Ein Vektor ist ein Pfeil, der eine bestimmt Richtung und einen bestimmten Betrag hat.
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Der Punkt P hat die Koordinaten (2|6|3). Das bedeutet: „2" in x1 - Richtung, „6" in x2- Richtung und „3" in x3 - Richtung. Die Resultierende dieser 3 Komponenten ist der Ortsvektor (grUner Pfeil), der hier ist:
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Der Betrag des Vektors lasst sich anhand des Satz des Pythagoras berechnen.
Der blaue Pfeil ist der resultierende Pfeil aus der x1 - Komponente und aus der x2- Komponente, Der grune Pfeil wiederum die resultierende aus dem blauen Pfeil und der x3- Komponente.
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Der Ortsvektor OP ist ein Pfeil, der vom Ursprung zum Punkt P verlauft. Sein Betrag ist die Wurzel der Quadrate aller drei Komponenten. Er wird auch mit p abgekurzt.
Will man den Vektor zwischen zwei Punkten berechnen, so nimmt man die Differenz beider Ortsvektoren.
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Ubungen:
1. Zeichne den Ortvektor vom Punkt P (4|0|3) in ein Koordinatensystem und berechne dessen Betrag.
2. Berechne den Vektor von A (2|1|4) und B (3|5|4) und dessen Betrag.
Um eine Gerade zu bestimmen, bedarf es zwei Punkte. Einer der beiden Punkte stellt den Stutzvektor dar, und der Vektor der von Punkt 1 zu Punkt 2 lauft, ist der Richtungsvektor:
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Gegenseitige Lage von Geraden:
a. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie den gleichen Richtungsvektor haben bzw. wenn diese Vielfache voneinander sind und keinen gemeinsamen Punkt haben.
b. Zwei Geraden liegen aufeinander, wenn sie den gleichen Richtungsvektor haben bzw. wenn diese Vielfache voneinander sind und sie mindesten einen Punkt gemeinsam haben.
c. Zwei Geraden haben einen Schnittpunkt, wenn ihre Richtungsvektoren linear unabhangig sind und einen gemeinsamen Punkt haben.
d. Zwei Geraden verlaufen windschief, wenn sie linear unabhangige Richtungsvektoren haben und sich nicht schneiden.
Beispiel a
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Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, was bedeutet, dass beide Geraden in dieselbe Richtung verlaufen (Richtungsvektor a *(-2) = Richtungsvektor b).
Nun soil uberpruft werden, ob die Geraden parallel oder aufeinander verlaufen. Dazu suchen wir einen gemeinsamen Punkt. Durch das gleichsetzen beider Geraden konnen wir einen Schnittpunkt berechnen:
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Die Parameter sind Skalare, konnen also nicht unterteilt werden in verschiedene rx, r2 und r3 bzw. rx, r2 und r3 mussen identisch sein.
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Das Gleichungssystem zeigt in der dritten Gleichung, das es nicht losbar ist ( 4 = 0 ). Daher auch kein Schnittpunkt.
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Beispiel b
Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, was bedeutet, dass beide Geraden in dieselbe Richtung verlaufen (Richtungsvektor a *(-2) = Richtungsvektor b).
Nun soll uberpruft werden, ob die Geraden parallel oder aufeinander verlaufen. Dazu suchen wir einen gemeinsamen Punkt. Durch das gleichsetzen beider Geraden konnen wir einen Schnittpunkt berechnen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Parameter sind Skalare, konnen also nicht unterteilt werden in verschiedene r1, r2 und r3 bzw. r1, r2 und r3 mussen identisch sein.
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