Finanzmathematik - Die Berechnung des fairen europäischen Call– und Put–Preises anhand des Black–Scholes–Merton–Modells

Inhaltsverzeichnis

1. EINFÜHRUNG

1.1. Thema

1.2. Börsenhandel und Over–the–Counter–Handel

1.3. Optionen

Positionen

1.4. Forwards und Futures

Stetige Verzinsung

1.5. Händlertypen

2. EIGENSCHAFTEN VON AKTIENOPTIONEN

2.1. Beweggründe zum Kauf einer Option

2.2. Bestimmungsfaktoren

2.3. Wertober– und Wertuntergrenzen

Wertobergrenzen

Wertuntergrenzen

2.4. Put–Call–Parität

3. WIENER–PROZESSE, ITÔS LEMMA UND GEOMETRISCHE BROWNSCHE BEWEGUNG

3.1. Stochastische Prozesse

Markov–Prozess

3.2. Wiener–Prozesse

Allgemeiner Wiener–Prozess

3.3. Itôs Lemma

Herleitung des Lemmas von Itô

3.4. Der Prozess für Aktienpreise als geometrische Brownsche Bewegung

4. BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELL

4.1. Hypothesen

4.2. Black–Scholes–Merton–Differentialgleichung

4.3. Der faire Call– und Put–Preis

Berücksichtigung von Dividenden

4.4. Volatilität

5. SENSITIVITÄTEN VON OPTIONSPREISEN

Delta – Die Sensitivität des Optionspreises auf Preisveränderungen des Basiswerts

Gamma – Die Sensitivität des Deltawerts in Abhängigkeit vom Preis des Basiswerts

Theta – Die Variation des Optionspreises bei sich verändernder Laufzeit

Vega – Die Sensitivität des Optionspreises in Abhängigkeit der Standardabweichung

Rho – Die Sensitivität des Optionspreises in Abhängigkeit vom risikolosen Zinssatz

6. STRATEGIE AN DER BÖRSE

7. KRITIKPUNKTE DES BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELLS UND EIN BEISPIEL EINES GROSSEN VERLUSTES BEI EINEM DERIVATGESCHÄFT

Zielsetzung & Themen

Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Berechnung des fairen Preises für europäische Call- und Put-Optionen unter Verwendung des Black-Scholes-Merton-Modells. Die Forschungsfrage fokussiert sich darauf, wie mathematisch fundierte Bewertungsverfahren eingesetzt werden können, um Arbitrage-freie Optionspreise zu bestimmen und die damit verbundenen Risiken sowie Sensitivitäten (Greeks) systematisch zu analysieren.

• Grundlagen von Derivaten, insbesondere Optionen, Forwards und Futures.
• Mathematische Modellierung von Aktienpreisbewegungen mittels geometrischer Brownscher Bewegung.
• Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung und der Bewertungsformeln.
• Empirische Sensitivitätsanalyse (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho) von Optionspreisen.
• Kritische Würdigung des Modells und praktische Anwendung an konkreten Beispielen.

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1. EINFÜHRUNG: Dieses Kapitel gibt einen Überblick über den Handel an der Börse, führt grundlegende Begriffe wie Optionen, Forwards und Futures ein und klassifiziert verschiedene Händlertypen.

2. EIGENSCHAFTEN VON AKTIENOPTIONEN: Hier werden die Motive für den Optionskauf beleuchtet, die wesentlichen Bestimmungsfaktoren für den Optionspreis definiert sowie Wertober- und Wertuntergrenzen erläutert.

3. WIENER–PROZESSE, ITÔS LEMMA UND GEOMETRISCHE BROWNSCHE BEWEGUNG: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen, wie stochastische Prozesse und Itôs Lemma, um die Kursentwicklung von Aktien zu modellieren.

4. BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELL: Das zentrale Kapitel leitet das Black-Scholes-Merton-Modell her, definiert die Hypothesen und berechnet die fairen Call- und Put-Preise.

5. SENSITIVITÄTEN VON OPTIONSPREISEN: Es wird die Dynamik von Optionspreisen bei veränderten Parametern (Greeks) mittels partieller Ableitungen analysiert.

6. STRATEGIE AN DER BÖRSE: Die theoretischen Erkenntnisse werden in einer praktischen Strategie am Beispiel der BWIN Aktie angewendet.

7. KRITIKPUNKTE DES BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELLS UND EIN BEISPIEL EINES GROSSEN VERLUSTES BEI EINEM DERIVATGESCHÄFT: Abschließend werden die Grenzen des Modells kritisch hinterfragt und die Risiken spekulativer Derivatgeschäfte anhand historischer Fälle demonstriert.

Schlüsselwörter

Finanzmathematik, Optionen, Derivate, Black-Scholes-Merton-Modell, Aktienkurs, Volatilität, Stochastische Prozesse, Geometrische Brownsche Bewegung, Delta-Hedging, Arbitrage, Optionspreis, Laufzeit, Zinssatz, Risikoneutrale Bewertung, Handelsstrategie.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in diesem Buch grundsätzlich?

Das Buch behandelt die mathematische Fundierung und Berechnung fairer Optionspreise mittels des bekannten Black-Scholes-Merton-Modells im Kontext der Finanzmathematik.

Welches sind die zentralen Themenfelder?

Die zentralen Themen umfassen die stochastische Modellierung von Aktienkursen, die Theorie der Optionsbewertung, das Risikomanagement durch Hedging und die praktische Anwendung mathematischer Modelle auf Börsenstrategien.

Was ist das primäre Ziel der Arbeit?

Das primäre Ziel ist die Herleitung und Anwendung der Black-Scholes-Formeln, um faire europäische Call- und Put-Preise für Aktienoptionen zu berechnen.

Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?

Es werden Methoden aus der stochastischen Analysis verwendet, insbesondere stochastische Differentialgleichungen, Itôs Lemma, die geometrische Brownsche Bewegung sowie numerische Methoden zur Preisbestimmung.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil konzentriert sich auf die theoretische Herleitung des Black-Scholes-Merton-Modells, die Bestimmung der Sensitivitäten (Greeks) zur Risikoanalyse sowie die praktische Umsetzung dieser Konzepte in Software-Programmen wie Mathematica und Excel.

Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?

Wichtige Begriffe sind Arbitrage, Volatilität, risikoneutrale Bewertung, Derivate, Hebeleffekt und stochastische Prozesse.

Wie unterscheidet sich der Börsenhandel vom Over-the-Counter-Handel laut der Arbeit?

Der Börsenhandel ist durch standardisierte Kontrakte und eine zentrale, regulierte Preisbildung gekennzeichnet, während der OTC-Handel außerbörslich stattfindet, mehr Flexibilität bei den Vertragsbedingungen bietet, jedoch ein höheres Kreditrisiko birgt.

Warum ist das Black-Scholes-Merton-Modell für Optionen so bedeutsam?

Es gilt als Standardverfahren der Finanzwirtschaft, da es eine mathematisch konsistente und analytische Lösung zur fairen Bewertung von Optionen bietet, die auf real beobachtbaren Marktdaten basiert.