Meinen Eltern;

2 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

„Ob du sie (die Mutmaßungen) akzeptierst oder nicht, wird keinerlei Auswirkungen auf die Realität haben, Traumfinder. Du magst dich entschließen, nicht an einstürzendes Mauerwerk zu glauben, falls diese Vorstellung dir zuwider ist, doch wenn dir ein Ziegel auf den Schädel fällt, befördert er dich nichtsdestotrotz ins Jenseits.“

Roger Taylor: Traumfinder (Tarrian), S. 28

3 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand teilweise während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter bei der Firma arsenal research, Österreichisches Forschungs- und Prüfzentrum Arsenal Ges.m.b.H., Geschäftsfeld Verkehrswege.

Ich möchte mich vom tiefsten Herzen bei meinen Eltern, Frau Yuxian Lu, Herr Dipl.-Ing. GuoCai Lu und meiner Schwester, Suibei Lu, die mich seinerzeit in die Richtung des Bauwesens gelenkt haben bedanken, womit ich auch die vorliegende Arbeit meinen lieben Eltern widme. Gleichzeitig bin ich für meine gesamte bisher genossene Erziehung ihnen zu Dank verpflichtet. Ohne ihre Unterstützung und familiären Wärme wäre meine gesamte Ausbildung zum Bauingenieur, womit ich eine Familientradition weiterführe, niemals möglich gewesen.

Mein besonderer Dank gilt meinem Professor, Doktorvater und 1. Dissertationsgutachter Herrn Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Rudolf Heuer - TU Wien, der mir bereits während meiner Studienzeit den Ansporn zu einer wissenschaftlichen Weiterbildung vermittelte und mich auch in die Welt der Mechanik einführte. Ebenso möchte ich mich bei Herrn Prof. Heuer für seinen Einsatz und Hilfe auch in persönlichen und privaten Belangen herzlichst danken. Durch seinen Einsatz ist es mir u.a. ermöglicht worden während meines Diplomstudiums meine Masters Thesis an der Stanford University, John A. Blume Earthquake Engineering Center, USA, zu verfassen. Herr Prof. Heuer hat mich während der letzten Jahre ständig motiviert und durch zahlreiche Diskussionen, teilweise auch außerhalb seiner Sprechstunden, immer wieder aufgebaut und die Dissertation in die hier vorliegende Form gelenkt.

Ebenso gilt mein besonderer Dank meinem 2. Dissertationsgutachter Herrn Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Rainer Flesch - arsenal research, der gleichzeitig der Geschäftsfeldleiter des Geschäftsfeldes Verkehrswege ist. Prof. Flesch gab mir die Anregung zu diesem Thema und unterstützte stets mein Vorhaben, eine Dissertation zu verfassen. Herrn Prof. Flesch möchte ich insbesondere dafür danken, dass er mich durch Forschungsprojekte unterstütze und somit Teile dieser Arbeit überhaupt erst ermöglichte.

4 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Weiters gebühren Herrn Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Christoph Adam - TU Wien, Herrn Dipl.-Ing. Michael Kogler - Wienerberger Ziegelindustrie AG, Herrn Dipl.-Ing. Dr. techn. Vladimir Benko - TU Wien, Frau Dipl.-Ing. Dr. techn. Yvonne Spira - TU Wien und Herrn Univ. Doz. Dipl.-Ing. Dr. techn. Roman Lackner - TU Wien, mein aufrichtigster Dank für die vielen fachlichen Diskussionen und Ratschläge; ohne ihr Mitwirken wäre diese Arbeit unter ungleich schwierigeren Bedingungen durchführbar gewesen.

Selbstverständlich möchte ich meiner langjährigen Freundin und Lebensgefährtin Mag. iur. Renata Hrnjak für all die unvergesslichen und wundervollen Jahre während meines Studiums danken. Ebenso bedanke ich mich für Ihre aufgebrachte Geduld während der Schaffungszeit dieser Dissertation und insbesondere für das mehrmalige Korrekturlesen der vorliegenden Arbeit.

Auch gebührt mein Dank meinen Freunden und all jenen, die mir nahe stehen und mich stets unterstützten.

Teile der Forschungstätigkeiten für die vorliegende Arbeit wurden im Rahmen des arsenal research - Eigenforschungsprojekt „Dynamische Eigenschaften von Baumaterialien“, Fund Nr. 2.05.00187.4.0, sowie des EU-Forschungsprojektes FP6 Integrated Project, „LESSLOSS - Risk Mitigation for Earthquakes and Landslides, SP5 In-Situ assessment, monitoring and typification“, durchgeführt.

5 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Kurzfassung

Diese Arbeit beschreibt die Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen unbewehrten Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement. Einleitend wird ein Überblick über die geschichtliche Entwicklung des Materials und deren verschiedenen Anwendungsgebieten gegeben.

Für die Beurteilung der Tragsicherheit eines Bauwerks ist es notwendig sowohl die Materialeigenschaften, als auch das Materialverhalten gegenüber verschiedenen Einwirkungen zu kennen. Um ein Makromodell (verschmiertes Modell) eines Materials erstellen zu können, werden hierzu die Formulierungen der klassischen Plastizitätstheorie angewendet. In Kapitel 2 dieser Arbeit werden die Grundlagen dieser Theorie erklärt, wobei die allgemeinen Formulierungen für den eindimensionalen sowie den mehrdimensionalen Spannungszustand beschrieben werden. Weiters ist eine ausführliche Literaturrecherche von vorhandenen Makromaterialmodellierungen für Mauerwerk geführt worden. Diese ist chronologisch nach deren Entwicklung in Kapitel 3 zusammengefasst. Kapitel 4 fokussiert sich auf das Makromaterialmodell nach Ganz [35], wobei dieses erklärt und erläutert wird. Ganz [35] beschreibt sein Materialgesetz mit verschiedenen Versagenskriterien, welche einzelne Fließflächen darstellen. Anschließend fügt er diese Fließflächen zu einem kombinierten Fließflächenmodell zusammen.

In der seismischen Beurteilung (Assessment) von maßgeblichen unbewehrten Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement ist es erforderlich, alle Tragreserven des Materials auszuschöpfen. Mauerwerk besitzt eine, wenn auch im Vergleich zur Druckfestigkeit geringe, Zugfestigkeit. Das ursprüngliche Modell nach Ganz [35] wird in Kapitel 5 um die Fähigkeit der Aufnahme von Zugkräften erweitert und modifiziert. Somit ist eine neue Makromodellierung für unbewehrtes Mauerwerk in dieser Arbeit entstanden, wobei diese ebenfalls mit einer kombinierten Fließfläche beschrieben wird.

