1
1
EINLEITUNG... 3
1.1
A
UFBAU DER
A
RBEIT
... 4
2
WISSENSCHAFTLICHER THEORIE- UND LITERATURTEIL... 6
2.1
A
KTUELLER
B
ILDUNGSPOLITISCHER
S
TAND
... 6
2.2
Ö
FFNUNG VON
U
NTERRICHT
... 6
2.2.1
Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht ... 6
2.2.2
Nachteile des offenen Unterrichts... 7
2.3
M
ATHEMATIKUNTERRICHT IM
W
ANDEL
... 8
2.3.1
Traditioneller Mathematikunterricht... 8
2.3.2
Sachrechnen im Wandel der Zeit... 8
2.3.2.1
Sachrechnen im 19. Jahrhundert ... 9
2.3.2.2
Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts... 10
2.3.2.3
Sachrechnen in der Nachkriegszeit ... 11
2.3.2.4
Das neue Sachrechnen... 13
2.3.3
Das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens... 14
2.4
D
IFFERENZIERUNG IM
S
CHULWESEN
... 16
2.4.1
Äußere und innere Differenzierung ... 16
2.4.2
Natürliche Differenzierung ... 17
2.4.3
Lernvoraussetzungen der Schüler im Mathematikunterricht ... 17
2.4.4
Differenzierung zum Bereich Sachrechnen... 18
2.5
Ö
FFNUNG VON
A
UFGABEN
... 20
2.5.1
Konzepte für Offene Aufgaben in der Fachliteratur... 20
2.5.2
Typisierung von öffnenden Aufgabe... 21
2.5.3
Kennzeichen offener Aufgaben ... 22
2.6
P
ROBLEMHALTIGE
T
EXTAUFGABEN
... 23
2.7
R
ECHENGESCHICHTEN
... 23
2.8
S
TRUKTUR DES
K
ERNCURRICULUMS DES
F
ACHS
M
ATHEMATIK
... 24
3
AUSARBEITUNG EINER OFFENEN AUFGABENSEQUENZ ... 26
3.1
Z
IELE DER
A
UFGABENSEQUENZ
... 26
3.2
G
RUNDIDEE
,
T
HEMENFINDUNG UND DIE
A
USWAHL DES
T
HEMAS
... 27
3.2.1
Methodische Vorüberlegungen ... 27
3.2.2
Didaktische Vorüberlegungen ... 27
3.3
D
IE
A
UFGABENSEQUENZ
... 28
2
3.3.1
Der Rahmen der Aufgabensequenz ... 28
3.3.2
Darstellung und Zuordnung der Aufgaben 1 - 3 ... 28
3.4
I
NTENTION UND
I
NHALTE DER
A
UFGABENSEQUENZ
... 30
3.4.1
Erwartungshorizont von Aufgabe 1 ... 30
3.4.2
Erwartungshorizont von Aufgabe 2 ... 33
3.4.3
Erwartungshorizont von Aufgabe 3 ... 35
3.5
B
EZUG DER
A
UFGABEN
1
-
3
ZUM
K
ERNCURRICULUM
... 36
3.6
A
SPEKTE ZUM
A
NALYSEVERFAHREN
... 40
4
DURCHFÜHRUNG DER AUFGABENSEQUENZ... 41
4.1
A
USWAHL UND
B
ESCHREIBUNG DER
T
ESTKLASSE
... 41
4.1.1
Auswahl und Beschreibung der Testklasse... 41
4.1.2
Beschreibung des Lernstandes der Testklasse... 41
4.2
S
TUNDENVERLAUFSPLANUNG ZU DER
A
UFGABENSEQUENZ
... 43
4.2.1
Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 1... 43
4.2.2
Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 2... 44
4.2.3
Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 2 / Stunde 3... 45
4.2.4
Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 3 / Stunde 4... 46
4.3
Ü
BERPRÜFUNG DER
S
CHÜLERERGEBNISSE
... 47
4.3.1
Verfahren zur Analyse der Schülerergebnisse ... 47
4.4
D
OKUMENTATION DER
S
CHÜLERERGEBNISSE
... 48
4.4.1
Produktorientierte Materialanalyse ... 48
4.4.1.1 Analyse und Interpretation von Aufgabe 1... 48
4.4.1.2 Analyse und Interpretation von Aufgabe 2... 54
4.4.1.3 Analyse und Interpretation von Aufgabe 3... 57
4.4.2
Analyse und Interpretation der Audiotranskription... 61
4.4.3
Analyse und Interpretation der Videotranskription ... 66
5
ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK ... 71
6
LITERATURVERZEICHNIS ... 76
7
ANHANG... 79
3
1
Einleitung
Die vorliegende Hausarbeit wird von mir im Rahmen des ersten Staatsex-
amens für das Lehramt an Grund-, Haupt- und Realschulen angefertigt.
