Numerische Verfahren zur Berechnung von Platinenströmen

Inhaltsverzeichnis

• Danksagungen
• Inhaltsverzeichnis
• Legende
• 1 Einleitung
• 2 Herleitung der Matrixgleichungen
  • 2.1 Ansatz und Einführung der Bezeichnungen
  • 2.2 Maxwellsche Gleichungen und Potentiale
  • 2.3 Berechnung des Vektorpotentials Ā
  • 2.4 Berechnung der magnetischen Feldstärke H
• 3 Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts
  • 3.1 Der eindimensionale Fall
    • 3.1.1 Die Struktur der Matrix
    • 3.1.2 Die zyklische diskrete Faltung
    • 3.1.3 Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts
  • 3.2 Der zweidimensionale Fall
    • 3.2.1 Die Struktur der Matrix
    • 3.2.2 Die zweidimensionale zyklische diskrete Faltung
    • 3.2.3 Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts
  • 3.3 Matrix-Vektor-Multiplikation in Blöcken
• 4 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art
  • 4.1 Einführung
  • 4.2 Allgemeine Schwierigkeiten schlecht gestellter Probleme
    • 4.2.1 Die Singulärwertentwicklung
    • 4.2.2 Die glättenden Eigenschaften von K
    • 4.2.3 Die Picard-Bedingung
  • 4.3 Analyse der Koeffizientenmatrix
    • 4.3.1 Die Singulärwertzerlegung
    • 4.3.2 Beziehungen zwischen der SVD und der SVE
    • 4.3.3 SVD-Analyse
  • 4.4 Regularisierung und Filterung
    • 4.4.1 Regularisierung
    • 4.4.2 Das Tikhonov-Verfahren
    • 4.4.3 Abgeschnittene Singulärwertzerlegung
    • 4.4.4 Iterative Verfahren
    • 4.4.5 Geeignete Diskretisierung
  • 4.5 Analyse regularisierter Probleme
    • 4.5.1 Die verallgemeinerte Singulärwertzerlegung
    • 4.5.2 Wichtige Beziehungen der GSVD
    • 4.5.3 Untersuchungen mit der GSVD
  • 4.6 Die L-Kurve
    • 4.6.1 Die Definition der L-Kurve
    • 4.6.2 Der Knick\" in der L-Kurve
    • 4.6.3 Die Wahl des Regularisierungsparameters
• 5 Das Programm CGFFT
  • 5.1 Programmablauf
  • 5.2 Externe Unterprogramme
    • 5.2.1 Basic Linear Algebra Subprograms
    • 5.2.2 LAPACK
    • 5.2.3 Transactions on Mathematical Software
    • 5.2.4 Golden Oldies
  • 5.3 Compilierung des Programms
  • 5.4 Das Hilfsprogramm DAT2INP
• 6 Ergebnisse
• 7 Versuche mit anderen Ansatzfunktionen
  • 7.1 Das erste Verfahren
  • 7.2 Das zweite Verfahren
• 8 Zusammenfassung und Ausblick

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Diplomarbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung von Platinenströmen. Ziel ist die Entwicklung und Implementierung effizienter numerischer Verfahren zur Lösung der zugrundeliegenden mathematischen Probleme. Die Arbeit untersucht verschiedene Ansätze und bewertet deren Effizienz und Genauigkeit.

• Herleitung und Lösung von Matrixgleichungen zur Beschreibung der Platinenströme
• Effiziente Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts
• Analyse von Fredholmschen Integralgleichungen erster Art und deren Regularisierung
• Implementierung und Testung der entwickelten Verfahren im Programm CGFFT
• Vergleich verschiedener Lösungsansätze

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einleitung: Diese Einleitung führt in das Thema der numerischen Berechnung von Platinenströmen ein und beschreibt die Problemstellung. Sie erläutert die Notwendigkeit effizienter Lösungsverfahren und gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit.

2 Herleitung der Matrixgleichungen: Dieses Kapitel beschreibt die Herleitung der notwendigen Matrixgleichungen zur Modellierung der Platinenströme. Es werden die Maxwellschen Gleichungen eingeführt und deren Vereinfachung für den gegebenen Kontext erläutert. Der Ansatz zur Berechnung des Vektorpotentials und der magnetischen Feldstärke wird detailliert dargestellt, wobei die verwendeten Bezeichnungen und Annahmen präzise definiert werden. Die mathematischen Grundlagen für die nachfolgenden Berechnungen werden hier gelegt.

3 Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts: Hier wird die effiziente Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts im Zentrum der Betrachtung stehen. Es werden sowohl der eindimensionale als auch der zweidimensionale Fall detailliert untersucht, wobei die spezifischen Strukturen der Matrizen und die Anwendung der zyklischen diskreten Faltung beschrieben werden. Die entwickelten Algorithmen sind essentiell für die Effizienz des gesamten Lösungsansatzes. Zusätzlich wird die Matrix-Vektor-Multiplikation in Blöcken als weitere Optimierungsmöglichkeit behandelt.

4 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art: Dieses Kapitel befasst sich mit den mathematischen Herausforderungen, die durch die schlecht gestellten Fredholmschen Integralgleichungen erster Art entstehen. Es werden die allgemeinen Schwierigkeiten, die Singulärwertentwicklung, die glättenden Eigenschaften des Kerns und die Picard-Bedingung erläutert. Die Analyse der Koeffizientenmatrix mithilfe der Singulärwertzerlegung (SVD) und der verallgemeinerten Singulärwertzerlegung (GSVD) bildet den Kern dieses Kapitels. Verschiedene Regularisierungs- und Filtermethoden, wie das Tikhonov-Verfahren und die abgeschnittene Singulärwertzerlegung, werden vorgestellt und analysiert. Die Wahl des Regularisierungsparameters mittels der L-Kurve wird ausführlich diskutiert.

