Abbildungssverzeichnis
I Notation
II Einleitung
0 Grundlegende Begriffe
0.1 Dreieck
0.1.1 Begrifflichkeiten am Dreieck
0.2 Kreis
0.2.1 Begrifflichkeiten am Kreis
0.2.2 Winkel im Kreis
0.2.3 Ähnlichkeitskreis
0.3 Winkelfunktionen
0.4 Kongruenz und Ähnlichkeit
0.5 Winkelpaare
0.6 Zentrische Streckung
1 Vorbereitende Sätze
1.1 Satz des Pythagoras
1.2 Sinus- und Kosinussatz
1.3 Winkelsätze
1.4 Binomische Formeln
1.5 Die vier Ähnlichkeitssätze am Dreieck
1.6 Strahlensätze
1.7 Sekantensatz
2 Kreise am Dreieck
2.1 Umkreis
2.1.1 Satz über den Umkreisradius
2.2 Berührkreise
2.3 Südpolsatz
2.3.1 Satz über Südpole
2.4 Satz von Carnot
2.4.1 Sonderfälle des Satzes von Carnot
2.5 Johnson-Kreise
2.5.1 Umkreisradius des Johnson-Dreiecks
2.5.2 Das Johnson-Theorem
2.5.3 Der antikomplementäre Kreis
2.5.4 Das antikomplementäre Dreieck
2.6 Schmetterlingssatz
2.7 Taylor-Kreis
2.8 Malfatti-Kreise
2.9 Lamoen-Kreis
2.10 Feuerbachkreis
2.10.1 Der Satz über den Feuerbachkreis
2.10.2 Der Radius des Feuerbachkreises
2.10.3 Zusammenhang Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt
2.10.4 Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises
2.10.5 Der große Satz von Feuerbach
2.10.6 Hilfssatz
3 Weitere geometrische Problemaufgaben
3.1 Sehnenviereck
3.1.1 Sehnensatz
3.1.2 Satz über ähnliche Dreiecke im Sehnenviereck
3.1.3 Satz über Innenwinkel im Sehnenviereck
3.1.4 Satz über Mittelsenkrechten im Sehnenviereck
3.1.5 Satz des Ptolemäus
3.2 Japanischer Satz für Sehnenvierecke
3.3 Höhenfußpunktdreieck
3.3.1 Zusammenhang Höhenfußpunktdreieck, Inkreis und Ankreise
3.3.2 Zusammenhang Umkreismittelpunkt mit Verbindungen der Lotfußpunkte
3.3.3 Hilfssatz für 3.3.2
3.4 Satz vom asymmetrischen Propeller
3.4.1 Verallgemeinerung des Satzes vom asymmetrischen Propeller
3.5 Das Napoleondreieck
3.6 Satz von Morley/Das Morleydreieck
3.6.1 Satz von Morley
3.7 Neuberg-Mineurkreis
3.7.1 Der Satz von Neuberg-Mineur
3.7.2 Hilfssatz 1
3.7.3 Hilfssatz 2: Satz von Steiner-Miquel
3.7.4 Hilfssatz 3
3.7.5 Hilfssatz 4
3.7.6 Satz über den Spezialfall des Satzes von Neuberg-Mineur
3.8 Sangaku - Japanische Tempelgeometrie
3.8.1 Zweites Problem aus dem Katayamahiko-Schrein
3.8.2 16. Problem aus dem Katayamahiko-Schrein
4 Didaktische Überlegungen
4.1 Bedeutung des Geometrieunterrichts in Thüringen
4.2 Didaktische Überlegungen zu einigen Problemen aus Kapitel 2 und 3
4.2.1 Umkreis, Inkreis und Satz von Carnot
4.2.2 Johnson-Kreise
4.2.3 Feuerbachkreis
4.2.4 Sätze über das Sehnenviereck
4.2.5 Sangaku-Aufgaben
III Schlusswort
Literaturverzeichnis
Abbildung 1: Allgemeines Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c
Abbildung 2: Rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck
Abbildung 3: Gleichseitiges Dreieck
Abbildung 4: Begrifflichkeiten am Dreieck
Abbildung 5: Begrifflichkeiten am Kreis
Abbildung 6: Kreiswinkel
Abbildung 7: Ähnlichkeitskreis
Abbildung 8: Rechtwinkliges Dreieck
Abbildung 9: Winkelpaare
Abbildung 10: Zentrische Streckung des Dreiecks ABC um den Faktor 3 und
Abbildung 11: Kreiswinkel
Abbildung 12: Satz des Thales
Abbildung 13: Hilfszeichnung zum Beweis des Satz des Thales
Abbildung 14: 1. und 2. Strahlensatz
Abbildung 15: 3.Strahlensatz
Abbildung 16: Sekantensatz
Abbildung 17: Umkreis des Dreiecks ABC