Im nächsten Schritt werden in Kapitel 6 die Materialeigenschaften und Materialkenndaten von verschiedenen Forschungsarbeiten analysiert und präsentiert. Das neue Materialmodell wird in das Finite Elemente Programm ANSYS implementiert, wobei die hierfür notwendigen theoretischen Formulierungen in Kapitel 5 und Kapitel 7 beschrieben werden. Das implementierte Programm ist in der Lage, Mauerwerk auf seine Versagensarten zu analysieren und graphisch darzustellen. Das neue Materialmodell wird anhand von verschiedenen Laborversuchen verifiziert und auf seine

6 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Richtigkeit in Kapitel 8 bestätigt. Kapitel 9 behandelt das seismische Assessment von Mauerwerkshochbauten, wobei hier die Methode der „quasi nichtlinearen“ Analyse eingeführt und präsentiert wird. Weiters wird hier auf potentielle Schwachstellen von unbewehrten Mauerwerkshochbauten gegenüber Erdbebenbeanspruchung sowie auf Verstärkungsmethoden eingegangen.

Kapitel 10 zeigt eine Anwendung der vorgestellten Methode, um das LKH Innsbruck auf seine Sicherheit gegenüber seismischen Einwirkungen zu analysieren. Um die dynamischen Eigenschaften des Bauwerks zu ermitteln, werden zunächst in-Situ Schwingungsversuche am Gebäude des LKH Innsbrucks durchgeführt. Die gewonnenen experimentellen Ergebnisse werden schließlich verwendet, um das numerische Finite Elemente Modell an die realen Gegebenheiten anzupassen. Die Analyse findet unter Verwendung des neuen Materialmodells statt, wobei die Effektivität des neu entwickelten Materialmodells präsentiert wird. Es ist damit möglich, komplexe Bauwerke zu analysieren und die Schäden nicht nur zu lokalisieren, sondern auch zu kategorisieren. Man kann mit diesem Modell einerseits gezielt abschätzen, welche Bauteile durch ein Erdbeben geschädigt werden und andererseits auch die für die Schädigung maßgebliche Versagensart identifizieren. Der Vorteil liegt beispielsweise in der gezielten Wahl der Verstärkungsmethode.

Im Anhang B dieser Arbeit werden die in Österreich gültigen Normen ÖNORM B4015 [90] und die Norm EN 1998-1 [87] für Erdbebeningenieurwesen erläutert. Insbesondere werden die in diesen Normen vorgeschlagenen Analysemethoden für Mauerwerksbauten vorgestellt.

Der Einfluss der Schlankheit von unbewehrten Mauerwerkswänden wird in Anhang C erklärt. Des weiteren wird der Einfluss von einachsig gespannten Holzdecken in Mauerwerksbauten, welche eine übliche Konstruktionsart für bestehende Gebäude darstellen mit der Gegenüberstellung von steifen, scheibenartigen Stahlbetondecken in Anhang D anhand eines Beispiels diskutiert.

7 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Abstract

This thesis describes the seismic assessment of buildings of strategic importance (lifeline structures), consisting of unreinforced masonry. An overview of the historical development and the different fields of application of masonry is given in the introduction. It is necessary to have detailed knowledge about both the material parameters and the behavior of the material due to different excitations to perform structural assessment. To create a macromodel (smeared model) of a material, formulations according to the classical theory of plasticity are applied. Chapter 2 explains the general formulations of this theory in the one dimensional and multidimensional stress state. Furthermore a detailed literature review of existing macro models for masonry in form of a chronically summary is given in Chapter 3. Chapter 4 is focused on the macro material model of Ganz [35]. Ganz [35] has developed a material law based on different failure criteria, which are expressed as a proper combination of yielding surfaces. In the seismic assessment of unreinforced masonry lifeline structures, it is necessary to use material strength reserves as far as possible. Compared to the compression strength, masonry exhibits rather low portions of tension strength. The original model by Ganz [35] is expanded in Chapter 5 to cover tension strength aspects. Therefore a new developed macro material model for unreinforced masonry is elaborated in this thesis, which consists of a modified combined yielding surface.

The material properties of different research works are presented in Chapter 6. The new material model is implemented into the Finite Element software ANSYS. The theory of this implementation is given in Chapter 5 and Chapter 7. To verify the new implemented material model, calculated results are compared to different laboratory experiments in Chapter 8. Chapter 9 deals with the seismic assessment of masonry structures, where the definition „quasi nonlinear“ is introduced and explained. Furthermore weak points in unreinforced masonry structures and retrofitting methods to strengthen masonry are presented.

The new material model was used in Chapter 10 to assess the structure of the hospital LKH Innsbruck on its safety due to seismic excitation. Therefore in-Situ vibration tests on the building of LKH Innsbruck are performed to evaluate the dynamic properties and behavior in advance. The experimental results are used to calibrate the numerical Finite Element model to the real condition of the structure in a model updating process. The effectiveness of the new model is shown in cases where it is possible to analyse a complex structure due to its failures. The cracks can not only be localised, but also the

8 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

type of failure can be identified. It is possible to prognosticate accurately, in which structural members cracks and the corresponding crack type will occur due to earthquake loading. Thus, choosing the best suitable method of retrofitting is supported efficiently.

Annex B in this thesis gives an introduction of the codes for earthquake engineering ÖNORM B4015 [90] (Austrian Seismic Code) and Eurocode EN 1998-1 [87]. Especially the proposed analysis methods for masonry structures are presented. The influence of slenderness of unreinforced masonry walls is explained in Annex C. Finally Annex D discusses the influence of a fictive unreinforced masonry structure with a uni-axially spanned timber slab in comparison to a rigid reinforced concrete slab.

