Bewertung asiatischer Optionen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Einführung in die Bewertung von Optionen

2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung

2.1.1. Preisprozess des betrachteten Basiswertes

2.1.2. Herleitung der Bewertungsgleichung

2.1.3. Pfadabhängige Optionen

2.2. Risikoneutrale Bewertung

2.2.1. Die geometrisch Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß

2.2.2. Risikoneutrale Bewertung anderer Assetgruppen

3. Asiatische Optionen

3.1. Einführung in die Funktionsweise asiatischer Optionen

3.1.1. Auszahlungsstruktur

3.1.2. Mittelwertbildung

3.2. Hedging und Anwendung asiatischer Optionen

3.2.1. Absicherung von Wechselkursrisiken mit asiatischen fixed strike Optionen

3.2.2. Kurssicherung durch asiatische average strike Optionen

3.3. Put-Call-Parität asiatischer Optionen

4. Bewertung asiatischer Optionen

4.1. Geometrische asiatische Optionen

4.1.1. Geometrische asiatische Optionen mit diskreter Mittelwertbildung

4.1.2. Kontinuierliche Mittelwertbildung

4.2. Arithmetische asiatische Optionen

4.2.1. Approximation durch logarithmische Normalverteilung

4.2.2. Geometric Conditioning

4.3. Äquivalenz von fixed und average strike Optionen

4.4. Monte-Carlo-Simulation

4.4.1. Monte-Carlo-Simulation - Vorgehensweise in Matlab

4.4.2. Resultate der Monte-Carlo-Simulation

5. Schlussbemerkungen

A. Mathematischer Anhang

A.1. Wichtige Theoreme

A.2. Zusammenfassung verwendeter Integralregeln

B. Anhang - Beispielberechnung von Abschnitt 3.2.1

C. Anhang - Partielle Differentialgleichung

D. Anhang - Herleitung zu den Bewertungsgleichungen

D.1. Asiatische fixed strike Call-Option mit diskreter, geometrischer Mittelwertbildung

D.2. Asiatische Optionen mit kontinuierlicher, geometrischer Mittelwertbildung

D.3. Asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung

D.3.1. Approximation durch Annahme der Log-Normalverteilung

D.3.2. Geometric Conditioning

Zielsetzung & Themen

Die vorliegende Arbeit untersucht die Bewertung asiatischer Optionen, deren Auszahlung vom Durchschnittspreis des Basiswertes über einen bestimmten Zeitraum abhängt. Das Hauptziel besteht darin, sowohl geschlossene Bewertungslösungen für geometrische Mittelwertoptionen als auch Approximationsverfahren für die in der Praxis relevanteren arithmetischen Mittelwertoptionen herzuleiten und zu vergleichen.

• Grundlagen der Optionsbewertung und der Black-Scholes-Differentialgleichung.
• Struktur und Funktionsweise asiatischer Optionen (fixed strike und average strike).
• Herleitung von Preisbeziehungen und Put-Call-Paritäten.
• Vergleich von Bewertungsansätzen (Approximationen versus Monte-Carlo-Simulation).

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1. Einleitung: Diese Einleitung definiert asiatische Optionen als pfadabhängige Derivate und beschreibt deren Anwendungsgebiete, insbesondere zur Absicherung von Wechselkursrisiken.

2. Einführung in die Bewertung von Optionen: In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen für Standardoptionen, die Black-Scholes-Modellierung und die risikoneutrale Bewertung gelegt.

3. Asiatische Optionen: Dieses Kapitel erläutert die verschiedenen Auszahlungsstrukturen und Mittelwertbildungsarten asiatischer Optionen sowie deren Einsatzmöglichkeiten für Hedging-Strategien.

4. Bewertung asiatischer Optionen: Hier werden mathematische Methoden zur Bewertung geometrischer und arithmetischer Optionen sowie Monte-Carlo-Simulationen zur numerischen Analyse vorgestellt.

5. Schlussbemerkungen: Zusammenfassende Einschätzung der untersuchten Bewertungsverfahren und Ausblick auf die Relevanz der Approximationsmethoden in der Finanzpraxis.

Schlüsselwörter

Asiatische Optionen, Black-Scholes-Modell, Risikoneutrale Bewertung, Fixed Strike, Average Strike, Arithmetische Mittelwertbildung, Geometrische Mittelwertbildung, Pfadabhängigkeit, Monte-Carlo-Simulation, Hedging, Wechselkursrisiken, Finanzmathematik, Derivate, Finanzderivate, Optionspreisformel.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Bewertung und den Anwendungsfeldern von asiatischen Optionen, einer speziellen Kategorie von Derivaten.

Was sind die zentralen Themenfelder?

Die zentralen Themen sind die Herleitung von Preismodellen, der Umgang mit pfadabhängigen Variablen und der Vergleich von Approximationsmethoden für verschiedene Mittelwertbildungsarten.

Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?

Ziel ist es, die Möglichkeiten zur Bewertung asiatischer Optionen aufzuzeigen, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf dem Vergleich zwischen theoretisch exakten Lösungen für geometrische Mittelwerte und numerischen Approximationen für arithmetische Mittelwerte liegt.

Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?

Es werden finanzmathematische Methoden verwendet, insbesondere stochastische Prozesse, die Black-Scholes-Differentialgleichung, Girsanov-Theoreme sowie numerische Verfahren wie die Monte-Carlo-Simulation.

Was wird im Hauptteil behandelt?

Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung (Black-Scholes), die Spezifikation asiatischer Optionen und die detaillierte mathematische Herleitung von Bewertungsgleichungen unter Berücksichtigung von Mittelwertbildungsprozessen.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Asiatische Optionen, Finanzderivate, Risikoneutrale Bewertung, Monte-Carlo-Simulation, Pfadabhängigkeit und Hedging.

Welche Bedeutung hat das "Geometric Conditioning"?

Es ist ein effizientes Approximationsverfahren, das genutzt wird, um den Wert von Optionen mit arithmetischem Mittelwert unter Rückgriff auf die Eigenschaften geometrischer Mittelwerte präzise zu bestimmen.

Warum ist die Wahl der Bewertungsmethode für Exportunternehmen relevant?

Die Wahl ist entscheidend, da sie den Preis einer Absicherungsstrategie gegen Wechselkursrisiken maßgeblich beeinflusst, wobei asiatische Optionen häufig kostengünstiger sind als Standardoptionen.