Abbildung 18: Inkreis Ki und Ankreise K1, K2, K3
Abbildung 19: Hilfszeichnung für den Zusammenhang der Radien
Abbildung 20: Südpolsatz
Abbildung 21: Satz über Südpole
Abbildung 22: Satz von Carnot
Abbildung 23: Satz von Carnot im rechtwinkligen Dreieck
Abbildung 24: Satz von Carnot im stumpfwinkligen Dreieck
Abbildung 25: Johnson-Kreise und Johnson-Dreieck
Abbildung 26: Durch den Radius r gebildete Rhomben
Abbildung 27: Antikomplementärer Kreis, antikomplementäres Dreieck
Abbildung 28: Schmetterlingssatz
Abbildung 29: Beweis Schmetterlingssatz
Abbildung 30: Taylor-Kreis
Abbildung 31: Hilfszeichnung zum Taylor-Kreis
Abbildung 32: Malfatti-Kreise
Abbildung 33: Hilfskonstruktion zu den Malfatti-Kreisen
Abbildung 34: Lamoen-Kreis
Abbildung 35: Hilfspunkte zum Beweis des Lamoen-Kreis
Abbildung 36: Hilfskonstruktion zum Beweis des Lamoen-Kreis
Abbildung 37: Feuerbachkreis
Abbildung 38: Feuerbachkreis und Eulergerade
Abbildung 39: Großer Satz von Feuerbach
Abbildung 40: Hilfssatz 2.10.6
Abbildung 41: Hilfskonstruktion zum Beweis des großen Satz von Feuerbach
Abbildung 42: Konvexes Sehnenviereck
Abbildung 43: Sehnenviereck mit überschlagenem Viereck
Abbildung 44: Sehnensatz
Abbildung 45: Diagonalendreiecke im Sehnenviereck
Abbildung 46: Hilfszeichnung zum Beweis des Satzes über Innenwinkel
Abbildung 47: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist M
Abbildung 48: Diagonalen im Sehnenviereck
Abbildung 49: Hilfskonstruktion zum Beweis des Satzes des Ptolemäus
Abbildung 50: Japanischer Satz für Sehnenvierecke
Abbildung 51: Höhenfußpunktdreieck
Abbildung 52: Senkrechte Geraden im Höhenfußpunktdreieck
Abbildung 53: Asymmetrischer Propeller (blau) und gleichseitiges Dreieck (rot)
Abbildung 54: Hilfszeichnung 1 zum Beweis des Satzes vom asymmetrischen Propeller
Abbildung 55: Hilfszeichnung 2 zum Beweis des Satzes vom asymmetrischen Propeller
Abbildung 56: 1. Verallgemeinerung
Abbildung 57: 2. Verallgemeinerung
Abbildung 58: 3. Verallgemeinerung
Abbildung 59: 4. Verallgemeinerung
Abbildung 60: Hilfszeichnung zum Beweis der 4. Verallgemeinerung
Abbildung 61: Inneres und äußeres Napoleondreieck
Abbildung 62: Hilfszeichnung zum Beweis des äußeren Napoleondreiecks
Abbildung 63: Morley-Dreieck
Abbildung 64: Hilfszeichnung zum Beweis des Satzes von Morley
Abbildung 65: Neuberg-Mineurkreis
Abbildung 66: Darstellung zu Hilfssatz 1
Abbildung 67: Skizze zum Beweis des Hilfssatz 1
Abbildung 68: Miquelpunkt P
Abbildung 69: Tangenten an Hilfskreisen
Abbildung 70: Hilfskonstruktion zum Mineurkreis
Abbildung 71: Hilfskonstruktion 2 zum Mineurkreis
Abbildung 72: Spezialfall des Satzes von Neuberg-Mineur
Abbildung 73: Hilfskonstruktion zum Beweis des Spezialfalles
Abbildung 74: Dewasanzan-Schrein
Abbildung 75: Zweites Problem aus dem Katayamahiko-Schrein
Abbildung 76: Hilfskonstruktion zum Beweis des Sanganku 3.8.1
Abbildung 77: Sangaku des Katayamahiko-Schreins
Abbildung 78: Erweitertes Sangaku
Abbildung 79: Hilfskonstruktion zum Beweis des erweiterten Sangaku
Abbildung 80: 16. Sangaku im Katayamahiko-Schrein
Abbildung 81: Hilfszeichnung zur Lösung des 16. Sangaku im Katayamahiko-Schrein
Abbildung 82: Ergänzungsbeweis
Für Punkte werden lateinische Großbuchstaben A, B, C, …. verwendet.
