Bachelorarbeit, 2018
46 Seiten, Note: 1,3
Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Problemstellung und Motivation
1.2 Vorgehensweise und Ziel der Arbeit
2 Methodologie
2.1 Theoretische Grundlagen
2.1.1 Moneyness der Optionen
2.1.2 Innerer Wert und Zeitwert
2.2 Volatilität
2.3 Black-Scholes Modell
2.4 Einführung der Greeks
2.4.1 Delta
2.4.2 Gamma
2.4.3 Theta
2.4.4 Vega
2.4.5 Rho
3 Daten
3.1 Datensatz
3.2 Datenaufbereitung
3.3 Risikoloser Zinssatz
3.4 Stationarität
4 Empirische Analyse
4.1 Restlaufzeit
4.1.1 Delta einer Kaufoption mit langer Restlaufzeit vs. kurzer Restlaufzeit
4.1.2 Gamma einer Kaufoption mit langer Restlaufzeit vs. kurzer Restlaufzeit
4.1.3 Theta einer Kaufoption mit langer vs. kurzer Restlaufzeit
4.1.4 Vega einer Kaufoption mit langer Restlaufzeit vs. kurzer Restlaufzeit
4.1.5 Rho einer Kaufoption mit langer vs. kurzer Restlaufzeit
4.2 Volatilität
4.2.1 Delta einer Kaufoption mit unterschiedlichen Volatilitäten
4.2.2 Gamma einer Kaufoption mit unterschiedlichen Volatilitäten
4.2.3 Theta einer Kaufoption mit unterschiedlichen Volatilitäten
5 Zusammenfassung
Anhang
Literaturverzeichnis
Eidesstattliche Erklärung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Zeitwertfall einer Option
Abbildung 2: Tägliche Rendite der Deutschen Bank AG der letzten 10 Jahren
Abbildung 3: Stationäre Renditen der Deutschen Bank AG in den letzten 10 Jahren
Abbildung 4: Wöchentliche Rendite der Deutschen Bank AG in den letzten 10 Jahren
Abbildung 5: Stationäre wöchentliche Rendite der Deutschen Bank AG in den letzten 10 Jahren
Abbildung 6: Tägliche Rendite der E.ON AG in den letzten 10 Jahren
Abbildung 7: Stationäre Renditen der E.ON AG in den letzten 10
Abbildung 8: Veränderung von Delta bei unterschiedlichen RLZ (Deutsche Bank AG)
Abbildung 9: Veränderung von Delta bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (E.ON AG)
Abbildung 10: Veränderung von Gamma bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (Deutsche Bank AG)
Abbildung 11: Veränderung von Gamma bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (E.ON AG)
Abbildung 12: Veränderung von Theta bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (Deutsche Bank AG)
Abbildung 13: Veränderung von Theta bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (E.ON AG)
Abbildung 14: Veränderung von Theta bei unterschiedlichem Zinsniveau (Deutsche Bank AG)
Abbildung 15: Veränderung von Vega bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (Deutsche Bank AG)
Abbildung 16: Veränderung von Vega bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (E.ON AG)
Abbildung 17: Veränderung von Rho bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (Deutsche Bank AG
Abbildung 18: Veränderung von Rho bei unterschiedlichen Restlaufzeiten (E.ON AG)
Abbildung 19: Veränderung von Delta bei unterschiedlichen Volatilitäten XVIII
Abbildung 20: Absolute Abweichung der Deltas zweier Kaufoptionen mit unterschiedlichen Restlaufzeiten
Abbildung 21: Veränderung von Gamma bei unterschiedlichen Volatilitäten
Abbildung 22: Veränderung von Theta bei unterschiedlichen Volatilitäten
Tabelle 1: Kaufoption der Deutschen Bank AG mit einer Laufzeit von 3 Monaten
Tabelle 2: Kaufoption der Deutschen Bank AG mit einer Laufzeit von einem Jahr
Tabelle 3: Kaufoption der E.ON AG mit einer Laufzeit von 3 Monaten
Tabelle 4: Kaufoption der E.ON AG mit einer Laufzeit von einem Jahr