9 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Inhaltsverzeichnis

Vorwort.   4

  Kurzfassung.  6

  Abstract.  8

  Inhaltsverzeichnis  10

  Einführung  15

1.)  Geschichtlicher Hintergrund des Mauerwerkbaus  17

2.)  Grundlagen der Plastizitätstheorie.  22

2.1.)  Eindimensionaler Spannungszustand.  22

2.2.)  Mehrdimensionale Spannungszustände  22

2.2.1.)  Fließfläche  24

2.2.2.)  Fließpotential und Fließregel  25

2.2.3.)  Ideal elastisch-plastische Werkstoffe.  28

2.2.4.)  Elastoplastische Werkstoffe mit Verfestigung  29

2.2.5.)  Elastoplastische Spannungs-Verzerrungsbeziehungen, elastoplastischer  

  Tangentenmodul  31

2.3.)  Fehlerkriteriensflächen und Fließflächen  34

2.3.1.)  Kriterium nach von Mises  34

2.3.2.)  Kriterium nach Drucker-Prager  35

2.3.3.)  Kriterium nach Mohr-Coulomb.  36

3.)  Materialmodelle für Mauerwerk  37

3.1.)  Materialmodell nach Zelger (1967)  39

3.2.)  Materialmodell nach Hendry und Sinha (1969)  39

3.3.)  Materialmodell nach Stafford-Smith und Carter (1971)  40

3.4.)  Materialmodell nach Mann und Müller (1973)  40

3.5.)  Materialmodell nach Yokel and Fattal (1976)  42

3.6.)  Materialmodell nach Hamid und Drysdale (1978)  42

3.7.)  Materialmodell nach Hegemier et al (1978)  42

3.8.)  Materialmodell nach Page (1978)  43

3.9.)  Materialmodell nach Schneider, Schnell und Manns et al. (1978)  44

3.10.)  Materialmodell nach Samarasinghe (1980)  44

3.11.)  Materialmodell nach Bernadini, Modena und Vescovi (1982)  45

  10  

  Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement  

3.12.)  Materialmodell nach Dhanasekar (1982)  46

3.13.)  Materialmodell nach Rivero und Phan (1984)  46

3.14.)  Materialmodell nach Ganz (1985)  47

3.15.)  Materialmodell nach Essawy und Drysdale (1986)  47

3.16.)  Materialmodell nach Qinglin und Wenzong (1986)  47

3.17.)  Vergleiche von Dialer (1990)  48

3.18.)  Materialmodell nach Vratsanou (1990)  48

3.19.)  Materialmodell nach Seim (1994)  49

3.20.)  Materialmodell nach Lourenço (1996)  50

3.21.)  Materialmodell nach Mojsilovic und Marti (1999)  50

3.22.)  Materialmodell nach Schermer (2003)  51

3.23.)  Materialmodell nach Schlegel (2003)  52

4.)  Materialmodell nach Ganz  53

4.1.)  Versagen der Steine.  53

4.2.)  Versagen der Lagerfugen.  58

5.)  Modifiziertes Materialmodell für Mauerwerk.  63

5.  1) Modifikation 1 - Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche 1 f  63

5.2.)  Modifikation 2 - Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche 3 f  65

5.3.)  Modifikation 3 - Berücksichtigung der Zugfestigkeit in der Fließfläche 5 f  68

5.4.)  Modifikation 4 - Studie der Hypothesen „Drucker-Prager“ versus „Mohr-Coulomb“  

   70

5.5.)  Modifikation 5 - Erweiterungen für eine Implementierung in das Finite Elemente  

  Programm ANSYS.  74

5.5.1.)  Modifikation 5/a für das Modell ohne Zugfestigkeit  74

5.5.2.)  Modifikation 5/b für das Modell mit Zugfestigkeit.  82

5.6.)  Fließfläche des neuen Modells  85

6.)  Materialkennwerte des Mauerwerks  87

6.1.)  Druckfestigkeit orthogonal zu den Lagerfugen: cx f  87

6.2.)  Druckfestigkeit parallel zu den Lagerfugen: cy f  89

6.3.)  Zugfestigkeit orthogonal zu den Lagerfugen: tx f  90

6.4.)  Zugfestigkeit parallel zu den Lagerfugen: ty f  91

τ  Kohäsion - Anfangs Scherfestigkeit: c Dilatanzwinkel: ϕ  93

6.5.)  Schubfestigkeit: u  

6.6.)  Elastizitätsmodul orthogonal zu den Lagerfugen: E X  95

  11  

  Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement  

6.7.)  Elastizitätsmodul parallel zu den Lagerfugen: E y  95

7.)  Implementierung des Materialmodells in das Finite Elemente-  

  Programm ANSYS  97

7.1.)  Teilprogramm 1  97

7.2.)  Teilprogramm 2  98

7.3.)  Teilprogramm 3  100

7.4.)  Rechenkennwerte  103

7.5.)  Quellcode  103

8.)  Verifizierung des Materialmodells durch Vergleich von  

  numerischen und experimentellen Ergebnissen.  104

8.1.)  Daten der verwendeten Materialien  104

8.1.1.)  Steine.  104

8.1.2.)  Mörtel  106

8.1.3.)  Wand.  107

8.2.)  Versuchsanordnung  108

8.3.)  Berechnungsparameter des Finite Elemente Modells  109

8.4.)  Ergebnisse der numerischen Simulation.  110

8.4.1.)  Versuch am Testobjekt K1.  110

8.4.2.)  Versuch am Testobjekt K3.  116

8.4.3.)  Versuch am Testobjekt K4.  122

8.4.4.)  Versuch am Testobjekt K6.  128

8.4.5.)  Versuch am Testobjekt K7.  134

8.4.6.)  Versuch am Testobjekt K8.  140

8.4.7.)  Versuch am Testobjekt K10.  146

8.4.8.)  Versuch am Testobjekt K11.  152

8.4.9.)  Versuch am Testobjekt K12.  158

8.5.)  Zusammenfassung der Ergebnisse  164

9.)  Seismisches Assessment von Mauerwerkshochbauten.  165

9.1.)  Diskussion zu Sicherheitsniveaus, Duktilität, plastische Verformbarkeit und  

  Nichtlinearität.  165

9.2.)  Konstruktionsregeln und Schwachstellen von Mauerwerkshochbauten unter  

  Erdbebenbelastungen  171

9.2.1.)  Unbewehrtes Mauerwerk.  171

9.2.2.)  Holzgeschoßdecken und weiche Geschoßdecken.  176

  12  

  Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement  

9.2.3.)  Weiche Geschoße  179

9.2.4.)  Kurze Stützen  180

10.)  Seismisches Assessment vom LKH Innsbruck - Gebäude für  

  interne Medizin  184

10.1.)  Objekterklärung  184

10.2.)  Versuchsanordnung  185

10.3.)  Ergebnisse der in-Situ Messungen, Eigenfrequenzen, Eigenformen  186

10.4.)  Numerisches Modell für eine Finite Elemente Berechnung  188

10.4.1.)  Eingangswerte für die Berechnung - Decken  189

10.4.2.)  Eingangswerte für die Berechnung - Wände.  190

10.4.3.)  Eingangswerte für die Berechnung - Baugrund.  195

10.5.)  Modale Analyse.  196

10.6.)  Erdbebenberechnung.  198

10.7.)  Rissidentifikation mit Hilfe des neuen Materialmodells  199

  Abbildungsverzeichnis  203

Tabellenverzeichnis   212

  Literaturverzeichnis  213

Anhang A.)  Einachsige Materialgesetze - Ideal elastisch-plastisches  

  Modell  227

Anhang B.)  Erdbebenberechnung für Mauerwerk nach den Normen  

  ÖNORM B4015 und EN 1998-1  232

  B.1.) Bemessung nach der ÖNORM B4015.  232

  B.1.1.) Allgemeines  232

  B.1.2.) Erdbebenzonen  232

  B.1.3.) Bauwerks-Bewertungsfaktor, Sicherheitsklassen,  

  Schwingungsanfälligkeitsklassen, Erforderliche Nachweise  233

  B.1.4.) Elastisches Antwortspektrum  234

  B.1.5.) Erdbebenkraft  236

  B.1.6.) Besondere Regeln für Mauerwerksbauten.  237

  B.2.) Bemessung nach der EN 1998-1.  239

  B.2.1.) Allgemeines  239

  B.2.2.) Erdbebenzonen  239

  B.2.3.) Bauwerksbedeutung.  239

  B.2.4.) Antwortspektrum  240

  13  

  Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement  

  B.2.5.) Erdbebenkraft  242

  B.2.6.) Besondere Regeln für Mauerwerksbauten.  244

Anhang C.)  Numerisches Beispiel für den Einfluss der Schlankheit  

  der Wände  247

  C.1.) Allgemeines  247

  C.2.) Modale Analyse  248

  C.3.) Erdbebenanalyse.  251

  C.4.) Risskriterien  253

  C.5.) Resümee  254

Anhang D.)  Numerisches Beispiel für den Einfluss von weichen  

  Geschoßdecken.  255

  D.1.) Analyse unter Berücksichtigung von Holztramdecken  256

  D.1.1.) Allgemeines.  256

  D.1.2.) Statischer Lastfall  257

  D.1.3.) Modale Analyse.  258

  D.1.4.) Erdbebenanalyse  259

  D.1.5) Risskriterien mit Berücksichtigung der Zugfestigkeit  260

  D.1.6.) Risskriterien ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit  264

