General Relativistic Static Fluid Solutions with Cosmological Constant

Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)

• Introduction
• Cosmological TOV equation
  • The Cosmological Constant
  • Remarks on the Newtonian limit
  • TOV-A equation
  • Schwarzschild-anti-de Sitter and Schwarzschild-de Sitter solution
  • Newtonian limits
    • Limit of Schwarzschild-anti-de Sitter and Schwarzschild-de Sitter models
    • Limit of the TOV-A equation
• Solutions with constant density
  • Spatial geometry of solutions
  • Solutions with negative cosmological constant
    • Stellar models with spatially hyperbolic geometry
    • Joining interior and exterior solution
    • Stellar models with spatially Euclidean geometry
    • Stellar models with spatially spherical geometry
  • Solutions with vanishing cosmological constant
  • Solutions with positive cosmological constant
    • Stellar models with spatially spherical geometry
    • Solutions with exterior Nariai metric
    • Solutions with decreasing group orbits at the boundary
    • Decreasing solutions with two regular centres
    • The Einstein static universe
    • Increasing solutions with two regular centres
    • Solutions with geometric singularity
  • Overview of constant density solutions
• Solutions with given equation of state
  • Buchdahl variables
  • Existence of a unique regular solution at the centre
  • Extension of the solution
  • Existence of global solutions with A < 4πpb
  • Generalised Buchdahl inequality
  • Solutions without singularities
  • Remarks on finiteness of the radius

Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)

This diploma thesis investigates static, spherically symmetric perfect fluid solutions to Einstein's field equations, incorporating a cosmological constant. The main objective is to describe new types of global solutions, exploring both finite and infinite matter distributions. A key focus is on stellar models with finite radii where pressure vanishes. * Analysis of static, spherically symmetric perfect fluid solutions with cosmological constant. * Exploration of global solutions with finite and infinite matter distributions. * Investigation of stellar models and their properties. * Derivation of a generalized Buchdahl inequality including the cosmological constant. * Examination of the existence and uniqueness of solutions for various cosmological constants.

Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)

Introduction: This chapter introduces the topic of the thesis: analyzing static, spherically symmetric perfect fluid solutions to Einstein's field equations with a cosmological constant. It highlights the significance of finding global solutions, both those where matter fills all space and those with finite extent requiring a vacuum solution as an exterior field. The chapter also emphasizes the relevance of considering both positive (as indicated by recent cosmological observations) and negative (important in superstring theory) cosmological constants. It provides historical context, mentioning previous work on the TOV equation and Buchdahl's inequality, setting the stage for the novel contributions of the thesis. Cosmological TOV equation: This chapter focuses on deriving and analyzing the Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) equation modified to include the cosmological constant. It examines the Newtonian limit of the equation and investigates the Schwarzschild-anti-de Sitter and Schwarzschild-de Sitter solutions as important special cases. The chapter lays the theoretical groundwork for subsequent chapters, detailing the mathematical tools used to model relativistic stars with cosmological influence. It bridges the gap between general relativity and Newtonian mechanics, allowing a deeper understanding of the interplay between gravity and cosmology in the context of stellar structures. Solutions with constant density: This chapter presents a detailed analysis of solutions to the modified TOV equation when the density of the fluid is assumed to be constant. The chapter explores solutions for various spatial geometries (hyperbolic, Euclidean, spherical) across the spectrum of negative, zero, and positive cosmological constants. Different stellar models are examined, considering the matching conditions between interior and exterior solutions. The emphasis is on understanding how the cosmological constant affects the spatial geometry and the overall structure of these constant density solutions. It carefully explores various cases, analyzing their characteristics and identifying limitations. Solutions with given equation of state: This chapter shifts focus to solutions where the equation of state for the perfect fluid is prescribed. This chapter delves into the existence and uniqueness of solutions, introducing Buchdahl variables to simplify the analysis. A generalized Buchdahl inequality, incorporating the cosmological constant, is derived, providing an upper bound on the mass of stellar models. This chapter addresses the existence of solutions with and without singularities, offering a comprehensive exploration of the interplay between the equation of state, the cosmological constant, and the characteristics of the resulting fluid solutions. The discussions on finiteness of radius add crucial constraints to the models.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Inhalt dieser Seite?

Diese Seite enthält einen umfassenden Überblick über eine Diplomarbeit, einschliesslich Inhaltsverzeichnis, Zielsetzung und Themenschwerpunkte, Kapitelzusammenfassungen und Schlüsselwörter.

Was beinhaltet das Inhaltsverzeichnis (Inhaltsverzeichnis)?

