung

Viele zentrale Begriffe der Gruppentheorie, wie etwa Aufl¨ osbarkeit, Nilpotenz oder Regularit¨ at, sind Verallgemeinerungen des Begriffes der Kommutativit¨ at in dem Sinne, daß jede abelsche Gruppe die jeweils definierenden Bedingungen trivial erf¨ ullt. ¨ Ahnliches gilt f¨ ur den Begriff der einfachen Gruppe, der - insbesondere f¨ ur den nichtabelschen Fall - interessante Weiterungen wie charakteristische Einfachheit, vollst¨ andige Reduzibilit¨ at oder Vollkommenheit erfahren hat. Die vorliegende Arbeit besch¨ aftigt sich mit einer gemeinsamen Verallgemeinerung von Kommutativit¨ at und Einfachheit. Der Begriff der Quasiprimitivit¨ at einer Gruppe wird einleitend in naheliegender Weise charaktertheoretisch kurz motiviert und definiert. Ziel der Arbeit ist es, eine erste Einordnung der somit eingef¨ uhrten Eigenschaft in die vorhandene gruppentheoretische Systematik vorzunehmen.

Zu Beginn des 3. Abschnittes wird eine ¨ aquivalente Beschreibung quasiprimitiver Gruppen ohne direkten Bezug auf Gruppencharaktere gegeben, die stattdessen eine mit ” Konjugationsautonomie“ salopp skizzierte Eigenschaft aller Normalteiler innerhalb einer quasiprimitiven Gruppe etabliert. Unter Verwendung dieser Beschreibung wird gezeigt, daß sich Quasiprimitivit¨ at auf Normalteiler und Faktorgruppen ¨ ubertr¨ agt. In dem Bestreben, andere quasiprimitive Gruppen als abelsche und einfache zu finden, stellt sich heraus, daß eine nichtabelsche quasiprimitive Gruppe nicht einmal aufl¨ osbar sein kann. Im Zusammenhang mit den Vererbungseigenschaften der Quasiprimitivit¨ at und der grundlegenden Charakterisierung am Anfang der Arbeit f¨ uhrt dieser Umstand schließlich auf eine strukturelle Beschreibung quasiprimitiver Gruppen (Satz 25). Aus diesem Struktursatz folgt dann unmittelbar, daß sich Quasiprimitivit¨ at auch auf direkte Produkte ubertr¨ agt. Daß diese Beschreibung alle quasiprimitiven Gruppen umfaßt, beruht ¨

wesentlich auf einem Satz ¨ uber einfache Gruppen, den W.Feit und G.M.Seitz

(in [6]) 1988 bewiesen, und der eine Vermutung Burnside’s von 1897, die - wie Burnside selbst schon 1911 anhand eines Beispieles zeigte - nicht allgemein gilt, immerhin f¨ ur einfache Gruppen best¨ atigt.

Der 4. Abschnitt enth¨ alt ¨ Uberlegungen zu m¨ oglichen Abschw¨ achungen des Begriffes Quasiprimitivit¨ at und referiert im wesentlichen die zugeh¨ origen Modifikationen der im 3. Abschnitt gewonnenen Aussagen zur vollen Quasiprimitivit¨ at. Insbesondere sind auch hier aufl¨ osbare Gruppen von Interesse, da die betrachteten Abschw¨ achungen der Quasiprimitivit¨ at nicht unmittelbar die Kommutativit¨ at einer aufl¨ osbaren Gruppe zur Folge haben, aber z.B. Nilpotenz von kleiner Klasse erwirken.

Alle betrachteten Gruppen sind endlich, auch wenn das im Einzelfall nicht noch einmal betont wird.

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Ich m¨ ochte nicht vers¨ aumen, an dieser Stelle denjenigen Menschen zu danken, ohne die mein Leben ¨ armer und jedenfalls diese Arbeit nicht zustandegekommen w¨ are. Mein Dank gilt insbesondere meinem Betreuer, Herrn Prof. Dr. G. Pazderski, der mein Interesse f¨ ur die Algebra geweckt und bef¨ ordert hat, Herrn Prof. Dr. H. Poppe, dem ich anregende Einblicke in andere mathematische Disziplinen verdanke, sowie Herrn Dr.rer.nat.habil. W. Bannuscher f¨ ur die Vermittlung einer gewissen Freude an der Mathematik schon zu Schulzeiten.