  D.2.) Analyse mit Berücksichtigung von Stahlbetondecken  268

  D.2.1.) Allgemeines.  268

  D.2.2.) Statischer Lastfall  268

  D.2.3.) Modale Analyse.  269

  D.2.4.) Erdbebenanalyse  269

  D.2.5.) Risskriterien mit Berücksichtigung der Zugfestigkeit  270

  D.2.6) Risskriterien ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit  275

  D.3.) Resümee  279

Anhang E.  Sourcecode  280

  Curriculum Vitae.  286

  14  

  Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement  

Einführung

Es ist den Ingenieuren und Forschern dieser Welt immer schon ein Anliegen gewesen, Bauten standsicher gegen verschiedenste Belastungen zu entwerfen und zu konstruieren. Neben den statischen Belastungen, welche unter dem Einfluss von Eigengewicht und Nutzlast entstehen, werden Gebäude auch von dynamischen Belastungen wie Wind- oder Erdbebenbelastungen heimgesucht. Zu den dynamischen Einwirkungen zählen natürlich auch Schockbelastungen, welche durch eine Windböe oder eine Explosion verursacht werden können. Um ein Gebäude widerstandsfähig und stabil gegen all diese Einwirkungen zu planen, ist es natürlich wichtig, die genaue Art und Wirkungsweise der Belastung auf der einen Seite und das exakte Materialverhalten der einzelnen Bauteile auf der anderen Seite zu kennen. Diese Arbeit konzentriert sich auf das Baumaterial des unbewehrten Ziegelmauerwerks.

Gerade in letzter Vergangenheit ist es auf tragische Art und Weise bekannt geworden, dass Mauerwerksbauten sehr verletzlich gegen dynamische oder zyklische Belastungen sind, insbesondere im Falle des Lastfalles Erdbeben.

Als Beispiel sei das Erdbeben von Bam, Iran am 26. Dezember, 2003 genannt, bei dem ~35.000 Menschen ums Leben kamen, ~30.000 verletzt wurden und ~45.000 obdachlos geworden sind [64]. Hierbei bestand der maßgebliche Anteil der Gebäude aus Mauerwerksbauten geringer Qualität. Da die meisten historischen Bauten in Europa und der restlichen Welt aus Mauerwerk bestehen, ist es von außerordentlicher Bedeutung diese Bauten für die Nachwelt zu erhalten und wenn notwendig zu verstärken. Das Material ist schon im Mittelalter sehr häufig eingesetzt worden und entfaltete sich während der Gründerzeit, Ende 19. Jahrhundert bis Anfang 20. Jahrhundert, zur Hochblüte. Deshalb ist es neben dem Entwurf von neuen Mauerwerksbauten und deren Belastbarkeit gegenüber einem Erdbeben auch sehr wichtig, bestehende Gebäude zu beurteilen und deren Tragwiderstand bzw. Sicherheit festzustellen. Es ist für den Ingenieur notwendig, das Tragverhalten von Mauerwerksbauten genauestens zu untersuchen um eine Vorhersage treffen zu können, inwieweit ein Gebäude einem Erdbeben standhalten kann.

Um eine richtige Beurteilung zu leisten, ist es im Vorfeld aller Untersuchungen wichtig die Materialeigenschaften des Mauerwerks genau zu kennen. Da Mauerwerk ein

hochgradig nichtlineares, wenig duktiles, sprödes Materialverhalten aufweist und nur geringe Zugfestigkeit besitzt, bietet es einem Erdbeben keinen großen Widerstand. Hinzu kommt, dass Mauerwerksbauten durch Erdbeben sehr verletzbar sind, weil

15 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Mauerwerkswände durch Ihre hohe Steifigkeit Erdbebenkräfte regelrecht „anziehen“. Mit den vorgeschlagenen Bemessungsverfahren für Mauerwerksbauten nach den derzeit gültigen Normen gelingt es selten auch bei relativ geringer Erdbebeneinwirkung genügendes Tragverhalten nachzuweisen. Eine wirklichkeitsnähere Betrachtung des Baustoffes zeigt jedoch, dass das Material, wenn auch nur im Verhältnis zur Druckfestigkeit, geringe Reserven durch eine vorhandene Zugfestigkeit besitzt. In dieser Arbeit wurde das ursprüngliche Materialmodell von Ganz [35] um diese Zugfestigkeit erweitert. Motivation dieser Erweiterung ist eine verbesserte Modellierung des Materials mit der Einschließung vorhandener Tragreserven. Es ist somit möglich Nachweise zu führen, die mit den konventionellen Methoden als unmöglich galten, ohne dabei die Sicherheit herabzusetzen.

Um das Verhalten numerisch simulieren zu können, wurden in den letzten Jahren zahlreiche Forschungsarbeiten verfasst, welche das lineare und nichtlineare Verhalten auf der Mikro- oder Makroebene beschreiben.

16 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

1.) Geschichtlicher Hintergrund des Mauerwerkbaus

Bereits seit der Frühgeschichte der Menschheit werden Steine zum Bauen verwendet [54].

Die ersten sicher nachweisbaren Bauwerke aus bearbeiteten Natursteinen stammen aus der Zeit 9000-8000 Jahren v. Chr. [123] aus dem Umfeld des Hullen See in Israel. Hierbei sind vor allem alte Steinhütten (siehe Bild 1) Relikte aus dieser Zeit.

Die bis heute erhaltenen Monumente damaliger Zeit sind zum einen die allseits bekannten Pyramiden der Ägypter und der Azteken und zum anderen die in vielen Teilen der Welt anzutreffenden Megalithbauten wie die "Hühnengräber"-Dolmen der Jungsteinzeit in Deutschland oder zu Kultzwecken die "Henges"-Steinkreise wie beispielsweise Stonehenge bei Salisbury in Südengland oder die zahlreichen imposanten erhaltenen Bauwerke aus Zyklopenmauerwerk im alten Griechenland.

In den tonreichen Flußauen des Niltales begannen die Menschen noch erheblich früher mit Hilfe von Formen künstliche Mauersteine aus Lehm herzustellen, die durch Untermischen von Strohhäcksel und Kamelmist verfestigt wurden. Diese Technik dürfte rund 15000 Jahre alt sein. Ein bedeutender Entwicklungssprung trat durch die "Erfindung" des gebrannten Ziegels ein. Man ist heute sicher, dass bereits um 4000 v.Chr. in Mesopotamien gebrannte Ziegel bekannt waren und dass es um 3000 v. Chr. möglich war, Ziegel in verschiedenen Färbungen herzustellen.

Eines der bekanntesten Ziegelbauwerke der Frühzeit ist der Turm von Babylon (Babel), dessen Geschichte bis 2000 v.Chr. zurückreicht (siehe Bild 2).