Für Seitenlängen, Strecken und Geraden werden lateinische Kleinbuchstaben a, b, c, … verwendet.
Für Winkel werden Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets verwendet.
Dreieck ABC bedeutet, dass es sich um ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C handelt.
Viereck ABCD bedeutet, dass es sich um ein Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D handelt.
Kreis ABC bedeutet, dass es sich um den eindeutig durch die Punkte A, B und C gegebenen Kreis handelt.
Geraden durch Punkte A und B werden AB genannt.
Strecken zwischen den Punkten A und B werden ABgenannt.
Die gerichtete Strecke vom Punkt A zu Punkt B wird AB genannt.
Einen Kreisbogen der durch die Punkte A und B gebildet wird, wird AB genannt.
Mit ABC wird der Winkel im Punkt B bezeichnet, der durch den Schnittpunkt der Strecken von AB und BC gebildet wird und ist gleichbedeutend mit der Bezeichnung (BA; BC).
In dieser Staatsexamensarbeit für das erste Staatsexamen für Lehramt Gymnasium Mathematik und Wirtschaftslehre/Recht mit dem Titel „Untersuchungen zu Dreieck, Viereck und Kreis in ihrer gegenseitigen Lage“ werden verschiedene, mitunter überraschende, Zusammenhänge zwischen Dreieck, Viereck und Kreis beleuchtet.
Hierbei wird nach zwei Vorkapiteln, die sich mit den nötigen mathematischen Grundlagen zum Verständnis der Arbeit beschäftigen, mit dem Thema „Kreise am Dreieck“ beschäftigt. Hierzu gibt es vielfältige Problemvarianten, so dass ein eigenes Kapitel gerechtfertigt ist. In Kapitel 3 wird sich nachfolgend mit weiteren interessanten Zusammenhängen beschäftigt, die das Viereck mit einbeziehen.
Nach diesem wissenschaftlichen Teil folgt ein didaktisches Kapitel, in dem die Geometrie im Schulunterricht näher betrachtet wird und für einige der behandelten Themen aus Kapitel 2 und 3 eine Möglichkeit aufgezeigt wird, diese in den Unterricht einzugliedern. Diese sind nur als Anregungen zu verstehen, um eine Vorstellung zu entwickeln, wie auch historische oder scheinbar komplexe Aufgaben für die Schüler motiviert werden können und ihre Kreativität herausgefordert wird.
In dieser Arbeit werden viele aus der Geometrie bekannte Begrifflichkeiten verwendet. Dieses Vorkapitel dient dazu die Leser auf einen Wissensstand zu bringen und den späteren Umgang mit den Definitionen zu erleichtern.
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten und drei Seiten (die Verbindungslinien der Punkte) besteht. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°. Die gebräuchliche Notation ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Allgemeines Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c
und den Innenwinkeln , und
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 90°. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel wird Hypotenuse, die beiden anderen Seiten werden Katheten genannt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei der drei Seiten gleich lang sind. Die Winkel die den zwei gleichlangen Seiten gegenüber liegen, heißen Basiswinkel und sind gleich groß.
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck bei dem alle Seiten gleich lang sind. Alle Innenwinkel betragen 60°.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3: Gleichseitiges Dreieck
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4: Begrifflichkeiten am Dreieck
Seitenhalbierende: Ist die Verbindungsstrecke eines Dreieckseckpunktes zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden ist der Dreiecksschwerpunkt S.
Mittelsenkrechte: Ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben. In dem Dreieck ist sie umgangssprachlich gesagt die Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Seite geht und senkrecht auf ihr steht.
Winkelhalbierende: Ist die Gerade, die einen Winkel halbiert.
Mittelparallele: Ist (in einem Dreieck) die Verbindungsstrecke der Seitenmittelpunkte. Die Mittelparallele ist zu je einer Seite des Dreiecks parallel und halb so lang wie die entsprechende Seite. Die drei Mittelparallelen eines Dreiecks bilden das sogenannte Mittendreieck.
