Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen

Kurzfassung

Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Unstimmigkeiten mit der klassischen Mechanik.

In der Welt der kleinsten Teilchen, der Elektronen, herrschen andere Gesetze als in der Welt der makroskopischen Körper. Ein Elektron verhält sich nicht wie ein aus dem Alltagsleben bekanntes Teilchen, sondern hat sowohl Wellen-, als auch Teilchencharakter.

Die Quantentheorie beschreibt den physikalischen Zustand eines Teilchens durch eine Differentialgleichung, die nach dem Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt ist. Abhängig von der Komplexität einer gegebenen Potentialfunktion ist diese Differentialgleichung analytisch schwer oder gar nicht mehr lösbar.

Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Quantenphysik an sich und der numerischen Berechnung der Eigenfunktionen und Eigenwerte von beliebigen Potentialfunktionen. Die Berechnung ist mit einem am Computer programmierten, ereignisgesteuerten und mit einer Benutzeroberfläche ausgestatteten Programm möglich, ebenso wie automatische Plotfunktionen. Im weiteren Teil der Arbeit wird dann zu Supersymmetrischen Potentialen und deren numerischer Behandlung mit programmtechnischer Umsetzung für genauere Analysen übergegangen.

I

Abstract

At the beginning of the last century, the science of physics was facing a crisis. Although matters of classical physics were more or less scientifically proven and applied in practice, the results of certain experiments achieved through physics showed great deviations from the results achieved through classical mechanics.

Engineering principles applicable to the smallest microscopic particles are not the same as those principles applicable to macroscopic particles. An electron does not act in the same way as an ordinary particle known from every day life mainly because an electron is identified by its wave and particle-dualism.

Quantum theory describes the physical condition of a particle by using a differential equation set up by the physicist and Nobel prize winner Erwin Schrödinger. Depending on the complexity of the potential function, the solution of this differential equation by analytical means is either very difficult or not possible at all.

This thesis approaches design engineering from the perspective of quantum physics with the main focus on numeric design engineering of eigenfunctions and eigenvalues of any potential function. Numeric design engineering is achieved by means of a computer controlled program equipped with a user interface for automatic plotting of curves. Finally, supersymmetric potentials and their numeric handling are dealt with as well. This thesis also concentrates on how to get more precise analyses by using computer programs.

II

Danksagung

An dieser Stelle möchte ich allen danken, die durch ihre fachliche und persönliche Unterstützung zum Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen haben.

Insbesondere Dr. Dipl. Ing. techn. Peter Pichler danke ich, der nicht nur die Grundidee zu dieser Arbeit lieferte, sondern mir auch immer hilfreich und mit viel Know-how zur Seite stand.

Vielen Dank auch an meine Freundin Birgit, die mir beim Korrekturlesen geholfen hat und mich auch moralisch unterstützte.

Gewidmet ist die Arbeit meinen Eltern, die mich immer selbstlos unterstützt und mir das Studium erst ermöglicht haben.

III

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Grundlagen  2

2.1  Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen  2

2.1.1  Allgemein  2

2.1.2  Streckenzugverfahren von Euler  2

2.1.3  Runge-Kutta  3

2.2  Numerisches Verfahren zur Differentiation  8

2.3  Numerisches Verfahren zur Integration  11

3  Schrödinger-Gleichung  16

3.1  Allgemein  16

3.2  Der Teilchen Welle Dualismus  16

3.2.1  Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen  16

3.2.2  Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen  17

3.2.3  Doppelspaltversuch mit Elektronen  18

3.2.4  Interpretation der Doppelspaltexperimente  19

3.3  Das mathematische Gerüst der Quantentheorie  20

3.3.1  Das im unendlich hohen Potentialtopf eingesperrte Teilchen  20

3.3.2  Die Schrödinger-Gleichung  26

3.3.3  Interpretation der Wellenfunktion  29

4  Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen  33

4.1  Stetigkeitsbedingungen an den Potentialwänden  34

4.2  Unendlich hoher Potentialtopf  36

4.2.1  Analytische Lösung  37

4.2.2  Numerische Lösung  40

  2  

  x (quantenmechanischer Oszillator)  44

4.3  Potentialfunktion  

4.3.1  Analytische Lösung  44

4.3.2  Numerische Lösung  51

  1  

  Potentialfunktion 4 4 1  55

  2  

  x cosh( )  