17 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Bild 2: Ziegelöfen beim Bau des Turmes von Babylon, entnommen aus [54]

Auch die Griechen haben Ziegelsteine für Ihre Bauwerke bereits in der Vergangenheit genutzt [93]. In Griechenland begann man zum ersten Mal in der Geschichte Maueröffnungen über mehrere Meter herzustellen. Ein Beispiel hierfür ist das 1300 v. Chr. erbaute Löwentor in Mycenae mit einer lichten Spannweite von etwa 3m (siehe Bild 3). Dieses Tor wurde allerdings mit Natursteinen hergestellt.

Die Römer [93] haben einen bedeuteten Schritt im Mauerwerksbau vollbracht. Im Vergleich zu den Griechen haben sie aus Mauersteinen nicht nur Tempel und Amphitheatern, sondern auch Straßen, Brücken, Aquädukte und Häfenanlagen gebaut. Die Römer führten auch neue Verfahren ein, um die Qualität der Steine zu verbessern.

18 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Außerdem wird auch die Erfindung des Mörtels „pulvis puteolanus" aus Sand, Kalk und spezielle vulkanische Sande (Pozzolane) den Römern zugeschrieben. Durch das Mischen von Mörtel mit Ziegelbruchstücken oder Schutt, wurde der Römische Beton „opus caementitium" erfunden. Neue Verbandarten, welche billiger und ökonomischer waren als die bis dato verwendete Verfahren namens „opus quadratum", wurden entwickelt. Die neue Verbandart wurde „opus mixtum" genannt [141] und [142], und inkludiert auch gebrannte Steine (siehe Bild 4).

Bis in die Neuzeit wurden wichtige Gebäude - Burgen, Klöster oder Kirchenüberwiegend mit Mauerwerk aus Naturstein oder künstlichen Ziegeln errichtet, während der überwiegende Teil der Wohnbebauung auf Holz- und Fachwerkkonstruktionen beschränkt war. Verheerende Brände führten schließlich zu der Einsicht, dass Häuser aus Stein in punkto Sicherheit und Langlebigkeit auch bei wirtschaftlicher Betrachtung von Vorteil sind.

Das imposanteste Bauwerk aus Mauerwerk ist die Chinesische Mauer (chinesisch: Wànlĭ Chángchéng) mit 6350 Kilometern Länge (Hauptmauer 2400 km), welche bis heute das größte Bauwerk der Welt darstellt [56]. Dabei besteht die Mauer aus einem System mehrerer teilweise auch nicht miteinander verbundener Abschnitte unterschiedlichen Alters und unterschiedlicher Bauweise.

19 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Erste mauerartige Grenzbefestigungen entstanden wahrscheinlich in der zweiten Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr. in der Zeit der Streitenden Reiche als Schutz gegen die sich unter einander befeindeter Völker. Diese einzelnen Mauerabschnitte bestanden aus festgeklopftem Lehm, der zur besseren Haltbarkeit mit Stroh- und Reisigschichten vermischt wurde.

214 v. Chr. ließ der erste chinesische Kaiser, Qin Shi Huang Di, Schutzwälle errichten, die das chinesische Kaiserreich nach der Expansion über den Gelben Fluss gegen die Völker aus dem Norden, vor allem die Xiongnu, schützen sollte. Im Unterschied zu schon vorhandenen alten Mauerresten wurde die Mauer nicht in den Tälern, sondern unterhalb der Kammlinie der Gebirge an den Nordabhängen errichtet. Sie bestand wegen des Fehlens von Lehm zu großen Teilen aus aufeinander geschichteten Natursteinplatten. Seitdem wurde die Mauer immer wieder aus- und umgebaut. Die heute bekannte Form erhielt sie in der Zeit der Ming-Dynastie, der letzten großen Ausbauphase. 1493 begann der Bau der Ming-Mauer, die dem Schutz gegen die Mongolen dienen sollte. Ihr Verlauf folgte den Bergkämmen; eine besonders aufwendige und teure Bauweise. Sie wurde weitgehend aus gebrannten Steinen und zum Teil auch aus Natursteinen errichtet. Der verwendete Mörtel bestand aus gebranntem Kalk und Klebreis. Das Innere des Mauerwerks verfüllte man mit Lehm, Sand und Schotter. Die Maße der Mauer sind recht unterschiedlich; im Gebiet von Peking sind 8 bis 10 m an der Basis und 4 bis 8 m auf der Krone sowie eine Höhe von 6 bis 9 m üblich. Im Abstand von einigen hundert Metern wurden ungefähr 12 m hohe Türme errichtet, die als Waffenlager und Signaltürme dienten. Daneben boten sie bei Angriffen Schutz für die Verteidiger. Es wird geschätzt, dass bis zu 25.000 solcher Türme in der Mauer integriert waren und dass 15.000 weitere Signaltürme die Kommunikation mit der Hauptstadt sichern sollten. Reste von

20 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Signaltürmen wurden noch bei Kashgar gefunden, der alten Handelsstadt in Chinas äußerstem Westen.

Erst nach der Erfindung von mechanischen Aufbereitungshilfen und Formpressen für Ton in der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Ziegel zum Massenprodukt und auch für den normalen Bürger zum Errichten der Häuser erschwinglich.

(Wichtige Erfindungen der Ziegel-Verfahrenstechnik: Ziegelmaschinen Doolitle 1819; Delamoriniere 1824; Strangpresse Schlickeysen 1854; Hoffmann'scher Ringofen 1858.) Mit der Erfindung des Portlandzementes und den zugehörigen Grundlagenkenntnissen über die hydraulischen Bindemittel gegen Ende des 19. Jahrhunderts war es auch möglich, Mauersteine aus kalk- oder zementgebundenen Massen herzustellen, aus denen sich die heute bekannten Kalksandsteine, Porenbetonsteine oder die - durch Einsatz spezieller Zuschläge veredelten - Betonsteine entwickelt haben. Erst seit Ende der 40er Jahre wird das Augenmerk in Deutschland und Österreich zunehmend auch auf die bauphysikalischen Eigenschaften des Mauerwerks gelegt. Die Einsicht, Gebäude wärmedämmend, brandsicher und schallschützend herstellen zu wollen und dabei Standsicherheit und Langlebigkeit zu gewährleisten, führte zur Entwicklung der modernen Mauerwerksbaustoffe mit ihren vielseitigen Eigenschaften. Heute wird Mauerwerk überwiegend zur Errichtung von Wänden und Pfeilern in Gebäuden verwendet. Dass aus vergleichbaren Produkten inzwischen auch Deckenelemente, Pflastersteine oder Schalsteine hergestellt werden, sei nur am Rande erwähnt. Die handwerkstechnische Herstellung von konstruktiven Elementen wie Kappen, Bögen oder Gewölben aus Mauerwerk spielt praktisch nur noch bei der Restauration eine Rolle.

