Inhaltsverzeichnis

1  Einfacher Homotopietyp  6

1.1  CW-Komplexe  6

1.2  Einfacher Homotopietyp  8

1.3  Stabile Teilkomplexe  13

1.4  Festhalten von Zellen  14

2  Stabile Teilkomplexe und  

Wright  -Deformationen  16

2.1  Enge und direkte Deformationen  16

2.2  Der verallgemeinerte Satz von Perrin Wright  16

2.3  Wright-Deformationen  18

3  Gruppentheoretische Hilfsmittel  23

3.1  Untergruppen freier Gruppen und ihre  

Nielsenbasen   23

3.2  Zentralreihe, Kommutatoren und  

h  ohere Kommutatoren  25

3.3  Freie Produkte  31

3.4  Der Freiheitssatz  31

4  Einfacher Homotopietyp und Algebra  33

4.1  CW-Komplexe und Fundamentalgruppe  33

4.1.1  Herauslesen der Fundamentalgruppe  33

4.1.2  Standardkomplexe  35

4.2  Q- und Q -Transformationen  36

4.3  Stabile Relatorenteilmengen  37

5  Die großen offenen Fragen  39

5.1  Das Wall-Ergebnis  39

5.2  Offene Fragen  39

5.2.1  Die Andrews-Curtis-Vermutung  

und  ihre Verallgemeinerungen  39

5.2.2  Die Zeeman-Vermutung  41

5.3  Strategien und Zusammenh ange  41

  (AC ) versus (relAC )“  41

5.3.1   

5.3.2  Algebraisierung von (relAC )  43

1

6  Stabile Teilkomplexe und Kommutatoren  44

6.1  Absolutes Kommutatorschieben  44

6.2  Relatives Kommutatorschieben  45

6.3  Der Fall eines einzigen beweglichen Relators  51

6.3.1  Ein Q-Gegenbeispiel f ur den Fall h 1  51

6.3.2  Trennung der Erzeugenden  53

6.3.3  Der Ansatz mit zus atzlichem Parkplatz  54

6.4  Diskussion der Ergebnisse  55

7  Ein Ausblick  56

7.1  Andrews-Curtis-Operationen und  

Iterationen  von Wortgruppen  56

7.2  Stabile Teilkomplexe und freie Produkte  57

2

Vorwort

Die hier vorgelegte Arbeit soll so geschrieben sein, dass ein Mathematiker mit dem Standardwissen der Allgemeinen Topologie und der Algebraischen Topologie und Grundwissen der Kombinatorischen Gruppentheorie sie nachvollziehen kann, wenn er die Richtigkeit einiger Zitate hinnimmt. Nicht mehr erkl¨ art werden daher Begriffe wie Fundamentalgruppe, homotop oder hom¨ oomorph und die entsprechenden Zeichen. Allerdings werden auch einige Definitionen, die man durchaus zum Standard z¨ ahlen kann, noch einmal dargestellt, schon deshalb, weil in sp¨ ateren Abschnitten der Arbeit auf Teile der Definitionen verwiesen werden soll. Die Lesbarkeit der Arbeit w¨ urde erheblich leiden, wenn auch diese Verweise zu Nachschlagen in anderen B¨ uchern f¨ uhren w¨ urden. Die verwendeten Zeichen sind entweder (topologischer oder algebraischer) Standard oder werden eingef¨ uhrt. Es gibt aber auf Seite 60 eine Zeichentabelle. Was nicht fehlen darf, ist eine Bemerkung zur Rechtschreibung. In ¨ Ubergangszeiten wie diesen ist zwar nicht alles richtig, aber mehr als vorher und nachher. Ich habe mir deshalb die Freiheit des ganz pers¨ onlichen Eklektizismus genommen. Erlaubt soll sein, was gef¨ allt und nach mindestens einer der beiden g¨ ultigen Schreibungen zul¨ assig ist.

Die Abbildungen in dieser Arbeit sind keine Computerbildchen, sondern Skizzen, die in Handarbeit gefertigt wurden - das ist Absicht. ¨ Uberraschend viele

Leute haben mich in der Auffassung best¨ atigt, dass lebendige Selfmade-Bildchen sogar ” echter“ aussehen k¨ onnen als exakte Computergrafiken. Ein ziemlich un¨ ubertrefflicher Beleg hierf¨ ur ist das Buch von Carter [3]. Die Gliederung der Arbeit ist bewusst nicht so angelegt, dass eigene Erkenntnisse oder Leistungen plakativ vom Rest abgehoben werden. Wichtiger war mir, den vollst¨ andigen Bezug zu der Motivation dieser Erkenntnisse darzustellen. Die Neuigkeiten“ tauchen da auf, wo sie thematisch hingeh¨ oren, also unter anderem

”

schon im ersten Kapitel (wie im Fall des Blockadelemmas 1.4.1). Wem es aber darauf ankommt, scharf zwischen dem zu trennen, was vom Autor dieser Arbeit ” selbst“ geleistet und was ” nur“ nachvollzogen ist, der findet entsprechende Aufkl¨ arung in der Zusammenfassung.

Dank sagen m¨ ochte ich nat¨ urlich meinen akademischen Lehrern. Herrn Profes-sor Burde und Herrn Professor Metzler verdanke ich den gr¨ oßten Teil des f¨ ur diese Arbeit n¨ otigen Wissens. Herr Dr. Harlander und Frau Dr. Hog-Angeloni waren f¨ ur mich w¨ ahrend des letzten Jahres ebenfalls hochkompetente und hochgesch¨ atzte, geduldige und stets interessierte Ansprechpartner. Dankbar verbunden bin ich meinem Kommilitonen Maximilian Maischein, ohne dessen ehrenamtlichen TeX-Crashkurs ich diese Arbeit h¨ atte handschriftlich abgeben m¨ ussen.

Im dem Jahre 1965 stellten meine (damals noch unverheirateten) Eltern erstmals

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die Vermutung auf, dass sie wom¨ oglich gut zusammenpassen. Diese Vermutung ist bis heute nicht widerlegt. Vielleicht ist es deshalb eine runde Sache, dass sich diese Arbeit im Dunstkreis einer anderen Vermutung aus demselben Jahr (siehe Seite 40) befasst, die ebenfalls bis heute nicht widerlegt ist. Selbstredend ist mir eine Widerlegung der zweiten Vermutung wesentlich lieber als der ersten. Danken m¨ ochte ich meinen Eltern jedenfalls daf¨ ur, dass sie mir das Studium uberhaupt erm¨ oglicht haben, und meiner Freundin Ulrike daf¨ ur, dass sie mir ¨

zur richtigen Zeit mit der n¨ otigen Deutlichkeit klargemacht hat, dass ich das Diplom nicht aufgeben sollte.

Diese Arbeit ist dem Andenken an meine Großmutter Eleonore G¨ unther gewidmet in dem Wissen darum, wie stolz sie gewesen w¨ are, wenn sie das Ende meines Studiums noch h¨ atte erleben k¨ onnen.

Frankfurt am Main, Dezember 2000

Zusammenfassung

Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind eine relative Version des verallgemeinerten Satzes von Perrin Wright - Satz 2.2.2 ff. - und eine relative Version des Vetos gegen eine kommutatororientierte Kontruktion von Invarianten f¨ ur Andrews-Curtis-Gegenbeispiele - Satz 6.2.1. Im ersten Fall gelingt der Nachweis, dass die die schon bekannte Existenzaussage f¨ ur eine direkte Deformation auch dann noch gilt, wenn von gewissen Teilkomplexen verlangt wird, dass sie durch die gew¨ unschte Deformation nicht ver¨ andert werden. Es kann sogar gezeigt werden, dass der ¨ Ubergang von einer Deformation

zu jeder zu ihr geh¨ orenden Wright-Deformation im Prinzip alle Fixierungseigenschaften von Teilkomplexen respektiert. Die Arbeit an diesem Problem f¨ uhrte erfreulicherweise zu einem Trick - dem Blockadelemma 1.4.1 - der ein generelles Instrument f¨ ur den ¨ Ubergang von ” absoluten“ zu ” relativen“ Deformationen bereitstellt. Mit ihm gelingt sogar eine neue ” absolute Formulierung“ der

relativen verallgemeinerten Andrews-Curtis-Vermutung - Satz 5.3.2. Im Fall des Kommutatorvetos stellt sich die Situation etwas schwieriger dar: Die w¨ ortliche“ relative Version kann nur dann gezeigt werden, wenn mindestens

”

zwei Relatoren ver¨ andert werden d¨ urfen. F¨ ur den Fall nur eines beweglichen Relators haben W. Metzler und C. Hog-Angeloni w¨ ahrend der Betreuung der Arbeit sogar ein ¨ uberraschendes Gegenbeispiel gefunden - Satz 6.3.1. Es stellt sich jedoch heraus, dass es Situationen gibt - Satz 6.3.2 ¨ uber das relative

Kommutatorveto in Produkten - in denen man die Behauptung auch f¨ ur den Fall auch nur eines beweglichen Relators zeigen kann. Außerdem kann durch Verl¨ angern (das man in der absoluten Version nicht braucht) auch f¨ ur den relativen Fall die Untauglichkeit einer Kommutatorstrategie gezeigt werden - Satz 6.3.3.

Bei der Arbeit am Kommutatorveto hat sich - sozusagen als Nebenproduktein offenbar neuer, verh¨ altnism¨ aßig einfacher und kurzer Beweis des Satzes uber die Trivialit¨ at des Schnittes aller Kommutatorstufen einer Freien ¨

Gruppe - Satz 3.2.16 - ergeben.

Die Arbeit stellt diese Ergebnisse und ihre Einordnung in das Forschungsgebiet der Einfachen Homotopietheorie und der Kombinatorischen Gruppentheorie und seine Geschichte dar.

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Kapitel 1

Einfacher Homotopietyp

In diesem Kapitel stellen wir die Grundbegriffe f¨ ur die Theorie des Einfachen Homotopietys von CW-Komplexen bereit. Dabei beschr¨ anken wir uns auf die f¨ ur den Zusammenhang dieser Arbeit wichtigen Begriffe und Fakten. Eine breitere ¨ Ubersicht verschafft man sich am besten in dem Klassiker von Cohen [5] oder dem Buch von Hog-Angeloni, Metzler und Sieradski [12], das f¨ ur so manchen Diplomanden und Staatsexamenskandidaten in der AG Algebra und Topologie in Frankfurt l¨ angst erst recht zum Klassiker geworden ist.

1.1 CW-Komplexe

Der Begriff des CW-Komplexes begegnet dem Studenten sp¨ atestens in der Vorlesung ¨ uber Algebraische Topologie, er findet sich in jedem Standardbuch, so auch insbesondere in den B¨ uchern von Munkres [21] und St¨ ocker-Zieschang [25]. Weil wir den Begriff im Rahmen dieser Arbeit aber auf den Fingerspitzen brauchen, bringen wir hier noch einmal eine Definition.

Definition 1.1.1. (CW-Komplex). Unter einem CW-Komplex verstehen wir einen Hausdorffraum X mit folgenden Eigenschaften: i∈I e ⁿⁱ 1. X ist in Zellen zerlegt, also X = i mit einer geeigneten Indexmenge

I. Dabei ist jedes e ⁿⁱ ein zum R ⁿⁱ hom¨ oomorpher Raum und heißt eine Zelle der Dimension n i . Mit X ^k bezeichnen wir die Vereinigung aller h¨ ochstens k-dimensionalen Zellen von X. Wir nennen X ^k das k-Ger¨ ust von X.

i gibt es eine stetige Abbildung φ i : D ⁿⁱ → X mit den 2. F¨ ur jede Zelle e ⁿⁱ Eigenschaften

(a) φ i (∂D ⁿⁱ ) ⊂ X ni−1

(b) φ i | (D ^{n i} \∂D ^{n i} ) ist ein Hom¨ oomorphismus.

φ i heißt charakteristische Abbildung f¨ ur die Zelle e ni

i nj i ∩ e 3. F¨ ur jede Zelle e ni i ist e ni j nur f¨ ur endlich viele j nicht leer.

4. X hat die schwache Topologie bez¨ uglich des Systems {e ⁿⁱ |i ∈ I}.

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Ein CW-Komplex heißt n-dimensional, wenn er keine Zellen besitzt, deren Dimension h¨ oher als n ist. Dann spricht man auch von einem CW-n-Komplex. Ein CW-Komplex, der keine h¨ ochstdimensionale Zelle hat, heißt ∞-dimensional. Man bezeichnet einen CW-Komplex als endlich, wenn die Zahl seiner Zellen endlich ist. Wenn keine Irrt¨ umer zu bef¨ urchten sind, spricht man von einem Komplex statt von einem CW-Komplex. Als den Rand einer Zelle e in dem Komplex bezeichnet man ∂e := e\e.

Die Bezeichnung ” CW-Komplex“ kommt folgendermaßen zustande: Bedingung

3 heisst auf Englisch closure finite, und Bedingung 4 steht f¨ ur weak topology. Die charakteristische Abbildung einer Zelle ist durch die Zelle bzw. ihre Lage in dem Komplex keineswegs eindeutig bestimmt. Man kann sich ¨ uberlegen, dass

zwei charakteristische Abbildungen ein- und derselben Zelle bis auf einen orientierungsumkehrenden Hom¨ oomorphismus des abgeschlossenen Einheitsballes in sich homotop zueinander sind und die Bildmengen des Paars (D ⁿ , ∂D ⁿ ) als Paare unter beiden Abbildungen gleich sind. Man beachte, dass der Satz von der Invarianz der Dimension (Brouwer 1911) eine notwendige Voraussetzung f¨ ur die Widerspruchsfreiheit der Definition ist.

Bemerkung 1.1.2. Man kann den Begriff des CW-Komplexes auch ” ger¨ ustweise“ definieren. Dazu startet man mit einer Menge isolierter Punkte (oder gibt irgendeiner Menge die diskrete Topologie) und erh¨ alt ein K ⁰ . Hat man K ⁿ , so klebt man (n+1)-B¨ alle entlang ihrer n-Randsph¨ aren durch stetige Abbildungen in K ⁿ ein.

Wie man sich ¨ uberlegt, definieren die Klebeabbildungen aus Bemerkung 1.1.2 charakteristische Abbildungen von Zellen. Dass die Fortsetzung dieses Verfahrens einen CW-Komplex liefert, muss man allerdings erst noch kl¨ aren: Zu zeigen ist insbesondere die Erf¨ ullung des Kriteriums 3 in Definition 1.1.1 ( ¨ Ubung). Umgekehrt ist ein topologischer Raum X genau dann ein CW-Komplex, wenn er sich entsprechend ger¨ ustweise konstruieren l¨ asst. Details hierzu findet man in [12]. Ein bedeutsames Korollar zu dieser ¨ Uberlegung ist ¨ ubrigens, dass jeder

CW-Komplex die schwache Topologie nicht nur bez¨ uglich der Zellenabschl¨ usse, sondern auch bez¨ uglich seiner Ger¨ uste hat. Das Prinzip der ger¨ ustweisen Konstruktion ist deshalb so wertvoll, weil sich viele Beweise ¨ uber Eigenschaften von

CW-Komplexen induktiv ger¨ ustweise f¨ uhren lassen. Mitunter vergißt man in der Literatur sogar die strenge Unterscheidung zwischen Klebeabbildungen und charakteristischen Abbildungen.

In den meisten F¨ allen unterscheiden wir noch nicht einmal zwischen dem Komplex K als Zellensystem und dem von K getragenen topologischen Raum. Wenn wir diesen Unterschied deutlich machen wollen, so kennzeichnen wir den Komplex mit K und den Raum mit |K|. Schon die Formulierung in Definition 1.1.1 Ubrigens ist K ; |K| ein klassischer Verzeigt aber, wie selten dies passiert. ( ¨

gissfunktor: Vergessen wird die Zellstruktur. Ein Raum ist nach Definition 1.1.1 ein CW-Komplex, wenn er Bild unter diesem Funktor ist. Trivialerweise k¨ onnen Komplexe als topologische R¨ aume hom¨ oomorph sein, ohne in der CW-Kategorie isomorph zu sein!)

Wie man in dem Buch von J¨ anich [13] nachliest, gilt der

Satz 1.1.3. Ein CW-Komplex K ist genau dann endlich, wenn der von ihm

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Aus Gr¨ unden der Sprach¨ asthetik wollen wir die 0-Zellen eines CW-Komplexes fortan als Ecken, die 1-Zellen als Kanten und die 2-Zellen als Scheiben bezeichnen. Einen 1-dimensionalen CW-Komplex nennen wir einen Graphen.

Definition 1.1.4. Ist X ein CW-Komplex, und ist A ein Teilraum von X, so heißen A ein Teilkomplex von X und (X, A) ein CW-Paar, falls A bez¨ uglich der Zellzerlegung von X selbst ein CW-Komplex ist.

Man kann sich davon ¨ uberzeugen, dass ein Teilraum A von X diese Forderung

genau dann erf¨ ullt, wenn f¨ ur jede Zelle e ⁿ von X gilt: e ⁿ ∩ A = ∅ ⇒ e ⁿ ⊂ A. Wir k¨ onnen ¨ aquivalent zu Definition 1.1.4 verlangen, dass A abgeschlossen ist und die Zellen von X stets entweder ganz enth¨ alt oder gar nicht schneidet. Mit diesen ¨ Uberlegungen leicht einzusehen, aber sehr bedeutsam ist dann die Bemerkung 1.1.5. Sei X ein CW-Komplex, und sei n ∈ N. Dann sind (X, X ⁿ )

Definition 1.1.6. Euler-Charakteristik eines CW-Komplexes. Sei K ein CW-Komplex, und f¨ ur jedes i ∈ N sei z(i, K) die Anzahl der i-Zellen von K. Dann

∞

i=0 (−1) ⁱ z(i, K). Wir nennen χ CW (K) die zellul¨ are setzen wir χ CW (K) :=

Eulercharakteristik von K. Dabei ist χ CW (K) = ∞ zugelassen.

Es gilt der wichtige

Dabei bezeichnet χ die klassische Euler-Charakteristik, also die Wechselsumme der Bettizahlen des topologischen Raumes. Wir verzichten hier auf eine Wiedergabe des Beweises, der eine sch¨ one Anwendung des Isomorphismus zwischen zellul¨ arer und singul¨ arer Homologie und des universellen Koeffizienten-theorems der Homologietheorie ist. Man findet ihn in dem Buch von St¨ ocker und Zieschang [25], dort Satz 10.6.8. Aus Satz 1.1.7 folgt insbesondere, dass die zellul¨ are Eulercharakteristik eine Invariante des Homotopietyps und damit erst recht eine topologische Invariante ist.

1.2 Einfacher Homotopietyp

Vor der folgenden Definition erinnern wir uns daran, dass wir unter einem Standardballpaar (D ⁿ , D ⁿ⁻¹ ) ein zu (I ⁿ , I ⁿ⁻¹ ) hom¨ oomorphes Raumpaar verstehen (der kleine Ball liegt in dem großen so wie eine W¨ urfelseite im W¨ urfel). Dann k¨ onnen wir die Begriffe von Kollaps und Expansion einf¨ uhren, die f¨ ur die gesamte Theorie des Einfachen Homotopietys die Keimzelle darstellen. Dieses mathematische Konzept geht zur¨ uck auf J. H. C. Whitehead, der damit den erfolgreichen Versuch unternahm, einen kombinatorischen Zugang zur Homoto-pietheorie zu er¨ offnen.

Definition 1.2.1. Elementarkollaps. In einem CW-Paar (K, L) heißt L ein elementarer Kollabierretrakt von K, wenn folgende Anforderungen erf¨ ullt sind:

1. K = L e ⁿ⁻¹ e ⁿ f¨ ur geeignete Zellen mit den in den Exponenten angegebenen Dimensionen.

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2. Es gibt ein Standardballpaar (D ⁿ , D ⁿ⁻¹ ) und eine stetige Abbildung

φ : D ⁿ → K,

so dass gilt:

(a) φ ist eine charakteristische Abbildung f¨ ur e n

(b) φ| D ⁿ⁻¹ ist eine charakteristische Abbildung f¨ ur e ⁿ⁻¹ (c) φ(∂D ⁿ \D ⁿ⁻¹ ) ⊂ L ⁿ⁻¹ .

Wir schreiben dann K

K bzw. K kollabiere elementar zu L. Die so bezeichneten Schritte bezeichen wir auch mit Elementarkollaps und Elementarexpansion der Dimension n.