Tabelle 5: Kaufoption der Deutschen Bank mit einer Laufzeit von 3 Monaten und unterschiedlicher V olatilität
Tabelle 6: Darstellung der absoluten Abweichungen der Deltas mit unterschiedlichen Restlaufzeiten
In den letzten Jahrzehnten haben sich die Finanzmärkte zu einem wichtigen Bestandteil unserer Wirtschaftssysteme entwickelt, in denen Millionen von Menschen interagieren, sei es direkt durch das Platzieren von Aufträgen an der Börse oder indirekt durch Vermögensverwalter. Längst ist der Prozess nationaler Börsen nicht mehr nur an die Ereignisse im eigenen Land gebunden, sondern hat sich durch die Folgen der Globalisierung und der Internationalisierung auf die gesamte Welt ausgedehnt. Insbesondere für Finanzgeschäfte existieren keine nationalen Grenzen mehr.1
Mit den Entwicklungen auf den Finanzmärkten sind - geprägt durch Globalisierung, Liberalisierung und Deregulierung - auch die Risiken gestiegen. Staaten können immer weniger in das Geschehen eingreifen und Finanztransaktionen unterliegen keinen bestimmten Auflagen.
Über die letzten Jahrzehnte sind Instrumentarien geschaffen worden, die Risiken zu minimieren und gegen Verluste zu sichern. Ein geeignetes Instrument ist der Einsatz derivativer Finanzinstrumente wie z.B. Optionen. Sie gelten allgemein als moderne und neumodische Instrumente2 und sind heutzutage als Basiswerkzeuge für das moderne Banken- und Handelswesen nicht mehr wegzudenken.
Anleger stehen vor dem Problem, Umstrukturierungsprozesse großer Unternehmen zu bewerten, die zurzeit in den beiden deutschen Konzernen Deutsche Bank AG und E.ON AG stattfinden. Während die Umstrukturierung in der Deutschen Bank durch einen personellen Wechsel auf Führungsebene herbeigerufen wird, zeichnet sich diese bei der E.ON AG durch einen möglich Aufkauf der RWE Tochter Innogy ab.
Maßnahmen wie diese führen zu Unwissen über die zukünftige Entwicklung der Aktien beider Unternehmen. Optionen bieten Anlegern die Möglichkeit, sich gegen zukünftige Kursschwankungen der Aktie abzusichern (Hedging), um auch so in einem volatilen, risikobehafteten Marktumfeld in Aktien zu investieren.
Die Bewertung und der Handel von Optionen können aber mit erheblichen Risiken verbunden werden. Optionen gewinnen oder verlieren an Wert durch Bewegungen des US- Dollars, des DAX oder der Zinsen. Diese Risiken gewinnen bei Derivaten durch deren großes Volumen eine neue Dimension. Durch Derivate neu hinzugekommene Risiken bezeichnet man als „Greeks“ - griechische Buchstaben von Delta, Gamma, Vega über Rho bis Theta3. Diese Greeks sind Ausdrücke für spezifische Risiken und messen eine andere Dimension des Risikos in einer Optionsposition. Anleger stehen dann vor dem Problem, wie sie aus Optionen resultierende Risiken steuern sollen. Im Rahmen von Optionen werden dann verschiedene Absicherungsstrategien verwendet. Das sogenannte Delta-Hedging bzw. Gamma-Hedging sind Beispiele dafür.
Hierbei kommt insbesondere die Frage auf, wie die jeweiligen Kennzahlen von verschiedenen Faktoren wie z. B. der Restlaufzeit der Option, der Volatilität des Aktienkurses und des Basiswertes oder dem Zinssatz abhängen. Verändern sich die Kennzahlen, sofern die vorher genannten Parameter nicht mehr konstant sind? Verändern die Kennzahlen sich systematisch? Oder sind die Kennzahlen gar sogar abhängig von der Branche?