Ein ganz pers¨ onliches, stilles Dankesch¨ on geht an Andr´ e Galen, Arne Klawitter, Heiko Sturm.

Ren´ e Bartsch

Rostock, den 31. Januar 1996

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2 Grundlegende Def initionen und S¨ atze

2.1 Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe

Die irreduziblen komplexen Charaktere einer Gruppe bilden bekanntlich eine Basis des Vektorraumes der komplexen Klassenfunktionen auf dieser Gruppe. Insbesondere ist also jeder Charakter der Gruppe eine Linearkombination der irreduziblen Charaktere mit eindeutig bestimmten (nichtnegativen ganzen) Koeffizienten. Umgekehrt ist jede derartige Summe ein Charakter der Gruppe. Darunter k¨ onnen wir diejenigen auszeichnen, die Vielfaches eines einzigen irreduziblen Charakters sind.

1. Def inition

Ist N eine Gruppe und ϑ ein Charakter auf N, so heißt ϑ homogen genau dann, wenn ϑ ein Vielfaches eines irreduziblen Charakters von N ist. Ein Charakter χ einer Gruppe G mit N ¢ G zerf¨ allt homogen ¨ uber N genau dann, wenn χ N homogen ist.

Nun mag ein beliebiger Charakter der Gruppe G ¨

malteiler von G homogen zerfallen und ¨ zuweilen Charaktere, die ¨ uber allen Normalteilern N einer Gruppe G homogen

zerfallen. Solche fallen in nat¨ urlicher Weise bei der Untersuchung induzierter Charaktere einer Gruppe G auf. Analog zu Permutationsgruppen kann man n¨ amlich versuchen, einen gegebenen Darstellungsmodul M von G in echte Untermoduln derart zu zerlegen, daß diese bei der Wirkung von G als Ganze permutiert werden. Ist eine solche Imprimitivit¨ atszerlegung nicht m¨ oglich, so heißt M und auch der von M auf G bewirkte Charakter primitiv. Existiert jedoch eine Imprimitivit¨ atszerlegung, so ist der von M auf G bewirkte Charakter genau derjenige, den man erh¨ alt, wenn man den von einer Komponente der Imprimitivit¨ atszerlegung auf deren Stabilisatorgruppe bewirkten Charakter nach G induziert. Umgekehrt l¨ aßt sich zeigen, daß jeder induzierte Charakter auf G zu einem Modul geh¨ ort, der eine Imprimitivit¨ atszerlegung gestattet (vgl. [11] Kap.5). Es gilt

2. Satz

Ist χ ∈ Irr(G) primitiv, so zerf¨ allt χ homogen ¨ uber jedem Normalteiler N ¢ G.

(Ein Beweis findet sich z.B. in [11], Kap.6.)

Die Umkehrung gilt freilich nicht, wie man beispielsweise am irreduziblen Charakter ψ vom Grade 5 der alternierenden Gruppe A 5 erkennt. Da die A 5 einfach ist, steht die Homogenit¨ at des Zerfalls ¨ uber jedem Normalteiler außer Frage, doch ψ ist imprimitiv.

3. Def inition

Ein irreduzibler Charakter χ einer Gruppe G heißt quasiprimitiv genau dann, wenn er ¨ uber jedem Normalteiler von G homogen zerf¨ allt.

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Dieser Definition gen¨ ugen alle irreduziblen Charaktere einfacher Gruppen G in trivialer Weise, da gar keine Normalteiler außer 1 und G vorliegen. Doch auch in abelschen Gruppen, in denen immerhin jede Untergruppe normal ist, gen¨ ugen alle irreduziblen Charaktere der Definition, denn als s¨ amtlich lineare Charaktere zerfallen sie nat¨ urlich ¨ uberhaupt nicht. Daß es also immerhin große Klassen von

Gruppen gibt, deren irreduzible Charaktere s¨ amtlich quasiprimitiv sind, motiviert die folgende Begriffsbildung.

4. Def inition

Eine endliche Gruppe G heißt quasiprimitiv genau dann, wenn alle irreduziblen Charaktere von G quasiprimitiv sind.