Man nennt in dieser Situation die Zelle e ⁿ⁻¹ eine freie Seite, und man sagt, man st¨ oßt oder sticht die Zelle e ⁿ durch ihre freie Seite e ⁿ⁻¹ ein. Weil wir das sp¨ ater noch einmal brauchen werden, ¨ uberlegen wir an dieser Stelle auch schon

einmal, wie stark die Bedingungen sind, die eine Zelle e ⁿ⁻¹ erf¨ ullen muß, um freie Seite eines Kollaps sein zu k¨ onnen:

Die klassische Expansion kann man sich etwa folgendermaßen vorstellen:

Abbildung 1.1: Expansion einer Scheibe mit freier Kante

Andererseits betrachte man folgende Situation:

Im letzten Bildchenpaar werden zwar tats¨ achlich eine Kante und eine Scheibe hinzugef¨ ugt, und die entsprechenden Abbildungen sind sogar charakteristisch, aber die Forderung 2c ist verletzt. Man sieht auch sofort, dass die beiden R¨ aume nicht homotopie¨ aquivalent sind.

Eine freie Zelle e ⁿ⁻¹ darf im Abschluß nur einer einzigen anderen Zelle liegen, n¨ amlich der h¨ oherdimensionalen, die mitkollabiert wird: F¨ ur jede Zelle e ^∗ von L gilt n¨ amlich e ^∗ ⊂ L, aber die Definition verlangt L ∩ e ⁿ⁻¹ = ∅. Die freie Zelle e ⁿ⁻¹ darf aber auch, lax formuliert, nur von einer Seite her im Abschluß der durch sie zu kollabierenden Zelle liegen - das ist gerade die Aussage von 2c.

Elementarkollapse und -expansionen kann man aneinanderreihen. Wir schreiben K L, wenn L aus K durch eine endliche Folge von Elementarkollapsen hervorgeht. Symmetrisch dazu definieren wir L K.

Definition 1.2.2. Zwei CW-Komplexe K und L heissen sh-¨ aquivalent oder von demselben einfachen Homotopietyp, wenn es eine endliche Folge von Kollapsen und Expansionen in irgendeiner Reihenfolge gibt, durch die K in L ¨ uberf¨ uhrt

wird. Man sagt schreibt dann K S S w L.

Das K¨ urzel ” sh-“ stammt aus dem Englischen und steht f¨ ur ” Im Deutschen kann man statt sh-¨ aquivalent auch ”

lent“ sagen. Diese Begrifflichkeit erkl¨ art sich folgendermaßen: F¨ ur ein Standardballpaar (D ⁿ , D ⁿ⁻¹ ) ist ∂D ⁿ \D ⁿ⁻¹ auf offensichtliche Weise ein starker Deformationsretrakt von D ⁿ mit einer starken Deformationsretraktion r. Ist L elementarer Kollabierretrakt von K, k¨ onnen wir die Identit¨ at auf L durch die von r vermittelte Abbildung fortsetzen, und so erhalten wir, dass L ein starker Deformationsretrakt von K ist, insbesondere haben K und L denselben Homotopietyp. Iterative Anwendung dieser Tatsache f¨ uhrt auf den beruhigenden

Satz 1.2.3. Sind die Komplexe K und L sh-¨ aquivalent, so haben sie denselben Homotopietyp: K S S w L ⇒ |K| | |L|

Expansionen und Kollapse induzieren auf den topologischen R¨ aumen auf naheliegende Weise Inklusionen und Retraktionen. Eine Abbildung heißt Deformation, wenn sie auf diese Weise durch eine Verkettung von Expansionen und Kollapsen induziert wird. Als eine sh- ¨ Aquivalenz oder einfache Homotopie¨ aqui-

valenz bezeichnet man eine Abbildung, die homotop zu einer Deformation ist. Wieder ist der ¨ ubliche Sprachgebrauch weit weniger streng; denn zur Vereinfachung wird fast immer die Folge der Expansionen und Kollapse selbst statt der von ihnen induzierten Abbildung mit dem Wort ” Deformation“ beschrie-

ben und entsprechend mit D : K S S w L bezeichnet ¹ . Unter der zu D inversen

Deformation D ⁻¹ versteht man dann einfach die Deformation von L nach K.

die gerade aus den umgekehrten Schritten besteht. Mathematisch irref¨ uhrende Verwechslungen sind aber auch hier so gut wie ausgeschlossen. Viel wichtiger ist die

Bemerkung 1.2.4. Die durch einen Kollaps K L induzierte Retraktionsabbildung |K| → |L| ist keineswegs durch die kollabierten Zellen eindeutig vorgegeben, und zwar deshalb nicht, weil es eine Vielzahl von starken Retraktionen von D ⁿ nach ∂D ⁿ \D ⁿ⁻¹ gibt.

¹ Das ist nicht mehr als der ¨ Ubergang von der Betrachtung einer ¨ Aquivalenzklasse (Homotopieklasse von Abbildungen) zu der ihres Repr¨ asentanten.

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Man fragt sich nat¨ urlich, wie es mit der Umkehrung von 1.2.3 aussieht: Gibt es CW-Komplexe K und K , die zwar von demselben Homotopietyp, aber nicht

von demselben einfachen Homotopietyp sind? Das ist einfach zu beantworten. Beispielsweise hat die reelle Gerade in ihrer naheliegenden CW-Zerlegung (jede ganze Zahl eine Ecke, die offenen Einheitsintervalle die Kanten) den Homotopietyp, aber nicht den einfachen Homotopietyp eines Punktes: Die Gerade ist nicht kompakt, wohl aber der Punkt. Und da unter endlich vielen Deformationsschritten Endlichkeit bzw. Unendlichkeit und damit Kompaktheit bzw. Nichtkompaktheit erhalten bleiben, haben wir schon ein Gegenbeispiel. Wie sieht es aber aus, wenn wir Kompaktheit voraussetzen k¨ onnen? Gibt es endliche CW-Komplexe K und K , die zwar von demselben Homotopietyp, aber

nicht von demselben einfachen Homotopietyp sind? Die Antwort ist auch hier ja, aber sie w¨ urde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Wer mag, findet in dem Buch von Cohen [5] in Kapitel 24 bewiesen, dass f¨ ur jede Dimension d ≥ 3 gewisse Paare d-dimensionaler Linsenr¨ aume als Beispiele dienen. Besonders interessant f¨ ur unseren Zusammenhang ist jedoch der

Satz 1.2.5. Es gibt Paare kompakter, zusammenh¨ angender CW-2-Komplexe

Diese Beispiele finden sich in den Quellen von Metzler [20] und Lustig [14]. Wir m¨ ussen es hier beim bloßen Zitat belassen. Die Situation mit verschiedenen Einfachhomotopieklassen ist im Falle von zusammenziehbaren endlichen CW-Komplexen nicht gegeben. Cohen beweist in [5] den

Auch hier bleibt es beim Zitat. Wichtigstes Werkzeug bei diesem wie auch bei anderen tiefen Ergebnissen ist der Formalismus der Whiteheadgruppe eines Komplexes bzw. einer Gruppe. (Das gerade zitierte Resultat ist eine ziemlich direkte Folge der in [5] bewiesenen Tatsache, dass die Whiteheadgruppe der trivialen Gruppe wiederum trivial ist.)

Ganz ¨ ahnlich wie bei der Definition von Homotopien relativ gewisser Teilr¨ aume verfahren wir bei Deformationen:

Definition 1.2.7. K und L seien CW-Komplexe, K 0 ein Teilkomplex von K, D sei eine Deformation von K nach L. Dann heißt D eine Deformation relativ K 0 , wenn keine Zelle von K 0 im Verlauf von D entfernt wird. K und L heißen dann sh-¨ aquivalent relativ K 0 , wir nennen den Komplex K 0 stabil bez¨ uglich D und schreiben D : K S S w L rel K 0 .

Die Sprache dieser Definition macht deshalb Sinn, weil nach den vorherigen ¨ Uberlegungen die durch die Deformation vermittelte mengentheoretische Homotopie¨ aquivalenz tats¨ achlich eine Homotopie¨ aquivalenz relativ |K 0 | ist. Ebenfalls macht man sich klar, dass die Definition symmetrisch ist: K 0 ist auch Teilkomplex von L und stabil bez¨ uglich der zu D inversen Deformation. Das ist eine unmittelbare Folge der Symmetrie von Definition 1.2.1. Einen wichtigen Zusammenhang zwischen Homotopie und einfacher Homotopie¨ aquivalenz stiftet

Lemma 1.2.8. Sei K ein n-dimensionaler CW-Komplex, und seien

φ ψ : S ⁿ⁻¹ → K

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Klebeabbildungen f¨ ur n-Zellen e n φ und e n ψ und

φ(S ⁿ⁻¹ ) ⊂ K ⁿ⁻¹ , ψ(S ⁿ⁻¹ ) ⊂ K ⁿ⁻¹ .

Dann gilt

Beweisskizze: Stellt man sich D ⁿ⁺¹ als (n + 1)-W¨ urfel vor, so hat dessen Rand ohne Unterseite und Oberseite die Gestalt S ⁿ⁻¹ × I. Entlang der gegebenen Homotopie H : S ⁿ⁻¹ × I → K = K ⁿ kleben wir D ⁿ⁺¹ in K ein. Die Unter-und Oberseite des W¨ urfels sind nun die beiden freien Seiten e n φ und e n

Unter Verwendung unter anderem dieses Lemmas zeigt man das folgende, das hier zitiert wird, weil darauf noch in Kapitel 5 eingegangen werden wird. Einen Beweis findet man im zweiten Abschnitt des ersten Kapitels im Buch von Hog-Angeloni, Metzler und Sieradski [12].

Lemma 1.2.9. Seien m < n, K ⁿ ein endlicher CW-Komplex mit m-Ger¨ ust

K ^m . Dann gibt es zu jeder Deformation K m

Komplex L ⁿ mit m-Ger¨ ust L ^m , so dass gilt K n

CW-Strukturen sind ziemlich robust gegen¨ uber topologischen Operationen an den R¨ aumen, die von ihnen getragen werden. Beispielsweise ist eine ¨ Uberlagerung eines CW-Raumes selbst wieder einer (mit den Lifts der Basisraumzellen als Zellen). Unproblematisch verhalten sich endliche CW-R¨ aume auch bei der topologischen Produktbildung:

Satz 1.2.10. Sind K und K endliche CW-Komplexe, so wird der topologische Raum |K| × |K | von einem CW-Komplex getragen, den wir mit K × K bezeichnen. Dar¨ uber hinaus gilt: L K ⇒ L × K K × K .

Beweisskizze: Man ¨ uberlegt sich die Richtigkeit der Aussage induktiv und zellenweise. Zun¨ achst ist von entscheidender Bedeutung, dass das topologische Produkt einer k-Zelle mit einer l-Zelle eine (k + l)-Zelle ist. Mit ein bißchen M¨ uhe ¨ uberlegt man sich, dass das Produkt der charakteristischen Abbildungen der ” kleineren“ Zellen eine charakteristische Abbildung der gr¨ oßeren definiert. F¨ ur das Innere des Produkts ist die Sache klar. Der Rand des entsprechenden (k + l)-Balles ist gerade ∂D ^k+l = ∂D ^k × D ^l ∪ D ^k × ∂D ^l . Wir m¨ ussen zeigen, dass das Bild von ∂D ^k+l in einem induktiv bereits konstruierten (k + l − 1)-Ger¨ ust liegt. Das Bild des Ausdrucks links von ∪ liegt konstruktionsgem¨ aß im ((k −1)+l)-Ger¨ ust, das Bild des Ausdrucks rechts von ∪ im (k +(l −1))-Ger¨ ust. Mit der Endlichkeit der Komplexe zeigt man die Erf¨ ullung der Kriterien 3 und 4 in Definition 1.1.1, und erste Teil des Satzes ist gezeigt. Auch die Expansionen des topologischen Produkts schaut man sich zellenweise an. Eine Elementarexpansion an dem Faktor L bewirkt am Produkt so viele Elementarexpansionen,

Dass f¨ ur die Expansionsschritte die Endlichkeit der Komplexe eine wichtige Voraussetzung ist, ist unmittelbar klar: W¨ are K unendlich, so w¨ aren nach

der oben angetebenen Konstruktion unendlich viele Expansionen n¨ otig. Dass

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aber schon bei der Produktbildung Unendlichkeit eines der beteiligten Komplexe zu Schwierigkeiten f¨ uhren kann, entnimmt man dem Buch von Schubert [24]. Probleme macht unter anderem die schwache Topologie des Produkts bez¨ uglich der Abschl¨ usse der Zellenprodukte. Bei Schubert kann man aber auch nachlesen, dass der Satz auch f¨ ur unendliche Komplexe noch stimmt, wenn in einem der beiden Komplexe jeder Punkt einen endlichen Teilkomplex als Umgebung hat ² .

Beispiel 1.2.11. Der Torus S ¹ × S ¹ ist ein CW-Komplex mit einer Ecke, zwei

Beispiel 1.2.12. Identifiziert man K mit K × {0}, so folgt f¨ ur das Einheitsin-

1.3Stabile Teilkomplexe

In unserem Zusammenhang wird besonders interessant sein zu beobachten, inwieweit sich Teilkomplexe unter bestimmten Deformationen festhalten lassen, und inwiefern dieses Festhalten auch bei Ver¨ anderungen dieser Deformationen m¨ oglich bleibt. F¨ ur diese Betrachtungen sind die folgenden Definitionen hilfreich:

Definition 1.3.1. Unter dem Rest R(D) einer Deformation D zwischen den CW-Komplexen K und L verstehen wir den maximalen bez¨ uglich D stabilen Teilkomplex von K.

Um zu sehen, dass diese Definition ¨ uberhaupt vern¨ unftig ist, beachte man, dass

man R(D) leicht ger¨ ustweise konstruieren kann: Man beginnt einfach mit den Punkten, die nicht kollabiert werden. Hat man das n-Ger¨ ust von R(D), so betrachtet man alle (n + 1)-Zellen von K, deren Rand ganz in R(D) ⁿ liegt. Von diesen (n + 1)-Zellen f¨ ugt man diejenigen an R(D) ⁿ an, die im Verlauf von D nicht kollabiert werden. Nat¨ urlich ist D stets eine Deformation relativ R(D), und R(D) ist ein CW-Teilkomplex von L. Einfache Beispiele, etwa 2.3.1, zeigen, dass R(D) nicht zusammenh¨ angend sein muss, selbst dann nicht, wenn K zusammenziehbar ist.

Umgekehrt kann man sich nat¨ urlich auch fragen, welche Teile eines Komplexes uberhaupt daf¨ ur n¨ otig sind, dass man eine gegebene Deformation durchf¨ uhren ¨

kann. Wir f¨ uhren dazu den Begriff der Reichweite einer Deformation ein.

Definition 1.3.2. Sei D eine Deformation zwischen den Komplexen K und L. Mit Z(D) bezeichnen wir die Menge aller Zellen, die verm¨ oge D kollabiert oder expandiert werden. Dann ist Z(D) = Z(D ⁻¹ ). Unter der Reichweite W (D, K)

der Deformation D in K verstehen wir die Menge aller derjenigen Zellen von K, die einen nichtleeren Schnitt mit dem Abschluß einer Zelle aus Z(D) haben. Entsprechend ist W (D ⁻¹ , L) = W (D, L) die Reichweite von D in L.

Im allgemeinen ist W (D, K) nicht etwa ein Teilkomplex von K!

Beispiel 1.3.3. Man expandiere an eine Kante eines beliebigen Komplexes eine 3-Zelle mit freier Scheibe so, dass nur in der Kante, nicht in ihren beiden Randpunkten angeklebt wird:

² Genau dann ist dieser Komplex lokalkompakt oder, wie man in der CW-Sprache sagt, lokalendlich.

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W (D, K) besteht nur aus der Kante ohne ihren Rand, ist also kein Komplex.

Um diesen Sch¨ onheitsfehler zu umgehen, kann man statt W (D, K) den minimalen Teilkomples von K betrachten, der W (D, K) enth¨ alt, und diesen mit ˜ W (D, K) bezeichnen. Man ¨ uberlegt sich direkt:

Satz 1.3.4. Sei D eine Deformation der Komplexe K und L. Dann besteht der Schnitt von W (D, K) und R(D) aus denjenigen Zellen von K, die durch D nicht kollabiert werden, aber entweder den Abschluß einer oder mehrerer kollabierter Zellen oder den Abschluß einer oder mehrerer expandierter Zellen schneiden.

Hilfreich ist auch der

Satz 1.3.5. F¨ ur jede Deformation D : K S S w L ist | ˜ W (D, K)| kompakt.

Das folgt daraus, dass definitionsgem¨ aß die Zahl der Deformationszellen endlich ist und jeder von ihrer Abschl¨ usse h¨ ochstens endlich viele Zellen von K schneidet.

1.4 Festhalten von Zellen

Die beiden folgenden Lemmata werden f¨ ur unsere sp¨ ateren ¨ Uberlegungen von entscheidender Bedeutung sein:

Lemma 1.4.1. Blockadelemma: K und L seien CW-Komplexe, K 0 sei ein Teilkomplex von K und L, es sei D eine sh-m- ¨ relativ K 0 . Es gehe K aus K dadurch hervor, dass in jeder m-Zelle e ^m (sofern vorhanden) und in jeder (m − 1)-Zelle e ^m−1 Ball D ^m+2 bzw. D

^{m+2 i j} eingeklebt wird. Gegebenenfalls kann man φ i , φ j trivial, also mit nur einem Bildpunkt w¨ ahlen. ³ Die so entstandenen neuen (m + 2)-Zellen heißen Blockadezellen. Analog entstehe L. Dann sind auch an

Deformationsschritte von D m¨ oglich und vermitteln so eine sh-m- ¨ K S S w

L.

Beweis. Wir vollziehen die Schritte der Deformation D einzeln an den modifizierten Komplexen nach und machen uns klar, dass sie m¨ oglich sind: Wir starten K. Ist der erste Schritt von D eine Expansion, so k¨ onnen wir ihn ohne weiteres auch an

K durchf¨ uhren (und zwar mit denselben expandierten Zellen und

³ Dann hat man Sp¨ aren eingeh¨ angt.

14

denselben charakteristischen Abbildungen). Ist der erste Schritt von D ein Kollaps, so liegen sowohl die zu kollabierende Zelle e l freie Seite e ^l−1 1 1 aus D entsprechend der Definition 1.2.1 ist dann auch in φ f¨ ur e ^l rakteristische Abbildung. Wegen

Ein Kollaps von e l

1.2.1 nur dann nicht m¨ oglich, wenn in e ^l−1 rer Zellen außer e l

Zellen liegen. Beides ist aber nicht der Fall: Wenn der Abschluß einer e ^∗ ( = e ^l 1 , e ^l−1 1 ) eine der Zellen e ^l w¨ are der Kollaps von e l

eine der Blockadezellen sein. Dann schneidet e ^∗ außer e ^∗ nach Konstruktion nur 1 und e ^l−1 noch K 0 und ist damit von e ^l im Widerspruch zu unserer vorherigen

¹ Annahme disjunkt.

Wir k¨ onnen nun induktiv voraussetzen, bereits die ersten k Schritte der Deformation D nach dem Start bei

K seien vorgenommen. W¨ ortlich mit den Uber-

legungen, die uns die Konstruktion des ersten Schrittes erlaubt haben, k¨ onnen

Das Einh¨ angen von Sph¨ aren wie in Lemma 1.4.1 ver¨ andert den Homotopietyp des Komplexes, wenn auch nicht seine Fundamentalgruppe (Warum? - Siehe Kapitel 4). Wer den Homotopietyp aber erhalten will, kann in die eingeh¨ angten Sph¨ aren noch jeweils einen (m + 3)-Ball einkleben. (Ist (K 0 ) ^m in diesem Fall kompakt, so hat man sogar K

K.)

Lemma 1.4.2. ” Dimensionstrick“. Sei D eine m-Deformation von K nach L. Dann vermitteln die Schritte von D eine sh- ¨ L ^m+k f¨ ur alle k.

Beweis. Das folgt durch einfache Induktion nach k aus der Tatsache, dass D

Aber Vorsicht: Es reicht im allgemeinen nicht die Voraussetzung, dass D eine m-Deformation zwischen K ^m und L ^m ist!

15

Kapitel 2

Stabile Teilkomplexe und

Wright-Deformationen

Mit den Mitteln von Kapitel 1 einschließlich Blockadelemma k¨ onnen wir nun betrachten, wie bei einem sehr wichtigen Standardisiserungsprozess von De-formationen, dem ¨ Ubergang von einer Deformation zu der zu ihr geh¨ origen Wright-Deformation, stabile Teilkomplexe respektiert werden.

2.1 Enge und direkte Deformationen

Definition 2.1.1. Enge Deformation. Eine einfache Homotopiedeformation D von dem CW −Komplex K nach dem CW-Komplex L nennen wir eng von der Dimension n, wenn sie nur aus Expansionen von n-Zellen und freien (n − 1)-Zellen und Kollapsen von n-Zellen durch freie (n − 1)-Zellen besteht. K und L heißen dann eng einfach homotopie¨ aquivalent oder eng sh-n-¨ aquivalent.