Ziel dieser Arbeit ist es, Optionen anhand zweier Aktienkurse mit den Black Scholes Modells zu bewerten, welche Faktoren Einfluss auf die jeweiligen griechischen Kennzahlen ausüben und wie diese Sensitivitätskennzahlen den Wert einer Option beeinflussen und den Preis verändern.
Die vorliegende Arbeit basiert auf einer empirischen Untersuchung durch die nähere Betrachtung einer Kaufoption. Zunächst werden in Kapitel 2 alle theoretischen und konzeptionellen Grundlagen rund um das Thema Optionen und deren Bewertung beschrieben.
Darauffolgend wird in Kapitel 3 der Datensatz vorgestellt, auf den sich die vorliegende Arbeit bezieht. Bei den verwendeten Aktienkursen handelt es sich um historische Kurse der Unternehmen Deutsche Bank AG und E.ON AG. Aus den Schlusskursen und den täglichen Renditen beider Unternehmen wird die Volatilität berechnet, um anschließend den Preis einer Kaufoption und die Greeks zu bestimmen.
Aufbauend auf den Erkenntnissen aus Kapitel 2 und 3 werden in Kapitel 4, welches den Schwerpunk der Arbeit bildet, die empirische Ergebnisse präsentiert. Hierbei werden die einzelnen Ergebnisse dann in Bezug auf ihre Ursache näher betrachtet und welche Gründe und Ursachen für eine Veränderung der Kennzahlen in Erwägung kommen.
Im letzten Kapitel werden in einem Fazit die zentralen Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst.
Das gewinnentscheidende Kriterium zum Ausüben einer Option ist die Höhe des Aktienkurses ST zum Zeitpunkt der Ausübung im Vergleich zum Basispreis K. Die Moneyness (oder auch die Lage der Option) ist eine wichtige Kennzahl, die das Verhältnis des Aktienkurses S zum Basispreis K beschreibt. Man unterscheidet hierbei 3 Fälle:4
1. Eine Option ist im Geld (in-the-money), wenn eine Ausübung der Option für den Optionsinhaber zum Gewinn führt. Eine Kaufoption (Call) liegt somit im Geld, wenn der Aktienkurs S über dem Basispreis K liegt. Eine Verkaufsoption (Put) liegt im Geld, wenn sich der Aktienkurs S unter dem Basispreis K befindet.
2. Eine Option ist aus dem Geld (out-of-the-money), sofern eine Ausübung für den Inhaber der Option zu einem Verlust führt und ist damit das Gegenteil vom ersten Fall. Ein Call liegt aus dem Geld, wenn der Aktienkurs S unter dem Basispreis K liegt. Dagegen befindet sich ein Put aus dem Geld, wenn sich der Aktienkurs S über dem Ausübungspreis K befindet.
3. Befinden sich der Basispreis K am Aktienkurs S, d.h. stimmen sie überein, befindet sich die Option am Geld (at-the-money).
Der Gesamtwert einer Option besteht grundsätzlich aus der Summe ihres inneren Wertes und ihres Zeitwertes.
Innerer Wert:
Der innere Wert einer Option ist als Wert definiert, den die Option hätte, wenn die Laufzeit jetzt zu Ende wäre.5 Dieser wird aus der Differenz errechnet, die aus dem Basispreis K und dem aktuellen Börsenkurs der Aktie S entsteht. Bei einer Call-Option ergibt sich der innere Wert aus der Differenz zwischen dem Aktienkurs ST abzüglich des Basispreises K. Befindet sich der Aktienkurs ST oberhalb des Basispreises K und weist damit einen inneren Wert auf, wird die Call-Option ausgeübt. Liegt der Aktienkurs ST am Ausübungstermin unter dem Basispreis, besitzt die Call-Option keinen inneren Wert.6
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ist festzuhalten, dass der innere Wert einer Option bei at-the-money bzw. out-of-the-money immer gleich null ist, da der innere Wert einer Option keine negativen Werte annehmen kann.