5  Supersymmetrische Potentiale  57

5.1  Allgemein  57

IV

5.2  Mathematische Behandlung der Supersymmetrischen Potentiale  57

5.2.1  Supersymmetrisches Potential im unendlich hohen Potentialtopf  58

5.2.2  Supersymmetrisches Potential zum Doppeltopfpotential  61

5.2.3  Aufsuchen der Energieeigenwerte aus höhergradigen Supersymmetrischen  

  Potentialen  62

  Resümee und Ausblick  65

  Literaturverzeichnis  67

Anhang   68

V

Darstellungsverzeichnis

Darst. 2-1 numerische Differentiation einer Sinusfunktion ............................................... 10 Darst. 2-2 Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen. ................................................ 11 Darst. 2-3 Berechnung des ersten Doppelstreifens ......................................................... 12 Darst. 3-1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen................................................ 16 Darst. 3-2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen ................................................... 17 Darst. 3-3 Doppelspaltversuch mit Elektronen................................................................. 18 Darst. 3-4 Elektroneneintritt durch eine Blende ............................................................... 30 Darst. 3-5 Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons im Intervall x bis x+dx. 30 Darst. 4-1 Potentialstufe................................................................................................... 34 Darst. 4-2 Endlicher Potentialsprung ............................................................................... 34 Darst. 4-3 Kräftefreier, pendelnder Massepunkt mit zugehöriger potentieller Energie U(x) ................................................................................................................................... 36 Darst. 4-4 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 im unendlich hohen Potentialtopf.......................................................... 39 Darst. 4-5 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=4 im unendlich hohen Potentialtopf.......................................................... 40 Darst. 4-6 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=9 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=9 im unendlich hohen Potentialtopf.......................................................... 40 Darst. 4-7 Eingabemaske zur numerischen Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in symmetrischen Potentiale ........................................................... 41 Darst. 4-8 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf............... 42 Darst. 4-9 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf............... 42 Darst. 4-10 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf............... 43 Darst. 4-11 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung....................................... 43 Darst. 4-12 lineares harmonisches Pendel mit der Masse m........................................... 44 Darst. 4-13 potentielle Energie U(x) des harmonischen Oszillators................................. 46

VI

Darst. 4-14 Energieeigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators .................................................................................................................. 50 Darst. 4-15 Harmonischer Oszillator u. Übergang zum klassischen Fall ......................... 51 Darst. 4-16 Potentialfunktion 2

x ...................................................................................... 52

Darst. 4-17 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im quadratischen Potential ......................... 52 Darst. 4-18 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im quadratischen Potential ......................... 52 Darst. 4-19 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im quadratischen Potential ......................... 53 Darst. 4-20 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im quadratischen Potential ......................... 53 Darst. 4-21 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung....................................... 54

Darst. 4-22 Potentialfunktion Darst. 4-23 Eigenfunktion im

Darst. 5-1 0

Darst. 5-2 0

Darst. 5-3

Darst. 5-4 exaktes Supersymmetrisches Potential

Darst. 5-5 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung im Supersymmetrischen Potential ..................................................................................................................... 60

( )

( )

Darst. 5-6 Potentialfunktion:

Darst. 5-7 Supersymmetrisches Potential:

Darst. 5-8 Erste Wellenfunktion

Darst. 5-9 Potential

VII

Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Unstimmigkeiten mit der klassischen Mechanik. Ein konkretes Beispiel ist zum Beispiel die Wärmestrahlung, die mit klassischen Konzepten nicht zu erklären war. Der deutsche Physiker Max Planck stellte dabei die revolutionierende Annahme einer Energiequantelung auf. Sie war für ihn zwar nicht streng beweisbar, klärte aber quantitativ korrekt den experimentellen Befund und muss als Geburtsstunde der modernen Physik angesehen werden.