Definition 2.1.2. Direkte und st¨ uckweise direkte Deformationen. Eine Deformation D von dem CW-Komplex K nach dem CW-Komplex L nennen wir st¨ uckweise direkt, wenn D mit einer Expansion beginnt und im Verlauf von D auf jede Expansion direkt ein Kollaps folgt, in dem die h¨ oherdimensionale der vorher expandierten Zellen wieder kollabiert wird. Eine Deformation heißt direkt, wenn sie st¨ uckweise direkt und eng ist.

Wie man sofort sieht, ist Definition 2.1.2 symmetrisch, das heißt, mit D ist stets auch D ⁻¹ , die Deformation in umgekehrter Richtung, st¨ uckweise direkt bzw. di-

rekt. Besonders wichtig werden sp¨ ater st¨ uckweise direkte 3-Deformationen von Pr¨ asentations-Standardkomplexen sein, die wir in Kapitel 4 n¨ aher betrachten werden. Im Zusammenhang mit diesen Deformationen braucht man auch den Satz 2.2.1. Er zeigt, dass der Unterschied zwischen engen und direkten Deformationen vergleichsweise gering ist.

2.2 Der verallgemeinerte Satz von Perrin Wright

Der folgende Satz geht auf die Arbeit [29] von Perrin Wright zur¨ uck. Dort beweist Wright das Ergebnis des Satzes f¨ ur die Dimenson n + 1 = 3. In [12]

16

geben Cynthia Hog-Angeloni und Wolfgang Metzler den Beweis f¨ ur beliebige Dimensionen.

Satz 2.2.1. Sei D eine enge Deformation der Dimension n + 1 zwischen den Komplexen K und L, und jede im Verlauf von D expandierte (n+1)-Zelle werde in D auch wieder kollabiert. Dann sind K und L direkt sh-(n + 1)-¨ aquivalent.

Das heißt: Wenn eine Deformation nur aus Expansionen und Kollapsen derselben Dimension besteht und keine der h¨ oherdimensionalen expandierten Zellen ubrigbleibt, dann kann diese Deformation durch eine solche ersetzt werden, in ¨

der jede Expansion von einem Kollaps der gerade expandierten h¨ oherdimensionalen Zelle gefolgt wird: ” Anh¨ aufungen“ der h¨ oherdimensionalen Zellen k¨ onnen vermieden werden.

Wir stellen den Beweis aus technischen Gr¨ unden um einen Abschnitt zur¨ uck. Unser Augenmerk richtet sich stattdessen schon hier auf die Frage, ob wir das Ergebnis von 2.2.1 zu einer relativen Version versch¨ arfen k¨ onnen, und die Ant-wort darauf ist ja. Sie folgt sogar mit dem Blockadelemma bereits aus dem Satz selbst. Man muss den Beweis von Satz 2.2.1 gar nicht kennen, um die relative Versch¨ arfung zu sehen. Deshalb formulieren und beweisen wir diese Versch¨ arfung hier, bevor wir einen Beweis von 2.2.1 selbst angeben. Der entscheidende Kniff besteht darin, dass in dem Satz keine Voraussetzungen an die Dimension von K oder L gerichtet werden.

Satz 2.2.2. Sei K 0 ein gemeinsamer Teilkomplex der CW-Komplexe K und L. D eine enge Deformation der Dimension n + 1 zwischen den Komplexen K und L relativ K 0 , und jede im Verlauf von D expandierte (n + 1)-Zelle werde in D auch wieder kollabiert. Dann sind K und L direkt sh-(n + 1)-¨ aquivalent relativ K 0 . Insbesondere sind K und L direkt sh-(n + 1)-¨ aquivalent relativ R(D).

Beweis. Wir gehen davon aus, dass alle K-Zellen mit Dimensionen oberhalb von n + 1 zu K 0 geh¨ oren. Das verschlechtert das Ergebnis unseres Beweises nicht, denn diese Zellen und ihre Abschl¨ usse sind aus Dimensionsgr¨ unden unter D stabil. Wir bilden dann wie im Blockadelemma die Komplexe

K und

D

L. Ebenfalls nach dem Blockadelemma besteht

der Dimension n + 1, in deren Verlauf alle expandierten (n + 1)-Zellen wieder

L direkt sh-¨ aquivalent mit einer Deformation ˜

˜ D ist eine Deformation relativ K 0 : Nach den ¨ Uberlegungen zur Definition 1.2.1 kann keine n− oder (n + 1)−Zelle von K 0 durch ˜

de solche Zelle einen nichtleeren Schnitt mit dem Abschluß einer Blockadezelle

hat, deren Dimension ¨ uber die der Deformation hinausgeht. Zellen von K 0 mit Dimensionen kleiner als n oder gr¨ oßer als n + 1 k¨ onnen von ˜ Dimensionsgr¨ unden nicht entfernt werden. Also l¨ asst ˜ und ist relativ K 0 . Wir haben nur noch zu zeigen, dass ˜ tion von K nach L vermittelt. Das folgt aber so: Mit Lemma 1.4.2 finden wir, D auch zwischen ( dass ˜

eine sh-(n + 1)-Deformation zwischen K ⁿ⁺¹ und L ⁿ⁺¹ bewirkt. Nun geht aber K aus K ⁿ⁺¹ dadurch hervor, dass sukzessive Zellen der Dimension echt gr¨ oßer

17

als (n + 1) angef¨ ugt werden. Diese lagen nach Konstruktion bereits in K 0 und werden somit von den Deformationszellen von D und damit auch unter ˜ D festgelassen. ˜ D ist eine direkte sh-(n + 1)-Deformation von K nach L relativ K 0 , und die Behauptung ist gezeigt.

Wir wissen also schon von jetzt, dass die absolute Aussage von Satz 2.2.1 ohne Ansehen ihres Beweises eine relative Formulierung nach sich zieht. Es gilt aber noch mehr. Wenn wir uns den Beweis von Satz 2.2.1 ansehen, werden wir feststellen, dass sogar die dort konstruierte enge Transformation f¨ ur den absoluten Fall selbst auch schon eine f¨ ur den relativen Fall ist.

2.3 Wright-Deformationen

Wir holen jetzt nach, was wir in Kapitel 2.2 zur¨ uckgestellt hatten, n¨ amlich den Beweis von Satz 2.2.1.

Wir numerieren die (n + 1)-Zellen von D in der Reihenfolge ihres Erscheinens in D mit e ⁿ⁺¹ , e n+1

¹ freie Seite, durch die e ⁿ⁺¹ eine direkte Deformation ˜

Satz charakteristischer Abbildungen φ j , außerdem w¨ ahlen wir f¨ ur jeden Kollaps in D eine passende starke Deformationsretraktion (siehe auch Satz 1.2.3).

Nun expandieren wir ˜ direkt wieder durch e ⁿ 1 . Wir expandieren nun ˜ deren Weise als e ⁿ⁺¹ 2

charakteristischen Abbildung φ 2 in e ⁿ 1 liegt, bekommt nun als neues Bild das

Bild von φ 2 (x) unter der vorhin gew¨ ahlten Retraktion, die den Kollaps durch e ⁿ 1 vermittelt. In allen anderen Punkten wird die charakteristische Abbildung belassen, wie sie schon in D war, und man ¨ uberzeugt sich leicht davon, dass man

tats¨ achlich eine Expansion vorgenommen hat: Man hat den Abschluß von e n+1

gegebenenfalls einfach entlang der Retraktion durch e ⁿ⁺¹ e ⁿ⁺¹ gewonnen. Nun kollabieren wir e ⁿ⁺¹ ˜

2 2

dass das auch tats¨ achlich geht: Dass e ⁿ 2 nicht schon vorher kollabiert wurde, ist 1 = e ⁿ 2 klar. Alle Punkte von e ⁿ⁺¹ wegen e ⁿ , die nach D in e ⁿ 2 liegen, tun es

2

auch jetzt. Abschl¨ usse von h¨ oherdimensionalen Zellen liegen nach den bisherigen Schritten von ˜ D nicht in e ⁿ 2 , weil sie es dann auch schon bei D h¨ atten tun

m¨ ussen. In Definition 1.2.1 kann also nur die letzte Ziffer verletzt sein. Auch das kann in D noch nicht geschehen sein. Es kann nur durch das R¨ ucksaugen beim

Ubergang von D zu ˜ D ein Punkt aus ∂e ⁿ⁺¹ ¨

2 gewandert sein. Dies bedeutet aber ∂e ⁿ⁺¹ e ⁿ e ⁿ⁺¹ uberhaupt m¨ oglich wird, und ∂e ⁿ⁺¹ ¨

1

in e ⁿ 2 ankommt. Beides zusammen bedeutet aber, dass in D beide Kollapse sich gegenseitig blockieren. (Der eine kann nicht stattfinden, wenn nicht vorher der andere stattgefunden hat — die potentiellen freien Zellen werden n¨ amlich von den h¨ oherdimensionalen des jeweils anderen Schritts festgehalten.) Nehmen wir nun an, wir h¨ atten die ersten k − 1 Zellen nach dieser Methode expandiert und wieder kollabiert, dann expandieren wir nun die Zelle e n+1 k

nach derselben Methode wie die vorherigen: Die charakteristische Abbildung e ⁿ⁺¹ w¨ ahlen wir genauso wie die von e n+1

von ˜ k

φ k in eine Zelle e n j abgebildet werden. Jeder Punkt x von ∂D ⁿ⁺¹ , dessen Bild

18

unter φ k in einer Zelle e n j liegt w¨ urde, bekommt nun als neues Bild das Bild von φ k (x) unter der durch den Kollaps durch ˜ diesem Fall saugen wir also durch ˜ das Bild von φ k (x) unter der durch den Kollaps durch ˜ tion seinerseits durch ein- oder mehrmaliges R¨ ucksaugen erreicht wird. Wieder uberzeugt man sich davon, dass man tats¨ achlich eine Expansion vorgenommen ¨

hat. Wir kollabieren nun wiederum ˜ wir so: Zun¨ achst kann e n k nicht schon durch vorangegangene Kollapse verlorengegangen sein; denn die n-Kollapszellen von ˜ D ¨ uberein. Nach der Konstruktion der charakteristischen Abbildung von ˜ k ⊂ ˜ e ⁿ⁺¹ e ⁿ⁺¹ gilt auch e ⁿ . Mit demselben Argument wie schon bei ˜ kann ein Kol- ²

^k laps nur dadurch unm¨ oglich werden, dass durch das sukzessives R¨ ucksaugen ein

Punkt x aus ∂e n+1

R¨ ucksaugen muss durch eine Folge von Zellen e n+1

chen Deformation D mit verschiedenen (genauer gesagt, sogar streng fallenden) Indizes vermittelt worden sein. Das bedeutet dann aber: ∂e n+1 ∩ e n j2 = ∅ und so weiter bis ∂e ⁿ⁺¹ ∂e

^{n+1 j1} durch keine Reihenfolge der Kollapse durch die Zellen e n

che ” erste“ Kollapszelle wird von einer ” kollabiert werden, solange e ⁿ⁺¹ solange e n+1 js−1 noch da ist, e n+1 js−1 kann nicht kollabiert werden, solange e ⁿ⁺¹ da ist, und so weiter - am Ende kann e n+1

noch da ist. Ist also ein Kollaps von ˜

die gesamte Deformation D nicht m¨ oglich. Damit ist die Induktion nach der Nummer des Deformationsschritts abgeschlossen, ˜ D konstruiert und der Beweis

Man kann sich den Hergang der Konstruktion auch bildlich klarmachen:

Beispiel 2.3.1. Die hier skizzierte Deformation erf¨ ullt die Voraussetzungen des Satzes von Perrin Wright:

Wir starten mit einem kammf¨ ormigen Graphen.

Schritt 1: Eine Scheibe mit freier Kante wird expandiert.

19

Schritt 2: Eine zweite Scheibe mit freier Kante wird expandiert...

Schritt 4: Auch die erste Scheibe wird durch eine andere freie Kante kollabiert.

Weil die hier illustrierte Deformation die Voraussetzung des Satzes 2.2.1 erf¨ ullt, geh¨ ort zu ihr eine direkte Deformation. Diese unterscheidet sich von der vorangegangenen nur in den Schritten 2 und 3.

Beispiel 2.3.2. So wird die Deformation aus Beispiel 2.3.1 zu einer direkten Deformation abge¨ andert:

Schritt 2’: Die erste Scheibe wird direkt durch die andere freie Seite kollabiert.

Schritt 3’: Die zweite Scheibe wird durch R¨ ucksaugen expandiert.

Der letzte Kollaps ist wieder ” derselbe“ wie in der urspr¨ unglichen.

Bevor wir zu einer erheblichen Versch¨ arfung von Satz 2.2.2 kommen, erheben wir das Konstruktionsprinzip im vorangegangenen Beweis zur Definition:

Definition 2.3.3. Wright-Deformation. Ist D eine Deformation zwischen den CW-Komplexen K und L, wird jede h¨ oherdimensionale Zelle jeder Expansion

20

von D auch wieder kollabiert, und l¨ aßt sich mit der im Beweis von Satz 2.2.1 angegebenen R¨ ucksaugemethode aus D eine st¨ uckweise direkte Deformation ˜ D

konstruieren, so nennen wir ˜ D eine zu D geh¨ orende Wright-Deformation.

Die Wortwahl ” eine“ im letzten Satz ist notwendig; denn es ist durchaus m¨ oglich, dass zu einer Deformation verschiedene Wright-Deformationen geh¨ oren. Die R¨ ucksaugevorg¨ ange h¨ angen von Wahlen f¨ ur die Retraktionen ab, die von den Kollapsen repr¨ asentiert werden.

Man kann nat¨ urlich die charakteristischen Abbildungen und Retraktionen so standardisieren, aber das brauchen wir gar nicht. Alles, was wir beweisen wollen, k¨ onnen wir n¨ amlich f¨ ur jedes der Definition 2.3.3 gen¨ ugende Paar (D, ˜ D) beweisen.

Bemerkenswert ist auch die Tatsache, dass eine Deformation nicht unbedingt den Voraussetzungen von Satz 2.2.1 gen¨ ugen muß, damit es eine zu ihr geh¨ orende Wright-Deformation gibt. Zum Beispiel kann die Voraussetzung st¨ uckweise f¨ ur verschiedene Dimensionen und damit nicht mehr in ihrer urspr¨ unglichen Form erf¨ ullt sein.

Wir formulieren jetzt die bereits angek¨ undigte wesentliche Versch¨ arfung von Satz 2.2.2:

Satz 2.3.4. Sei D eine Deformation zwischen den Komplexen K und L, und zu D geh¨ ore die Wright-Deformation ¹ ˜ D. Dann gilt R(D) = R( ˜ D).

Beweis. R(D) ⊂ R( ˜ D): Nehmen wir an, eine Zelle e wird in ˜ D entfernt, geh¨ ort

also nicht zu R(D). Dann ist e entweder eine Zelle, durch die kollabiert wird, oder eine solche, die expandiert und direkt wieder entfernt wird - nur solche Zellen werden in der Konstruktion des Beweises von 2.2.1 kollabiert. Trifft die erste Variante zu, so gibt es die Zelle e auch in D, und sie wird dort kollabiert, geh¨ ort also nicht zu R(D). Trifft die zweite Variante zu, so gibt es die Zelle entweder auch in D, wird aber dann auch dort wieder kollabiert (aus diesem Kollaps folgt n¨ amlich die Konstruktion des Kollapses von e) oder es gibt die Zelle e in D gar nicht, sondern sie wurde aus einer anderen Zelle konstruiert. In beiden letztgenannten F¨ allen geh¨ ort e sicher nicht zu R(D). Die Inklusion folgt durch Kontraposition. R( ˜ D) ⊂ R(D): Wird eine Zelle e durch D entfernt, so ist sie entweder eine Zelle, durch die kollabiert wird - dann wird sie auch durch ˜ D entfernt. Oder

sie wird durch eine Randzelle kollabiert: Dann gibt es die Zelle entweder auch im Verlauf von ˜ D, wo sie dann konstruktionsgem¨ aß durch dieselbe Randzelle kollabiert wird, oder es gibt sie in D erst gar nicht (n¨ amlich dann, wenn sie durch R¨ ucksaugen modifiziert wird). In keinem Fall aber liegt die Zelle in R( ˜ D),

Dieses Ergebnis ist sch¨ arfer als das von Satz 2.2.2. Es gilt auch:

Satz 2.3.5. Sei D eine Deformation zwischen den Komplexen K und L, und zu D geh¨ ore die Wright-Deformation ˜ D. Dann gilt W (D, K) = W ( ˜ D, K).

Beweis. Wegen Satz 1.3.4 und Satz 2.3.4 reicht es aus, wenn wir die Zellen von K betrachten, die entweder den Abschluß einer expandierten oder den Abschluß einer kollabierten Zelle schneiden, aber nicht selbst entfernt werden. Da

¹ womit gleichzeitig mitvorausgesetzt ist, dass D ¨ uberhaupt die Konstruktion einer Wright-Deformation nach dem oben beschriebenen Muster erlaubt.

21

in beiden Deformationen alle expandierten Zellen wieder kollabiert werden und alle kollabierten Zelle im Abschluß einer vorher expandierten Zelle liegen, reicht es aus, wenn wir nur die jeweils h¨ oherdimensionalen Deformationszellen und auch hier nur die Expansionsvorg¨ ange betrachten. Schneidet die Zelle e in D den Abschluß einer solchen Deformationszelle e ^∗ = e, so wird e entweder in D kollabiert und damit auch ˜ insbesondere in ˜ D keine der Zellen, durch die unmittelbar kollabiert wird, und demnach vermittelt e auch keinen Anlaß f¨ ur ein eventuelles R¨ ucksaugen. Derselbe Expansionsschritt, der in D an e vorgenommen wird, wird also auch in ˜

D an e vorgenommen. Umgekehrt sei e eine Zelle von K, die den Abschluss einer e k von ˜ Expansionszelle ˜ D schneidet. Dann schneidet entweder e k selbst e, oder

Teile von e k wurden in e hinein r¨ uckgesaugt. R¨ ucksaugen nach e aber wird nur

22

Kapitel 3

Gruppentheoretische

Hilfsmittel

Wir brauchen f¨ ur die folgenden Kapitel einige Ergebnisse aus der Kombinatorischen Gruppentheorie, die ¨ uber die nackten Grundkenntnisse hinausgehen. Es

handelt sich dabei einerseits um einige kleine Hilfss¨ atze, andererseits um einige echte ” Klassiker“, die wir hier in der f¨ ur diese Arbeit passenden Form darstellen. Begriffe wie ” Freie Gruppe“, ” Freies Produkt“ und ” Pr¨ asentation“ werden dabei

als bekannt vorausgesetzt, sie finden sich nicht nur in den klassischen B¨ uchern uber kombinatorische Gruppentheorie (etwa [18] oder [4]), sondern auch auf sehr ¨

lesenswerte Weise bei Zieschang, Vogt und Coldewey [30].

3.1 Untergruppen freier Gruppen und ihre

Nielsenbasen

Dass jede Untergruppe einer abz¨ ahlbar erzeugten Freien Gruppe wiederum frei ist, sieht man, wenn man ein bisschen Algebraische Topologie investiert, mit einem sehr kurzen Argument: Eine abz¨ ahlbar erzeugte freie Gruppe ist Fundamentalgruppe eines Graphen, eine Untergruppe davon ist wiederum Fundamentalgruppe eines ¨ Uberlagerungsgraphen ¹ und deshalb wieder frei. Allerdings ist dieser Beweis f¨ ur unsere Zwecke nicht allgemein und auch nicht konstruktiv genug. Wir wissen durch ihn zwar, dass f¨ ur jede Freie Gruppe F der von uns betrachteten Art eine Untergruppe G ≤ F stets eine Basis hat, aber wir wissen fast nichts ¨ uber die genaue Gestalt dieser freien Basis von G.