Das Inhaltsverzeichnis listet die Kapitel und Unterkapitel der Diplomarbeit auf, einschliesslich Einleitung, Kosmologische TOV-Gleichung, Lösungen mit konstanter Dichte und Lösungen mit gegebener Zustandsgleichung. Jedes Kapitel ist weiter in detaillierte Unterabschnitte unterteilt.

Was sind die Ziele und Themenschwerpunkte (Zielsetzung und Themenschwerpunkte) der Diplomarbeit?

Die Diplomarbeit untersucht statische, kugelsymmetrische perfekte Flüssigkeitslösungen der Einsteinschen Feldgleichungen unter Einbeziehung einer kosmologischen Konstanten. Das Hauptziel ist die Beschreibung neuer Arten globaler Lösungen, wobei sowohl endliche als auch unendliche Materieverteilungen untersucht werden. Ein Schwerpunkt liegt auf Sternmodellen mit endlichen Radien, bei denen der Druck verschwindet. Zu den Schlüsselthemen gehören die Analyse von Lösungen, die Untersuchung von Sternmodellen, die Ableitung einer verallgemeinerten Buchdahl-Ungleichung und die Untersuchung der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.

Was sind die Zusammenfassungen der Kapitel (Zusammenfassung der Kapitel)?

Einleitung: Dieses Kapitel stellt das Thema der Diplomarbeit vor: die Analyse statischer, kugelsymmetrischer perfekter Flüssigkeitslösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit einer kosmologischen Konstanten. Sie unterstreicht die Bedeutung des Findens globaler Lösungen, sowohl solcher, bei denen die Materie den gesamten Raum ausfüllt, als auch solcher mit endlicher Ausdehnung, die eine Vakuumlösung als äusseres Feld erfordern.

Kosmologische TOV-Gleichung: Dieses Kapitel konzentriert sich auf die Ableitung und Analyse der Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) Gleichung, die zur Einbeziehung der kosmologischen Konstanten modifiziert wurde. Es untersucht den Newtonschen Grenzwert der Gleichung und untersucht die Schwarzschild-Anti-de-Sitter- und Schwarzschild-de-Sitter-Lösungen als wichtige Sonderfälle.

Lösungen mit konstanter Dichte: Dieses Kapitel enthält eine detaillierte Analyse von Lösungen der modifizierten TOV-Gleichung, wenn die Dichte der Flüssigkeit als konstant angenommen wird. Das Kapitel untersucht Lösungen für verschiedene Raumgeometrien (hyperbolisch, euklidisch, sphärisch) über das Spektrum negativer, Null- und positiver kosmologischer Konstanten.

Lösungen mit gegebener Zustandsgleichung: Dieses Kapitel verlagert den Fokus auf Lösungen, bei denen die Zustandsgleichung für die perfekte Flüssigkeit vorgeschrieben ist. Dieses Kapitel befasst sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen und führt Buchdahl-Variablen ein, um die Analyse zu vereinfachen.

Was ist die kosmologische TOV-Gleichung?

Die kosmologische TOV-Gleichung ist eine modifizierte Version der Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung, die die kosmologische Konstante berücksichtigt. Sie wird zur Beschreibung des hydrostatischen Gleichgewichts relativistischer Sterne im Kontext der Kosmologie verwendet.

Was ist die Bedeutung der Buchdahl-Variablen?

Buchdahl-Variablen werden verwendet, um die Analyse von Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit einer gegebenen Zustandsgleichung zu vereinfachen. Sie ermöglichen eine klarere Darstellung der Beziehungen zwischen verschiedenen physikalischen Grössen.

Was ist die verallgemeinerte Buchdahl-Ungleichung?

Die verallgemeinerte Buchdahl-Ungleichung ist eine Erweiterung der ursprünglichen Buchdahl-Ungleichung, die die kosmologische Konstante berücksichtigt. Sie liefert eine obere Grenze für die Masse von Sternmodellen in Anwesenheit einer kosmologischen Konstanten.

Was sind globale Lösungen?

Globale Lösungen beziehen sich auf Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die im gesamten Raum gültig sind, entweder mit endlicher oder unendlicher Ausdehnung der Materieverteilung.

Warum werden positive und negative kosmologische Konstanten berücksichtigt?

Positive kosmologische Konstanten entsprechen den aktuellen kosmologischen Beobachtungen, die eine beschleunigte Expansion des Universums nahelegen. Negative kosmologische Konstanten sind wichtig in der Superstringtheorie und anderen theoretischen Rahmenwerken.