Zeitwert:
Der zweite wichtige Bestandteil des Gesamtwertes einer Option ist der Zeitwert. Da Optionen im Gegensatz zu Aktien zur Gruppe der Terminkontrakten gehören, d. h. eine festgelegte Lebensdauer haben7, unterliegen diese immer einem zeitlichen Risiko. Dieses zeitliche Risiko, auch als Zeitwert bezeichnet, berücksichtigt das Risiko für den Optionsinhaber und den Stillhalter, dass der Aktienkurs während der Optionslaufzeit T steigt bzw. sinkt und Verluste erleidet. Je länger die Restlaufzeit ist, desto größer ist das Risiko für den Stillhalter, dass der Kurs sich in eine folgenschwere Richtung für ihn entwickelt. Beim Optionsinhaber hingegen ist bei einer längeren Restlaufzeit die Chance höher, dass der Kurs des Basiswertes sich in eine günstige Richtung für ihn entwickelt.
Die Abbildung 1 im Anhang zeigt die Entwicklung des Zeitwerts abhängig von der Restlaufzeit T der Option.8
Aus der Abbildung wird deutlich, dass der Zeitwert nicht linear sinkt. Der Zeitwert einer Option verliert umso stärker, je näher der Verfallstermin heranrückt. Kurz vor dem Verfallstermin nimmt der Zeitwertverlust überproportional zu und führt zu einem Zeitwert von null am Verfallstag.9
Eine wichtige Größe zur Berechnung des Optionspreises und maßgeblich von Bedeutung für die Sensitivitätsanalyse durch die Greeks ist die Volatilität. Sie ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Bewegungen des Aktienkurses10, d. h. eine hohe Volatilität bedeutet für den Anleger eine erhöhte Wahrscheinlichkeit stark steigender oder fallender Kurse. Man unterscheidet generell zwischen der impliziten Volatilität und der geschätzten historischen Volatilität.
Die implizite Volatilität ist eine Zusammensetzung mehrerer Volatilitäten, welche die in dem am Markt beobachteten Optionspreise enthalten. Sie wird verwendet, um die Marktmeinung über die Volatilität einer bestimmten Aktie zu beobachten.11 Auf die implizite Volatilität wird in dieser Arbeit nicht näher eingegangen, da diese nur sehr aufwendig mit der Black-Scholes- Formel mittels eines Näherungsverfahrens (Iteration) berechnet werden kann.
Aufgrund dessen wird die Volatilität in dieser Arbeit nur anhand der historischen Daten der Aktienkurse empirisch geschätzt. Man bezeichnet diese auch als geschätzte bzw. historische Volatilität. Sie wird mittels der Aktienkurse über eine bestimmte feste Zeitintervalle wie folgt berechnet:12
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Volatilität pro Handelstag ist dabei als Schätzer s der Standardabweichung von ui definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wie in Kapitel 2.1 bereits erläutert, besteht der Optionswert aus der Summe des inneren Wertes und des Zeitwertes. Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, welches die zwei zuvor genannten Bestandteile des Optionswertes aufgreift und verbindet.
Die elementare Idee, die hinter dem Modell steckt, ist folgende: Es wird ein risikoloses Portfolio gebildet, welches je eine Position in einer Option und einer Aktie beinhaltet. Durch diese Beimischung wird das Aktienkursrisiko neutralisiert und das Portfolio besitzt einen festen Wert und ist für einen Zeitraum gegen jegliches Risiko abgesichert. Die Rendite des Portfolios stimmt dementsprechend mit dem risikolosen Zinssatz überein.13
Um eine ordnungsgemäße Darstellung der Black-Scholes-Modells zu gewährleisten, muss von einigen Annahmen ausgegangen werden:14
1. Für Aktienkurse gilt, dass diese einem kontinuierlichen Zufallspfad folgen und lognormal verteilt mit konstanter Varianz pro Zeitintervall im Zeitablauf sind.