Höhe: Ist die Strecke die von einem Punkt senkrecht auf eine Gerade gefällt wird (umgangssprachlich: das Lot wird gefällt). Der Wert dieser Strecke wird ebenfalls als die Höhe bezeichnet. Der Schnittpunkt mit der Geraden wird Lotfußpunkt (hier Hb , da das Lot auf b gefällt wird) genannt. Der Schnittpunkt aller Dreieckshöhen wird Höhenschnittpunkt genannt und kann sowohl innerhalb als auch außerhalb des Dreiecks liegen.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die den gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt haben. Ein Kreis K ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 5: Begrifflichkeiten am Kreis
Radius r: Ist der Abstand zwischen dem Kreismittelpunkt M und der Kreislinie.
Durchmesser d: Es gilt d=2r.
Tangente t: Ist eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt (hier B) berührt. In einem Kreis steht die Tangente senkrecht auf dem zu dem Berührungspunkt gehörigen Kreisradius r.
Sehne s: Ist eine Verbindungsstrecke zwischen zwei auf der Kreislinie liegenden Punkten (hier A und B). Durch eine Sehne wird der Kreis in zwei Kreisbögen b1 und b2 geteilt.
Sekante sk: Ist eine Gerade durch zwei auf der Kreislinie liegenden Punkten (hier C und D).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 6: Kreiswinkel
Mittelpunktswinkel : Ist der Winkel BMA an dem Mittelpunkt M eines Kreisbogens AB. Umfangswinkel (auch Peripheriewinkel): Ist der Winkel BPA an einem Punkt P, der auf dem Kreisbogen liegt der den gegebenen Kreisbogen AB zu einem Kreis komplettiert.
Sehnentangentenwinkel : Er wird zu einem gegebenen Kreisbogen von der Sehne AB und der Kreistangente im Punkte A oder B begrenzt.
Gegeben sind zwei Kreise K1 und K2 mit unterschiedlichen Radien, die außerhalb von einander liegen und sich nicht berühren. Die Kreise besitzen die Kreismittelpunkte M1 beziehungsweise M2 und die Radien r1 beziehungsweise r2. Zu den beiden Kreisen existieren zwei Streckungszentren A und B, welche auf dem Schnittpunkt der äußeren beziehungsweise inneren Tangenten liegen.
Der Ähnlichkeitskreis ist der Kreis, der über den Punkten A und B mit dem Durchmesser AB gebildet wird.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 7: Ähnlichkeitskreis
Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) bezeichnen den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen. Dies galt ehemals nur für rechtwinklige Dreiecke, für die die Winkelfunktionen hier aufgezeigt werdeb.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 8: Rechtwinkliges Dreieck
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Kongruenz
Zwei geometrische Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie durch Parallelverschiebung, Drehung und Spiegelung (oder durch die Hintereinanderausführung derselben) ineinander überführt werden können. Die Seitenlängen und Größe der Winkel stimmen bei kongruenten Figuren überein.
Ähnlichkeit
Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn eine Figur eine Verkleinerung, Vergrößerung oder eine Kopie der Anderen ist, so dass beide Figuren die gleiche Gestalt haben und das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen zueinander gleich ist.
Der Ähnlichkeit der Ursprungsfigur und das Ergebnis nach einer Spiegelung wird als ungleichsinnigähnlich bezeichnet, während es nach einer Drehung oder Verschiebung mit gleichsinnigähnlich benannt wird.
In der Geometrie gibt es besondere Winkelpaare, die vor allem bei der Untersuchung der nachfolgenden Probleme hilfreich sind.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 9: Winkelpaare
Nebenwinkel: Wenn sich zwei Geraden schneiden, so heißen die benachbarten Winkel Nebenwinkel. Sie ergänzen sich zu 180° (hier: + = 180°). Der Nebenwinkel eines Innenwinkels ist der Außenwinkel. Der Außenwinkel eines Dreiecksinnenwinkels ist genauso groß wie die Summe der beiden anderen Innenwinkel.
Scheitelwinkel: Wenn sich zwei Geraden schneiden, so heißen die gegenüberliegenden Winkel Scheitelwinkel. Die Scheitelwinkel sind immer gleich groß (hier: = ).
Wechselwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei weitere Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf den unterschiedlichen Seiten von g und auf den unterschiedlichen Seiten von k und l liegen, Wechselwinkel. Sind k und l parallel zueinander so sind die Wechselwinkel gleich groß (hier: und , wobei aufgrund der Parallelität von k und l gilt: = ).
Stufenwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei weitere Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf der gleichen Seite von g und auf den gleichen Seiten von k und l liegen, Stufenwinkel. Sind k und l parallel zueinander, so sind die Stufenwinkel gleich groß (hier: und , wobei aufgrund der Parallelität von k und l gilt: = ).
Nachbarwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei parallele Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf der gleichen Seite von g und auf den unterschiedlichen Seiten von k und l liegen Nachbarwinkel. Sie ergänzen sich zu 180° (hier: + = 180°).
Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung, die alle Strecken in einem gegebenen Verhältnis (dem Streckungsfaktor) aus einem Streckungszentrum in ihrer Größe verändert. Die abgebildeten Strecken bleiben jedoch zu den Ursprungsstrecken parallel und die Winkel und Streckenverhältnisse bleiben ebenfalls gleich.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 10: Zentrische Streckung des Dreiecks ABC um den Faktor 3 und
In der Abbildung 10 werden zwei zentrische Streckungen um das Streckungszentrum Saufgezeigt. Hierbei wurde das Ausgangsdreieck ABC einmal um den Faktor verkürzt, was das Dreieck A’B’C‘ ergibt und dann ein zweites Mal um den Faktor 3 gestreckt, was das Dreieck A‘‘B‘‘C‘‘ ergibt.
In diesem Kapitel werden ein paar häufig in den späteren Beweisen genutzte Sätze präsentiert. Zu einigen wird kein Beweis gegeben, da diese bereits aus der Schulzeit bekannt sein sollten.
Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalsten Sätze der euklidischen Geometrie (die Geometrie der Ebene und des Raumes wie sie in dieser Arbeit behandelt wird) und ist nach dem griechischen Philosoph Pythagoras von Samos (etwa 570 v. Chr. - 510 v. Chr.) benannt. Er besagt, dass das Hypotenusenquadrat gleich der Summe der Kathetenquadrate ist. Sei c die Hypotenuse und a und b die Katheten so gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras ist der Kosinussatz.
Sinussatz
Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC, r der Umkreisradius des Dreiecks und und die jeweils den Seiten gegenüberliegenden Winkel. Dann gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC und , und die jeweils den Seiten gegenüberliegenden Winkel. Dann gilt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 11: Kreiswinkel
Kreiswinkelsatz
Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie der dazugehörige Umfangswinkel.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Umfangswinkelsatz
Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß. Spezialfall: Satz des Thales Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt auf diesem Halbkreis, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck (Alle Winkel im Halbkreisbogen sind rechte Winkel.).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 12: Satz des Thales
Beweis:
Der Durchmesser (hier AB) kann halbiert werden, so dass man von dem Mittelpunkt M aus zu jedem Punkt des Halbkreises den Abstand r (Radius) hat. Bildet man mit einem beliebigen Punkt C auf dem Halbkreisbogen (der ungleich der Eckpunkte ist) ein Dreieck mit den beiden Halbkreiseckpunkten, so kann man mit dem Mittelpunkt zwei gleich- schenklige Dreiecke MAC und MCB bilden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 13: Hilfszeichnung zum Beweis des Satz des Thales
Da in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel immer gleich groß sind und die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, gilt für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hieraus folgt die gesuchte Beziehung 90° = + und somit ist die Behauptung bewiesen.
Sehnentangentenwinkelsatz
Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die dazugehörigen Umfangswinkel und damit halb so groß wie der dazugehörige Mittelpunktswinkel.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Allgemein gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Insbesondere gelten die Beziehungen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ähnlichkeitssätze geben hinreichende Bedingungen dafür an, dass zwei Dreiecke ähnlich sind.
1. Satz (ww-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln (und damit nach der Innenwinkelsumme für Dreiecke - die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks ergibt 180° - auch im Dritten) übereinstimmen.