Zur Vorbereitung des Beweises von Satz 3.2.16 betrachten wir uns diese Situation deshalb genauer. Zun¨ achst definieren wir die L¨ ange λ(w) eines Elements w von F als die L¨ ange des reduzierten Wortes zu w in den Erzeugendensymbolen von F (die Summe der Exponentenbetr¨ age). Dann wohlordnen wir die Elemente von F durch eine Relation auf folgende Weise: Wir setzen eine Wohlordnung < auf der Menge der Erzeugenden von F und ihrer Inversen voraus, und zwar eine solche, in der jedes Erzeugendensymbol direkt seinem Inversen benachbart ist. Haben wir nur abz¨ ahlbar viele Erzeugendensymbole, brauchen wir daf¨ ur noch nicht einmal Auswahlaxiom oder Wohlordnungssatz. Die

¹ Man beachte die entsprechende Bemerkung auf Seite 12

23

Wohlordnung der Erzeugendensymbole induziert zusammen mit der Festsetzung λ(v) < λ(w) ⇒ v < w eine lexikographische Wohlordnung < auf der Menge der reduzierten Worte von F . F¨ ur jedes reduzierte Wort w definieren wir die linke H¨ alfte L(w) als das kleinste Anfangsteilwort von w mit 2λ(L(w)) ≥ λ(w) + 1. Wir definieren nun eine Wohlordnung auf der Menge der Paare reduzierter Worte (w, w ⁻¹ ) wie folgt:

(v, v ⁻¹ ) (w, w ⁻¹ ), wenn λ(v) < λ(w). oder, falls λ(v) = λ(w), genau dann,

wenn

1. min(L(v), L(v ⁻¹ )) < min(L(w), L(w ⁻¹ )), falls diese Minima ungleich sind,

oder

2. max(L(v), L(v ⁻¹ )) < max(L(w), L(w ⁻¹ )) sonst.

Man macht sich sofort klar, dass dann, wenn sowohl Maxima als auch Minima ubereinstimmen, auch die Worte ¨ ubereinstimmen, und dass auch diese Wohl¨

ordnung monoton nach der Wortl¨ ange ist. Wir schreiben ab sofort v w, falls (r(v), r(v ⁻¹ )) (r(w), r(w ⁻¹ )), wobei jeweils r(u) das reduzierte Wort von u ist ² .

Dann bilden wir zu jeder Untergruppe G von F die Menge N G aus den reduzierten Worten wie folgt:

E g := Erzeugnis von {g ∈ G : g g} , N G := {g ∈ G : g / ∈ E g }

N G und Worte u, v, w ∈ N G haben f¨ ur jede Wahl von u , , v , , w ∈ {−1, 1} folgende Eigenschaften:

1. N G erzeugt G, und kein Wort von N G repr¨ asentiert die eins.

2. u ^u v ^v = 1 ⇒ λ(u ^u v ^v ) ≥ λ(u), λ(v)

3. u ^u v ^v = 1, v ^v w ^w = 1 ⇒ λ(u ^u v ^v w ^w ) > λ(u) − λ(v) + λ(w).

Das sieht man so: 1: Dass kein Wort von N G die eins repr¨ asentiert, ist unmittelbar klar. Wenn G nicht von N G erzeugt wird, dann sei g das bez¨ uglich kleinste Element von G\N G . Weil alle h ∈ G mit h g in E G liegen, gilt ∈ E g . Aber dann gilt direkt nach der Definition g ∈ N G . Also erzeugt N G g /

die gesamte Untergruppe G. 2: Seien u und v verschiedene Elemente von N G . Wenn f¨ ur eine Wahl von δ, ∈ {−1, 1} im Gegensatz zur Behauptung von 2 jemals λ(u v ^δ ) < λ(u) oder λ(u v ^δ ) < λ(v) gilt, so erhalten wir stets einen Widerspruch: Zum Beispiel folgt mit λ(uv) < λ(u) sofort uv v. Ist nun u v, so sind uv und u Vorg¨ anger von v. Aber dann liegt v im Erzeugnis von uv und u, und das widerspricht der Annahme v ∈ N G . Gilt uv v und v u, so folgt aus der Transitivit¨ at von sofort auch u v, und derselbe Widerspruch wie eben wird erzeugt. Nun zu 3: Wir betrachten ein Tripel u, v, w aus N G . Mit 2 haben wir λ(uv) ≥ λ(u) und λ(vw) ≥ λ(w). Das heißt: Der Teil von v, der in dem Produkt uv die K¨ urzungen verursacht, ist nicht l¨ anger als die erste H¨ alfte von v, und der Teil von v, der in dem Produkt vw die K¨ urzungen verursacht, ist nicht l¨ anger als die zweite H¨ alfte von v. Wir haben also eine reduzierte Darstellung u = ap ⁻¹ , v = pbq ⁻¹ und w = qc, sodass uv = abq ⁻¹ und

² Wir ¨ ubertragen einfach die Wohlordnung auf der Menge der reduzierten Worte auf die von ihnen repr¨ asentierten Elemente der Gruppe.

24

vw = pbc reduzierte Darstellungen sind. Ist b = 1, so folgt mit der reduzierten Darstellung uvw = abc die Behauptung durch Abz¨ ahlen:

λ(uvw) = λ(abc) = λ(a) + λ(b) + λ(c) = λ(u) − λ(v) + λ(c) + λ(b).

Ist allerdings b = 1, so wird eine kompliziertere ¨ Uberlegung n¨ otig: Zun¨ achst

haben wir (weil v nur jeweils h¨ ochstens die H¨ alfte der anderen Faktoren k¨ urzt) λ(p) = λ(q) ≤ λ(w)/2, und wegen v = 1 haben wir auch p = q, also lexikographisch p < q oder q < p. In dem Fall p < q gilt vw = pc qc = w. Wir hatten aber gerade oben bewiesen, dass dies zu einem Widerspruch f¨ uhrt. In dem Fall q < p folgt der analoge Widerspruch mit uv = aq ⁻¹ ap ⁻¹ = v.

Definition 3.1.1. Ein System von Elementen einer Untergruppe einer Freien Gruppe, das bez¨ uglich der Erzeugendensymbole der Freien Gruppe die Bedingungen 1 bis 3 von Seite 24 erf¨ ullt, nennt man Nielsen-System.

F¨ ur Nielsen-Systeme N = {w i , i ∈ I = Indexmenge} gilt mit dem λ von vorhin ^α j ^{α j+1} αj+1 ) ⁻¹ = 1 stets: und W¨ ortern w αj aus N mit w αj (w

Diese Identit¨ at folgt durch eine einfache Induktion. Die Verankerung wird mit den Nielsen-Bedingungen (2) und (3) von Seite 24 erledigt. Kommt zu dem Produkt mit k Faktoren ein zus¨ atzlicher Faktor w αk+1 mit einem Vorzeichen gem¨ aß Voraussetzung hinzu, so wird von diesem h¨ ochstens eine H¨ alfte gek¨ urzt, und die L¨ ange des Produkts verl¨ angert sich echt um mindestens eins. Damit haben wir nun sogar bewiesen, dass G in N G frei ist: W¨ are das n¨ amlich nicht der Fall, dann g¨ abe es in den w j ∈ N G eine echte Relation, also eine Darstellung der eins mit einem Produkt nach (1). Das kann aber nicht sein wegen λ(1) = 0. Also haben wir bewiesen:

Satz 3.1.2. Seien F eine Freie Gruppe und G ≥ F eine Untergruppe. Dann hat G ein Nielsensystem bez¨ uglich der Erzeugendensymbole von F als Basis,

Der hier vorgestellte Beweis ist eine bloße Collage aus geeigneten Abschnitten der Bcher von Lyndon und Schupp [16] und von Zieschang, Vogt und Coldewey [30]. Die Behauptung des Satzes wurde erst 1950 von J´ onsson und Federer in [8] unter Verwendung einer wesentlich komplizierteren Ordnung als der hier angegebenen bewiesen. Nielsen konnte Anfang des Jahrhunderts nur die Version f¨ ur endlich erzeugte Untergruppen zeigen.

3.2 Zentralreihe, Kommutatoren und

h¨ ohere Kommutatoren

Definition 3.2.1. Kommutator, Kommutatorgruppe. Sei G eine Gruppe. Dann nennt man [a, b] := aba ⁻¹ b ⁻¹ den Kommutator von a und b. Die von der Menge {[a, b]|a, b ∈ G} erzeugte Untergruppe von G nennen wir die Kommutatorgruppe von G und bezeichnen sie mit G ⁽¹⁾ oder [G, G].

25

Vorsicht! {[a, b]|a, b ∈ G} ist nicht etwa schon selbst eine Untergruppe von G. Das Produkt [a, b][c, d] ist nicht notwendigerweise ein Kommutator gem¨ aß Definition 3.2.1. Es gilt aber die

Bemerkung 3.2.2. Ist G eine Gruppe, so ist G ⁽¹⁾ ein Normalteiler von G.

Beweis. Weil das Konjugat eines Produkts stets das Produkt von Konjugaten der Faktoren ist, reicht der Nachweis, daß Konjugate von Kommutatoren wieder

Der Kommutatorbegriff kann noch etwas verallgemeinert werden:

Definition 3.2.3. Sei G eine Gruppe, und seine H und K Untergruppen. Dann bezeichnet [H, K] G die von den Produkten hk mit h ∈ H und k ∈ K in G erzeugte Untergruppe. F¨ ur [G, H] G schreiben wir einfach [G, H].

Man sieht sofort:

Bemerkung 3.2.4. Es gilt:

1. Die Definitionen 3.2.1 und 3.2.3 f¨ ur [G, G] sind gleichwertig.

2. Sind H und K Normalteiler in G, so auch [H, K].

Definition 3.2.5. H¨ ohere Kommutatoren. Sei G eine Gruppe. Induktiv setzen wir

G ⁽ⁿ⁾ heißt die n-te Kommutatorgruppe von G.

Definition 3.2.6. Zentralreihe. Sei G eine Gruppe. Durch

erkl¨ aren wir die Zentralreihe (G (n) ) n∈N von G.

Unmittelbar klar ist die

Induktiv zeigt man mit Bemerkung 3.2.4:

Bemerkung 3.2.8. F¨ ur alle n ∈ N sind G (n) und G ⁽ⁿ⁾ ein Normalteiler von

Die Sprache ist etwas uneinheitlich, aber in den meisten F¨ allen meint man, wenn man von ” Kommutatoren“ spricht, nicht mehr die Produkte nach Art der Definition 3.2.1, sondern Elemente der Kommutatorgruppe. So wird es auch in dieser Arbeit sein.

Wir k¨ onnen von einer Gruppe G Quotienten nach Kommutatoren oder Termen der Zentralreihe bilden, weil letztere Normalteiler sind. Wichtig sind dabei vor allem die folgenden:

Definition 3.2.9. Unter der Abelschmachung einer Gruppe G versteht man den Quotienten Ab(G) := G/ G ⁽¹⁾ .

26

Definition 3.2.10. Als den Reidemeisterquotienten einer Gruppe G bezeichnen wir Rei(G) := G/ G (2) .

Die Bezeichnung ” Reidemeister-Quotient“ kommt daher, dass K. Reidemeister ihn in seiner Arbeit [23] einf¨ uhrt.

Der Begriff ” Abelschmachung“ ist gerechtfertigt, weil Ab(G) tats¨ achlich abelsch ist, wie man sich leicht ¨

abelschen Gruppe, die epimorphes Bild von G ist. Man zeigt dar¨ uber hinaus: Die Abelschmachung einer Freien Gruppe ist frei-abelsch mit den Bildern der freien Basis als frei-abelscher Basis. Dagegen macht nach Konstruktion Rei(G) nicht alle Elemente von G miteinander vertauschbar, sondern nur jedes Element von G mit jedem ersten Kommutator. F¨ ur den Reidemeisterquotienten interessieren uns ¨ Aquivalenzen modulo [G,[G,G]]. Solche wollen wir im folgenden mit ∼ ^G (2) bezeichnen.

Bemerkung 3.2.11. In jeder Gruppe G mit Elementen a, b, c gelten folgende Identit¨ aten:

1. [a, b] = [b, a] −1

2. [a, bc] = [a, b][a, c][[a, b], c]

3. [ab, c] = [a, c][[a, c], b][b, c]

4. [ab, c] ∼ ^G (2) [a, c][b, c]

5. [a, bc] ∼ ^G (2) [a, b][a, c]

6. [a, b ^m ] ∼ ^G (2) [a, b] ^m ∼ ^G (2) [a ^m , b]

7. [a ⁻¹ , b ⁻¹ ] ∼ ^G (2) [a, b]

Dabei stammen die Formeln 1 bis 3 von P. Hall und geh¨ oren zu den Witt-Hall-Identit¨ aten, nachzulesen in dem Buch von Magnus, Karass und Solitar [18].

Beweis. Die Hall-Identit¨ aten sind leicht durch einfaches explizites Ausschreiben der Kommutatoren und anschließendes Vereinfachen zu sehen. Dann folgen 4 und 5 direkt aus 2 und 3 und der Reidemeister-Quotientierung des jeweils letzten bzw. mittleren Faktors auf der rechten Seite. Schließlich folgt 6 direkt aus 5, und 7 folgt aus 6.

F¨ ur uns sind besonders Kommutatorgruppen in Freien Gruppen interessant. Wir verwenden dazu den Begriff der Exponentensumme und erinnern daran, dass die Exponentensumme eines Symbols in einem Wort bei freien K¨ urzungen und Erweiterungen erhalten bleibt (denn hier wird jeweils aa ⁻¹ oder a ⁻¹ a hin-

zugef¨ ugt oder entfernt), und dass Exponentensummen bei Multiplikation von W¨ ortern addiert werden. Einfach, aber wichtig ist die

Bemerkung 3.2.12. Sei F eine Freie Gruppe. Elemente von (ggf. h¨ oheren) Kommutatorgruppen oder echten Termen der Zentralreihe von F haben in allen

Insbesondere ver¨ andert sich also die Exponentensumme eines Wortes nicht, wenn es mit einem Kommutator oder Element eines Zentralreihenterms multipliziert wird. Diese Erkenntnis ist wichtig f¨ ur den folgenden

27

Satz 3.2.13. (Reidemeister-Normalformensatz.) Sei F eine freie Gruppe in (gegebenenfalls abz¨ ahlbar vielen) Erzeugenden a, b, c, d, . . .. Dann hat f¨ ur den Reidemeisterquotienten von F jedes Element w von F eine Darstellung

w ∼ ^F (2) a ^ζa b ^ζb c ^ζc d ^ζd · · · [a, b] ^{ζ (a,b)} [a, c] ^{ζ (a,c)} [a, d] ^{ζ (a,d)} · · · [b, c] ^{ζ (b,c)} [b, d] ^{ζ (b,d)} · · ·

(1)

Dabei sind die ζ ganzzahlige Exponenten, die f¨ ur fast alle Ezeugenden und fast alle Kommutatoren verschwinden. Bei vorgegebener Reihenfolge der Erzeugenden alle Exponenten durch w eindeutig bestimmt. Insbesondere hat jedes Element von Rei(F ) dann eine bis auf Reihenfolge der Kommutatorenpotenzen eindeutige Normalform der obigen Gestalt in F .

Beweis. Die Existenz ist verh¨ altnism¨ aßig einfach zu sehen. Man gelangt von dem Produkt u ^u v ^v zu v ^v u ^u durch Multiplikation des ersten mit einem Kom-mutator, der nach der Bemerkung 3.2.11 Reidemeister-¨ aquivalent zu einer Potenz von [u, v] ist. Sukzessive und in endlichen Schritten kann man also modulo F (2) das vorgelegtes Wort w in den Symbolen a, b, c, . . . umordnen: Finden sich in der Darstellung von w irgendwo zwei benachbarte Symbole in der lexikographischen Ordnung widersprechenden Reihenfolge, so geht man durch dortiges Anf¨ ugen eines Kommutators zu der lexikographischen Reihenfolge ¨ uber. Der

Kommutator kann dann nach modulo F (2) an das Ende des Wortes geschoben werden und nach (1) auf Seite 27 modulo F (2) in die Form [x, y] mit lexikographisch sortierten Erzeugenden x, y und = ±1 gebracht werden. Weil sich jede Permutation bekanntlich als Folge von Transpositionen benachbarter Ziffern darstellen l¨ asst, gelangt man nach endlichvielen solcher Schritte modulo F (2) zu einer Darstellung gem¨ aß (1): Modulo F (2) sind Kommutatoren insbesondere mit Kommutatoren vertauschbar, und man darf das Kommutatorprodukt im rechten Teil von (1) tats¨ achlich in der gew¨ unschten lexikographischen Reihenfolge schreiben.

Die Eindeutigkeit in der behaupteten Art ist schon etwas schwieriger zu sehen. Nach der vorangegangenen Bemerkung haben wir sofort die Eindeutigkeit der Erzeugendenexponenten. Diese m¨ ussen gerade die jeweiligen Koeffizientensummen von w sein. Zu zeigen bleibt, dass zwei Normalformen mit verschiedenen Kommutatorexponenten nicht Reidemeister-¨ aquivalent sind. Dar¨ uber schweigt sich Reidemeister in seiner Arbeit [23] ¨ ubrigens selbst aus. Man kann sich auf

mehrerlei Weisen helfen. Die erste Methode (zu finden in Wolfgang Metzlers handschriftlichen Notizen) besteht darin, in den Worten von in F f¨ ur jedes Erzeugendenpaar einen Umordnungsindex zu definieren, der dann schließlich mit den Kommutatorexponenten nach (1) ¨ ubereinstimmt. Es stellt sich auf

kombinatorischem Wege heraus, dass ein Wort mit verschwindender Koeffizientensumme nur dann verschwindende Umordnungsindizes (und damit triviale Normalform) haben kann, wenn es in F (2) liegt.

Ein anderer Weg ist - grob skizziert - folgender: Nach Wegk¨ urzen der bereits als eindeutig erwiesenen Produkte von Erzeugendenpotenzen ist nur noch zu zeigen, dass Produkte von Erzeugendenkommutatoren eindeutige Normalformen haben. Sei etwa ρ die kanonische Projektion von F auf Rei(F ). Man betrachte die von den Erzeugendenkommutatoren erzeugte Untergruppe ∆(F ) von F . Mit einem Nielsen-Argument sieht man, dass die Erzeugendenkommutatoren Teil einer Basis von ∆(F ) sind. Man ¨ uberlegt sich weiter, dass ρ(∆(F )) = Ab(∆(F ))

gilt. Dann aber geh¨ oren die Bilder der Erzeugendenkommutatoren zu einer

28

Basis einer frei-abelschen Untergruppe von Rei(F ), und die Behauptung ist

Bemerkung 3.2.14. Sei F eine freie Gruppe, 1 = W ein in den Erzeugendensymbolen von F reduziertes Wort, dessen Exponentensumme f¨ ur jedes Symbol verschwindet. Dann gibt es mindestens zwei Erzeugendensymbole von F , die in W je mindestens zweimal echt vorkommen. Mit anderen Worten: Jedes nichttriviale Element von F mit verschwindender Exponentensumme hat mindestens die L¨ ange vier.

Beweis. Da W = 1 vorausgesetzt ist, ist W insbesondere nicht leer, und mindestens ein Symbol a kommt in W echt vor. Weil die Exponentensumme σ W (a) von a verschwindet, also insbesondere σ W (a) = −1, 1, muss a aber mindestens zweimal in W vorkommen. Ist a das einzige in W vorkommende Symbol, so gilt W = a σW ^(a) = a ⁰ = 1, also muss auch ein zweites Symbol b in W echt vorkommen. Auch b muss mit demselben Argument wie eben schon a aber mindestens

Weil jede Exponentensumme eines Elementarkommutators Null ist, sieht man damit sofort das

Korollar 3.2.15. In einer Freien Gruppe F hat jedes nichttriviale Element von

Wir k¨ onnen nun ein grunds¨ atzliches Resultat ¨ uber Kommutatoren in freien Gruppen zeigen:

Satz 3.2.16. Sei F eine nichtabelsche freie Gruppe. Dann bricht die Kette

F ⊃ F ⁽¹⁾ ⊃ · · · ⊃ F ⁽ⁿ⁾ ⊃ F ⁽ⁿ⁺¹⁾ ⊃ . . . (2)

nicht ab, und alle Inklusionen sind echt. Außerdem ist der Schnitt ¨ uber alle Kommutatorstufen trivial, in Zeichen:

Der zweite Teil des Satzes ist bereits 1937 von Wilhelm Magnus in [17] bewiesen worden. Seine Mittel sind relativ kompliziert. Eine der Grundideen ist aber schon hier eine Wortl¨ angenabsch¨ atzung. Magnus hat noch nicht den Satz 3.1.2 zur Verf¨ ugung. Einen schon etwas einfacheren Beweis f¨ ur (3) lieferte ein Jahr nach dem Ergebnis von Federer und J´ onsson der japanische Mathematiker Mutuo Takahashi, der in seiner Arbeit [26] noch ein wesentlich allgemeineres Ergebnis ¨ uber den Schnitt ¨ uber alle Glieder gewisser absteigender Unterguppenfolgen von freien Gruppen gewinnt. Die bisher getroffenen Vorbereitungen, insbesondere Satz 3.1.2 und Korollar 3.2.15, verschaffen uns aber einen vor dem Hintergrund der eben gerade skizzierten Geschichte ¨ uberraschend kurzen ” neuen“ Beweis von Satz 3.2.16. Induktiv zeigen wir:

∀n ∈ N : 1 = W ∈ F ⁽ⁿ⁾ ⇒ λ(w) ≥ 2n. (4)

F¨ ur n = 1 ist diese Behauptung sicher richtig, und wir setzen induktiv voraus, dass sie f¨ ur n ∈ N bewiesen ist. Insbesondere gilt dann λ(w) ≥ n f¨ ur alle w aus

29

der gem¨ aß Satz 3.1.2 vorhandenen Nielsenbasis N F (n) , und F ⁽ⁿ⁾ ist frei in N F (n) . Ein nichttriviales Element W von F ⁽ⁿ⁺¹⁾ hat in den w i ∈ N F (n) nach Korollar 3.2.15 mindestens die L¨ ange vier, ist also ein Produkt nach (1) auf Seite 25 mit einem k ≥ 4. Es folgt

λ(W ) ≥ λ(w i ) + 4 − 2 ≥ 2n + 2 = 2(n + 1).

