Die vorletzten Geheimnisse des Dreiecks - Bekannte und unbekannte Erkenntnisse

Inhaltsverzeichnis

• Vorwort
• INHALTSVERZEICHNIS
• Die W E H R L E - Formeln für Dreiecke
• Anwendung des Differenzen-Wehrles:
• Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks
• Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen
• Abstand der Zentren
• Der Sinus-Wehrle
• Andere trigonometrische Wehrles
• Des Sinus-Differenzen-WehrIe
• Die trigonomischen Potenzen-Wehrles
• Die Tangentenabschnitts-Kreise des Dreiecks
• Das Küßproblem
• Die Formel von Descartes
• Die Kreisspiegelung
• Die Krümmung der Küßkreise
• Die Krümmung der Ankreise
• Die Eulergerade und der Feuerbachkreis
• Die zweite Eulergerade
• Merkwürdige Kreise des Dreiecks
• Die Brocard-Kreise
• Merkwürdige Punkte beim Dreieck
• Satz von CEVA ein entscheidendes Hilfsmittel:
• Der Satz von Van-Aube'
• Satz von Euler-Gergonne
• Tangentendreiecks-punkte
• Schnittpunkte von Eulergeraden:
• Extremwertaufgaben
• Satz von Erdös-Mordell
• ANHANG:
• BEWEIS der WEHRLE-Formel
• Beweis der Flächenformel: A = w + r2
• Beweis für w = R2
• Übungsaufgaben:
• Um- und Inkreisradien in Abhängigkeit der Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
• Quellen:
• INTERNET-Seiten:
• Vorletzte Geheimnisse des Dreiecks

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Dieser Beitrag zum Mathejahr 2008 stellt eine Sammlung von Formeln und Zusammenhängen rund um das Dreieck vor, die von Hugo Wehrle entdeckt und erforscht wurden. Das Buch richtet sich an Mathematiker, Lehrer und interessierte Laien, die sich tiefer in die faszinierende Welt der Dreiecksgeometrie einarbeiten möchten.

• Die Wehrle-Formeln und ihre Anwendungen
• Rationale Dreiecke und ihre Eigenschaften
• Merkwürdige Punkte und Kreise im Dreieck
• Extremwertaufgaben und Optimierungsprobleme
• Beweise und Übungsaufgaben

Zusammenfassung der Kapitel

Das Buch "Vorletzte Geheimnisse des Dreiecks" beginnt mit der Einführung der Wehrle-Zahl, die das Produkt der drei Seiten eines Dreiecks durch die Summe der Seiten dividiert. Es wird gezeigt, dass die Wehrle-Zahl eng mit dem Inkreisradius und dem Umkreisradius des Dreiecks zusammenhängt. Darüber hinaus wird der Differenzen-Wehrle eingeführt, der das Quadrat des Inkreisdurchmessers darstellt.

In den folgenden Kapiteln werden verschiedene Arten von Dreiecken, wie rationale Dreiecke, betrachtet und die wichtigsten Formeln und Beziehungen für die Berechnung von Seitenlängen, Flächeninhalt, Höhen, Inkreisradius und Umkreisradius vorgestellt. Es werden auch spezielle Punkte im Dreieck, wie der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Umkreismittelpunkt, sowie ihre Eigenschaften und Zusammenhänge mit der Eulergeraden und dem Feuerbachkreis untersucht.

Das Buch befasst sich auch mit dem Küßproblem, bei dem es darum geht, einen Kreis zu finden, der drei gegebene Kreise berührt. Die Formel von Descartes wird vorgestellt, die es erlaubt, den Radius des Küßkreises zu berechnen. Weitere Kapitel widmen sich der Kreisspiegelung, den Krümmungen von Küßkreisen und Ankreisen sowie den verschiedenen merkwürdigen Kreisen, die mit einem Dreieck in Verbindung stehen, wie z. B. den Brocard-Kreisen und dem Fuhrmannkreis.

Das Buch enthält auch einen umfassenden Anhang mit Beweisen für die wichtigsten Formeln und Sätze sowie eine Sammlung von Übungsaufgaben. Außerdem wird ein Beitrag von Arno Fehringer präsentiert, der sich mit der Herleitung von Formeln für den Inkreisradius und den Umkreisradius eines allgemeinen Dreiecks in Abhängigkeit von den Seitenlängen befasst.

Schlüsselwörter

Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die Wehrle-Formeln, die Dreiecksgeometrie, rationale Dreiecke, merkwürdige Punkte und Kreise im Dreieck, das Küßproblem, die Kreisspiegelung, die Krümmung von Kreisen, die Eulergerade, der Feuerbachkreis, der Satz von Ceva, Extremwertaufgaben und Optimierungsprobleme.