2.2 Einfache Gruppen

In diesem Abschnitt sollen noch einige n¨ utzliche Bemerkungen zusammengestellt werden, die nicht direkt auf Quasiprimitivit¨ at Bezug nehmen.

5. Satz

Sei G eine endliche einfache Gruppe. Dann sind alle Automorphismen von G, die die Konjugiertheitsklassen von G f ixieren, innere Automorphismen.

Ein Beweis dieses sehr bemerkenswerten und meines Wissens erst 1988 unter Verwendung des Klassifikationstheorems f¨ ur endliche einfache Gruppen erhaltenen Satzes findet sich in [6].

6. Korollar

Ist G vollst¨ andig reduzibel, so sind alle klassenerhaltenden Automorphismen von G innere.

Beweis:

Sei etwa G = G 1 ×· · ·×G n mit einfachen Gruppen G i , und sei α ein klassenerhaltender Automorphismus von G. Da jedes G i normal in G ist, besteht es aus vollen G-Klassen, wird also unter α auf sich selbst abgebildet. Daher induziert α auf jedem G i einen Automorphismus α i ∈ Aut(G i ). Da alle anderen direkten Faktoren G i zentralisieren, sind die G-Klassen in G i gerade die Konjugiertheitsklassen von G i . Daher muß α i auf G i klassenerhaltend wirken, ist somit nach Satz 5 ein innerer Automorphismus von G i , vermittelt durch ein k i (α) ∈ G i . Damit ist nun α offensichtlich ein durch k 1 (α) · · · k n (α) vermittelter innerer Automorphismus von G.

7. Def inition

Eine Gruppe G heißt quasieinfach, genau dann, wenn die Faktorgruppe G/Z(G) einfach ist.

Offenbar sind als quasieinfache aufl¨ osbare Gruppen allenfalls die abelschen aufzufassen.

2.3 Kommutatoren, Klasse-2-nilpotente und p-Gruppen

In Abschnitt 4.1 werden einige Hilfsmittel in Hinblick auf gewisse Eigenschaften von p-Gruppen ben¨ otigt.

8. Lemma

In einer Gruppe G, die nilpotent von der Klasse 2 ist, ist die Kommutatorbildung assoziativ und mit der Gruppenmultiplikation beidseitig distributiv, d.h.:

Gilt umgekehrt in einer Gruppe G eine dieser Beziehungen, so ist G nilpotent h¨ ochstens von der Klasse 2.

Beweis: (nach [13])

In einer nilpotenten Gruppe der Klasse 2 gilt (i) trivialerweise, da schon der jeweils innere Kommutator im Zentrum von G liegt, so daß beide Seiten gleich 1 werden.

M¨ oge umgekehrt (i) in einer Gruppe G gelten. Setzen wir darin c = b, so erhalten wir [[a, b], b] = 1, also [a, b] ⁻¹ = b ⁻¹ [a, b] ⁻¹ b, was wiederum b[a, b] ⁻¹ b ⁻¹ = [a, b] ⁻¹ ergibt. Daraus errechnet man nun leicht

[a, b] ⁻¹ = [a, b ⁻¹ ] (iv)

Da a, b beliebig sind, k¨ onnen wir aus (iv) auf

[a, b] ⁻¹ = [a ⁻¹ , b] (v)

schließen. Durch Wahl von b ⁻¹ f¨ ur b erhalten wir aus (iv) und (v)

[a, b] = [a ⁻¹ , b ⁻¹ ] (vi)

Diese Formeln im Hintergrund berechnen wir jetzt getrennt die linke und die rechte Seite der Assoziativit¨ atsformel

[[a, b] , c] =

[a, [b, c]] =

und setzen diese gleich. Alle Variablen auf eine Seite verschiebend erhalten wir

Freilich sind die Elemente a, b ⁻¹ c, b wiederum voneinander unabh¨ angige beliebige Elemente von G, woraus erhellt, daß jeder Kommutator zweier Elemente von G mit jedem Element von G vertauschbar ist. Mithin ist G nilpotent h¨ ochstens von der Klasse 2. Weiterhin berechnet man schnell

und analog [a, bc] = [a, b] [a, c] f¨ ur nilpotente Gruppen G von der Klasse 2. Auch ist klar, daß diese Gleichungen nur gelten k¨ onnen, wenn jeder Kommutator [a, c] mit jedem Element b aus G vertauschbar - also G nilpotent von der Klasse 2ist. q.e.d.