Wenn nun ein in den Symbolen von F gek¨ urztes Wort W nichttrivial ist, hat

es eine endliche L¨ ange λ(W ), aus (4) folgt sofort, dass W / insbesondere liegt W auch nicht im Schnitt ¨ uber alle Kommutatorstufen. Da W beliebig war, ist Teil (3) gezeigt.

Zu zeigen ist noch, dass keine Stufe trivial wird und die Inklusionenkette echt ist.

Das erste sieht man induktiv: Alle Gruppen der Kette sind frei, und die Kommu-tatoruntergruppe einer Gruppe ist genau dann trivial, wenn die Gruppe selbst abelsch ist. Wir sind also fertig, wenn wir zeigen, dass jedes F ⁽ⁿ⁾ nichtabelsch ist. F¨ ur n = 0 ist das vorausgesetzt. Gilt es f¨ ur F ⁽ⁿ⁾ , so hat F ⁽ⁿ⁾ eine Basis mit mindestens zwei verschiedenen Symbolen a und b; denn sonst ist F ⁽ⁿ⁾ zyklisch und damit auch abelsch. Nun ist aber [a, b][a, b ⁻¹ ] = [a, b ⁻¹ ][a, b]. Also ist auch F ⁽ⁿ⁺¹⁾ = (F ⁽ⁿ⁾ ) ⁽¹⁾ nicht abelsch, und die Induktion ist erledigt. Das zweite folgt so: Man w¨ ahle in N F (n) ein Element m mit minimaler L¨ ange.

Dann folgt aus Korollar 3.2.15 und (1) sofort, dass m nicht in N F (n+1) liegt. Einen sch¨ onen ebenfalls ” einfachen“ Beweis des Satzes hat Jens Harlander ge-funden. Dieser Beweis arbeitet dann mit einem ¨

einer Homologie¨ uberlegung, der Schluss wird aber auch hier mit einem L¨ angenargument gebracht.

Sp¨ ater im Beweis der S¨ atze 6.1.2 und 6.2.1 betrachten wir h¨ ohere Kommutatoren von Relatorengruppen. Dabei wird uns folgende Aussage entscheidend helfen:

Lemma 3.2.17. Sei die endliche Pr¨ asentation Q = a 1 , . . ., a g |S 1 , . . ., S l ge- geben, und der normale Abschluß der S i werde mit N bezeichnet. Es sei n ≥ 1. Dann ist jedes Element von N ⁽ⁿ⁾ ein Produkt von Kommutatoren einfacher Konjugate der S ±1 stalt [g v S ^±1 v , g r S ^±1 j g

⁻¹ Beweis. Entscheidend ist die f¨ ur beliebige Worte g¨ ultige Identit¨ at

[AB, C] = A[B, C][C, A ⁻¹ ]A ⁻¹ , (5)

die man durch einfaches Nachrechnen sieht. Eine analoge Formel hat man f¨ ur ein Produkt [A, BC]. Ist nun W ein Wort in N ⁽ⁿ⁾ , so ist W insbesondere in N ⁽¹⁾ und hat deshalb eine Darstellung als Produkt von Faktoren der Gestalt

[a 1 R ^±1 j1 a ⁻¹ 1 · · · a l R ^±1 jl a ⁻¹ l , b 1 R ^±1 k1 b ⁻¹ 1 · · · b h R ^±1 kh b ⁻¹ h ],

wobei die a und b Worte in den Erzeugenden der Pr¨ asentation sind. Mit (5) k¨ onnen wir die Konjugate der Relatoren in den Klammern sukzessive auf verschiedene Kommutatorklammern aufteilen. Bei jedem solchen Schritt ziehen wir die Konjugatoren A aus (5) wie im Beweis von Bemerkung 3.2.2 in die Klammern hinein und ver¨ andern damit nicht die Anzahl der Konjugate, sondern nur die Konjugatoren. Mit diesem Verfahren gewinnen wir die behauptete Darstellung.

30

Lemma 3.2.18. [a, b] liegt sowohl im normalen Abschluß von a als auch in dem von b.

Beweis. Man schreibt einfach die Formel aus: [a, b] = aba ⁻¹ b ⁻¹ . Die ersten

drei Faktoren sind ein Konjugat von b, die letzten drei Faktoren ein inverses

3.3 Freie Produkte

Satz 3.3.1. Normalformensatz f¨ ur freie Produkte ohne Amalgam. F¨ ur jedes Paar von Gruppen G und H gibt es Einbettungen i G : G → G ∗ H und i H : H → G ∗ H. Damit k¨ onnen G und H als Untergruppen des Produkts angesehen werden. Bei Identifikation der Elemente von G und H mit ihren Bildern im Produkt gilt dann: Ist in G ∗ H ein Wort g 1 h 1 g 2 h 2 · · · g l h k mit stets g i ∈ G und h i ∈ H die Gruppeneins, so schon mindestens einer der Faktoren in der Gruppe, aus der er stammt. Insbesondere repr¨ asentiert ein Wort W in den Erzeugenden

Der Beweis ist eines der klassischen Ergebnisse der kombinatorischen Gruppen-theorie. Das Standardargument stammt von B. L. van der Waerden [28] und arbeitet etwa folgendermaßen: Wenn man alle alterniernden Worte in den Elementen der beiden Gruppen ³ Normalformen nennt - alternierend ist ein Wort dann, wenn benachbarte Buchstaben aus verschiedenen Gruppen stammenkann man beweisen, dass es injektive Homomorphismen von G und H in die Symmetrische Gruppe ¨ uber den Normalformen gibt, und dass sich diese beiden Homomorphismen zu einem gemeinsamen auf dem Produkt fortsetzen lassen. Man findet diesen Beweis etwa in den B¨ uchern von Zieschang, Vogt und Coldewey [30], oder Cohen [4]. Der Beweis funktioniert auch dann noch, wenn man ihn in Produkten mit Amalgam f¨ uhrt. Normalformen sind dann nicht mehr einfach alternierende Worte, sondern solche, in denen alle Buchstaben außer dem ersten Nebenklassenrepr¨ asentanten bez¨ uglich der gemeinsamen Untergruppe der Faktoren (des Amalgams) sind und der erste aus dem Amalgam selbst stammt. Eine andere Beweismethode verl¨ auft geometrisch mit van-Kampen-Diagrammen. Sie stammt mutmaßlich von W. A. Bogley. In Frankfurt hat sie Jens Harlander im Rahmen seiner Vorlesung ¨ uber Kombinatorische Gruppentheorie im Som-

mersemester 2000 pr¨ asentiert, allerdings nicht f¨ ur freie Produkte, sondern f¨ ur HNN-Erweiterungen.

3.4 Der Freiheitssatz

Besonders wichtig f¨ ur unseren Zusammenhang ist der Freiheitssatz von Magnus. Er wird f¨ ur den Beweis von Satz 6.1.2 und f¨ ur den von 6.3.2 entscheidend ben¨ otigt:

Satz 3.4.1. Sei die Gruppe G durch P = a 1 , . . . , a k |R pr¨ asentiert, sei R bereits zyklisch gek¨ urzt, und a k komme in R echt vor. Dann ist die von den a i ,

³ Man beachte die Formulierung: In den Elementen, nicht etwa in den Erzeugenden.

31

Es w¨ urde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, hier den Beweis des Satzes anzugeben. Die Originalarbeit von Magnus [15] stammt aus dem Jahr 1930 und geht auf eine Vermutung von Max Dehn zur¨ uck. Der wohl inzwischen ¨ ubliche

Beweis, den zum Beispiel Zieschang, Vogt und Coldewey in [30] pr¨ asentieren, erledigt gleich noch eine leichte Verallgemeinerung f¨ ur sogenannte ” staggered

presentations“ mit. Bedeutend f¨ ur unseren Zusammenhang ist ein Korollar, das ebenfalls in Magnus’ Originalarbeit schon bewiesen wird:

Korollar 3.4.2. Erzeugen in der freien Gruppe a 1 , . . . , a k zwei Worte R und S jeweils denselben normalen Abschluß, so ist das eine Konjugat des anderen.

Der Beweis des Korollars ist auf zweierlei Wegen m¨ oglich. Der erste besteht darin, es unabh¨ angig vom Freiheitssatz, aber mit der Beweismethode des Freiheitssatzes zu beweisen, der zweite darin, die Behauptung tats¨ achlich aus dem

Freiheitssatz zu folgern, was dann auch die Bezeichnung ” In der Wahl dieses Weges unterscheiden sich ¨ ubrigens die Beweise von Zieschang,

Vogt, Coldewey auf der einen und Magnus selbst auf der anderen Seite.

32

Kapitel 4

Einfacher Homotopietyp

und Algebra

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Ergebnisse ¨ uber den Zusammenhang

zwischen dem einfachen Homotopietyp von 2-Komplexen und der Kombinatorischen Gruppentheorie bereitgestellt. Die Wiedergabe von Beweisen ist nicht immer m¨ oglich; diese finden sich aber stets in [12].

4.1 CW-Komplexe und Fundamentalgruppe

Eines der wichtigsten Fakten in der Homotopietheorie der CW-Komplexe besteht darin, dass sich die Fundamentalgruppe eines Komplexes aus ihm ablesen l¨ asst. Wie das funktioniert, wollen wir hier skizzieren, aber f¨ ur den rigorosen Beweis daf¨ ur, dass es auch tats¨ achlich so funktioniert, sind weitergehende ¨ Uberlegungen n¨ otig, auf die jeweils entsprechend verwiesen wird. Hier also das etwas ausgeschm¨ uckte Kochrezept:

4.1.1 Herauslesen der Fundamentalgruppe

Wir starten mit einem wegzusammenh¨ angenden endlichen CW-Komplex K. Wie man etwa in dem Buch von St¨ ocker und Zieschang [25] nachlesen kann, gilt:

π 1 (K) = π 1 (K ² ).

Es gilt sogar allgemein π n (K) = π n (K ⁿ⁺¹ ). Die entscheidende Hilfe zu dieser Einsicht ist die Technik des ” Freimachens durch Deformationen“, die man

in [25] sehr sch¨ on beschrieben bekommt. Es reicht also f¨ ur den Fall der Fundamentalgruppe v¨ ollig aus, CW-2-Komplexe zu betrachten. Mit der Technik des Freimachens sieht man zus¨ atzlich, dass, lax formuliert, die Erzeugenden von π n (K) sogar schon in K ⁿ zu finden sind. Mathematisch korrekt formuliert finden wir:

Der Homomorphismus i # : π n (K ⁿ ) → π n (K ⁿ⁺¹ ) = π n (K) ist surjektiv. (Dabei ist i die Inklusion.)

33

Damit ist der Weg zum Auffinden der Fundamentalgruppenerzeugenden eines CW-Komplexes aber vorgegeben: Im 1-Ger¨ ust suchen wir einen aufspannenden Baum B K (das ist ein Teilgraph, der keine nichttrivialen geschlossenen Kantenwege, aber alle Ecken von K enth¨ alt). Dass es diesen immer gibt, macht man sich entweder selbst klar, oder man liest es im ersten Kapitel des Buches von Zieschang, Vogt und Coldewey [30] nach. Ebenso vergewissert man sich, dass die Anzahl der nicht in B K liegenden Kanten nur von K, nicht aber von dem gew¨ ahlten Baum B K abh¨ angt. Das liegt daran, dass ein jeder solcher Baum maximaler Teilgraph mit der Eigenschaft ist, keine geschlossenen Kantenwege zu beinhalten. Man hat:

Jede der Kanten von K − B K repr¨ asentiert einen nichttrivialen geschlossenen Weg in K ¹ , und geschlossene Wege, die von verschiedenen Kanten repr¨ asentiert werden, sind auch nicht homotop.

Schließlich ist jeder nichttriviale geschlossene Weg in K ¹ homotop zu einer Sum-

me von Kantenwegen (Die Summe zweier Wege ist der ¨ Alle bisherigen ¨ Uberlegungen gelten unabh¨ angig von der Wahl einer Ecke als Basispunkt, weil B K alle Ecken enth¨ alt. B K ist nicht nur zusammenziehbar, sondern (weil Baum und endlich) sogar auf jeden seiner Punkte kollabierbar. Man findet mit den Lemmata 1.2.8 und 1.2.9:

K ¹ ist einfach homotopie¨ aquivalent zu einer Einpunktvereinigung von k Kreislinien, wobei k die Anzahl der nicht zu B K geh¨ orenden Kanten von K ist.

Bildlich kann man sich das so vorstellen, dass man B K in K zusammenzieht. Insbesondere ¨ andert sich der Homotopietyp des Komplexes nicht, wenn die alle R¨ ander der ¨ ubrigen Zellen oberhalb des 1-Ger¨ usts dort, wo sie eigentlich irgendwo in B K liegen, in einen Punkt geklebt werden. Aus dem Satz von Seifert und van Kampen und der Tatsache π 1 (S ¹ ) ∼ = Z folgt dann sofort:

Die Fundamentalgruppe von K ¹ ist frei vom Rang k.

Wegen π 1 (K) = i # (K ¹ ) ist die Fundamentalgruppe von K also ein Quotient der Freien Gruppe in k Erzeugenden, wir k¨ onnen das gefundene Erzeugendensystem mit den Kanten von K\B K identifizieren und durch Betrachtung des 2-Ger¨ ustes von K zur Konstruktion einer Pr¨ asentation von π 1 (K) verwenden. Wir starten mit der Pr¨ asentation, die nur aus den eben festgelegten Erzeugenden besteht. Wir betrachten nun eine Scheibe e ² in K. Das Bild ihres Randes unter der charakteristischen Abbildung definiert einen geschlossenen Weg γ in K ¹ . Da wir γ in der offensichtlichen Weise auf den Mittelpunkt der Scheibe zusammenziehen k¨ onnen, ist γ nullhomotop in K. Andererseits ist γ ein geschlossener Weg in K ¹ und damit homotop zu einem geschlossenen Kantenweg. Bildlich:

Man gibt jeder Kante aus K\B K und dem Rand von e ² jeweils eine Orientierung, beginnt einen Umlauf von ∂e ² an einer Ecke und z¨ ahlt jede volle Durchlaufung jeder Kante im Komplement von B K . So ergibt sich ein Wort in den Kanten als Symbolen, und dieses repr¨ asentiert wiederum einen geschlossenen Weg in K ¹ , der nicht notwendigerweise in K ¹ , wohl aber in K nullhomotop ist. Dieses Wort - es ist ja eines in den von uns gew¨ ahlten Erzeugenden von π 1 (K ¹ ) - f¨ ugen wir nun als Relation an unsere Pr¨ asentation an.

34

Dasselbe Verfahren wenden wir auf jede einzelne Scheibe von K an. Am Ende dieses Verfahrens gelangen wir zu einer Pr¨ asentation, in der f¨ ur jede Kante von K\B K ein Erzeugendensymbol und f¨ ur jede Scheibe von K ein Relatorwort in diesen Erzeugendensymbolen vorhanden ist. Diese Pr¨ asentation beschreibt tats¨ achlich die Fundamentalgruppe von K. Um das zu sehen, muss man sich uberlegen: Jeder geschlossene Weg in K ¹ , der nicht schon dort nullfolgendes ¨

homotop ist, kann es in K nur unter Zuhilfenahme der Scheiben werden. Eine Scheibe f¨ ur sich allein kann aber keinen Wege nullhomotop machen, der echt k¨ urzer als ihr Rand ist, sondern, genauer, nur diesen Randweg, sein Inverses und seine Konjugate. Also wird ein in K ¹ nichtnullhomotoper geschlossener Weg in K nur dann nullhomotop, wenn er dort Produkt von Konjugaten der Randwege ist. ¨ Ubersetzt in die algebraische Sprache heißt das, dass die Homotopieklasse dieses Weges im normalen Abschluß der durch Randwege definierten Klassen liegt.

F¨ ur jeden 2-Komplex K ² bezeichnen wir die nach diesem Verfahren ausgelesene Pr¨ asentation mit Φ(K ² ). Allerdings h¨ angt Φ(K ² ) durchaus nicht nur von K ² , sondern zum Beispiel auch von dem gew¨ ahlten Baum ab. Das ist aber kein echtes Problem, wie sich gleich herausstellen wird.

4.1.2 Standardkomplexe

Das Prinzip des Herauslesens von Pr¨ asentationen aus Komplexen k¨ onnen wir umdrehen. Zu einer vorgegebenen endlichen Pr¨ asentation P bilden wir einen sogenannten Standardkomplex K P , der die Pr¨ asentation topologisch realisiert: K P hat eine Ecke, und jedem Erzeugenden aus P lassen wir eine Kante entsprechen. Jedes Relatorwort R von P bestimmt eine Scheibe, deren Rand einfach die den Buchstaben von R entsprechenden Kanten der Reihe nach abl¨ auft. Weil keine Wahl eines aufspannenden Baumes von K P eine echte Kante enthalten kann, ist auf einen Schlag klar, dass die aus K P abgelesene Pr¨ asentation bis auf Permutation von Erzeugenden sowie Permutation und Konjugation von Relatoren gerade wieder P ist.

Allerdings bestimmt nicht etwa die pr¨ asentierte Gruppe den Homotopietyp des Komplexes: Schon die einfache Hinzunahme einer Folgerelation ver¨ andert den Homotopietyp:

Bemerkung 4.1.1. Der Standardkomplex zu a, b|a, b ist zusammenziehbar, der

Diese Entsprechung erm¨ oglicht uns unter anderem, den Begriff der Eulercharakteristik nunmehr auf Pr¨ asentationen zu ¨ ubertragen.

Definition 4.1.2. Unter der Eulercharakteristik χ(P) einer endlichen Pr¨ asentation P verstehen wir die Eulercharakteristik des zu P geh¨ orenden Standardkomplexes K P .

Aus dem Konstruktionsprinzip f¨ ur den Standardkomplex und Satz 1.1.7 folgt sofort:

Schließlich erhalten wir den

Satz 4.1.4. Folgende Eigenschaften eines kompakten, zusammenh¨ angenden und einfach zusammenh¨ angenden CW-2-Komplexes sind ¨ aquivalent:

35

1. |K| ist zusammenziehbar

2. χ(|K|) = 1

3. H 2 (|K|) ist trivial

4. Jede aus K ausgelesene Pr¨ asentation ist balanciert (Die Anzahl der Erzeugenden ist gleich der der Relatoren).

4.2 Q- und Q ∗∗ -Transformationen

Die Beweise zu den in diesem Abschnitt zitierten S¨ atzen sind sehr verk¨ urzt. Vollst¨ andig sind sie in [12] zu finden.

Satz 4.2.1. An einer endlichen Pr¨ asentation P = (a i ) i∈I |(R j ) j∈J ¨ andern folgende Operationen nicht den einfachen Homotopietyp des jeweils dazugeh¨ origen Standardkomplexes und deshalb schon gar nicht den Isomorphietyp der pr¨ asentierten Fundamentalgruppe:

1. Ersetzen eines Relators durch eines seiner Konjugate in den Erzeugenden: R → wRw −1

2. Ersetzen eines Relators durch sein Inverses: R → R −1

3. Ersetzen eines Relators durch sein Produkt mit einem anderen Relator:

. . . R i , R j · · · → . . . R i R k , R j , . . . i = k

Beweis. (Idee): Jeder der drei Schritte wird durch eine 3-Expansion und einen direkt darauffolgenden 3-Kollaps im Standardkomplex bewirkt: Die jeweils beiden beteiligten Scheiben k¨ onnen als freie Seiten fungieren, weil es eventuell

Definition 4.2.2. Operationen nach Satz 4.2.1 nennen wir Q-Operationen.