Meine Entscheidung, die Arbeit im Fach Mathematik zu schreiben, ent-
stand aufgrund meiner mehrjährigen Mitarbeit am Projekt ,,Prozessbeglei-
tende Diagnostik und Förderung mathematisch potentiell begabter Dritt-
und Viertklässler
1
". Dieses Projekt wurde vom Leiter des Instituts für Di-
daktik der Mathematik und Elementarmathematik Prof. Dr. F. Käpnick ins
Leben gerufen. Seit 2004 wird es unter dem Namen ,,Mathematische
Lernwerkstatt für Kinder: Hochbegabung bei mathematischer Konzeptbil-
dung Praxisseminar" unter der Leitung von Dipl. Math. Frank Förster und
Wolfgang Grohmann geführt.
Im Rahmen des Projektes kommen potentiell hochbegabte Schüler der
Jahrgangsstufen 3 bis 6
2
aus unterschiedlichen Braunschweiger Schulen
im 2-Wochen-Rhythmus zu sogenannten ,,Förderstunden", um mathemati-
sche Knobelaufgaben in der Lernwerkstatt zu lösen. Diese Schüler sollen
durch Aufgaben mit einem höheren Anforderungsprofil gefördert und ge-
fordert werden. Dabei wird gezielt auf Spaß am Umgang mit Zahlen, For-
men und Strukturen geachtet. Die Freude am problemlösenden Denken
soll gefördert und intellektuelle Neugier geweckt werden.
Das Thema dieser Arbeit
,,Öffnen von Aufgaben zur natürlichen Differenzierung im Mathematikun-
terricht der Grundschule"
war für mich aus folgenden Gründen besonders motivierend:
1
In dieser Arbeit wird in den meisten Fällen auf männliche Bezeichnungen zurückgegriffen, um
ein flüssigeres Lesen zu gewährleisten. Die weiblichen Bezeichnungen sind hierbei natürlich inbe-
griffen.
2
unter der Leitung von Prof. Käpnick wurden die Förderstunden für die 3. und 4. Jahrgangsstufen
durchgeführt
4
Bei Durchführung der Unterrichtseinheiten in der Lernwerkstatt konnte ich
viele gute Erkenntnisse im Bereich der natürlichen Differenzierung mit die-
ser besonderen Schülerklientel gewinnen. Da ich perspektivisch in Klas-
sen mit heterogenem Leistungsprofil arbeiten werde, ist es für mich be-
sonders interessant zu beobachten, wie die natürliche Differenzierung mit
diesen Schulkindern umgesetzt werden kann. Besonders spannend war
für mich die zusätzliche Möglichkeit der Öffnung von Aufgaben. Zu diesem
Themenkomplex konnte ich vorher nur wenige Erfahrungen sammeln.
Hilfreich bei der Durchführung der Aufgabensequenz waren auch meine
Vorerfahrungen, die ich während der Tätigkeit in der Lernwerkstatt bei der
Durchführung von Videoaufnahmen und bei der Verarbeitung des Daten-
materials erwerben konnte.
1.1 Aufbau der Arbeit
Im 2. Kapitel findet eine wissenschaftliche Aufarbeitung des Themas unter
Berücksichtigung der Begriffe ,,offene Aufgabe" und ,,natürliche Differen-
zierung" statt. Dazu wird das nötige Hintergrundwissen der aktuellen Dis-
kussion um diese Begriffe aufgeschlüsselt und erklärt.
Im 3. Kapitel wird die entwickelte Aufgabensequenz vorgestellt und Ziele
sowie die Grundidee im Detail erörtert. Der Erwartungshorizont und die
Vorgehensweise zur Durchführung der Aufgabensequenz wird unter Be-
rücksichtigung des Kerncurriculums des Faches Mathematik an Grund-
schulen in Niedersachsen aufgezeigt.
Im 4. Kapitel erfolgt die Beschreibung der ausgewählten Testklasse und
die Planung zur Durchführung. Hiernach findet die Umsetzung der Aufga-
bensequenz in der Grundschule mit einer umfangreichen Analyse und In-
terpretation der Ergebnisse statt.
5
Im 5. Kapitel werden die Ergebnisse der durchgeführten Aufgabense-
quenz zusammengefasst und interpretiert. Der Ausblick umfasst die kriti-
sche Reflexion der entwickelten Unterrichtseinheit.
6
2
Wissenschaftlicher Theorie- und Literaturteil
2.1 Aktueller Bildungspolitischer Stand
Nachdem internationale Vergleichsstudien (z.B. PISA, TIMSS und IGLU)
gezeigt haben, dass es dringenden Handlungsbedarf zur Verbesserung
der Unterrichtsqualität in Deutschland gibt, wird kontrovers diskutiert, wie
eine solche Qualitätssteigerung im Unterricht vollzogen werden kann. Leh-
rer sollen dabei im Unterricht versuchen die Schüler nach ihren individuel-
len Bedürfnissen zu fördern, aber auch notwendige Leistungen zu fordern.
