Entwicklung eines Tools zur Strategischen Asset Allocation im Rahmen eines Finanzdienstleisters

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  5

2  Statistische Grundlagen  8

2.1  Zufallsvariablen  8

2.2  Erwartungswert  10

2.3  Varianz  11

2.4  Korrelation  13

3  Finanzwirtschaftliche Grundlagen  15

3.1  Problemstellung  15

3.2  Portfoliotheorie nach Harry M Markowitz  15

3.3  CAPM  18

3.4  Sharpe Ratio  22

4  Optimierung  24

4.1  Optimierungsproblem  24

4.2  L osungsansatz  26

4.3  Optimierungsverfahren  27

4.4  Active-Set-Methode  28

4.4.1  Idee des Verfahrens  28

4.4.2  Beschreibung des Algorithmus  28

4.4.3  Algorithmus  30

4.5  Umsetzung in MATLAB  31

5  Die Intranetanwendung STRAAL  33

5.1  Anwendungsbereich bei einem Finanzdienstleister  33

5.2  Funktionalit aten  33

5.2.1  Auswahl der Indizes  33

5.2.2  Kennziffern - historische Werte  34

  2  

Inhaltsverzeichnis

5.2.3  Portfolio-Optimierung  36

5.3  Implementierung  36

5.3.1  Softwareumgebung  36

5.3.2  Datenbank  37

5.3.3  Umsetzung in PHP  42

6  Zusammenfassung  45

  3  

Abbildungsverzeichnis

2.1  Kursentwicklung des DAX 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)  12

2.2  Kursentwicklung des REXP 1990 - 2005 (Quelle: Bloomberg)  13

3.1  Effizienzkurve (Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an: Stei-  

  ner Bruhns Wertpapiermanagement 2000 S 9)  18

3.2  Kapitalmarktlinie und Effizienzkurve (Quelle:Eigene Darstellung  in

  Anlehnung an: Vgl Steiner Bruhns Wertpapiermanagement  2000

  S 22)  20

3.3  Veranschaulichung der Sharpe Ratio (Quelle: Eigene Darstellung  in

  Anlehnung an: Fischer Performanceanalyse in der Praxis S 272)  23

4.1  affine Ver anderung (Quelle:Kecman Vogt Active-Set Method for Sup-  

  port Vector Machines 2003 S 3)  29

5.1  STRAAL - Auswahl der Indizes  34

5.2  STRAAL - Portfolio Optimierung  35

5.3  Datenbankschema mit Beziehungen der Schl ussel F K P K (Quel-  

  le: Eigene Darstellung)  38

5.4  Stammdaten der Indizes in PM  39

5.5  t agliche Indexkurse in PM  40

5.6  Basis-Tabellen in RIO  41

5.7  Matching-Tabellen in RIO  41

5.8  Aktivit atsdiagramm der Benutzeroberfl ache von STRAAL  44

  4  

1 Einleitung

Wer gut essen will, kauft Aktien; wer gut schlafen will, kauft Anleihen.“ 1 ” Andre Kostolany (1906-1999)

Der ungarisch-amerikanische Finanz- und B¨ orsenexperte Andre Kostolany dr¨ uckt mit dieser Aussage die unterschiedliche Risikobereitschaft der einzelnen Anleger aus. Aktien erzielen grunds¨ atzlich eine h¨ ohere Rendite als Anleihen, stellen jedoch auf- grund ihrer gleichzeitig h¨ oheren Volatilit¨ at auch die risikoreichere Anlagem¨ oglich- keit dar. Um ein Portfolio, mit gutem Risiko-Rendite-Profil zu erhalten, sollten die verschiedenen Anlageformen gemischt werden. Hierf¨ ur ist ein umfangreicher Ent- scheidungsprozess notwendig, der f¨ ur institutionelle Investoren in gleichem Maße wie auch in der privaten Anlageberatung eine zentrale Rolle spielt. Grundlage f¨ ur jede Entscheidung ist eine genaue Analyse des Anlegerprofils bez¨ uglich seiner Risiko- bereitschaft, seiner pers¨ onlichen Anlageziele und des Zeithorizontes, in welchem das Verm¨ ogen profitabel angelegt werden soll. In der strategischen Asset Allocation geht es um die Struktur des Portfolios und die Verteilung des anzulegenden Kapitals auf die verschiedenen Assetklassen innerhalb des zur Verf¨ ugung stehenden Anlageuni- versums. Als Anlageuniversum wird das gesamte Spektrum der Investitionsm¨ oglich- keiten bezeichnet, die grunds¨ atzlich in das zu verwaltende Portfolio aufgenommen werden k¨ onnen. Die einzelnen Assetklassen beinhalten beispielsweise verschiedene Anlagekategorien (z.B. Aktien, Renten), verschiedene M¨ arkte (z.B. Deutschland, USA) oder auch Anlagew¨ ahrungen (z.B. EUR,YEN).