Im Mittelpunkt dieser Diplomarbeit steht dabei die SchrödingerGleichung, die nach dem österreichischen Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt, die zentrale Bewegungsgleichung der Quantenmechanik darstellt. Sie tritt an die Stelle der klassi-schen Newtonschen Bewegungsgleichungen. 1 Damit bei der in der Schrödinger-

) (x V

Gleichung auftretenden Potentialfunktion werden können, bedient man sich numerischer Lösungsmethoden. Interessant hierbei ist auch die programmtechnische Umsetzung zur Erzielung der Eigenwerte und Eigenfunktionen dieser Differentialgleichung, um die Möglichkeiten der numerischen Mathematik auszuloten.

1 Vgl. Nolting, Wolfgang: Grundkurs: Theoretische Physik. 3. Auflage. Ulmen: Zimmerman - Neufang 1996 ,S. 1

2 Grundlagen

2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen

2.1.1 Allgemein

Viele in naturwissenschaftlichen, und technischen Anwendungen auftretenden Differenti-

algleichungen sind analytisch nicht mehr lösbar. Das heißt, es ist nicht möglich, die Lö-

sungsfunktion der Differentialgleichung in geschlossener Form anzugeben.

In manchen Fällen ist dies zwar möglich, jedoch nur mit sehr hohem Aufwand. Glückli-

cherweise existieren jedoch einige sehr gute numerische Verfahren, mit denen punktwei-

se eine Annäherung an die exakte Lösungskurve möglich ist. 2

2.1.2 Streckenzugverfahren von Euler

Dieses Verfahren kann zum Lösen von Differentialgleichungen erster Ordnung in der

y =

= − 0

( ' f

Form

) ( 0

x y

Dabei wird die Anfangsbedingung in die Taylorreihe eingesetzt:

Taylorreihe:

+ ⇒

) ( h x y

0

2

Falls h klein ist, dann sind die Terme mit 2

h und den höheren Potenzen sehr klein, und

können dann vernachlässigt werden:

+ =

2 Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:

Vieweg,1994, S. 558.

Besser geeignet ist allerdings das nachfolgend beschriebene Runge-Kutta Verfahren, da

dies eine wesentlich höhere Genauigkeit bietet. Allerdings ist auch ein höherer Rechen-

aufwand vonnöten.

2.1.3 Runge-Kutta

Das Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung benutzt alle Terme bis 4

h und heißt deshalb

bezeichnenderweise Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung. 3 Auch wenn das Euler Verfah-

ren für kleine Schrittweiten h recht gute Ergebnisse liefert, so summieren sich die Fehler

bei einer großen Zahl von Zeitschritten doch recht schnell.

Das Runge-Kutta Verfahren erweist sich in der Praxis als ein Rechenverfahren von hoher

Genauigkeit. Für die Steigung der Ersatzgeraden wird eine Art mittlerer Steigung der Lö-

sungskurve angesetzt, wodurch das Steigungsverhalten der Lösungskurve besser be-

rücksichtigt wird. 4

2.1.3.1 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 1. Ordnung

Um eine Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen, kann diese mit den folgenden

Ausdrücken numerisch gelöst werden:

+ + + + ≈

) ( 1 y x y

+ n n

=

y x f h m

) , ( * 1

=

f h m

( * 2

=

f h m

( * 3

=

f h m

( * 4

3 Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner: München, Wien: Hanser,1984,S. 129.

4 Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:

Vieweg,1994, S. 563.

2.1.3.2 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 2. Ordnung

Um eine Differentialgleichung höherer Ordnung (n-ter Ordnung) zu lösen, kann diese in n-Differentialgleichungen erster Ordnung übergeführt werden:

Daraus ergeben sich die benötigten Formelansätze:

Basierend auf diesem Verfahren wird ein Programm in der Delphi Entwicklungsumgebung geschrieben, das es ermöglicht, Differentialgleichungen 1.- und 2.-ter Ordnung zu lösen.

Die Eingabemaske besteht aus den einzelnen EditKomponenten, in die die Differential-gleichungen und die einzelnen Parameter (Schrittweite, Randwerte usw.) eingegeben werden. Der gewählte Datentyp für genauigkeitsrelevante Berechnungen ist durchwegs vom Typ extended, der eine 80 bit Gleitkommazahl mit einer Genauigkeit von 1920 Stel-len (der größte, der vom Mathematischen Coprozessor auf x86/32Bit CPU’s unterstützt wird) repräsentiert.