Mauerwerk und Beton werden als "massive" Baustoffe bezeichnet, die sich in einigen wesentlichen Merkmalen wie Masse und Volumen von den Leichtbaustoffen undkonstruktionen (Stahl, Stahl-Verbund, Holz, Holzskelett, Aluminium, Fachwerkständer etc.) unterscheiden. Neben der eigentlichen Mauerwerksbauweise, bei der das Tragwerk aus Mauerwerk besteht, zählt auch die Stahlbeton-Skelettbauweise mit Ausfachungen aus Mauerwerk zur Massivbauweise.

21 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

2.) Grundlagen der Plastizitätstheorie

2.1.) Eindimensionaler Spannungszustand

Der Spezialfall des eindimensionalen elastisch-plastischen Körpers wird im Anhang A behandelt.

2.2.) Mehrdimensionale Spannungszustände

In mehrachsigen Spannungszuständen wird die Fließgrenze durch eine Fließfläche im Spannungsraum beschrieben [51], die den elastischen Bereich umschließt. Ein Spannungsvektor kann entweder innerhalb (elastisch) oder auf der Fließfläche (plastisch) liegen. Wenn die plastischen Deformationen isotrop sind, kann diese Fließfläche nur von den Invarianten des Spannungstensors abhängen. Die Hauptnormalspannungen sind Lösungen der kubischen Gleichung

σ

mit den Invarianten

σ + = + = , (2) I

33 22 11 z y x

I 2

=

und

I

3

22 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Ausgedrückt durch die Komponenten des Hauptspannungstensors ergeben sich die Invarianten zu

σ , (5) + = I 3 2 1

σ + = , (6) I

1 3 2 1 2

und σ = . I

3 2 1 3

Der hydrostatische Spannungsanteil ist durch

σ

⁰ 3

σ 1 = 3 definiert. Die erste Invariante hat keinen Einfluss auf das Fließen von isotropen I

o

beispielsweise metallischen Werkstoffen, da der Einfluss der hydrostatischen Spannungskomponente auf das Fließen vernachlässigt wird. Deswegen kann die I in Fließfläche mit den deviatorischen Invarianten definiert werden. Jedoch muss ¹ orthotropen Materialien wie Ziegelmauerwerk berücksichtigt werden. Der Tensor

δ σ ′ − = (8)

0 ij ij ij

gibt die Abweichung des Spannungszustandes von den mittleren (hydrostatischen) σ an. Die Invarianten des deviatorischen Spannungstensors ergeben sich Spannungen o

analog den Invarianten des Spannungszustandes aus der Determinantenbeziehung

′ σ

23 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Die Invarianten ergeben sich zu

( ) ( ) ( ) 0 ′ ′ σ ij = − + − + − = + = , (10) J

0 33 0 22 0 11 33 22 11

( ) ( )= 1

J ² 2

[ ] = 1

= 6

[ ] ( ) ( ) ( 1

= 6 und

J

3

2.2.1.) Fließfläche

Die Fließfläche im mehrachsigen Spannungsraum besitzt somit die allgemeine Form

( )

ξ σ . (13) = 0 ) , ( , T J f T f 3 2 1 k ij

ξ stellen die Innere Variable als Skalar Hierbei sind die Größen T die Temperatur, und k

oder Tensor dar.

Im einfachsten Fall ist f nur eine Funktion der Spannungen. Hängt sie auch von inneren Variablen ab, so beschreiben diese das Ver- oder Entfestigungsverhalten des Werkstoffes.

Man unterscheidet zwischen folgenden Fällen:

∂ f σ (14) 1) > = 0 , 0 d f

σ ij ∂

ij

ξ & ≠ 0 Belastung in den plastischen Bereich, das Material verformt sich plastisch, .

k

∂ f σ 2) (15) < = 0 , 0 d f

σ ij ∂

ij

24 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

ξ & = 0 Entlastung in den elastischen Bereich, das Material verformt sich elastisch, .

k

∂ 3)

f ξ & = 0 neutrale Belastung entlang der Fließfläche, .

k

< 0 4) (17) f

ξ & = 0 Elastische Verformung innerhalb der Fließfläche, .

k

2.2.2.) Fließpotential und Fließregel

Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik verlangt, dass die dissipierte Leistung nicht negativ werden kann. Dies bedeutet, dass bei plastischen Verzerrungen der Vorgang irreversibel ist und die dabei entstandene mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird, wobei folgende Bedingung,

& ε σ & (18) p ≥ = 0 D

ij ij

gilt.

25 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Bei plastischen Deformationen hängen die Verzerrungen von der Belastungsgeschichte (Spannungsgeschichte, Temperaturgeschichte) ab. Deswegen ist eine Versagensweise erforderlich, die die Geschichte berücksichtigt. Die mathematische Konsequenz daraus ist die Berücksichtigung von Evolutionsgleichungen. Die Verzerrungsinkremente werden in elastische und plastische Teile zu

ε + = p e (19) &

ij ij ij

getrennt.

Eine hinreichende Bedingung zur Erfüllung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ist g σ , welche auch als plastisches Potential die Annahme einer konvexen Funktion ) ( ij

bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass die Fließfläche niemals konkave Flächenteile aufweisen darf. Hierbei ist

∂

ε & ij

∂

in welchem Richtung des plastischen Flusses) darstellt.

f = spricht man von der assoziierten Plastizität. Im Falle der Annahme von g

Damit können die Be- und Entlastungsbedingungen auch laut den Bedingungen von Kuhn-Tucker,

& λ = ≥ ≤ 0 ; 0 ; 0 , (21) f

angeschrieben werden, welche auch die Konsistenzbedingung,

⋅ f & & λ = 0 (22)

erfüllt.

26 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Des Weiteren wird das Drucker´sche Stabilitätspostulat eingeführt, welches folgendes aussagt: σ + oder Überlagert man einem beliebigen Spannungszustand einen Spannungszyklus d

σ − , so darf für einen stabilen Werkstoff die verrichtete Arbeit nicht negativ sein. Somit d muß die Bedingung

ij ε σ & ≥ p 0 , (23) &

ij

erfüllt werden.

Für ein verfestigendes Material ist diese Bedingung erfüllt, bei ideal plastischen σ& ε& ( = = p ) 0 ) 0 ( Verhalten und bei rein elastischer Verformung gilt das

ij ij

Gleichheitszeichen. Bei Entfestigung wird die Bedingung verletzt. Solche Zustände sind instabil unter spannungskontrollierter Belastung.

Zwei Konsequenzen ergeben sich aus der Drucker´schen Definition weiters:

1) Damit alle zulässigen Spannungen auf einer Seite der Tangente an der Fließfläche liegen, muss die Fließfläche somit überall eine konvexe Form aufweisen und darf niemals konkav werden. ε& p entspricht der Richtung des Gradienten von f im 2) Die Richtung von

ij

Spannungsraum. Das bedeutet, dass f ein plastisches Potential ist. Daraus folgt die spezielle Form der Fließregel, welche auch als Prandtl - Reuss´sche - ε& p Normalenregel oder assoziierte Fließregel (Assoziation von mit f )

ij

bezeichnet wird.