2. Der Leerverkauf von Wertpapieren unter vollständiger Verwendung der resultierenden Einnahmen ist möglich.
3. Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern am Kapitalmarkt.
4. Es werden keine Dividendenzahlungen während der Laufzeit gezahlt.
5. Es ist nur am Verfalltag eine Option auszuüben (europäische Option).
6. Der risikolose Zinssatz und die Volatilität a der Aktie bleiben während der gesamten Laufzeit T der Option identisch.
Durch diese Annahmen wird die Optionsbewertung zu einem weniger komplexen Modell reduziert. Die mathematischen Formeln nach Black und Scholes, um einen dividendenlosen, europäischen Call sowie Put zu bewerten, lauten wie folgt:15
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus dem Black-Scholes-Merton Modell wird erkenntlich, dass der Preis einer Aktienoption durch fünf wesentliche Parameter bestimmt wird. Diese sind der Aktienkurs zum Zeitpunkt der Bewertung, die Restlaufzeit der Option, der Basispreis, der risikofreie Zinssatz sowie die Volatilität der Aktie. Über die partiellen Ableitungen der Black Scholes Differentialgleichung lassen sich die sogenannten Sensitivitätskennzahlen ausrechnen (Greeks). Diese geben an, wie sich der Wert einer Option während der Laufzeit ändert, wenn sich einer der wertbestimmenden Einflussparameter um einen Prozent ändert.16 Die Betrachtung der einzelnen Risikoparameter folgt unter der Annahme, dass alle übrigen Einflussgrößen unveränderbar sind.
Die erste und sehr bedeutende Kennzahl ist das Delta. Das Delta einer Option (A) ist ein Maß für die Sensitivität einer Option gegenüber der Aktie. Es zeigt auf, wie sich der Wert der Option ändert, wenn der Aktienkurs um eine Einheit steigt oder fällt.17 Bei einem Call nimmt das Delta einer Wert zwischen 0 und 1 an. Bei einem Put hingegen liegt der Wert des Delta zwischen 0 und -1. Das Delta lässt sich aus der ersten partiellen Ableitung der Black-Scholes bestimmen und ist wie folgt definiert:18
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die zweite Kennzahl ist das Gamma (y). Das Gamma gibt die Sensitivität des (Portfolio)Deltas gegenüber dem Asset-Preis an, d.h. wie sich das Delta einer Option verändert, sofern sich der Aktienkurs des zugrundeliegenden Basiswertes um eine Einheit verändert.19 Aus mathematischer Sicht ist das Gamma die erste partielle Ableitung von Delta, bzw. die zweite partielle Ableitung des Optionswerts nach dem Assetpreis:20
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die nächste zu betrachtende Kennzahl ist das Theta (0). Das Theta beschreibt die Beziehung zwischen dem Preis und der Restlaufzeit einer Option, d.h. wie stark sich der Optionspreis im Zeitablauf ändert. Aufgrund dessen wird sie manchmal als Maß für den Zeitwertverfall einer Option bezeichnet.21
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um die Veränderung des Optionspreises pro Handelstag zu erhalten, muss man Q(Call) bzw. Q(Put) durch die Anzahl der Kalendertage eines Jahres (hier: 252 Handelstage) dividieren.22
Wie in 3.1 bereits gezeigt, ist die Volatilität neben dem Basispreis der größte Einflussfaktor auf den Preis einer Option. Die Black-Scholes-Annahmen besagen, dass die Volatilität über die Laufzeit der Optionen konstant ist. In der Realität ändert sich jedoch die Volatilität im Laufe der Zeit. Dies hat zur Folge, dass sich der Wert der Option aufgrund von Volatilitätsbewegungen ändern kann.23 Die Kennzahl Vega beschreibt die Sensitivität des Optionswertes gegenüber der Volatilität des zugrundeliegenden Basiswertes.
