Das Maßproblem

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung - Die Geschichte des Maßproblems
• 1.1 Die Begriffe Maß und Inhalt
• 1.2 Die negative Antwort auf die Frage des Maßproblems
• 1.3 Lösungen des Maßproblems
• 2 Die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen
• 2.1 Das Vorgehen im Beweis
• 2.2 Bekanntes der Forcingmethode
• 2.3 Das Modell
• 2.4 Schrittweise generische Erweiterung
• 2.5 Kodierung von Borelmengen
• 2.6 Die Rolle der Random Reals
• 2.7 ZFDC + LM
• 3 Die Notwendigkeit einer unerreichbaren Kardinalzahl
• 3.1 Das Vorgehen im Beweis
• 3.2 Benötigtes Wissen über Bäume auf 2
• 3.3 Generische Bäume für Arme
• 3.4 Konstruktion des Forcing
• 3.5 ZFDC + ¬LM
• 4 Thesen, Resümee und Anmerkungen

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Arbeit untersucht die Lösbarkeit des Maßproblems, insbesondere die Ergebnisse, die diese Frage beantwortet haben. Der Fokus liegt auf dem historischen Kontext und den zwei zentralen Ergebnissen, die zwischen 1970 und 1984 erzielt wurden.

• Die historische Entwicklung des Maßbegriffs von Cantor und Jordan bis Lebesgue.
• Die Unlösbarkeit des Maßproblems und die damit verbundenen Paradoxien (Vitali, Hausdorff, Banach-Tarski).
• Die Ergebnisse von Banach bezüglich endlich additiver Maße.
• Die Abhängigkeit der Lebesguemessbarkeit aller Teilmengen der reellen Zahlen von der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl.
• Die Konsequenzen für die Fundamente der Mengenlehre (ZFC).

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 bietet eine historische Einführung in das Maßproblem, beginnend mit frühen Ansätzen zur Definition von Maß und Inhalt und kulminierend in der Definition von Lebesgue. Die Unlösbarkeit des Problems wird anhand wichtiger Beispiele veranschaulicht. Kapitel 2 behandelt die Lebesguemessbarkeit aller Mengen reeller Zahlen und deren Beweisführung. Kapitel 3 beleuchtet die Notwendigkeit einer unerreichbaren Kardinalzahl für die Existenz eines vollen Lebesguemaßes.

Schlüsselwörter

Maßproblem, Lebesguemessbarkeit, Mengenlehre, ZFC, unerreichbare Kardinalzahl, Forcing, Paradoxien (Vitali, Hausdorff, Banach-Tarski), endlich additives Maß, historischer Kontext, Mengen von reellen Zahlen.