Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Eine Analyse aus mathematischer Sicht

Bachelorarbeit, 2019
43 Seiten, Note: 1,0

Mathematik - Geometrie

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Definition und inhaltliche Grenzen der Fourier-Transformation für Funktionen

Übergang von der Fourier-Reihenentwicklung zur Fourier-Transformation

Fourier-Reihe
Einstieg

Fourier-Transformation für Funktionen

Motivation
Definition und Notation
Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen
Inverse Fourier-Transformation

Distributionen

Der Raum D der Testfunktionen
Definition: Distributionen

Beispiele

Elementare Eigenschaften
Der Schwartz-Raum S
Temperierte Distributionen

Fourier-Transformation für temperierte Distributionen

Fourier-Transformation im Schwartz-Raum
Fourier-Transformation in S'

Inverse Fourier-Transformation in S'

Eigenschaften
Beispiele
Fazit

A Beweis der Dirac-Approximation

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Arbeit befasst sich mit der mathematischen Erläuterung der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Sie richtet sich an Studierende des Bachelor-Studiengangs Lehramt für berufliche Schulen mit der Fachrichtung Elektro- und Informationstechnik sowie Zweitfach Mathematik, die bereits über grundlegendes Wissen über die Fourier-Reihenentwicklung und die Fourier-Transformation verfügen. Die Arbeit bietet eine verständliche Darstellung der Thematik und deckt wichtige Aspekte für Studierende im vierten oder höheren Fachsemester ab.

Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen
Einführung und Eigenschaften von Distributionen
Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
Anwendung der Fourier-Transformation in verschiedenen mathematischen Bereichen
Die Bedeutung der Fourier-Transformation für die Elektrotechnik und die Informationstechnik

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1: Dieses Kapitel beginnt mit einer Einführung in die Fourier-Reihenentwicklung und erklärt den Übergang zur Fourier-Transformation. Es werden die Definition, Notation und wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen erläutert. Das Kapitel schließt mit der Vorstellung der inversen Fourier-Transformation ab.
Kapitel 2: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Distributionen und behandelt den Raum D der Testfunktionen. Es werden wichtige Eigenschaften und Beispiele für Distributionen gegeben, bevor der Schwartz-Raum S und temperierte Distributionen eingeführt werden.
Kapitel 3: Dieses Kapitel widmet sich der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Es wird die Fourier-Transformation im Schwartz-Raum und in S' behandelt. Die Eigenschaften der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen sowie die inverse Fourier-Transformation werden erläutert. Das Kapitel schließt mit Beispielen und einem Fazit ab.

Schlüsselwörter

Fourier-Transformation, temperierte Distributionen, Schwartz-Raum, Fourier-Reihe, Testfunktionen, Inverse Fourier-Transformation, Elektro- und Informationstechnik, Mathematik, Lehramt für berufliche Schulen, Bachelor-Studiengang.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Fourier-Reihe und Fourier-Transformation?

Die Fourier-Reihe zerlegt periodische Funktionen in diskrete Frequenzen, während die Fourier-Transformation auch aperiodische Funktionen in ein kontinuierliches Frequenzspektrum überführt.

Was sind temperierte Distributionen?

Temperierte Distributionen sind lineare Funktionale auf dem Schwartz-Raum der schnell fallenden Testfunktionen. Sie erlauben die Anwendung der Fourier-Transformation auf eine sehr breite Klasse von Objekten.

Was ist der Schwartz-Raum?

Der Schwartz-Raum (S) umfasst alle glatten Funktionen, die zusammen mit all ihren Ableitungen schneller fallen als jede Potenz von 1/|x|.

Warum ist die Fourier-Transformation in der Elektrotechnik wichtig?

Sie ist essentiell für die Signalverarbeitung, da sie es ermöglicht, Zeit-Signale in den Frequenzbereich zu transformieren und dort zu analysieren oder zu filtern.

Was bewirkt die inverse Fourier-Transformation?

Die inverse Transformation ermöglicht es, aus dem Frequenzspektrum wieder die ursprüngliche Funktion bzw. Distribution im Zeit- oder Ortsraum zu rekonstruieren.

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Details

Titel: Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Eine Analyse aus mathematischer Sicht
Hochschule: Technische Universität München
Note: 1,0
Autor: Josef Glas (Autor:in)
Erscheinungsjahr: 2019
Seiten: 43
Katalognummer: V1152747
ISBN (eBook): 9783346546753
ISBN (Buch): 9783346546760
Sprache: Deutsch
Anmerkungen
Schlagworte: fourier-transformation distributionen eine analyse sicht
Produktsicherheit: GRIN Publishing GmbH
Preis (Ebook): US$ 20,99

Arbeit zitieren: Josef Glas (Autor:in), 2019, Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Eine Analyse aus mathematischer Sicht, München, Page::Imprint:: GRINVerlagOHG, https://www.diplomarbeiten24.de/document/1152747