In Abschnitt 4.1 werden wir den folgenden Satz von C. Hobby (siehe [8]; S.306, Satz 7.8 (c)) verwenden:

9. Satz

Ist in einer endlichen p-Gruppe Z(Φ(G)) zyklisch, so auch Φ(G).

Eine genaue Charakterisierung der p-Gruppen von der Kommutatorgruppenordnung p gibt Liermann in [17] f¨ ur ungerades p, die Prof. Pazderski in [18] f¨ ur p = 2 vervollst¨ andigt hat:

10. Satz

Eine Gruppe G ist genau dann von der Ordnung p ⁿ (p prim), der Kommuta-torgruppenordnung p und direkt unzerlegbar, wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft:

I.) p ≥ 2, G = a 1 , ..., a t , b 1 , ..., b t , c mit den Relationen

und den Zahlbedingungen

II.) p ≥ 2; G = a 1 , ..., a t , b 1 , ..., b t mit den Relationen

und den Zahlbedingungen

III.) p = 2; G = a 1 , ..., a t , b 1 , ..., b t mit den Relationen

und den Zahlbedingungen

F¨ ur die drei Typen erweist sich eine Kurzbezeichnung als sinnvoll, aus der alle konstituierenden Koeffizienten bequem abgelesen werden k¨ onnen: Typ I:

Typ II:

Typ III:

Die unterstrichenen Koeffizienten zeigen jeweils an, welchen Elementes Potenz der Kommutator ist. Bezogen auf diese Schemata als Bezeichnungen f¨ ur die betrachteten p-Gruppen, beweist Prof. Pazderski in [18] folgende Isomorphieaussagen:

11. Satz

Zwei Schemata, die durch Vertauschung der Spalten ohne unterstrichenes Element oder durch Vertauschung der Elemente einer solchen Spalte auseinander hervorgehen, wollen wir nicht unterscheiden. Sie beschreiben isomorphe Gruppen. Außerdem gilt:

Mit dieser Ausnahme liefern alle gem¨ aß obiger Vereinbarung unterschiedenen Systeme nichtisomorphe Gruppen.

12. Lemma

Ist die Gruppe G das direkte Produkt mit vereinigten zentralen Untergruppen

∨ | · · · ∨ | P n G = P 1

i , so ist

jeder klassenerhaltende Automorphismus von G ein innerer.

Beweis:

Wir beweisen die Behauptung zun¨ achst f¨ ur n = 1.

Sei σ ein klassenerhaltender Automorphismus der p 1 -Gruppe P 1 , deren Kommu- 1 = z ^p 1 sei.Nach Satz 10 ist P 1 von einem der Typen I, II oder f¨ ur p 1 = 2 auch III. Die Wirkung von σ auf P 1 ist demnach eindeutig bestimmt durch die Wirkung auf die nichtzentralen Erzeugenden a i , b i (i = 1, ..., t). Da σ klassenerhaltend wirkt, bleibt das kommutatorerzeugende zentrale Element bei Typ I fest und in jedem Fall gilt f¨ ur die nichtzentralen Erzeugenden a i , b i :

wobei [b i , a i ] = z sei. Offensichtlich erzielt das Element

i b ^{−k i} s i := a ^l i

i

auf a i und b i via Konjugation dieselbe Wirkung, w¨ ahrend es alle anderen Erzeugenden notwendig zentralisiert, wie wir den in Satz 10 angegebenen Relationen entnehmen. W¨ ahlen wir entsprechende s i f¨ ur alle i = 1, ..., t, so finden wir also, daß

via Konjugation auf allen Erzeugenden a i , b i , also auf ganz P 1 dieselbe Wirkung erzielt wie σ. Somit ist σ ein innerer Automorphismus von P 1 . ∨ | · · · ∨ | P n mit n > 1 und ein klassenerhaltender Automor-Ist nun G = P 1

phismus von G, so l¨ aßt insbesondere die Normalteiler P i als Ganze fest, wirkt also auf jedem P i als - wiederum klassenerhaltender - Automorhismus von P i . Folglich ist auf jedem P i ein etwa durch das Element r i repr¨ asentierter innerer Automorphismus von P i . Setzt man nun

so sieht man unmittelbar, daß r auf jedem P i , also auf ganz G via Konjugation genauso wirkt wie . Daher ist ein innerer Automorphismus von G. q.e.d.