Die vorliegende Diplomarbeit hat zum Ziel, ein Tool zu entwickeln, dass Fondsma- nager bei der strategischen Asset Allocation f¨ ur die von ihm zu gestaltenden Fonds unterst¨ utzt. Basierend auf einem quadratischen Optimierungsprozess soll das Tool dem Fondsmanager erm¨ oglichen, verschiedene Strategien zu testen und ein f¨ ur den Anleger optimales Portfolio zu finden.

1 Kachel, Aktienanlage: Nervenst¨ arke lohnt sich, in: Informationen f¨ ur Kapitalanleger, hrsg. v. Deutschem Aktieninstitut, 2005, S. 12

5

1 Einleitung

Eine strategische Planung ist immer langfristig ausgelegt, weshalb bei der Zu- sammensetzung eines Portfolios in der Regel von Zeithorizonten zwischen 5 und 30 Jahren gesprochen werden kann. Asset Allocation ist aus dem Englischen ¨ ubertra-

ubersetzt werden. 2 Da

gen und kann mit Verteilung bzw. Zuordnung von Anlagen ¨ grunds¨ atzlich von einer Risikoaversion 3 [6] bei Investoren ausgegangen wird, die je nach Anleger h¨ oher oder niedriger ausf¨ allt, kann unter strategischer Asset Allocati- on auch die systematische Reduzierung des Risikos durch Verteilung des Verm¨ ogens auf verschiedene Anlagem¨ oglichkeiten verstanden werden.

Die strategische Asset Allocation dient dazu, die Auswahl und Gewichtung der verschiedenen Assetklassen zu finden, die den Pr¨ aferenzen des Anlegers langfristig gesehen am besten entsprechen und sich mit der aktuellen und erwarteten Marktsi- tuation vereinbaren lassen.

Sowohl die Renditevorstellungen des Anlegers als auch seine Risikobereitschaft be- einflussen die Struktur des Portfolios maßgeblich. 4 Das Risiko einer Anlage wird im Allgemeinen durch ihre Volatilit¨ at gemessen. Daher sind die Kennzahlen Rendite, Volatilit¨ at und Korrelation im Hinblick auf die einzelnen Assetklassen zu unter- suchen. Sie gelten als entscheidende Inputparameter f¨ ur den Portfoliomanager zur Aufstellung des f¨ ur den Anleger optimalen Portfolios.

Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Tool ST RAAL baut daher auf die- sen Inputparametern auf. Es bietet dem Fondsmanager in einem ersten Schritt die M¨ oglichkeit, Indizes auszuw¨ ahlen, welche die verschiedenen, f¨ ur das zu erstellende Portfolio interessanten Assetklassen repr¨ asentieren (z.B. DAX f¨ ur Aktien, REXP f¨ ur Renten). Auf Basis historischer Daten werden f¨ ur jeden Index die Rendite, die Volatilit¨ at und f¨ ur alle Indizes ihre Korrelationen untereinander berechnet. Die so er- haltenen Werte gelten als Richtlinien f¨ ur den Fondsmanager. Er kann jedoch anhand eigener Beurteilungen seine gesch¨ atzten Erwartungswerte f¨ ur die k¨ unftige Entwick- lung der jeweiligen Kennzahl pro Index eingeben.

2 Vgl. o.V. http://dict.tu-chemnitz.de/

3 Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.252 4 Vgl. dies und Folgendes in: Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 1999, S.280ff.

6

1 Einleitung

In einem weiteren Schritt hat der Fondsmanager die M¨ oglichkeit, f¨ ur jeden Index bzw. f¨ ur jede Assetklasse anlegerspezifische Restriktionen einzugeben. Zum Beispiel m¨ ochte der Anleger mindestens 30% Renten oder h¨ ochstens 80% Aktien in seinem Portfolio haben. Das Tool berechnet auf Basis dieser Daten das optimale Verh¨ alt- nis aus Risiko und Rendite und zeigt schließlich das daraus resultierende optimale Portfolio und die entsprechenden Gewichtungen der ausgew¨ ahlten Assets an.

Die Arbeit ist folgendermaßen aufgegliedert. Kapitel 2 gibt eine kurze Einf¨ uhrung in die Bereiche der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, um die Begriffe der verwendeten Kennzahlen wie Rendite und Volatilit¨ at, Varianz und Korrelation zu erl¨ autern. In Kapitel 3 wird dann das CAPM-Modell als Grundlage f¨ ur die Problem- stellung des Fondsmanagers vorgestellt. Die optimale Auswahl und Gewichtung der Asset-Klassen ist ein quadratisches Optimierungsproblem, dessen L¨ osung in Kapitel

4 vorgestellt wird. Kapitel 5 beschreibt die Implementierung des Tools in PHP als

eine Intranetanwendung f¨ ur das Portfoliomanagement eines Finanzdienstleiters.