5 Das Programm CGFFT: In diesem Kapitel wird das entwickelte Programm CGFFT zur Lösung des Problems vorgestellt. Der Programmablauf wird detailliert beschrieben und die verwendeten externen Unterprogramme, wie Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) und LAPACK, werden erläutert. Die Kompilierung des Programms und das Hilfsprogramm DAT2INP zur Datenvorbereitung werden ebenfalls behandelt. Die Implementierung der in den vorherigen Kapiteln entwickelten Algorithmen bildet den Schwerpunkt dieses Teils.

6 Ergebnisse: (Dieses Kapitel wird aufgrund der Anweisung, keine Ergebnisse oder Schlussfolgerungen zu präsentieren, nicht zusammengefasst.)

7 Versuche mit anderen Ansatzfunktionen: Dieses Kapitel präsentiert und analysiert alternative Ansätze zur Lösung des Problems. Die Vor- und Nachteile verschiedener Verfahren werden verglichen und bewertet. Die Ergebnisse dieser alternativen Ansätze werden im Hinblick auf Effizienz und Genauigkeit im Detail diskutiert, um die Vorzüge des in den vorherigen Kapiteln vorgestellten Hauptverfahrens hervorzuheben.

Schlüsselwörter

Platinenströme, numerische Verfahren, Matrixgleichungen, Fredholmsche Integralgleichungen, Regularisierung, Singulärwertzerlegung (SVD), verallgemeinerte Singulärwertzerlegung (GSVD), L-Kurve, CGFFT, zyklische diskrete Faltung, Maxwellsche Gleichungen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Inhalt des Inhaltsverzeichnisses?

Das Inhaltsverzeichnis umfasst Danksagungen, Inhaltsverzeichnis, Legende, Einleitung, Herleitung der Matrixgleichungen (mit Unterpunkten zu Ansatz, Maxwellschen Gleichungen, Vektorpotential, magnetischer Feldstärke), Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts (eindimensionaler und zweidimensionaler Fall mit Unterpunkten, Matrix-Vektor-Multiplikation in Blöcken), Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art (mit Unterpunkten zu Schwierigkeiten, Analyse, Regularisierung, Analyse regularisierter Probleme, L-Kurve), das Programm CGFFT (mit Unterpunkten zu Programmablauf und externen Unterprogrammen), Ergebnisse, Versuche mit anderen Ansatzfunktionen und Zusammenfassung und Ausblick.

Worum geht es in der Zielsetzung und den Themenschwerpunkten?

Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung von Platinenströmen, der Entwicklung effizienter numerischer Verfahren und der Untersuchung verschiedener Lösungsansätze. Schwerpunkte sind die Herleitung und Lösung von Matrixgleichungen, die effiziente Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts, die Analyse und Regularisierung Fredholmscher Integralgleichungen, die Implementierung im Programm CGFFT und der Vergleich verschiedener Ansätze.

Was ist das Thema des ersten Kapitels (Einleitung)?

Die Einleitung führt in das Thema der numerischen Berechnung von Platinenströmen ein, beschreibt die Problemstellung, erläutert die Notwendigkeit effizienter Lösungsverfahren und gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit.

Was wird im zweiten Kapitel behandelt (Herleitung der Matrixgleichungen)?

Dieses Kapitel beschreibt die Herleitung der Matrixgleichungen zur Modellierung der Platinenströme, die Einführung und Vereinfachung der Maxwellschen Gleichungen, sowie die Berechnung des Vektorpotentials und der magnetischen Feldstärke.

Was beinhaltet das dritte Kapitel (Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts)?

Hier wird die effiziente Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts sowohl im eindimensionalen als auch im zweidimensionalen Fall untersucht, wobei die Strukturen der Matrizen und die zyklische diskrete Faltung beschrieben werden. Auch die Matrix-Vektor-Multiplikation in Blöcken wird behandelt.

Was ist der Inhalt des vierten Kapitels (Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art)?

Dieses Kapitel befasst sich mit den Herausforderungen durch schlecht gestellte Fredholmsche Integralgleichungen, der Singulärwertentwicklung, den glättenden Eigenschaften des Kerns und der Picard-Bedingung. Die Analyse der Koeffizientenmatrix mithilfe der Singulärwertzerlegung (SVD) und der verallgemeinerten Singulärwertzerlegung (GSVD) bildet den Kern dieses Kapitels. Verschiedene Regularisierungs- und Filtermethoden, wie das Tikhonov-Verfahren und die abgeschnittene Singulärwertzerlegung, werden vorgestellt und analysiert. Die Wahl des Regularisierungsparameters mittels der L-Kurve wird ausführlich diskutiert.

Was wird im fünften Kapitel (Das Programm CGFFT) behandelt?

In diesem Kapitel wird das entwickelte Programm CGFFT vorgestellt, der Programmablauf beschrieben und die verwendeten externen Unterprogramme (BLAS, LAPACK) erläutert. Die Kompilierung und das Hilfsprogramm DAT2INP werden ebenfalls behandelt.

Worum geht es im siebten Kapitel (Versuche mit anderen Ansatzfunktionen)?

Dieses Kapitel präsentiert alternative Ansätze zur Lösung des Problems, vergleicht deren Vor- und Nachteile und bewertet ihre Effizienz und Genauigkeit im Detail.

Welche Schlüsselwörter sind relevant?

Platinenströme, numerische Verfahren, Matrixgleichungen, Fredholmsche Integralgleichungen, Regularisierung, Singulärwertzerlegung (SVD), verallgemeinerte Singulärwertzerlegung (GSVD), L-Kurve, CGFFT, zyklische diskrete Faltung, Maxwellsche Gleichungen.