Das Beschreiten von neuen Wegen, die Öffnung von Unterricht, sowie
eine natürliche Differenzierung vom Kinde aus, sollte dabei vorrangig in
Betracht gezogen werden (vgl. Bobrowski/ Grassmann, Grundschule
5/2007, S.28).
2.2 Öffnung von Unterricht
2.2.1 Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht
- Die inhaltliche und institutionelle Ebene soll den Schülern ermögli-
chen, ihre Schul- und Klassensituation als offene Lebenswelt zu
sehen und neu zu erfahren. Sie stellt damit einen Teilaspekt des
Lebensbezugs zum Unterricht dar. Die Schule kann bei projektori-
entiertem Arbeiten auch verlassen werden (vgl.
www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/
Öffnung des Unterrichts). Mit einer inhaltlichen Öffnung ist aber
auch gemeint, dass weniger Routine- und mehr beziehungshaltige
Frage- und Aufgabenstellungen in den Unterricht einfließen und der
zeitliche Rahmen aufgebrochen werden soll.
7
- Die curriculare und methodische Öffnung ist gekennzeichnet durch
eigene Lernwege, das eigenverantwortliche Entdecken von Zu-
sammenhängen innerhalb eines Problemlöseprozesses und den
produktiven Umgang mit Fehlern (vgl. Grassmann, Grundschule
5/2005, S. 33). Schüler sollen selbst entscheiden, wie sie ihre Ar-
beit und Zeit einteilen bis hin zur Aufstellung von Wochenplänen.
Methodisch wird diese Öffnung durch Projekte, Freiarbeit und das
Lernen an Stationen in den Unterricht integriert (vgl.
www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/
Öffnung des Unterrichts).
- Die sozial-interaktive Öffnung fördert den kommunikativen Aspekt
zwischen Schülern und dem Lehrer (als Partner). Für eine soziale
Interaktion sollen heterogene Gruppen gebildet werden, die ge-
meinsam ein Problem bearbeiten, damit leistungsstarke Schüler
nicht nur untereinander die ,,Experten" sind, sondern im Team von-
einander profitieren (vgl. Grassmann, Grundschule 5/2005, S. 33).
2.2.2 Nachteile des offenen Unterrichts
Bei offenen Arbeitsformen, wie zum Beispiel Lernen an Stationen, kann
eine Überbetonung auch Schwierigkeiten hervorrufen. Besonders bei ei-
ner großen Anzahl an Stationen und nicht festgelegter Reihenfolge des
Ablaufs, kann es für den Lehrer schwer sein, die Übersicht über die Ge-
samtsituation zu bewahren. Die entstehende Hektik unter den Schülern,
die beim Wechsel der Stationen auftritt, kann dazu führen, dass das Ziel -
alle Schüler sollen alle vorbereiteten Aufgabenblätter möglichst vollständig
bearbeiten - aus den Augen verloren wird. Da es dem Lehrkörper nicht
möglich ist, alle Schülergruppen gleichzeitig zu beobachten, kann es dazu
kommen, dass Schüler voneinander abschreiben, ohne mitzudenken und
die Inhalte zu verstehen. Auch der erhöhte Lärmpegel kann sich nachtei-
lig auf die Lernsituation auswirken. Die unterschiedlichen
Lebensbedin-
gungen wie z.B. Herkunft, Familienverhältnisse und sozialer Stand
8
erschweren ebenso das Lernen in diesen Arbeitsformen (vgl. Müller-
Philipp, Grundschule 5/2007, S. 49).
Eine gelenkte Unterrichtsführung durch den Lehrer bleibt deshalb in eini-
gen Situationen sinnvoll und notwendig. Der Lehrer setzt Impulse, stellt
eigene Arbeitsmaterialien vor und hat eine Zielvorstellung vom geplanten
Unterrichtsverlauf, während die Schüler Ideen einbringen. Die Zusammen-
fassung dieser Ideen und z.B. außergewöhnlich gute Schülerideen sollten
im Plenum besprochen und gesichert werden, damit jeder Schüler ein mit-
nehmbares Resultat aus dem Unterricht bekommt (vgl. S. Müller-Philipp,
Grundschule 5/2007, S. 50).
2.3 Mathematikunterricht im Wandel
2.3.1 Traditioneller Mathematikunterricht
Das traditionelle Rechnen ist im Unterricht bis in die 1960iger Jahre vor-
herrschend. Es ist gekennzeichnet durch Mathematikferne, reduktionisti-
sches Sachrechnen und eine behavioristische Auffassung vom Lernen.