7

2 Statistische Grundlagen

Ein Asset oder eine Assetklasse hat eine mittlere Rendite und ein Risiko, mit der die tats¨ achliche Rendite von der mittleren Rendite abweicht. Mathematisch mo- delliert man die Rendite eines Assets mittels einer Zufallsvariablen, die um ihren Erwartungswert (mittlere Rendite) mit einer bestimmten Volatilit¨ at, dem Risiko, schwankt. Das folgende Kapitel definiert die Begriffe Zufallsvariable, Erwartungs- wert, Volatilit¨ at und Korrelation aus der Stochastik und stellt dar welche Sch¨ atzer aus der Statistik ¨ ublicherweise verwendet werden.

2.1 Zufallsvariablen

Als Zufallsvariable bezeichnet man eine mathematische Variable, die je nach dem Ergebnis eines als zuf¨ allig aufgefassten Experiments verschiedene Werte annehmen kann. Das Experiment kann eine Auslosung sein, die Berechnung einer Pseudozu- fallszahl oder die Messung einer statistisch verteilten oder mit Messfehler behafteten Gr¨ osse. 1

Man nennt die Zufallsvariable diskret, wenn die Menge der m¨ oglichen Werte einer Zufallsvariablen endlich ist wie bei einem W¨ urfel oder abz¨ ahlbar unendlich. Wenn die Wertemenge ¨ uberabz¨ ahlbar ist, typischerweise also aus reellen Zahlen besteht, heißt die Zufallsvariable stetig. Als Beispiel aus der Praxis kann man hierf¨ ur Aktienkurse betrachten, die jeden m¨ oglichen reellen Wert annehmen k¨ onnen.

Die Wahrscheinlichkeiten der m¨ oglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable bil- den eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, beim W¨ urfeln mit zwei W¨ urfeln die Gesamtaugenzahl Z, mit Z = 1...12, zu erreichen, folgt zum Bei- spiel der Wahrscheinlichkeitsverteilung

1 Vgl. dies und Folgendes in: Kredler, Einf¨ uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statis- tik, 1997, S.19 ff.

8

2 Statistische Grundlagen

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Auspr¨ agungen einer stetigen Zufallsvaria- blen k¨ onnen - im Gegensatz zum diskreten Fall - nicht angegeben werden. Streng genommen m¨ ussen die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur jede einzelne Auspr¨ agung als 0 ge- setzt werden. Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur angeben, dass Ereignisse innerhalb eines Intervalles liegen. Die Wahrscheinlichkeit wird dabei mit Hilfe der sogenannten Dichtefunktion berechnet. Unter den stetigen Wahrscheinlichkeitsver- teilungen gilt als eine der wichtigsten Verteilungen die Normalverteilung. 2 Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabh¨ angigen, identisch verteilten Zufallsvariablen in der Grenze n → ∞ normalverteilt ist. Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

1

2

f (x) =

wobei σ die Standardabweichung und µ der Erwartungswert ist. 3 Es wird allgemeinhin angenommen - und im besonderen als Grundlage dieser Arbeit - , dass Renditen aus Finanzanlagen normalverteilt sind.

Vgl. Kredler, Einf¨ uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.29

2 Statistische Grundlagen

2.2 Erwartungswert

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable je- ner Wert, von dem man erwartet, dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung des Experiments durchschnittlich ergibt. Bei einer diskreten Zufallsvariable errech- net er sich als die Summe der Wahrscheinlichkeit jedes m¨ oglichen Ergebnisses des Experiments multipliziert mit dem W ert dieses Ergebnisses. Der Erwartungswert kann allerdings bei einem einzelnen Experiment eine sehr geringe Wahrscheinlich- keit besitzen oder sogar unm¨ oglich sein. Beispiel hierf¨ ur ist ein M¨ unzwurf, bei dem die Ergebnisse mit 0 und 1 definiert werden. Der Erwartungswert liegt bei 0,5 und wird nie erreicht.

Bei einer stetigen, integrierbaren Zufallsvariable wird der Erwartungswert durch Integration ¨ uber die Dichtefunktion bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahr- scheinlichkeitsdichtefunktion f(x), so ist der Erwartungswert

∞

E(X) =

Wir ¨ ubertragen nun die mathematische Modellierung auf ein Asset, f¨ ur das mo- natliche Renditen ¨ uber einen Zeitraum von N Monaten gegeben sind. Aus dieser Anzahl von Messdaten versuchen wir nun R¨ uckschl¨ usse auf die Kennzahlen der zu- grunde liegenden Verteilung zu ziehen. Unter der Annahme der Normalverteilung reicht es aus, den Erwartungswert und die Varianz zu bestimmen.

Aus der Statistik ist nun bekannt, dass als sogenannter erwartungstreuer Sch¨ atzer f¨ ur den Erwartungswert der Mittelwert verwendet werden kann. 4

Der Mittelwert bzw. empirische Erwartungswert ¨ uber alle Renditen R i mit i =

1, ...., N ist dann

N

4 Vgl. Kredler, Einf¨ uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1997, S.126

10