2. Satz (SSS-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
3. Satz (SwS-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.
4. Satz (SSw-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
Wenn sich zwei Halbgraden (Geraden die an einer Seite begrenzt sind, auch Strahl genannt) in einem Punkt und anschließend zwei parallele Geraden schneiden so gelten folgende Aussagen (die Punkte sind entsprechend der Abbildungen 14-16 angeordnet):
1. Strahlensatz:
Die Abschnitte auf dem einen und die Abschnitte auf dem anderen Strahl haben das gleiche Streckenverhältnis:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 14: 1. und 2. Strahlensatz
2. Strahlensatz:
Die Abschnitte auf den Parallelen und die Strahlenabschnitte haben das gleiche Streckenverhältnis:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3. Strahlensatz:
Die Abschnitte auf einer Parallele und die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Parallelen haben das gleiche Streckenverhältnis:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 15: 3. Strahlensatz
Es seien AB und CD zwei Geraden, die sich in einem Punkt P außerhalb der Strecken AB und CD schneiden. Wenn die Punkte A, B, C und D auf einem Kreis liegen gilt PA PB = PC PD.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 16: Sekantensatz
Beweis nach [6, S. 10-11]:
Wenn A, B, C und D auf einem Kreis liegen (Anordnung gemäß Abbildung 16), gilt mit dem Umfangswinkelsatz DCB = DAB und damit PCB = DAP. Weiterhin gilt BPC = APD. Nach den Ähnlichkeitssätzen folgt, dass die Dreiecke BPC und DAP ähnlich sind. Aus der Ähnlichkeit folgt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Umkehrung des Sekantensatzes:
Es seien AB und CD zwei Geraden die sich in einem Punkt P außerhalb der Strecken AB und CD schneiden. Die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis wenn PA PB = PC PD gilt.
Beweis nach [6, S. 10-11]:
Anordnung der Punkte wie in Abbildung 16. Wenn PA PB = PC PD gilt, dann gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Weiterhin gilt BPC = APD. Somit sind die Dreiecke BPC und PA DAP ähnlich. Aus der Ähnlichkeit folgt PCB = DAP und damit DCB = DAB. Demnach liegen A, B, C und D auf einem Kreis.
Dieses Kapitel stellt ausschließlich geometrische Betrachtungen von Kreisen und Dreiecken in ihrer gegenseitigen Lage vor.
Zu einem Dreieck ABC gibt es genau einen Kreis Ku , der durch die Punkte A, B und C geht. Dieser Kreis wird Umkreis des Dreiecks ABC genannt. Da ein Kreis eindeutig durch drei Punkte bestimmt ist, ist die Eindeutigkeit gezeigt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 17: Umkreis des Dreiecks ABC
Der griechische Mathematiker Euklid (360 v. Chr. - 280 v. Chr.) stellte fest, dass ein Kreis spiegelbildlich zu jedem seiner Durchmesser ist. Durch diese symmetrische Beziehung schneiden sich alle drei Mittelsenkrechten des Dreiecks in dem Umkreismittelpunkt M.
Für den Umkreisradius R gilt mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von BC mit BC. Mit dem Umkreis mittelpunkt M bilden sich zwei rechtwinklige Dreiecke MSC und BSM. Mit dem Kreiswinkelsatz ergibt sich für den Mittelpunktswinkel CMB = 2 CAB. Demnach ist MBS = SCM = CAB. Hieraus folgt R sin CAB = BS =a und damit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ein Berührkreis ist ein Kreis, welcher alle drei (verlängerten) Dreiecksseiten berührt. In einem beliebigen Dreieck ABC gibt es genau vier Berührkreise: den Inkreis Ki und die drei Ankreise K1, K2, K3.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 18: Inkreis &' und Ankreise &1, &2, &3
Durch die bereits beim Umkreis erwähnte Kreissymmetrie bezüglich des Durchmessers folgt, dass der Winkel zweier sich schneidenden Tangenten vom Durchmesser durch ihren Schnittpunkt halbiert wird. Wie in Abbildung 18 erkenntlich, schneiden sich die inneren und äußeren Winkelhalbierenden in vier Punkten: Mi , M1, M2 und M3. Diese Punkte haben je den gleichen Abstand zu den Dreiecksseiten beziehungsweise deren Verlängerungen und bilden somit die bereits erwähnten vier Kreise (Inkreis Ki und die drei Ankreise K1,K2,K3), die durch die Berührung der Geraden AB, BC und CA Berührkreise genannt werden. Die Radien heißen für den Inkreis r und für die Ankreise r1, r2 beziehungsweise r3.