Fehler werden automatisch bei der Eingabe abgefangen, z.B. Zahlen in rein numerischen

Werten werden gelöscht. Fehlende Bedingungen werden dem Benutzer ebenfalls über

eine Messagebox mitgeteilt. Eine Parser Dynamik Link Library sorgt für die mathemati-

sche Umrechnung des eingegebenen Differentialgleichungsstrings. Dabei können alle

gängigen mathematischen Operatoren sowie trigonometrische Funktionen, Potenzfunkti-

onen, Konstanten usw. eingegeben werden.

Beispiel: Vergleich der analytischen und numerischen Lösung einer Differentialgleichung

2. Ordnung:

Gegeben sei folgende Differentialgleichung:

• • • • • •

+ +

4 2 x x x

Anfangswer

Lösungsweg:

Um die analytische Lösung zu bestimmen, wird zuerst die Lösung der homogenen Diffe-

• • • λ

= + +

0 4 2 x x x

rentialgleichung, d.h. mit dem Ansatz bestimmt. Daran anschließend

wird mit der „Methode der unbestimmten Koeffizienten“ der Ansatz:

+ =

( 2 - 5 )

) ( M t x p

verwendet. Dieser Ansatz liefert die partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Die all-

gemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist dabei die Summe der

Lösungen der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung der inhomo-

genen Differentialgleichung:

+ =

( 2 - 6 )

) ( ) ( ) ( t y t y t y

allg

analytische Lösung:

( ) ( )

) (

t y

allg

61 61

61

61

Vergleich der Ergebnisse mit unterschiedlichen Schrittweiten:

Schrittweite h =0,5:

Graphischer Ausdruck:

Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven gut übereinstimmen, trotz recht

großer Schrittweite.

Schrittweite h =0,1:

Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven annähernd deckungsgleich sind,

bei der Wahl einer kleinen Schrittweite.

2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation

Des Öfteren wird eine Näherung für die Ableitung von tabellarischen Daten benötigt, wie

dies zum Beispiel später im Zuge dieser Diplomarbeit für die Berechnung der Supersym-

metrischen Potentiale benötigt wird. Die benötigten Formelansätze können z.B. aus der

Taylor Reihe hergeleitet werden, wie im folgenden noch gezeigt wird. 5

Wir benutzen eine Taylor Reihe der Form

ε ε ε

! 3 ! 2 ! 1

Für den Differentialquotient werden die nachfolgenden Abkürzungen eingeführt:

.... .......... ..........

ε

x = = +

=

x

Mit

0

3 2

y

1

6 2

ε

=

und mit

5 Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner. München, Wien: Hanser,1984,S. 189-195.

3

bekannt ist. Man bekommt aber anhand der Größenordnung des Terms den Fehler der gemacht wird. Die Formel (212) ist die Formel mit 3 Positionen des Vorwärtsdifferenzen-verfahrens.

Auf ähnliche Art und Weise können Approximationen für Ableitungen höherer Ordnung hergeleitet werden.

Da beim Differenzieren von tabellarischen Datenwerten beim letzten Wert nach Formel

1 , y y

unbekannt sind, muss das Rückwärtsdifferenzen(2-12) die nächsten Werte, d.h.

verfahren herangezogen werden:

Der Wert in Klammern bezeichnet den relativen Fehler, der gemacht wird.

Eigentlich würde das Vorwärtsdifferenzenverfahren für die Ableitung bis zum vorletzten Punkt der Wertetabelle, und der Zuhilfenahme des Rückwärtsdifferenzenverfahrens für die Ableitung des letzten Punktes der Wertetabelle reichen. Um aber den Fehler klein zu halten, bedient man sich des Zentraldifferenzenverfahrens, das quasi zwischen dem Vorwärtsdifferenzenverfahren und Rückwärtsdifferenzenverfahren eingesetzt wird:

Man sieht, dass der Fehlerterm in den runden Klammern von ( 2-14 ) nur halb so groß wie bei ( 2-13 ) ist, obwohl für ( 2-14 ) nur 2 Positionen benötigt werden. Natürlich existieren

auch noch Differenzenverfahrensformeln, die mit mehr als nur den hier beschriebenen zwei oder drei Positionen rechnen. Dementsprechend werden die numerischen Fehler dann geringer.