Bekannt (siehe etwa [12],[8],[1]) und ¨ ubrigens direkt nachzurechnen ist das sogenannte ” Drei-Untergruppen-Lemma“:

13. Lemma

Seien A, B, C Untergruppen einer Gruppe G, f¨ ur die [A, B, C] = [B, C, A] = 1 gilt. Dann ist auch [C, A, B] = 1.

14. Def inition

Ist G eine p-Gruppe und x ∈ G, so nennen wir die Zahl

β(x) := log p (|G : C G (x)|)

die Breite von x in G.

Offensichtlich ist damit p ^β(x) die Anzahl der zu x in G konjugierten Elemente.

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3 Quasiprimitivit¨ at

15. Satz

Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Genau dann zerfallen ¨ uber N alle irreduziblen Charaktere von G homogen, wenn

je zwei Elemente von N , die unter G konjugiert sind, bereits in N konjugiert sind.

Beweis:

Seien χ ∈ Irr(G), N ¢ G, ϑ ∈ Irr(N ) mit e = [χ N ; ϑ] = 0, sowie ϑ = ϑ 1 , ϑ 2 , ...ϑ ^t die verschiedenen Konjugierten von ϑ unter G. Nach dem Cliffordschen Satz (siehe [11]) ist dann

Insbesondere treten alle G-Konjugierten von ϑ in χ N auf. Ein Charakter χ ∈ Irr(G) mit [ϑ, χ N ] = 0 zerf¨ allt also ¨ uber N genau dann homogen, wenn ϑ unter G nur zu sich selbst konjugiert ist. (I)

Andrerseits existiert f¨ ur jedes ν ∈ Irr(N ) ein ϕ ∈ Irr(G), so daß [ϕ N , ν] = 0 gilt, was man wie folgt einsieht: Da ν ^G ein Charakter auf G ist, existiert ein ϕ ∈ Irr(G) mit [ν ^G , ϕ] = 0, woraus nach der Frobenius-Reziprozit¨ at [ν, ϕ N ] = 0 folgt. Mit (I) ergibt das, daß genau dann alle χ ∈ Irr(G) ¨ uber N homogen zerfallen, wenn alle ϑ ∈ Irr(N ) unter G fest bleiben. (II) Offenkundig wirkt G durch Konjugation permutierend sowohl auf den irreduziblen Charakteren von N , als auch auf den Konjugiertenklassen von N . Gem¨ aß Definition konjugierter Charaktere ist dabei χ ^g (n) := χ(n g ⁻¹ ), also

∀g ∈ G, n ∈ N : χ ^g (n ^g ) = χ(n) (viii)

Nach dem Brauerschen Satz ¨ uber Gruppen, die sowohl die irreduziblen Charaktere, als auch die Konjugiertenklassen einer weiteren Gruppe (in unserm Fall N ) permutieren, und dabei der Bedingung (viii) gen¨ ugen, ist die Anzahl der dabei fixierten irreduziblen Charaktere gleich der Anzahl der fixierten Konjugiertenuberdies stets |Irr(N )| gleich der Anzahl der Konjugierklassen (siehe [11]). Da ¨

tenklassen von N ist, folgt daraus, daß genau dann alle ϑ ∈ Irr(N ) unter G fest bleiben, wenn alle Konjugiertenklassen von N unter G fest bleiben. Mit (II) folgt daraus, daß genau dann alle χ ∈ Irr(G) ¨ uber N homogen zerfallen,

wenn alle Elemente von N , die unter G konjugiert sind, bereits unter N konjugiert sind. q.e.d.

Daß diese Eigenschaft gewisser Normalteiler innerhalb einer gegebenen Gruppe eine bedeutende Rolle in den weiteren Betrachtungen spielt, gibt einen hinreichenden Anlaß, sie zu benennen:

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