Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Eine Analyse aus mathematischer Sicht

Inhaltsverzeichnis

• Definition und inhaltliche Grenzen der Fourier-Transformation für Funktionen
• Übergang von der Fourier-Reihenentwicklung zur Fourier-Transformation
• Fourier-Reihe
• Einstieg
• Fourier-Transformation für Funktionen
• Motivation
• Definition und Notation
• Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen
• Inverse Fourier-Transformation
• Distributionen
• Der Raum D der Testfunktionen
• Definition: Distributionen
• Beispiele
• Elementare Eigenschaften
• Der Schwartz-Raum S
• Temperierte Distributionen
• Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
• Fourier-Transformation im Schwartz-Raum
• Fourier-Transformation in S'
• Inverse Fourier-Transformation in S'
• Eigenschaften
• Beispiele
• Fazit
• A Beweis der Dirac-Approximation

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Arbeit befasst sich mit der mathematischen Erläuterung der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Sie richtet sich an Studierende des Bachelor-Studiengangs Lehramt für berufliche Schulen mit der Fachrichtung Elektro- und Informationstechnik sowie Zweitfach Mathematik, die bereits über grundlegendes Wissen über die Fourier-Reihenentwicklung und die Fourier-Transformation verfügen. Die Arbeit bietet eine verständliche Darstellung der Thematik und deckt wichtige Aspekte für Studierende im vierten oder höheren Fachsemester ab.

• Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen
• Einführung und Eigenschaften von Distributionen
• Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
• Anwendung der Fourier-Transformation in verschiedenen mathematischen Bereichen
• Die Bedeutung der Fourier-Transformation für die Elektrotechnik und die Informationstechnik

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Dieses Kapitel beginnt mit einer Einführung in die Fourier-Reihenentwicklung und erklärt den Übergang zur Fourier-Transformation. Es werden die Definition, Notation und wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen erläutert. Das Kapitel schließt mit der Vorstellung der inversen Fourier-Transformation ab.
• Kapitel 2: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Distributionen und behandelt den Raum D der Testfunktionen. Es werden wichtige Eigenschaften und Beispiele für Distributionen gegeben, bevor der Schwartz-Raum S und temperierte Distributionen eingeführt werden.
• Kapitel 3: Dieses Kapitel widmet sich der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Es wird die Fourier-Transformation im Schwartz-Raum und in S' behandelt. Die Eigenschaften der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen sowie die inverse Fourier-Transformation werden erläutert. Das Kapitel schließt mit Beispielen und einem Fazit ab.

Schlüsselwörter

Fourier-Transformation, temperierte Distributionen, Schwartz-Raum, Fourier-Reihe, Testfunktionen, Inverse Fourier-Transformation, Elektro- und Informationstechnik, Mathematik, Lehramt für berufliche Schulen, Bachelor-Studiengang.