Die eben vorgestellten Operationen sind offenbar invertierbar. Damit definiert Gegenseitige ¨ das Kriterium ” Uberf¨ uhrbarkeit durch endlichviele Q-Operationen“ eine ¨ Aquivalenzrelation und eine Unterteilung der Pr¨ asentationen in Klassen.

Satz 4.2.3. Auch folgende Operationen an P = (a i ) i∈I |(R j ) j∈J ¨ andern weder den einfachen Homotopietyp der dazugeh¨ origen Standardkomplexe noch den Isomorphietyp der pr¨ asentierten Gruppe:

1. In allen Relatoren wird a i ersetzt durch

(a) a ⁻¹ i

(b) a i a k mit einem k = i

(c) a k a i mit einem k = i

2. Die Pr¨ asentation wir durch einen zus¨ atzlichen Erzeuger a und den Re-lator R = a erg¨ anzt (Verl¨ angern), oder, falls m¨ oglich, die dazu inverse Operation wird durchgef¨ uhrt (K¨ urzen).

36

Beweis. (Nur die Idee): Zun¨ achst expandiert man an den Kanten a i und a ^k eine Scheibe mit neuer freier Kante a i . F¨ ur jede Scheibe R j des Komplexes

ersetzt man mittels einer 3-Deformation nach Lemma 1.2.8 jeden Abschnitt von ∂R j in a i durch a i a k . Nachdem man das mit allen Scheiben gemacht hat, ist a i eine freie Seite und wird nach Einstechen durch a

Definition 4.2.4. Die Operationen nach 4.2.1 und 1 zusammen nennen wir Q ^∗ -Operationen, kommen auch noch solche nach 2 hinzu, sprechen wir von Q ^∗∗ -Operationen.

Alle gerade eingef¨ uhrten Operationstypen definieren ¨ Aquivalenzen unter den

Pr¨ asentationen. Schon Bemerkung 4.1.1 zeigt, dass es immer Pr¨ asentationen einer Gruppe gibt, die nicht Q ^∗∗ -¨ aquivalent sind. In seiner Habilitationsarbeit

[19] bewies Wolfgang Metzler den viel sch¨ arferen Satz, dass es sogar Paare von Q ^∗∗ -, aber nicht Q-¨ aquivalenten Pr¨ asentationen gibt. (Metzlers Beispiel ist ein Pr¨ asentationenpaar von Z 2 × Z 5 .)

Wir wissen also nun, dass die Q ^∗∗ -Transformationen in den Pr¨ asentationen

durch 3-Deformationen erreicht werden k¨ onnen. Dass auch die Umkehrung richtig ist, steckt in dem folgenden Satz, den wir hier nur nach [12] zitieren k¨ onnen. Zum Beweis braucht man mehrere Lemmata, unter anderem Satz 2.2.1.

Satz 4.2.5. Die Zuordnung K ² → Φ(K ² ) induziert eine Bijektion zwischen den 3-Deformationsklassen von zusammenh¨ angenden endlichen 2-Komplexen und den Q ^∗∗ -Klassen von endlichen Pr¨ asentationen.

Korollar 4.2.6. Sei K ein zusammenh¨ angender endlicher CW-2-Komplex, und Φ(K) sei eine aus K ausgelesene Pr¨ asentation der Fundamentalgruppe. Dann ³ gilt K

4.3 Stabile Relatorenteilmengen

Nachdem wir in Kapitel 1 bereits stabile Teilkomplexe betrachtet haben, liegt es nahe, nun auch stabile Teilkomplexe von Pr¨ asentations-Standardkomplexen zu betrachten und den geometrisch-topologischen Stabilit¨ atsbegriff auch in die Terminologie der Q ^∗∗ -Transformationen zu ¨ uberf¨ uhren. Das ist aber nicht

ganz unproblematisch! In den Transformationen nach Satz 4.2.3 bleiben in der Pr¨ asentation Erzeugendensymbole erhalten, w¨ ahrend im Standardkomplex die entsprechenden Kanten kollabiert werden. Immerhin wird bei diesem Vorgang eine Scheibe des Standardkomplexes nur dann kollabiert, wenn auch das zu ihr geh¨ orende Relatorwort ge¨ andert wird. Bei Q-Transformationen werden im Standardkomplex erkennbar nur dann an einer Scheibe Ver¨ anderungen vorgenommen, wenn der zugeh¨ orige Relator in der Pr¨ asentation eine Ver¨ anderung erf¨ ahrt. Außerdem werden Kanten nur dann kollabiert, wenn auch Scheiben ge¨ andert werden. Wir haben also:

Satz 4.3.1. Ein Relator R wird durch eine Q ^∗∗ -Operation genau dann ge¨ andert,

wenn in der entsprechenden 3-Deformation von Standardkomplexen die zu R

37

Und schon macht folgende Definition Sinn:

Definition 4.3.2. Sei R eine Teilmenge der Relatorenmenge in einer Pr¨ asentation P. Eine Q ^∗∗ -Transformation D an P heißt eine Q ^∗∗ -Transformation relativ R, wenn kein Relator aus R durch D ver¨ andert wird.

Die Symmetrie stabiler Teilkomplexe hat in der Q ^∗∗ -Sprache folgende Formu-

lierung:

Lemma 4.3.3. Sei R eine Teilmenge von Relatoren einer Pr¨ asentation P. Eine Q ^∗∗ -Transformation D an P ist genau dann eine Transformation relativ R,

wenn es auch die zu D inverse Transformation ist.

Beweis. Das Lemma folgt direkt durch die Betrachtung jedes einzelnen Defor-

Eine genaue Betrachtung stabiler Erzeugendenteilmengen ist f¨ ur unseren Zusammenhang entbehrlich. Unser Augenmerk zu stabilen Teilen von Pr¨ asentationen richtet sich sp¨ ater f¨ ur die Versch¨ arfung von Satz 6.1.2 auf Q-Transformationen. Q-Transformationen zu tun haben.

38

Kapitel 5

Die großen offenen Fragen

Man kann sagen, dass in der Mitte der sechziger Jahre die Theorie des Einfachen Homotopietyps an einen Wendepunkt gelangte. In dieser Zeit wurden entscheidende Ergebnisse erzielt, aber vor allem auch einige Probleme formuliert, die bis heute einer L¨ osung harren. Auch die Themen dieser Diplomarbeit kommen direkt aus der Arbeit an diesen großen offenen Fragen.

5.1 Das Wall-Ergebnis

Es liegt nahe, danach zu fragen, ob man f¨ ur zwei Komplexe K und L aus dem Vorhandensein einer sh- ¨ Aquivalenz allgemein die Existenz einer dimensionsm¨ aßig beschr¨ ankten sh- ¨ Aquivalenz folgern kann, etwa so, dass die Dimensionsbeschr¨ ankung der Deformation nur von den Dimensionen der Komplexe abh¨ angt. In seiner Arbeit ” Formal deformations“ [27] beweist C. T. C. Wall dazu den fundamentalen

Satz 5.1.1. Seien K und L zwei endliche, zusammenh¨ angende CW-Komplexe mit dem gemeinsamen Teilkomplex K 0 , und sie seien sh-¨ aquivalent relativ K 0 . Es sei

m = max dim(K\K 0 ) + 1, dim(K\K 0 ) + 1, 4 .

Den Beweis k¨ onnen wir hier nicht ausf¨ uhren, auch nicht skizzieren. Wall bemerkt in seiner Arbeit, was an diesem Satz trotz all seiner Sch¨ onheit unbefriedigend ist: das Vorkommen der Zahl 4. Wall kann also insbesondere nicht beweisen, dass zwei sh-¨ aquivalente CW-2-Komplexe stets sh-3-¨ aquivalent sind.

5.2 Offene Fragen

5.2.1 Die Andrews-Curtis-Vermutung

und ihre Verallgemeinerungen

Fast zeitgleich mit Wall ver¨ offentlichten Andrews und Curtis ihre Arbeit ” Free

groups and handlebodies“ [2]. Darin untersuchen sie regul¨ are Umgebungen zwei-

39

dimensionaler Komplexe in kombinatorischen 5-Mannigfaltigkeiten und gelangen dabei w¨ ortlich zu folgender Vermutung:

Vermutung 5.2.1. Andrews, Curtis 1965. Ist F frei in x 1 , . . . , x n , und der normale Abschluß von r 1 , . . ., r n ist F , dann k¨ onnen die r 1 , . . ., r n durch eine Folge der Operationen der Typen (i) bis (iv) in x 1 , . . . , x n ¨ uberf¨ uhrt werden.

Unter den ” Operationen der Typen (i) bis (iv)“ verstehen Andrews und Curtis genau die im Kapitel 4 dargestellten Q-Transformationen. Wenn diese Vermutung stimmt, dann folgt durch nachfolgendes K¨ urzen an der erhaltenen Pr¨ asentation sofort die G¨ ultigkeit von

Vermutung 5.2.2. (AC). Eine jede balancierte Pr¨ asentation der trivialen Gruppe ist Q ^∗∗ -¨ aquivalent zu der trivialen Pr¨ asentation. — Gleichwertig: Je zwei balancierte Pr¨ asentationen der trivialen Gruppe sind Q ^∗∗ -¨ aquivalent.

Offensichtlich ist Vermutung 5.2.2 etwas schw¨ acher als Vermutung 5.2.1. Die etwas schw¨ achere Formulierung findet sich ebenfalls schon in [2]. Sie ist in aller Regel gemeint, wenn man von der Andrews-Curtis-Vermutung spricht. Nach den S¨ atzen 4.1.4 und 4.2.5 ist sie ¨ aquivalent zu:

Vermutung 5.2.3. Je zwei zusammenziehbare endliche CW-2-Komplexe sind sh-3-¨ aquivalent.

Zusammenziehbare endliche CW-2-Komplexe sind, wie wir aus Satz 1.2.6 wissen, jedenfalls stets einfach homotopie¨ aquivalent. Aus der Kombination von Satz 4.2.5 und Satz 1.2.5 folgt die Existenz nichttrivialer Gruppen mit nicht-Q ^∗∗ -

¨ aquivalenten endlichen Pr¨ asentationen, deren Standardkomplexe nicht einfach-, wohl aber homotopie¨ aquivalent sind. Weil die Eulercharakteristik aber eine Invariante des Homotopietyps ist, haben diese beiden Q ^∗∗ -verschiedenen Pr¨ asen-tationen sogar dieselbe Eulercharakteristik.

Die folgende geometrisch-topologische Verallgemeinerung von (AC) ist vielleicht die, in der die Andrews-Curtis-Vermutung am bekanntesten ist: Vermutung 5.2.4. (AC ). Sind die endlichen zusammenh¨ angenden CW-2-

Komplexe K und L einfach homotopie¨ aquivalent, dann sind sie sogar sh-3- ¨aquivalent. Oder in Zeichen:

5.2.4 erlaubt auch eine relative Formulierung. Diese ist praktisch der Satz von Wall ohne Auftauchen der 4, wie wir nachher beim Beweis von Satz 5.3.2 sehen:

Vermutung 5.2.5. Sind die endlichen zusammenh¨ angenden CW-2-Komplexe K und L einfach homotopie¨ aquivalent relativ des Teilkomplexes K 0 , dann sind sie sogar sh-3-¨ aquivalent relativ K 0 .

Alle diese Vermutungen sind bislang, also seit gut 30 Jahren, nicht bewiesen, man h¨ alt sie inzwischen f¨ ur falsch — es gibt sogar ” Gegenbeispiele“, von denen man ” nur“ noch beweisen muß, dass sie auch wirklich welche sind. Man weiß zum Beispiel, dass folgende Pr¨ asentationen die triviale Gruppe beschreiben. a, b, c|c ⁻¹ bcb−2, a ⁻¹ cac ⁻² , b ⁻¹ aba −2

40

Die Tatsache, dass diese Pr¨ asentationen die triviale Gruppe beschreiben, ¨ ubernimmt man jeweils (in dieser Reihenfolge) aus den Quellen von Rapaport [22], Crowell und Fox [6] und Akbulut und Kirby [1]. Was man seit Jahrzehnten nicht hat, sind Q ^∗∗ − ¨

Aquivalenzen zur trivialen Pr¨ asentation, die es ja geben m¨ usste, wenn Vermutung 5.2.2 tats¨ achlich stimmen sollte. Also: ” tung ist, dass die Vermutung falsch ist“. (So hat das jedenfalls Wolfgang Metzler anl¨ aßlich der Disputation von Klaus M¨ uller formuliert.) Offensichtlich w¨ aren alle Varianten der Andrews-Curtis-Vermutung bewiesen, wenn in dem Wall-Ergebnis 5.1.1 nicht die Zahl 4 auftauchen w¨ urde. Bei einem Beweisversuch von 5.2.4 kann man nach Wall aus der einfachen Homotopie¨ aquivalenz aber umgekehrt die 4- ¨ Aquivalenz folgern. Man m¨ usste ” nur“ noch beweisen, dass diese sich auch noch durch eine 3-Deformation ersetzen l¨ asst.

5.2.2 Die Zeeman-Vermutung

Es gibt CW-2-Komplexe, etwa ” Bings Haus“, oder auch die ” Narrenkappe“,

beide sch¨ on zu betrachten in [12], die zwar zusammenziehbar und endlich, aber nicht kollabierbar sind ¹ . Mitte der sechziger Jahre bewies E. C. Zeeman in [31], dass das topologische Produkt der Narrenkappe mit dem Einheitsintervall kollabierbar ist. Das brachte Zeeman zu der

Vermutung 5.2.6. Ist K ∗ ein endlicher CW-2-Komplex, so gilt K ×I ∗.

Wer die Andrews-Curtis-Vermutung f¨ ur falsch h¨ alt, muß auch die Zeeman-Vermutung f¨ ur falsch halten. Man sieht n¨ amlich sofort, dass ein Beweis f¨ ur 5.2.6 auch einer f¨ ur 5.2.3 w¨ are: K K × I ∗ w¨ are mit Satz 1.2.10 eine sh-3- ¨ Aquivalenz zwischen K und ∗. Umgekehrt w¨ aren Andrews-Curtis-Gegenbeispiele also auch Zeeman-Gegenbeispiele. Mit etwas Sarkasmus k¨ onnte man deshalb sagen: Die Tatsache, dass man bis heute noch nicht einmal 5.2.6 widerlegt hat, zeigt, wie weit man davon entfernt ist, 5.2.3 zu widerlegen. Andererseits muss man m¨ oglicherweise gar nicht Andrews-Curtis widerlegen, um Zeeman zu widerlegen. Vielleicht gibt es sogar Zeeman-Gegenbeispiele, die 3-¨ aquivalent zu ∗ sind. Hierzu gibt es in Frankfurt die Doktorarbeit von A. Zimmermann [32].

5.3 Strategien und Zusammenh¨ ange

(AC ) versus (relAC )“ 5.3.1 ”

Offenbar impliziert die relative Version von (AC ) die absolute - man setze einfach K 0 = ∅. Aber wie ist es eigentlich mit der anderen Richtung? Bisher ist nicht bewiesen, dass (relAC ) echt st¨ arker als (AC ) ist. Man h¨ alt zwar beide

f¨ ur ” gleich falsch“, aber damit hat es sich auch. Um in dieser Frage weiterzukommen, erscheint es sofort als hilfreich, zu einer ” absoluten Formulierung“ von

(relAC ) zu kommen, und genau das gelingt mit dem Blockadelemma.

¹ Die Kollabierbarkeit scheitert schlicht am Nichtvorhandensein freier Seiten.

41

Wir formulieren zun¨ achst f¨ ur CW-Komplexe ohne Dimensionsbeschr¨ ankung eine neue Vermutung 5.3.1. ( AC ): Seien K und L endliche zusammenh¨ angende CW-Komplexe, es existiere eine Deformation D : K S S w L mit W (D, K) ⊂ K ² ,

W (D, L) ⊂ L ² . Dann gibt es schon eine Deformation D : K W (D , K) ⊂ K ² , W (D , L) ⊂ L ² .

Man gelangt aus folgender Motivation zu dieser Formulierung: Wenn man in der Situation von (AC ) das Blockadelemma anwenden will, um zu (relAC ) zu kommen, hat man das Problem, dass (AC ) explizit f¨ ur CW-2-Komplexe

formuliert ist. Das Blockadelemma arbeitet aber gerade mit dem Trick, ¨ uber

h¨ oherdimensionale Zellen niederdimensionale festzuhalten. Also st¨ ort die Dimensionsbeschr¨ ankung in (AC ) erheblich. Offensichtlich stellt (

allgemeinerung von (AC ) dar, die immer noch ” absolut“ formuliert ist. Wenn

man aber beweisen k¨ onnte, dass sie sogar ¨ aquivalent zu (AC ) ist, w¨ are das eine

tolle Sache, es gilt n¨ amlich der Satz 5.3.2. ( AC ) ⇐⇒ (relAC ).

⇐“: Gelte D : K S S w L mit der Reichweite-Voraussetzung, und gel- Beweis. ”

te (relAC ). Dann folgt die Existenz der gew¨ unschten 3-Deformation D f¨ ur die 2-Ger¨ uste. Weil D nach Voraussetzung alle Zellen der Dimension ≥ 3 und auch ihre Abschl¨ usse festl¨ asst, folgt, dass D zu einer Deformation der Kom-

plexe fortgesetzt werden kann. Genauer: Diese Abschl¨ usse liegen alle in einem Teilkomplex K 0 von K, der unter D erhalten bleibt. (relAC ) garantiert die

Existenz einer 3-Deformation, die diesen Teilkomplex ebenfalls festl¨ asst. (Mit ubrigens die ¨ genau diesem Argument sieht man ¨ Aquivalenz des Wall-Resultats ohne die 4 mit (relAC’).)

⇒“: Gegeben seien CW-2-Komplexe K und L mit dem gemeinsamen Teilkom” ^m plex K 0 , es gelte K S S w L relativ K 0 . Dann gibt es ein m ∈ N mit K S S w L

relativ K 0 . Nach dem Blockadelemma 1.4.1 k¨ onnen wir in die Zellen von K ⁰ Sph¨ aren der Dimension m + 1 mit oder ohne innere B¨ alle einkleben und er-

halten so eine m-Deformation der entsprechenden Komplexe (Bezeichnungen wie im Lemma). Nun garantiert aber (

3-Deformation D :

gen. Mit dem bekannten Dimensionsargument ist

K 0 . Weglassen der Blockadezellen (die nicht in der Reichweite liegen), ergibt das gew¨ unschte Ergebnis. Aquivalenz von (AC ) und Damit haben wir zwar leider nicht geschafft, die ¨ (relAC )

zu beweisen, aber immerhin liegt nun schon mal eine ” mulierung der relativen verallgemeinerten Andrews-Curtis-Vermutung vor. Mit der Methode der zweiten Richtung des vorangegangenen Beweises sieht man dar¨ uber hinaus die ¨ Aquivalenz einer absoluten Version des Satzes von Wall (Satz 5.1.1 ohne den Teilkomplex) mit der klassischen Version. Ganz stark verk¨ urzt k¨ onnten wir sagen: Beliebigkeit der Dimension erlaubt fast immer das Festhalten von Teilkomplexen.

42

Aquivalenz von (AC ) und Woran scheitert aber nun genau ein Beweis der ¨

(relAC )? Die Richtigkeit von (AC ) w¨ urde zun¨ achst die Existenz einer 3-

Deformation der 2-Ger¨ uste sicherstellen. Das Problem w¨ are aber die Fortsetzung dieser Deformation auf die Komplexe. An dieser Stelle haben wir im obigen Beweis die Stabilit¨ at von K 0 benutzt. ¨ Ahnliches steht uns hier gerade

nicht zur Verf¨ ugung. Eine denkbare Strategie, die noch fehlende Implikation dennoch zu bekommen, w¨ are aber folgende: Lemma 1.2.9 garantiert uns, da wir die Kompaktheit der beiden Komplexe voraussetzen, dass die 3-Deformation der 2-Komplexe fortgesetzt werden kann als eine Deformation von K in einen gegebenenfalls von L verschiedenen Komplex L . Wenn man hier die Reichweiten

entsprechend anpassen kann, hat man vielleicht eine Chance, die Verschiedenheit von L und L ad absurdum zu f¨ uhren.

5.3.2 Algebraisierung von (relAC )

Im Abschnitt 4.3 wurde bereits deutlich, dass eine ¨ Ubertragung des Begriffes

stabiler Teilkomplexe auf Pr¨ asentationen durch ihre Standardkomplexe m¨ oglich ist. Man kann formulieren:

Vermutung 5.3.3. (rel alg AC ): Seien P und Q Pr¨ asentationen, deren Erzeugendensymbole zu einem gemeinsamen Alphabet A geh¨ oren. Die Menge S von W¨ ortern in A sei Teilmenge der Relatoren von P und Q. K S bezeichne den Abschluß der zu Relatoren aus S geh¨ orenden Scheiben von K P , und es sei K P S S w K Q relativ K S . Dann gilt: P ist Q ^∗∗ -¨ aquivalent zu Q relativ S.