sin(x , im Bereich von 0 bis π

Nach Darst. 2-1 wurde eine Sinusfunktion (blaue Linie) numerisch differenziert. Anhand einer Wertetabelle von

=

0,06981317

h

berechnet wurde, ist für die Differentiation mit den obigen Formelansätzen in der Delphi Entwicklungsumgebung ein Programm entwickelt worden. Das Programm liest dabei ein Textfile in ein Datenarray ein, berechnet aus dieser die Schrittweite

h ,und berechnet dann nacheinander mit dem Vor-, Zentral-, und Rückwärtsdifferenzen-

verfahren die Ableitungswerte an diesen äquidistanten Stellen. Das Ergebnis wir dann von einem Array sequentiell in ein Ergebnisfile geschrieben. Das Ergebnisfile kann dann automatisch mit einem in VBA geschriebenen Programm in einem Excel-Sheet geplottet werden. Der mittlere Fehler aller Datenpunkte im Vergleich zur exakten Lösung beträgt in

% 0758 , 0

diesem Beispiel .

Darst. 2-1

numerische Differentiation einer Sinusfunktion

2.3 Numerisches Verfahren zur Integration

Es ist öfter der Fall, dass die Integration in geschlossener Form nicht möglich, oder vom

Aufwand her nicht vertretbar ist. Dies kann durch eine punktweise Berechnung der

Stammfunktion mithilfe spezieller Näherungsverfahren erreicht werden. Es existieren eini-

ge Verfahren zur numerischen Integration wie z.B. das Romberg Extrapolationsverfahren,

die Trapezregel, die Gauß Quadratur, usw. Hier soll die Simpson Regel zur numerischen

Integration vorgestellt werden, da diese relativ einfach programmierbar ist und trotzdem

hohe Genauigkeit erzielt. Zur Vervollständigung und zum besseren Verständnis soll die

Simpson Regel hergeleitet werden. 6

≤ ≤

a

Zuerst wird das Integrationsintervall

len gleicher Länge zerlegt.

−

h

2

n

2 +

1

n

Daraus folgen die Stützstellen

+ = + = + = + = + = =

x

0

......

( )

= + = + =

Darst. 2-2

Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen

Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte

Auflage: Vieweg,1994, S. 445.

6 Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:

Vieweg,1994, S. 445-448.

Mit den Stützwerten, bzw. Funktionswerten:

( )

= + = + = =

y

k

Anschließend werden je zwei benachbarte Streifen zu einem Doppelstreifen zusammen-

gezogen. Mit n

mit der Breite h

Anzahl von Teilintervallen zerlegt werden muss.

Nun wird näherungsweise der Flächeninhalt der n Doppelstreifen berechnet. Im ersten

Doppelstreifen nach Darst. 2-3 wird die Funktionskurve

, , P

P P

durch

3 1 0

+ + =

(

x y

Die Koeffizienten sind eindeutig bestimmbar, müssen aber, wie sich später zeigen wird,

nicht berechnet werden, da sie nur indirekt in die Endformel eingehen.

Darst. 2-3

Berechnung des ersten Doppelstreifens

Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte

Auflage: Vieweg,1994, S. 446.

+ ≤ ≤

A zwischen Parabel und x -Achse im Teilintervall

Die Fläche 1

dann einen Näherungswert für den exakten Flächeninhalt des ersten Doppelstreifens.

Mittels elementarer Integration ist dieser berechenbar:

+

( )

h x

2

0

= ∫

= = + +

A

1

=

3

Der Ausdruck in Klammer der mithilfe der Parabelgleichung aus (2-19) berechnet wurde

ergibt jedoch die Summe:

+ + = + +

y

0

Dies aufgrund von :

+ + = =

2

y

0

y

1

y

2

x

Denn an den Stellen

rabel überein. Der erste Doppelstreifen hat daher ungefähr den Flächeninhalt:

( )

h

A

1

3

Die anderen Flächeinhalte berechnen sich analog dazu:

( )

h

A

2

A

3

..........

.... ..........

( )

h

=

A

n

3