Für die Radien gelten folgende Beziehungen zum Flächeninhalt F des Dreiecks ABC:
Es sei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und s sei der halbe Dreiecksumfang mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Das Dreieck Mi BC hat die Höhe r und diese steht senkrecht auf der Seite a. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt F1 dieses Dreiecks F1 =1 a r. Analog kann man die Flächeninhalte der anderen Teildreiecke betrachten und es ergibt sich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Analoge Beziehungen finden sich für die Radien der Ankreise, so dass gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Umkreisradius und die Berührkreisradien stehen ebenfalls in einer Verbindung zueinander [1, S. 28].
Es sei D der Lotfußpunkt der Höhe von A auf BC. Weiter sei der Punkt E derjenige Punkt auf der Umkreislinie der mit A den Durchmesser AE bildet. Nach dem Satz von Thales ist ACE = 90° und die beiden rechtwinkligen Dreiecke ABD und ACE sind mit dem Umfangswinkelsatz und dem Ähnlichkeitssätzen (ww-Satz) ähnlich zueinander. Somit gilt für die Seitenverhältnisse
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 19: Hilfszeichnung für den Zusammenhang der Radien
Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der soeben erhaltenen Gleichung ergibt sich umgestellt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es gilt also der Zusammenhang 4 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
In einem Dreieck ABC schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Winkelhalbierende der gegenüberliegenden Ecke in einem Punkt S auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Dieser Punkt S wird Südpol genannt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 20: Südpolsatz
Beweis nach [5, S. 15-18]:
Gegeben ist ein Dreieck ABC. Die Mittelsenkrechte liegt auf der Seite BC und die Winkelhalbierende halbiert CAB. Weiterhin sei SA der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Umkreis des Dreiecks ABC.
Damit gilt SA B = SA C. Die Sehnen sind also gleich lang und da sie am selben Kreis liegen, haben sie den gleichen Umfangswinkel. Also SA AB = SA. Damit muss SA auf der Winkelhalbierenden von CAB liegen. Somit schneiden sich die Winkelhalbierende und die Mittelsenkrechte in einem Punkt SA der auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt.
Es seien SA , SB und SC die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von BC, CA beziehungsweise AB mit den Winkelhalbierenden von CAB, ABC beziehungsweise BCA. M ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Dann ist SA der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BCM, SB der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CAM und SC der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABM.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 21: Satzüber Südpole
Beweis nach [5, S. 15-19]:
Es sei ABC und BCA. SA MB ist im Dreieck AMB ein Außenwinkel und mit dem Satz über Außenwinkel folgt mit M als Winkel halbierendenschnittpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Weiterhin gilt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Dreieck SA MB ist also gleichschenklig und analog gilt dies auch für das Dreieck CMSA .
Somit gilt SAB = SAM = SAC. Folglich ist SA der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BCM. Analog zeigt sich, dass SB der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CAM und SC der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABM ist.
Der französische Politiker und Mathematiker Lazare N. M. Carnot (1753-1823) ermittelte eine Beziehung zwischen Inkreisradius, Umkreisradius und den Abständen des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten eines Dreiecks ABC.
M sei der Umkreismittelpunkt, R der Umkreisradius, r der Inkreisradius und D, E und F die Seitenmitten eines spitzwinkligen Dreiecks ABC mit den Seiten a=BC, b = CA und c = AB. Dann gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 22: Satz von Carnot
Beweis nach16:
Nach Voraussetzung ist das Dreieck ABC spitzwinklig. Damit liegt der Punkt M im Dreiecksinneren und der Satz von Ptolemäus (Kapitel 3.1.5) kann benützt werden.
Dieser wird auf die drei Sehnenvierecke (mehr dazu in Kapitel 3.1) AFME, BDMF und CEMD angewandt und es gilt mit den Eigenschaften von Mittelparallelen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Addiert man diese drei Gleichungen, so erhält man
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Fläche F des Dreiecks ABC kann in drei Dreiecksflächen FB , FC und FA der Dreiecke BCM, CAM und ABM zerlegt werden. Demnach ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Weiterhin gilt für den Flächeninhalt F = r s, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Hälfte des Dreiecksumfangs bezeichnet.
Damit folgt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Addiert man (1) und (2) folgt die Gleichung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nach Division von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgt die gesuchte Beziehung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Sonderfall: Das Dreieck ABC ist bei C rechtwinklig.
Dann fallen die Punkte M und F zusammen und es gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 23: Satz von Carnot im rechtwinkligen Dreieck
2. Sonderfall: Das Dreieck ABC ist bei C stumpfwinklig.
Dann gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 24: Satz von Carnot im stumpfwinkligen Dreieck
[...]
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