Mit 4.3.1 und 2.2.2 folgt sofort die

Bemerkung 5.3.4. (relAC ) =⇒ (rel alg AC ).

Gegenbeispiele gegen (rel alg AC ) w¨ urden insbesondere (relAC ) widerlegen.

Unter anderem diese Tatsache ist Anlaß f¨ ur den Beweis einer relativen Version des Satzes zum Kommutatorschieben - und damit sind wir thematisch auch schon mitten im n¨ achsten Kapitel.

43

Kapitel 6

Stabile Teilkomplexe und

Kommutatoren

6.1 Absolutes Kommutatorschieben

Eine denkbare Strategie, mit der man ein Gegenbeispiel zu (AC) als solches erweisen k¨ onnte, h¨ atte wegen Satz 3.2.16 darin bestehen k¨ onnen, verschiedene Pr¨ asentationsklassen durch Projektion von Relatoren ihrer Vertreter in geeignete Kommutatorstufen zu unterscheiden. Die Hoffnung w¨ urde darin bestehen, entlang h¨ oherer Kommutatoren der Relatorengruppe Invarianten f¨ ur Q ^∗∗ -

Pr¨ asentationsklassen zu schaffen. Cynthia Hog-Angeloni und Wolfgang Metzler haben 1990 in ihrer Arbeit ” Stabilization by free products giving rise to Andrews-Curtis equivalences“, [11] folgenden Satz bewiesen:

Satz 6.1.1. Sind die kompakten und zusammenh¨ angenden CW -2-Komplexe K und L einfach homotopie¨ aquivalent, so k¨ onnen sie durch geeignete Deformationen der Dimension 3 in Komplexe K und L deformiert werden, so dass die zugeh¨ origen abgelesenen Pr¨ asentationen P = P K und Q = P L die folgenden Eigenschaften haben:

P = a 1 , . . . , a g |R 1 , . . ., R h und Q = a 1 , . . ., a g |S 1 , . . ., S h sind endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ), und es gilt R j S ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ j

In ihrer Arbeit ” Andrews-Curtis-Operationen und H¨ ohere Kommutatoren der Relatorengruppe“ [10] haben Cynthia Hog-Angeloni und Wolfgang Metzler dann - ebenfalls 1990 - folgenden Satz bewiesen, der die Hoffnung auf eine irgendwo in h¨ oheren Kommutatoren lebende Invariante zunichte macht:

endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ) und mit jeweils R j S ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ . Dann l¨ aßt sich zu jedem n ∈ N durch eine Q-Operation j

an P erreichen, dass die transformierten Relatoren R j S ⁻¹ ∈ N ⁽ⁿ⁾ erf¨ ullen. j

Den Beweis erledigen wir gemeinsam mit dem von Satz 6.2.1, der eine relative Version und damit eine Versch¨ arfung von Satz 6.1.2 darstellt. Die Q- Transformationdes Satzes 6.1.2 kann n¨ amlich unter gewissen Zusatzvoraussetzungen besonders ” sch¨ on“ gew¨ ahlt werden:

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6.2 Relatives Kommutatorschieben

endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ) und mit jeweils R j S ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ . Sei n ∈ N, sei 2 ≤ h < l, und es gelte R i S ⁻¹ ∈ N ⁽ⁿ⁾ j i

f¨ ur alle i ∈ {h + 1, . . . , l}. Dann gibt es eine Q-Transformation an P relativ {R h+1 , . . . , R l }, so dass die damit transformierten Relatoren R j S ⁻¹ ∈ N ⁽ⁿ⁾ f¨ ur j

alle j ∈ {1, . . . , h} erf¨ ullen.

Korollar 6.2.2. Es seien

endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ) und R j S ⁻¹ ∈ j

N ⁽¹⁾ f¨ ur alle j. Dann l¨ aßt sich zu jedem n ∈ N durch eine Q-Operation an P relativ {R h+1 , . . . , R l } erreichen, dass die transformierten Relatoren R j S ⁻¹ ∈ j

N ⁽ⁿ⁾ f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , h} erf¨ ullen.

Wenn gewisse Relatoren in P also bereits zu ihren ” Partnern“ in Q kongruent

modulo n-ter Kommutatoren sind, also so, wie man sie gerne h¨ atte, und man mindestens zwei Relatoren ver¨ andern darf, dann kann man eine Q−Transfor- mationw¨ ahlen, die die bereits kongruenten Relatoren festl¨ aßt. ” Festlassen eines

Relators“ heißt dabei nicht nur, dass dieser nach der Transformation dieselbe Gestalt wie vorher hat, sondern sogar, dass er w¨ ahrend der gesamten Transformation nicht ver¨ andert wurde.

Die Voraussetzung h ≥ 2 ist f¨ ur den gleich folgenden Beweis wesentlich. Inwieweit und gegebenenfalls mit welchen Mitteln sich dieser ” Sch¨ onheitsfehler“

beheben l¨ aßt, werden wir im Kapitel 6.3 diskutieren.

Nat¨ urlich w¨ are es denkbar und m¨ oglich, Satz 6.2.1 etwas suggestiver zu formulieren. Zu dem Vortrag des Satzes in der obigen Fassung auf dem Treffen der AG in Heidenrod stellte Sergeij Matveev die verst¨ andliche Frage: ” Warum so

viele Buchstaben?“ Die Antwort darauf ist: Es erscheint sinnvoll, den Satz 6.2.1 so zu formulieren, dass sein Beweis m¨ oglichst w¨ ortlich aus dem f¨ ur Satz 6.1.2 erreicht werden kann, und genau das wollen wir nun tun:

Beweis. Zun¨ achst haben wir uns um die Situation h = 1 im ersten Satz zu k¨ ummern: Ist h = 1, so erzeugen die Worte R 1 und S 1 in a 1 , . . . , a g denselben normalen Abschluß, und dann sind sie nach dem Korollar zum Freiheitssatz von Magnus (Korollar 3.4.2) konjugiert oder invers konjugiert zueinander. Insbesondere sind sie dann aber Q−¨ aquivalent.

Wir k¨ onnen f¨ ur Satz 6.1.2 also h ≥ 2 annehmen, im Fall von Satz 6.2.1 ist dies ohnehin Voraussetzung. (Satz 6.1.2 ist in diesem Fall der Spezialfall von Satz 6.2.1 mit der Besetzung der R h+1 , . . .R l mit dem leeren Wort.) Der gemeinsame Beweis besteht aus einer Induktion nach der Kommutatorstufe n. Dabei ist die Verankerung, n = 1, bereits unmittelbar in der Voraussetzung erledigt. Zum Beweis beider S¨ atze nehmen wir nun als Induktionshypothese an, die Behauptungen seien f¨ ur die Kommutatorstufe n − 1 mit n ≥ 2 gezeigt. Der Induktionsschluß besteht nun aus sechs Schritten.

Ziel von Schritt A ist das beweistechnische Zur¨ uckspielen des relativen Falls auf den absoluten. Wir bezeichnen die bereits transformierten Relatoren in P so

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wie die urspr¨ unglichen mit R i - das wird nicht zu Missverst¨ andnissen f¨ uhren. Wir haben durch die Induktionshypothese folgende Situation:

R i = S i · W i

R i = S i · W i

Dabei ist (1) f¨ ur sich alleine auch schon als Induktionshypothese in den Bezeichnungen von Satz 6.1.2 zu verstehen, und (2) ist gerade die Zusatzvoraussetzung von Satz 6.2.1. Sie ist aber keineswegs eine Wiederholung oder Selbstverst¨ andlichkeit, sondern integraler Bestandteil der Induktionshypothese; denn diese besagt ja gerade, dass die Q−Transformation, die die ¨ Aquivalenz modulo N (n−1)

hergestellt hat, schon so gew¨ ahlt werden konnte, dass die Relatoren R h+1 , . . ., R ^l von ihr nicht ver¨ andert wurden.

Die W i sind nach Lemma 3.2.17 Produkte von Kommutatoren (n − 1)-ter Stufe bzw. n-ter Stufe in Konjugaten der S ±1

j . Wir schreiben W i = W i (S 1 , . . . , S l ).

Eines der wesentlichen Mittel des Induktionsschlusses ist nun folgendes Verfahren: Kommt in R i , etwa in der eben gew¨ ahlten Darstellung, das Wort S ^±1 j , j = i

vor, so erlaubt uns eine Q-Transformation an R i , dass wir S ±1

durch das Ge- j

genwort W ¹ (S 1 , . . . , S l ) nach (1) und (2) ersetzen. Sei etwa R i = S i XS j Z,

dann k¨ onnen wir die gew¨ unschte Transformation wie folgt direkt angeben:

S i XS j Z → S i XS j Z · (Z ⁻¹ W j (S j W j ) ⁻¹ W ⁻¹ j Z) = S i XW −1

j Z. (3)

F¨ ur ein Vorkommnis von S j mit negativem Exponenten verf¨ ahrt man ¨ ahnlich. Nat¨ urlich muß f¨ ur jedes in R i vorkommende S j , i = j, einzeln eine Operation nach (3) durchgef¨ uhrt werden.

Nach dieser Methode ersetzen wir in den R i mit 1 ≤ i ≤ h die dort vorkommenden S j mit h + 1 ≤ j ≤ l. So kommen wir nach (3) zu folgender Situation - die R i bezeichnen wieder die bereits transformierten Relatoren:

R i = S i · W i (S 1 , . . . , S h , W ⁻¹ h+1 , . . . , W ⁻¹ l ) f¨ ur i ∈ {1, . . . , h} (4)

Bislang haben wir echte Gleichheiten angegeben. Ab dieser Stelle betrachten wir die R i nun zum ersten Mal nur noch bis auf Kongruenz modulo N ⁽ⁿ⁾ und bezeichnen dies durch den Doppelpunkt statt des Gleichheitszeichens. Nach (2) gilt f¨ ur j ∈ {h + 1, . . . , l} schon W j ∈ N ⁽ⁿ⁾ , also sind die W j kongruent eins modulo n-ter Kommutatoren, und mit (4) haben wir bereits:

R i : S i · W i (S 1 , . . . , S h , 1, . . ., 1) f¨ ur i ∈ {1, . . ., h} (5)

Jede innerste Klammer der Gestalt [aSa ⁻¹ , 1] ist trivial. Wird ein S j durch

1 ersetzt, so werden also alle innersten Kommutatorklammern, in denen S ^j vorkam, trivial. Wegen Lemma 3.2.17 schreiben wir:

R i = S i · W i (S 1 , . . . , S h ) f¨ ur i ∈ {1, . . ., h} (6)

Die W i sind hier strenggenommen nicht dieselben wie die in (1). Korrekt formuliert w¨ are: Wir gewinnen durch Q- Operationen an den R i neue W i ∈ N ⁽ⁿ⁾ ,

46

die nur noch Produkte von Konjugaten der S j mit 1 ≤ j ≤ h in der Gestalt von Lemma 3.2.17 sind. Damit ist der Beweis f¨ ur den relativen Fall vollst¨ andig auf den f¨ ur den absoluten zur¨ uckgespielt. Wir haben bislang nur an denjenigen R ⁱ mit i ≤ h Transformationen vorgenommen. Der weitere Beweisgang folgt fast w¨ ortlich dem in der Originalarbeit [10]. Auch hier werden nur an an denjenigen R i mit i ≤ h Transformationen vorgenommen. Wir ben¨ otigen nun noch f¨ unf Schritte.

Unser Ziel in Schritt B ist nun, Transformationen relativ {R h+1 , . . . , R l } zu finden, die die Relatoren R 1 , . . ., R h in die nachfolgende Gestalt ¨ uberf¨ uhren.

Dabei nimmt i einen festen Wert zwischen 1 und h an, und j durchl¨ auft alle ubrigen Werte zwischen 1 und h: ¨

Unser Ziel ist also, (7) aus (6) zu gewinnen. Wieder ersetzen wir nach dem Muster von (3) die ” fremden“ S j und erhalten:

R i : S i · W i (W −1

R j : S j · W j (S 1 , . . . , S h ),

Nun ersetzen wir nach (3) in den R j alle Vorkommnisse von S ±1

erneut durch

i

deren Gegenfaktor in seiner Gestalt von (8). Wir bekommen damit:

R i : S i · W i (W −1

R j : S j · W j (S 1 . . . . , S i−1 , W −1

Danach ersetzen wir das unterstrichene S i noch einmal und bekommen auf diese Weise:

R i : S i · W i (W −1

R j : S j · W j (S 1 . . . . , S i−1 , W −1

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Diese Darstellung ist nicht wirklich ¨ ubersichtlich. Auf einen Teil der Argumente in den W k k¨ onnen wir aber verzichten. Dann haben wir:

R i : S i · W i (W −1

R j : S j · W j (S 1 . . . . , S i−1 , W −1

Nun ist aber

ein (n−1)-ter Kommutator in (n−1)-ten Kommutatoren, insbesondere Kommu-tator in (n−1)-ten Kommutatoren und damit n-ter Kommutator und kongruent eins modulo N ⁽ⁿ⁾ . Wir wollen die R k aber nur bis auf Kongruenz betrachten und d¨ urfen deshalb f¨ ur (12) in (11) eins einsetzen. Damit haben aber die R ^j bereits in die Gestalt von (7); denn wir erhalten:

R i : S i · W i (W −1

R j : S j · W j (S 1 , . . . , S i−1 , 1, S i+1 , . . . , S h )

Die soeben gewonnene Gestalt der R j verwenden wir nun zur Einsetzung in R i . Zun¨ achst wird nach der Methode (3) in R i jedes S j , j = i durch den Ausdruck

W −1

j (S 1 , . . . , S i−1 , 1, S i+1 , . . . , S h )

ersetzt. Nochmaliges Einsetzen bringt W ⁻¹ j (W ⁻¹ 1 , . . ., W ⁻¹ i−1 , 1, W ⁻¹ i+1 , . . . , W −1

h ),

wo vorher S j stand. Dieser Ausdruck ist nun wieder Kommutator in (n − 1)-ten Kommutatoren, also n-ter Kommutator und kongruent eins modulo N ⁽ⁿ⁾ . Also erhalten wir aus (13) durch die vorgenannten Einsetzungen in R i und Repr¨ asentantenwechsel modulo N ⁽ⁿ⁾ die gew¨ unschte Darstellung (7). Wir haben ab (8) nur mit Repr¨ asentantenwechseln und Einsetzungen gearbeitet. Den Repr¨ asentantenwechseln entspricht gar keine Q-Transformation, den Einsetzungen nach (3) eine Q-Transfomation an dem Relator, in dem eingesetzt wurde. Demnach haben wir bei allen bisherigen Transformationen die Rela-toren R h+1 , . . . R l unver¨ andert gelassen, die bisherige Transformation war also tats¨ achlich relativ {R h+1 , . . . R l }, wie verlangt. Wichtig ist auch der Hinweis, dass schon in den letzten Schritten die Voraussetzung h ≥ 2 wesentlich war. Es sind f¨ ur das hier benutzte Beweisprinzip mindestens zwei ver¨ anderbare Relatoren n¨ otig: Der zweite wird mit dem ersten transformiert, und der erste wird wiederum mit dem transformierten zweiten transformiert. In Schritt C wiederholen wir Schritt B sukzessive h − 1 mal. Bei jedem Durchgang nimmt die innerhalb des Durchgangs feste Variable i einen neuen Wert

48

an. Hat i nach allen Durchg¨ angen alle Werte von 1 bis h durchlaufen, so hat jeder Relator eine der von R i in (7) entsprechende Darstellung erhalten, und wir haben:

R j : S j · W j (1, . . . , 1, S j , 1, . . ., 1) (14)

Wie schon am Ende von Schritt A bei (6) k¨ onnen wir nun zu einfacheren Worten f¨ ur die W j ¨ ubergehen, diesmal ¨ andern wir aber die Bezeichnung und erhalten:

R j : S j · V j (S j ) (15)

Im jetzt folgenden Schritt D wollen wir f¨ ur zwei der Relatoren die Darstellung

erhalten.

Daf¨ ur multiplizieren wir zun¨ achst R i mit dem Konjugat V ⁻¹ i (S i ) · R m · V i (S i )

und verwenden dabei die Relatoren in ihrer Form nach (15):

Bis auf nte Kommutatoren k¨ onnen wir (17) transformieren zu:

Dabei soll V ⁻¹ m (S i · S m ) aus V −1

einer innersten Kommutatorklammer durch S i · S m ersetzt wird. Den ¨ von (17) nach (18) sieht man, indem man umgekehrt (17) aus (18) erreicht: S i · S m kann man durch den Gegenfaktor V −1 m (V ⁻¹ ersetzen. Der Term V

⁻¹ deshalb in Kongruenz modulo N ⁽ⁿ⁾ weg. F¨ ur den relativen Fall macht man sich noch einmal mit Lemma 4.3.3 klar, dass es egal ist, ob man mit einer Q- Transformationrelativ {R h+1 , . . . , R l } von (17) nach (18) oder von (18) nach (17) kommt.

Wir multiplizieren nun in einmal ein Konjugat von R m aus (18) an R i . An die Stelle des S m direkt nach S i tritt das Gegenwort (V m (S m ) · V ⁻¹ m (S i · S m )) ⁻¹ und

ergibt

Wir betrachten nun

49

Dann ist R i : S i · W i (S i , S m ) und R m : S m · W m (S i , S m ), und wir k¨ onnen wie in Schritt B verfahren, um die zu (7) analoge Situation zu erhalten. Diese lautet dann:

Mit V (S i ) = V m (S i · V ⁻¹ m (S i )) · V i (S i ) ist (20) von der Gestalt (16).

Schritt E ist wieder verh¨ altnism¨ aßig kurz. Wir halten das i aus Schritt D weiter fest, wiederholen das Verfahren von Schritt E aber noch h − 2 mal und lassen ubrigen Werte in {1, . . . , h} annehmen. Wir dabei die Variable m alle noch ¨ erhalten

Es folgt zum Abschluß des Beweises nun Schritt F : Wir m¨ ussen von (21) durch Q-Transformationen zu

1 ≤ j ≤ h R j : S j (22)

gelangen.

Wir zeigen umgekehrt, wie man bei beliebig vorgegebenem U (S i ) ∈ N ⁽ⁿ⁻¹⁾ von (22) nach (21) gelangt. Dazu ben¨ otigen wir außer R i noch ein weiteres R m . Sei also U (S i ) vorgelegt. Dann bilden wir U ^∗ (S −1 Kommutatorklammer [vS ^δ durch [vS ^−δ i w ⁻¹

] ersetzt wird. Dann gilt offenbar U ^∗ (S i , S i ) = U (S i ), außerdem U ^∗ (1, S i ) = 1 = U ^∗ (S ⁻¹ Lemma 3.2.18 ergibt direkt, dass U ^∗ (S ⁻¹ liegt. F¨ ur R m : S m ist also Multiplikation mit U ^∗ (S −1

mit R m , und wir k¨ onnen R i und R m aus (22) in

uberf¨ uhren. Danach multiplizieren wir das neue R i an R m und erhalten ¨

Dann ersetzen wir S m in R i durch den Gegenfaktor aus R m :

Den Faktor S i in R m ersetzen wir durch das Gegenwort aus R i und bekommen

50

An dieser Stelle betrachten wir

W i (S i , S m ) := U ^∗ (S i · U ^∗ (S −1 m , S i ), S i

) W m (S i , S m ) := (U ^∗ ) ⁻¹ (S i · U ^∗ (S −1

Wie schon in (7) k¨ onnen wir S m in R i durch 1 ersetzen. Danach k¨ onnen wir mit derselben Methode S i in R m durch W ⁻¹ i (1, S m ) = (U ^∗ ) ⁻¹ (1 · U ^∗ (S ⁻¹ m , 1), 1) = 1 ersetzen. Damit haben wir

Damit haben wir (21) und den Abschluß von Schritt F erreicht, die Beweise von

Das Korollar 6.2.2 folgt direkt aus dem Satz: Gilt R j = S j , so ist n¨ amlich trivialerweise R j S ⁻¹ j

6.3 Der Fall eines einzigen beweglichen Relators

Es seien nun zwei Pr¨ asentationen

gegeben, und es gelte RS ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ , R j S ⁻¹ ∈ N ⁿ . Gibt es dann eine Q- j

Transformation an P relativ {R 1 , . . . , R l }, so dass f¨ ur den einzigen dann trans-formierten Relator R danach gilt RS ⁻¹ ∈ N ⁽ⁿ⁾ ? Diese Frage k¨ onnen wir auch

mit Satz 6.2.1 nicht positiv beantworten. Der Beweis von Satz 6.2.1 hat, wie schon entlang des Beweisgangs erl¨ autert, gerade deshalb funktioniert, weil mindestens an zwei Relatoren Ver¨ anderungen vorgenommen werden durften. Diese M¨ oglichkeit entf¨ allt nun. Und siehe da, das gew¨ unschte Ergebnis ist in diesem Fall auch nicht zu erzielen:

6.3.1 Ein Q-Gegenbeispiel f¨ ur den Fall h = 1

∈ {−1, 0, 1} und m ∈ Z, m ∼ 0 mod m ² Satz 6.3.1. (Metzler 2000) Seien f¨ ur j / und

die Pr¨ asentationen

51

gegeben ¹ . Dann gibt es keine Q-Operation an P relativ {T }, so dass der trans-formierte Relator R zu S kongruent modulo zweiter Kommutatoren der Relatorengruppe wird.