Die Schüler werden in den vier Grundrechenarten unterrichtet, die münd-
lich und schriftlich beherrscht werden sollen. Vorrangig finden natürliche
Zahlen Anwendung und nur teilweise werden eingekleidete Aufgaben als
Sachaufgaben präsentiert. Diese haben zum Ziel Rechenverfahren durch-
zuführen, mathematische Begriffe zu festigen und Zahlenbeziehungen zu
erfassen. Der Sachkontext ist dabei unwichtig und beliebig austauschbar.
Insgesamt wird der Lernstoff kleinschrittig und nach systematischem Auf-
bau vermittelt. Problematische Sachverhalte werden isoliert behandelt
(vgl. Winter,1994, S. 8f).
2.3.2 Sachrechnen im Wandel der Zeit
,,Der Grundgedanke des Sachrechnens ist die Modellierung einer Sachsi-
tuation in ein mathematisches Modell und nach dem Rechnen das Inter-
9
pretieren der mathematischen Ergebnisse in der jeweiligen Sachsituation."
(Franke, 2003, S. 1)
Es soll nun die Entwicklung des Sachrechnens über 4 temporäre Statio-
nen kurz skizziert werden. Die zum Teil fortschrittlich anmutenden Gedan-
ken, sollen dabei nicht über den vorherrschenden Rechenunterricht (s.
Abschnitt 2.3.1) hinwegtäuschen. Sie machen jedoch deutlich, dass Über-
legungen zur Nachhaltigkeit des Mathematikunterrichts eine lange Traditi-
on haben. Die erste Station zeigt das Sachrechnen im 19. Jahrhundert,
die zweite Phase schildert die reformpädagogische Bewegung in der ers-
ten Hälfte des 20. Jahrhunderts, es folgt der Zeitabschnitt der Nachkriegs-
zeit und die letzte Phase bildet das ,,neue Sachrechnen", was sich in den
80er Jahre entwickelte und bis heute andauert.
2.3.2.1
Sachrechnen im 19. Jahrhundert
Im 19. Jahrhundert wird der Begriff ,,eingekleidete Aufgabe" für eine Um-
schreibung des Begriffes ,,Sachrechnen" verwendet. Diese traditionelle
Variante des Sachunterrichts wird als Einkleidung und Anwendung arith-
metischer Inhalte gesehen. Das Sachrechnen kann zu dieser in drei Rich-
tungen eingeteilt werden (vgl. Franke, 2003, S. 7f).
(1) Praktische Gesichtspunkte bilden den Rahmen für die Rechnung.
Die enthaltenen Themengebiete sind das Schulleben, die Schular-
beit, die Wohnung, Ernährung, Bekleidung, Heizung, Beleuchtung
u. v. a..
(2) Die Einteilung geschieht nach Sachgebieten in Bezug auf Natur,
Geschichte und Erdkunde. Diese Themengebiete sind zum Teil
nochmals untergliedert.
(3) Die zu dieser Zeit am häufigsten verbreitete Einkleidung orientiert
sich am aktuellen arithmetischen Inhalt. Die Rechenoperationen,
Zahlen und Größen werden in einen sinnstiftenden Kontext einge-
bunden. Die Sachrechenaufgaben dienen nicht zum Strukturieren
10
des Unterrichts, sondern als Anwendung und zum Wecken vom In-
teresse an der Arbeit mit Zahlen.
Die Integration des Sachrechnens in den Mathematikunterricht wurde
nach folgenden Gesichtspunkten durchgeführt:
o
dient als Ausgangspunkt zur Anwendung von Mathematik
o
Aufgaben werden an die Kompetenzen der Schüler gekop-
pelt
o
Sachgebiete sollen sich an die Erfahrungswelt der Schüler
anlehnen
o
Interesse der Schüler soll durch die Wahl der Sachgebiete
geweckt werden
2.3.2.2
Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts
Schon in dieser Periode kann eine reformpädagogische Bewegung ,,vom
Kinde aus" gefunden werden. Die Konzepte der pädagogischen Vertreter
basieren auf psychologischen Erkenntnissen, wie zum Beispiel aus der
Assoziationspsychologie und auch der Gestalts- und Entwicklungspsycho-
logie. JOHANNES KÜHNEL fordert einen kompletten ,,Neubau des Re-
chenunterrichts" und stellt zwei Prinzipien in den Mittelpunkt:
1. unser Rechenunterricht muss sachlich werden
2. unser Sachunterricht muss sich rechnerisch gestalten (vgl. Franke,
2003, S. 9).
Damit spricht er von einer Rechenmethodik, bei der sich die Kinder in die
Sachlage einarbeiten, vertiefende Erkenntnisse gewinnen, das Ziel der
Aufgabe erkennen und selbstständig nach einem Lösungsweg suchen
sollen.
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