Das Vega wird über die erste partielle Ableitung der Black-Scholes-Formel nach der Volatilität bestimmt und ist wie folgt für eine Kauf- und Verkaufsoption definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die letzte zu betrachtende Kennzahl in dieser Arbeit ist Rho. Das Rho gibt die Sensitivität des Optionspreises in Bezug auf Veränderungen des risikolosen Zinses an. Mathematisch ist Rho die erste Ableitung der Black-Scholes-Formel nach dem risikolosen Zinssatz. Es wird wie folgt charakterisiert:24
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Als Ausgangspunkt der Berechnungen dienen die täglichen Schlusskurse sowohl der Deutschen Bank AG als auch der E.ON AG, welche an der Frankfurter Börse gehandelt werden. Die Untersuchung umfasst die Daten über die letzten zehn Jahre, welche über das OnlineFinanzportal Ariva.de gesammelt wurden.25 Die Schlusskurse werden gebraucht, um die täglichen Renditen mittels der Formel26
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
zu berechnen. Aus diesen täglichen Renditen können dann letztendlich die weiteren InputParameter berechnet werden, welche für die Berechnung des Optionspreises und die Sensitivitätskennzahlen gebraucht werden.
Bei der Aufbereitung von historischen Aktienkursen ist zu beachten, dass die in der Vergangenheit durchgeführten Kapitalmaßnahmen der Aktiengesellschaft berücksichtigt werden. Dazu zählen u. a. Aktien-Splits, Dividenden und Bezugsrechte. Durch einen AktienSplit wird eine Aktie mit hohem Kurswert auf mehrere Aktien aufgeteilt, um so die einzelne Aktie zu vergünstigen.27 Allgemein führt dies zu einem Fall des Aktienkurses am Tag der Maßnahme, die die tägliche Rendite verzerrt. Während börsengehandelte Optionen bei Aktiensplits angepasst werden, werden diese bei Dividendenzahlungen nicht getan. Bei Dividendenzahlungen wären die täglichen Renditen am Tag der Ausschüttung überdurchschnittlich hoch, welches wiederum die Aktienkurse verfälscht, die zur Berechnung der Volatilität benötigt werden. Die letzte Maßnahme sei die Form der Kapitalerhöhung aus Gesellschaftsmitteln. Bei dieser Form werden Gratisaktien an die Inhaber ausgegeben, welche ähnlich wie Aktien-Splits den Aktienkurs fallen lassen.
[...]
1 Beike/ Schlütz (2010), S. 58
2 Beike/Schlütz (2010), S. 483
3 Ufer (1995), S. 5
4 Vgl. Hull (2016), S. 283
5 Vgl. Hull (2016), S. 283
6 Vgl. Steiner & Bruns (2007), S. 317
7 Vgl. Rabe, J./Skoruppa, K. (2017), S. 86
8 Siehe Anhang, Abbildung 1, S. IX
9 Vgl. Rabe,J../Skoruppa, K. (2017), S. 89
10 Vgl. Hull (2016), S. 305
11 Vgl. Hull (2016), S. 426 f
12 Vgl. Hull (2016), S. 410
13 Vgl. Hull (2016), S. 414
14 Vgl. Hull (2016), S. 415
15 Vgl. Hull (2016), S. 420
16 Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 292
17 Vgl. Hull (2016), S. 503
18 Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S.293
19 Vgl. Hull (2016), S. 513
20 Vgl. Hull (2016), S.513; Rudolph/Schäfer (2010), S. 301
21 Vgl. Hull (2016), S. 510 f
22 Vgl. Hull (2016), S. 511
23 Vgl. Hull (2016), S. 517
24 Vgl. Hull (2016), S. 520
25 Ariva.de (2016), Online
26 Vgl. Hull (2016), S. 410
27 Gabler Wirtschaftslexikon (2018), Online.
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