Man mache sich zun¨ achst klar, dass beispielsweise j = m = 2 die Voraussetzungen erf¨ ullen, und dass der Satz dann tats¨ achlich ein Gegenbeispiel zu ” Satz 6.2.1

mit h = 1“ ergibt: Die beiden Pr¨ asentationen erf¨ ullen in der Tat die geforderten Relatorkongruenzen. Damit haben wir, umgangssprachlich formuliert, folgendes Ergebnis: Um sicher zu sein, dass relatives Hochschieben in zweite Kommutatoren m¨ oglich ist, braucht man mindestens zwei bewegliche Relatoren. Doch hier zun¨ achst der

Beweis von Satz 6.3.1. Wir werden noch etwas Sch¨ arferes zeigen, und zwar, dass sich durch Q-Transformationen an R noch nicht einmal eine Kongruenz von R und S modulo des ersten Zentralreihenterms (also Gleichheit im Reidemeisterquotienten der Relatorengruppe) erreichen l¨ asst. Weil zweite Kommutatoren insbesondere zum ersten Zentralreihenterm geh¨ oren, folgt damit auch die Behauptung des Satzes.

Mit der Reidemeister-Schreier-Methode ² sieht man, dass die Relatorengruppe

N F (a, t) von den Konjugaten

b := tat ⁻¹ , c:= t ² at ⁻² , . . . a,

frei erzeugt wird. Wir betrachten fortan die Elemente der Relatorengruppe nur noch bis auf Gleichheit im Reidemeisterquotienten. Dazu erinnern wir an den Reidemeister-Normalformensatz 3.2.13, wenden diesen auf die eben erkl¨ arten a, b, c, . . . an und betrachten Normalformen der folgenden besonderen Gestalt (die Reihenfolge der Elementarkommutatoren in der Normalform ist im Reidemeisterquotienten definitionsgem¨ aß beliebig):

Offenbar ist R gerade von dieser Gestalt, und zwar gem¨ aß Voraussetzung des Satzes so, dass rechts neben dem zweiten Produktzeichen mindestens ein Exponent nicht kongruent null modulo m ² ist ³ . Diese Eigenschaft bleibt, wie wir jetzt zeigen, bei jeder der f¨ ur uns zul¨ assigen Q-Transformationen erhalten: Modulo [N, [N, N ]] kann jede Q-Transformation an R dargestellt werden als Kompositum der folgenden Operationen:

1. Inversion

2. Konjugation mit t

3. Konjugation mit a

4. Multiplikation mit T

¹ P und Q pr¨ asentieren ¨ ubrigens Z(t). Weil die Whiteheadgruppe von Z trivial ist (siehe Cohen [5]), sind die zugeh¨ origen Standardkomplexe einfach homotopie¨ aquivalent und in Sachen Andrews-Curtis interessant. Sie bilden das aktuelle ” Lieblings-Andrews-Curtis-Gegenbeispiel“ ihrer Erfinder Hog-Angeloni und Metzler.

² ausf¨ uhrlich beschrieben bei Magnus, Karass und Solitar [18] und Zieschang, Vogt und Coldewey [30]

³ Das ist f¨ ur R selbst trivial: Betrachte mit Bemerkung 3.2.11 den Faktor [tat ⁻¹ , a] ^m - wir hatten vorausgesetzt, dass m nicht kongruent null modulo m ² ist.

52

Letzteres hakt im Reidemeisterquotienten auch die Multiplikation mit Konjugaten von T ab: Weil T Kommutatorprodukt ist, ist T Reidemeister-¨ aquivalent zu seinen Konjugaten.

Betrachten wir nun die einzelnen Schritte und ihre Wirkung auf eine Normalform nach (1):

Inversion ¨ andert nur die Vorzeichen der ζ und macht aus dem a ^±1 ein a ¹ .

Die bei Inversion sonst ¨ ubliche Reihenfolgenvertauschung in den Erzeugenden

f¨ allt im Reidemeisterquotienten wegen der Vertauschbarkeit mit Kommutatoren weg. Inkongruenz eines ζ modulo m ² bleibt stets erhalten, also bleibt uns eine Normalform in der gew¨ unschten Gestalt erhalten.

Konjugation mit t ist dasselbe wie die Konjugation jedes einzelnen Faktors mit t. Diese bewirkt in (1) eine Ver¨ anderung jedes Index k, i, r, s um 1. Die ζ springen einfach einen Index weiter; die Sortierung der ζ nach Gleichheit eines Index mit dem ersten t-Exponenten bleibt unber¨ uhrt. Die Gestalt der Normalform bleibt erhalten.

Konjugation mit a: Weil a in Reidemeister¨ aquivalenz mit allen Kommutatoren Vorbeiziehen“ eines a an dem Term t ^k a ^±1 t ^−k vertauschbar ist, macht nur das ”

eine Ver¨ anderung an der Normalform aus. Dieses entspricht, wie wir im Existenzbeweis von Satz 3.2.13 gesehen haben, einer Multiplikation mit einer Potenz des Elementarkommutators [t ^k at ^−k , a]. In (1) werden also nur Exponenten

ver¨ andert, die zwischen den beiden Produktzeichen stehen. Insbesondere bleiben diejenigen rechts des zweiten Produktzeichens unge¨ andert. Multiplikation mit T ist im Reidemeisterquotienten Multiplikation mit dem Fak-tor [tat ⁻¹ , a] m ² . Dieser ist Potenz eines Normalformenfaktors. Bis auf Kongruenz modulo m ² bleiben also alle Exponenten in (1) erhalten - insbesondere bleibt Inkongruenz modulo m ² erhalten.

Zusammengefasst heißt das: Welche Q-Transformation wir auch an R vornehmen, immer bleibt in der Reidemeister-Normalform ein Kommutatorfaktor mit echtem Exponenten stehen. Die Normalform tat ⁻¹ , in der es keinen solchen

6.3.2 Trennung der Erzeugenden

Zumindest in einer Situation kann man das Problem nur eines beweglichen Re-lators aber sogar auf dem Niveau der Q- ¨ Aquivalenz noch positiv entscheiden. Es gilt n¨ amlich der

Satz 6.3.2. Gegeben seien

als zwei Pr¨ asentationen mit derselben Relatorengruppe N in den genannten Erzeugenden. Es gelte R = R(a i ), S = S(a i ) sowie stets R j = R j (b k ) und S j = S j (b k ). Dann ist bereits R Konjugat oder inverses Konjugat von S.

Wenn wir also in der Lage sind, die Argumente des einzigen ver¨ anderbaren Re-

lators so von denen der festzuhaltenden zu trennen, dass die ¨ ubrigen Vorausset-

zungen nach wie vor erf¨ ullt bleiben, haben wir eine sehr einfache Q- ¨ der gew¨ unschten Art.

53

Beweis. Die genannten Pr¨ asentationen sind Pr¨ asentationen von freien Produkten. Wir k¨ onnen etwa schreiben:

In diesem Fall identifizieren wir die Pr¨ asentationen ausnahmsweise direkt mit den Gruppen, die sie pr¨ asentieren. Das d¨ urfen wir, wenn wir verabreden, dass jeweils mengentheoretisch und nicht nur bis auf Isomorphie die entsprechende Quotientengruppe der Freien Gruppe dieser konkreten Erzeugenden gemeint ist. Sei nun W ein Wort im normalen Abschluß von R bez¨ uglich der von den a i erzeugten freien Gruppe. W ist ein Wort in den a i und repr¨ asentiert die eins in der von P pr¨ asentierten Gruppe. Nach Voraussetzung sind die Relatorengruppen beider Pr¨ asentationen gleich, also repr¨ asentiert W in denselben Erzeugenden die eins in der von Q pr¨ asentierten Gruppe. Nach dem Normalformensatz 3.3.1 repr¨ asentiert aber W dann schon im linken Faktor der Pr¨ asentation die eins und geh¨ ort damit zum normalen Abschluß von S. Ist V ein Wort im normalen Abschluß von S, so zeigt man genauso, dass V auch im normalen Abschluß von R liegt.

Insgesamt erzeugen also R und S in den a i denselben normalen Abschluß, und

uber ¨ Bemerkenswert ist ¨ ubrigens, dass man keine Voraussetzungen ¨ Aquivalenz

von Relatoren bez¨ uglich Kommutatoren annehmen muss. Es zeigt sich also hierwie auch schon in der Verankerung des Induktionsbeweises von Satz 6.1.2 - dass alleine schon die Gleichheit der Relatorengruppen in denselben Erzeugenden eine sehr harte Forderung ist.

6.3.3 Der Ansatz mit zus¨ atzlichem Parkplatz

Die S¨ atze 6.1.2 und 6.2.1 sind beide auf dem Level der Q-Transformationen formuliert. Im dem Zusammenhang der relativen Version der verallgemeinerten Vermutung von Andrews und Curtis interessiert aber eher der Q ^∗∗ −Level.

Wir k¨ onnen uns also durch Einf¨ uhrung eines zus¨ atzlichen trivialen Erzeugenden einen ” Parkplatz“ verschaffen. Es gilt dann immerhin der

und Q = a 1 , . . . , a k |S, S 1 , . . . , S p mit gleicher Relatorengruppe N gegeben, und es gelte RS ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ , R j S ⁻¹ ∈ N ⁿ . Dann gilt P ist Q ^∗∗ −¨ aquivalent relativ

{R 1 , . . . , R p } zu einer Pr¨ asentation ˜

RS ⁻¹ ∈ ˜ gilt: ˜ N ⁽ⁿ⁾ und ˜

von {R, R 1 , . . ., R p , t} in a 1 , . . . , a k , t.

Beweis. Der Satz ist eine fast direkte Konsequenz von Satz 6.2.1 mit h = 2. Zun¨ achst verl¨ angern wir P mit t sowohl bei den Erzeugenden und bei den Re-latoren. Wir gelangen zu einer Q ^∗∗ −¨ aquivalenten Pr¨ asentation. Wenn wir nun

in Satz 6.2.1 f¨ ur R 1 einfach R einsetzen, R 2 und S 2 durch t ersetzen und die Numerierung der Relatoren anpassen, haben wir - mit p + 2 = l - w¨ ortlich das

54

6.4 Diskussion der Ergebnisse

Die Ergebnisse von Satz 6.2.1 und Satz 6.3.3 scheinen f¨ ur den relativen Fall auf den ersten Blick nicht so weitreichend zu sein wie das von Satz 6.1.2 f¨ ur den absoluten Fall: Wir w¨ urden uns n¨ amlich eine Situation w¨ unschen, in der wir nach getaner Transformation das modifizierte t auch wieder zur¨ uckk¨ urzen k¨ onnten. Dann h¨ atten wir Satz 6.2.1 auch f¨ ur nur einen einzigen beweglichen Relator n¨ amlich zwar immer noch nicht auf dem Q−Level, daf¨ ur aber immerhin auf dem Q ^∗∗ −Level bewiesen. Genau das haben wir aber nicht geschafft. Es

bleibt also bei der

seien endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ) und mit jeweils R j S ⁻¹ ∈ N ⁽¹⁾ . Sei n ∈ N, sei 1 ≤ h < l, und es gelte R i S ⁻¹ ∈ N ^{(n) j i} f¨ ur alle i ∈ {h + 1, . . ., l}. Dann gibt es eine Q ^∗∗ −Transformation an P relativ {R h+1 , . . . , R l }, so dass die damit transformierten Relatoren R j S ⁻¹ ∈ N ⁽ⁿ⁾ f¨ ur j

alle j ∈ {1, . . . , h} erf¨ ullen.

F¨ ur den Q-Fall ist die Vermutung falsch, wie Satz 6.3.1 zeigt. Es gibt zumindest ein Argument, das die Vermutung nahelegt, auch f¨ ur den Q ^∗∗ -Fall sei 6.4.1

falsch: Um den zus¨ atzlichen Relator k¨ urzen zu k¨ onnen, m¨ usste man ihn auf seine urspr¨ ungliche Form zur¨ uckbringen k¨ onnen. Die Umkehrung der gerade durchgef¨ uhrten Transformation oder ” Verwandte“ dieser Transformation schei-

den aus, weil sie auch die anderen Relatoren mutmaßlich ver¨ andern w¨ urden. Also m¨ usste ein Beweis von 6.4.1 ziemlich allgemein die ¨ Uberf¨ uhrbarkeit eines

RR ⁻¹ ∈ N ^(k) in R relativ der anderen Relatoren zeigen. Und das w¨ are

allerdings ziemlich nahe an einem Beweis von (AC). Wer glaubt, dass (AC) falsch ist, kann also nicht an 6.4.1 glauben. Man kann aber folgende ¨ Uberlegung machen: Satz 6.1.1 l¨ aßt sich nach aktueller Meinung seiner Autoren auch in entsprechender relativen Form beweisen. Durch eine triviale Verl¨ angerung beider Pr¨ asentationen P K und P L erhalten wir wieder die n¨ otigen zwei beweglichen Relatoren in P K . Die frohe Botschaft lautet nun: Auch hier lassen sich zu beliebig vorgegebenem n ∈ N durch Q- Transformationenan P K die Relatorkongruenzen in n-ten Kommutatoren herbeif¨ uhren. Sofern man nicht die Anzahl der Relatoren in die zu konstruierende Invariante echt einbauen will, gilt dann: Die ” Kommutatorstrategie“ scheitert

damit nicht nur f¨ ur einen Versuch der Widerlegung von (AC ), sondern wohl auch f¨ ur den der Widerlegung von (relAC ).

55

Kapitel 7

Ein Ausblick

Wie fast immer im Leben, so ist es auch bei dieser Diplomarbeit: W¨ ahrend der intensiven Besch¨ aftigung mit den in dieser Diplomarbeit behandelten Fragen haben sich neue Fragen und Ideen ergeben. Diese befriedigend zu diskutieren oder zu beantworten, ist im Rahmen dieses Diploms leider nicht mehr m¨ oglich gewesen. Hier werden sie aber wenigstens skizziert:

7.1 Andrews-Curtis-Operationen und

Iterationen von Wortgruppen

Sei irgendein Wort W in Symbolen irgendeines Alphabets vorgelegt, und sei G eine Gruppe. Das Erzeugnis der Elemente w von G, die sich als Produkt der Form W schreiben lassen - das heißt, dass in w Elemente von G an die Stelle der Symbole von W treten - nennen wir dann die zu W geh¨ orige Wortgruppe in G und bezeichnen sie mit V W (G). In dem Buch von Magnus, Karass und Solitar k¨ onnen wir sehr sch¨ on nachlesen, dass in freien Gruppen die Wortgruppen gerade die Endomorphismen-invarianten Untergruppen sind. Man muß ¨ ubrigens bei

der Wahl von W etwas geschickt vorgehen, wenn man V W (G) = G ausschließen will. Beispielsweise gilt V W (G) = G schon dann, wenn auch nur ein Symbol in W die Koeffizientensumme 1 hat.

Die Wortgruppenbildung k¨ onnen wir in naheliegender Weise iterieren: Wir set- ^{(1) (n) (n−1)} zen einfach V W (G) = V W (G) und V W (G) = V W (V (G)). Per Definition

W

sind Kommutatorgruppen Wortgruppen, und die Iteration bei Kommutatoren ist gerade die von Wortgruppen.

Die Beweise von Satz 6.1.2 und Satz 6.2.1 arbeiten wesentlich mit dem Einsetzen von Kongruenzen in Worte. Also liegt die Vermutung nahe, dass sich das Kommutator-Veto zu einem Wortgruppen-Veto verallgemeinern l¨ asst.

Vermutung 7.1.1. Sei W ein Wort mit der Eigenschaft V W (F ) = F f¨ ur jede freie Gruppe F . Seien

endliche Pr¨ asentationen mit gleicher Relatorengruppe N ⊆ F (a i ) und mit jeweils R j S ⁻¹ ∈ V W (N ). Dann l¨ aßt sich zu jedem n ∈ N durch eine Q-Operation j

56

an P erreichen, dass die transformierten Relatoren R j S −1 ⁽ⁿ⁾ ∈ V W (N ) erf¨ ullen.

j

Das w¨ urde bedeuten: Wenn sich schon die ” einfache“ Wortgruppe zu einem

Wort W nicht zur Konstruktion einer Andrews-Curtis-Invarianten eignet, dann tut es auch keine iterierte Wortgruppe von W . Eine entsprechende relative Version dieser Vermutung kann man ebenfalls aufstellen.

7.2 Stabile Teilkomplexe und freie Produkte

Ist P Pr¨ asentation eines freien Produkts, so liegt in der Q ^∗∗ - ¨

von P auch eine halbgesplittete Pr¨ asentation ˜ P. ”

Erzeugendensymbole nach Faktoren sortiert sind und alle Relatoren h¨ ochstens zwei Abschnitte mit Buchstaben aus demselben Faktor haben. Monika Eufinger hat in ihrer Diplomarbeit [7] bewiesen:

Satz 7.2.1. Wenn zwei halbgesplittete Pr¨ asentationen P und Q durch eine Q ^∗∗ -

Transformation ineinander ¨ uberf¨ uhrbar sind, dann kann diese Transformation sogar so gew¨ ahlt werden, dass die Halbgesplittetheit nach jedem Elementarschritt erhalten bleibt.

Es steht zu vermuten, dass auch hiervon eine relative Version zu beweisen ist:

Vermutung 7.2.2. Wenn zwei halbgesplittete Pr¨ asentationen P und Q mit gemeinsamen Relatoren R 1 , . . . , R k durch eine Q ^∗∗ -Transformation relativ der Relatorenteilmenge {R 1 , . . ., R k } ineinander ¨ uberf¨ uhrbar sind, dann kann sogar eine Transformation relativ {R 1 , . . ., R k } so gew¨ ahlt werden, dass die Halbgesplittetheit nach jedem Elementarschritt erhalten bleibt.

* *

*

57

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59

Zeichentabelle

K ⁽ⁿ⁾ n-Ger¨ ust eines CW-Komplexes K, 6

K ⁿ CW-n-Komplex, 6

e, e ⁿ Zelle bzw. n-Zelle in einem CW-Komplex, 6

∂e Rand der Zelle e, 7

disjunkte Vereinigung

Elementarexpansion, 8

Elementarkollaps, 8

λ(w) eine Ordnung auf den Elementen einer Freien Gruppe, 24

60

Index

balancierte  Pr asentation, 36 R ucksaugen von Zellen,  18

Blockadelemma  , 14 Reichweite einer Deformation,  13

Reidemeister  -Normalformensatz,  28

charakteristische  Abbildung,  6

Rest  einer Deformation,  13

CW  -Komplex,  6

CW  -n-Komplex, 7 Scheibe,  8

CW  -Paar, 8 sh- aquivalent,  10

sh  -  

Aquivalenz  ,  10

Deformation  ,  10

stabiler  Teilkomplex,  11

direkte  Deformation,  16

Standardballpaar  ,  8

Standardkomplex  ,  35

Ecke  ,  8

st  uckweise direkte Deformation,  16

einfache  Homotopie aquivalenz,  10

einfacher  Homotopietyp,  10

Wortgruppe  ,  56

Elementarexpansion  ,  8

Wright  , Satz von,  17

Elementarkollaps  ,  8

Wright  -Deformation,  20

endlicher  CW-Komplex,  7

enge  Deformation, 16 zellul are Eulercharakteristik,  8

Euler  -Charakteristik, 8 Zentralreihe,  26

Eulercharakteristik  einer Pr asenta-  

tion  ,  35

Expansion  ,  8

Federer  und J´ onsson, Satz von,  25

freie  Seite,  9

halbgesplittete  Pr asentation,  57

inverse  Deformation,  10

Kante  ,  8

Kollaps  ,  8

Kommutator  ,  25

Komplex  ,  7

linke  H alfte,  24

Nielsen  -System,  25

Normalformensatz  fur freie Produk-  

te  ,  31

Q  -Operationen,  37

Q  -Operationen,  36

61