∂ f = & λ ε (24) p &

σ ij ∂

ij

27 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

v

ε& // n p Für assoziierte Plastizität gilt:

ij

Bild 8: Assoziierte Plastizität

2.2.3.) Ideal elastisch-plastische Werkstoffe

In diesem Fall sind Hypothesen von Tresca oder V.Mises-Huber-Hencky aufgestellt worden.

28 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Die hier allgemeine Form der Fließbedingung lautet

σ = ⇒ = − = 0 σ oder , (25) = 0 ) , ( f k f

ij F e F e

F τ σ σ die Fließspannung unter ; F wobei k eine Materialkonstante (z.B. ….etc.), F

σ die effektive Vergleichsspannung darstellt. einachsiger Beanspruchung und e

Es wird zwischen zwei Fällen unterschieden:

& = , 0 f

∂ & = , 0

f 2.2.4.) Elastoplastische Werkstoffe mit Verfestigung

Das Verfestigungsgesetz in allgemeiner Form lautet:

& λ ξ σ ξ (28) = ) , ( g T g

k ij k

Bei assoziierter Verfestigung gilt:

& ξ

k

Der plastische Multiplikator λ & errechnet sich aus der Konsistenzbedingung (22) und dem Verfestigungsgesetz (28),

∂ ∂

& f

29 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

⇒

in welchem h der Verfestigungskoeffizient ist und folgendes gilt: > = < 0 0 0 …. Verfestigung; …. Ideal elastisch-plastisch; … Entfestigung. h h h

∂

h

Isotrope Verfestigung:

Als isotrope Verfestigung bezeichnet man eine Erhöhung der Fließgrenze, die unabhängig von der Richtung des Spannungsvektors ist (isotrop). Dies ist ein irreversibler Vorgang, der durch entgegengesetzt plastische Verformungen nicht rückgängig gemacht werden kann.

Die hier allgemeine Form der Fließbedingung lautet:

κ ε σ ξ σ (33) p = 0 ) , ( ) , ( f

ij ij k ij

Hierbei sind die inneren Variablen ε ξ = ε κ ξ = p p ) ( , (34)

1 2 ij ij

und der Verfestigungsparameter ε κ ≥ = p 0 ) ( . (35)

ij

Kinematische Verfestigung:

Wie bereits erwähnt sind plastischen Materialien zwar nicht von der Zeit, aber von der Belastungsgeschichte abhängig. Bei plastischen Materialien tritt der Effekt ein, dass sich ein Punkt auf einer Vorbelastung, welche die Fließgrenze übersteigt, an einem anderen Ort befindet als bei einem Körper, der noch nie einer mechanischen Belastung ausgesetzt war. Es tritt eine plastische und somit bleibende Deformation ein. Bei Materialien mit kinematischer Verfestigung tritt weiters noch der Effekt ein, dass eine vorangegangene Zugbeanspruchung eine Verringerung der Fließgrenze bei späteren

30 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Druckuntersuchungen zur Folge hat und umgekehrt. Dieses Phänomen wird als Bauschinger - Effekt oder als plastische Hysterese bezeichnet.

2.2.5.) Elastoplastische Spannungs-Verzerrungsbeziehungen, elastoplastischer

Tangentenmodul

Dieses Kapitel befasst sich mit dem elastoplastischen Tangentenmodul für Materialien mit

ξ σ = 0 ) , ( , (36) f

k ij

und assoziierter Fließregel.

Die elastischen Verzerrungen sind über das verallgemeinerte Hooke´sche Gesetz mit den Spannungen verknüpft:

ε − = p e (37) &

ij ij ij

ε σ − = ⋅ = p e ) ( (38) & & C

kl kl ijkl kl ijkl ij

Durch das Einsetzen der Fließregel Gleichung (20) in (38) erhält man:

∂ σ

& ij

Aus Gleichung (23) und (39) kann die Fließregel in Form von

&

f

oder auch

∂ ∂ ∂ &

f 31 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

angeschrieben werden.

Setzt man Gleichung (35), ein, kann der Term

κ

ersetzt werden.

Berücksichtigung von Gleichung (20) führt weiters auf folgende Form:

κ

Mit Gleichung (20), (39), (41) und (43) wird

κ

& f

Daraus errechnet sich der plastische Multiplikator λ & ,

∂

& λ

mit dem Verfestigungskoeffizienten

κ

h 32 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Für ideale Plastizität gilt: . h f ij

Weiters wird der elastoplastische Modul durch Einsetzen von Gleichung (20), in (45) ermittelt:

∂

ε ij

ε σ + = ⋅ = p ep ) ( (48) & & D C D

kl ijkl ijkl kl ijkl ij

+ = p ep =Elastoplastizitätstensor Hier sind: D C D

ijkl ijkl ijkl

C = Elastizitätstensor

Unter Annahme von (48) und Einsetzen von Gleichung (47) in (39), erhält man

∂ D

ijkl oder durch

∂

D

ijkl

der elastoplastische Tangentenmodul.

33 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

2.3.) Fehlerkriteriensflächen und Fließflächen

Im Folgenden werden Fließflächen bzw. Fehlerkriterien vorgestellt, die in den weiteren Kapiteln verwendet werden.

2.3.1.) Kriterium nach von Mises

Die Fließfläche des von Mises Modell wird im Spannungsraum durch einen Kreiszylinder mit der Achse in der hydrostatischen Achse beschrieben. Es sagt aus, dass das Fließen zum Zeitpunkt des Erreichens der Oktaederschubspannungen, den kritischen σ , eintritt. Fließspannungswert F

Das Kriterium lautet:

1

f

Mises 3

Einen Sonderfall dieses Kriteriums findet für die Schubbegrenzung im Mauerwerk in Kapitel 4.1 und den späteren Modifikationen dieser Fehlerart Verwendung.

34 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

2.3.2.) Kriterium nach Drucker-Prager

Das Kriterium von Drucker-Prager beschreibt in seiner allgemeinen Form, einen Kegel mit der Grundfläche eines Kreises. Die Achse des Kegels liegt in der hydrostatischen Achse.

Das Kriterium lautet:

α = − + = 0 ) , ( (52) k J I J I f DP

2 1 2 1

ϕ ϕ α =

mit Scherwinkel beschreiben. Auf dieses Kriterium wird in Kapitel 5.4 näher eingegangen.

Sonderfälle des Kriteriums finden für die Druck- und Zugbegrenzungen im Mauerwerk in Kapitel 4.1 und den späteren Modifikationen dieser Fehlerarten verwendet. Es wird außerdem in Kapitel 5.4 diskutiert, inwieweit man das Kriterium nach Drucker-Prager für das Gleiten entlang der Lagerfugen Verwendung.

35 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

2.3.3.) Kriterium nach Mohr-Coulomb

Das Kriterium von Mohr-Coulomb beschreibt in seiner allgemeinen Form einen Kegel mit der Grundfläche eines regelmäßigen Sechsecks. Die Achse des Kegels fällt mit der hydrostatischen Achse zusammen.

Das Kriterium lautet:

τ σ = ) ( (53) f

MC

Einen Sonderfall des Kriteriums findet für das Versagen der Lagerfugen in Kapitel 4.2 Verwendung.

36 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

3.) Materialmodelle für Mauerwerk

Da Mauerwerk ein Verbundbaustoff ist und aus den Komponenten Mauerwerksstein und Mörtel besteht, sind für eine geeignete Materialformulierung hierfür mehrere Kriterien notwendig. Hinzu kommt das nichtlineare anisotrope Materialverhalten. Es wurde in der Vergangenheit von zahlreichem Forschen auf diesem Gebiet versucht, geeignete

Modelle zu finden. Die in Mitteleuropa am häufigsten angewendeten Materialmodelle sind von MANN/MÜLLER [72], [73], [74], [76], [77], [78], [84] und GANZ/THÜRLIMANN [35], weil sich diese als am besten geeignet erwiesen haben. Da das Material Mauerwerk ein hybrider Werkstoff ist, sieht die Modellierung einer Struktur in Mikro- oder Makroform folgendermaßen aus (siehe Bild 12) [67] und [93].

Bei der Mikromodellierung wird zwischen einer vereinfachten Mikro- und einer detaillierten Mikromodellierung unterschieden.

Bei der detaillierten Mirkomodellierung werden sowohl die Steinkomponente als auch die Mörtelkomponente diskretisiert und mit Volumselementen modelliert, wobei die Verbindungsflächen zwischen Stein und Mörtel als Flächenelemente eingebaut werden.

37 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

Bei der vereinfachten Mirkomodellierung werden etwas vergrößerte Steine mit Volumselementen modelliert, wobei die Vergrößerung der Steine soweit durchgeführt wird, bis die fiktive Steinfläche die Fläche der Fugen ausfüllt. Die Mörtelfugen werden dann als Flächenelemente mit diskretisiert gemittelten Werten der Verbindung zwischen Stein und Mörtelfuge oder als Linienelemente modelliert.

Bei Mikromodellierungsverfahren muss beachtet werden, dass ein genaues Abbilden der geometrischen Lage jedes Steines und jeder Fuge notwendig ist. Diese Vorgehensweise benötigt die Kenntnis der exakten Verbandsart und zusätzlich Details an der zu modellierenden Struktur. Mit dieser Methode kann man zwar lokale Effekte, wie z.B. die Spannungs- bzw. Dehnungsverteilung in einer bestimmten Fuge nachweisen, jedoch ist es für ganze Bauwerke zu aufwendig. Dies wird nur für Nachrechnungen an Laborversuchen oder als Kalibrierung von Makromodellen verwendet. Jedoch scheidet dieses Verfahren für praktische Anwendungen aus, da es zu aufwendig wäre, jeden einzelnen Stein und jede einzelne Fuge zu modellieren. Hinzu kommt, dass es an einem bestehenden Gebäude mit verputzten Wänden nur mit hohem Aufwand möglich ist, diese Informationen zerstörungsfrei zu erhalten.

Diese Arbeit widmet sich der Makromodellierung von Mauerwerk. Bei der so genannten Makromodellierung handelt es sich um eine verschmierte homogenisierte Materialvorstellung. Dies bedeutet, dass die zwei Komponenten zu einem Material mit den Eigenschaften von sowohl Mauerwerksstein als auch Mörtel zusammengefasst wird. Der Vorteil hierbei ist eine einfache Modellierung einer gesamten Struktur, ohne dabei auf die Lage von jeder Fuge achten zu müssen. Anzumerken ist hierbei, dass aber der Winkel der Fugen trotz der verschmierten Modellierung berücksichtigt werden muss, da z.B. ein gemauerter Bogen eine andere Tragfunktion hat, als eine gemauerte Wand. Nächststehend werden chronologisch einige Materialmodelle vorgestellt, wobei ein Teil dieser in [21] zusammengefasst sind. Desweiteren wird in dieser Arbeit auf das Modell von Ganz [35] eingegangen und, basierend auf diesen, ein neues Modell entwickelt.

38 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

3.1.) Materialmodell nach Zelger (1967)

Um ein Bemessungsverfahren für schubbeanspruchte bewehrte Mauerwerksstürze zu entwickeln, führt Zelger [21], [144] an der TU-München einachsige Druckversuche an Mauerwerksausschnitten mit geneigten Fugen durch. Als Ergebnis bestätigt sich in guter Näherung in unterschiedlichen Spannungsbereichen das Mohr - Coulombsche Reibungsgesetz.

3.2.) Materialmodell nach Hendry und Sinha (1969)

Hendry und Sinha [21], [50] untersuchen das Schubtragverhalten von eingeschossigen Wänden mit und ohne Öffnungen. Die Ergebnisse führen zu der in Bild 13 dargestellten Bruchkurve (Gleichung (54)), die einen Vergleich von Ergebnissen aus der Literatur und den Versuchen an Modellsteinen wiedergibt.

( )

^{2 2} σ β τ (54) ⋅ + ⋅ + = 053 , 0 1 , 1

c HS HS f

β = Steindruckfestigkeit ² mit:

HS

σ = Normalspannung orthogonal zu den Lagerfugen und

c

τ = Schubspannung parallel zu den Lagerfugen

f

σ = Spaltzugspannung in Richtung der Resultierenden Kraft

t

39 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement

3.3.) Materialmodell nach Stafford-Smith und Carter (1971)

Stafford-Smith und Carter [21], [85], [134] schließen erstmals aus den Versuchen von Murthy und Hendry [85], dass die Annahme einer reinen Mohr - Coulombschen Schergeraden für ein vollständiges Bruchkriterium nicht zutreffend ist, da der Reibungsbeiwert eine Funktion der Spannung normal zur Lagerfuge ist. Es zeigt sich nämlich, dass der Reibbeiwert mit zunehmender Normalspannung kleiner wird.

3.4.) Materialmodell nach Mann und Müller (1973)

Im Rahmen der Schubbruchtheorie von Mann und Müller [72], [73], [74], [76], [77], [78], [84] und [147] werden unter Vernachlässigung der Spannungen in Richtung der Lagerfugen vier Bruchbedingungen formuliert, auf denen auch die Schubbemessung der aktuellen deutschen Mauwerksnorm basiert. Diese Theorie geht davon aus, dass wegen geringer Qualität der Stoßfugenausbildung zwecks Wärmeschutz-und

Rationalisierungsgründen (glatte Steine, Schwinden des Fugenmaterials und mangelnde bzw. nicht sorgfältig Verfüllung) in den Stoßfugen keine Schubspannungen übertragen werden können. Da in den Stoßfugen keinerlei Spannungen übertragen werden können, muss das Moment infolge angreifender Schubspannungen durch eine blockförmige Verteilung von den Normalspannungen Δσ y orthogonal zur Lagerfuge mit unterschiedlichen Vorzeichen in der linken und rechten Steinhälfte ausgeglichen werden. Zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts müssen deshalb gezahnt verlaufende Normalspannungen in den Lagerfugen wirken. Zusammen mit den mittleren Normalspannungen σ y infolge Vertikalauflast und den Schubspannungen τ xy ergibt sich

folgender Spannungsverlauf (Bild 14).

40 Evaluierung der Erdbebensicherheit von maßgeblichen Mauerwerkshochbauten für das Katastrophenmanagement