Finanzmathematik - Die Berechnung des fairen europäischen Call– und Put–Preises anhand des Black–Scholes–Merton–Modells

Inhaltsverzeichnis

• VORWORT
• 1. EINFÜHRUNG
• 1.1 Thema
• 1.2 Börsenhandel und Over-the-Counter-Handel
• 1.3 Optionen
• 1.4 Forwards und Futures
• 1.5 Händlertypen
• 2. EIGENSCHAFTEN VON AKTIENOPTIONEN
• 2.1 Beweggründe zum Kauf einer Option
• 2.2 Bestimmungsfaktoren
• 2.3 Wertober- und Wertuntergrenzen
• 2.4 Put-Call-Parität
• 3. WIENER-PROZESSE, ITÔS LEMMA UND GEOMETRISCHE BROWNSCHE BEWEGUNG
• 3.1 Stochastische Prozesse
• 3.2 Wiener-Prozesse
• 3.3 Itôs Lemma
• 3.4 Der Prozess für Aktienpreise als geometrische Brownsche Bewegung
• 4. BLACK-SCHOLES-MERTON-MODELL
• 4.1 Hypothesen
• 4.2 Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung
• 4.3 Der faire Call- und Put-Preis
• 4.4 Volatilität
• 5. SENSITIVITÄTEN VON OPTIONSPREISEN
• 6. STRATEGIE AN DER BÖRSE
• 7. KRITIKPUNKTE DES BLACK-SCHOLES-MERTON-MODELLS UND EIN BEISPIEL EINES GROSSEN VERLUSTES BEI EINEM DERIVATGESCHÄFT

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Arbeit zielt auf die faire Berechnung des Preises für europäische Call- und Put-Optionen mithilfe des Black-Scholes-Merton-Modells ab. Hierfür werden zunächst grundlegende Konzepte wie die Eigenschaften von Aktienoptionen und mathematische Grundlagen (Wiener-Prozesse, Itôs Lemma, geometrische Brownsche Bewegung) erläutert. Die Anwendung des Modells, eine Sensitivitätsanalyse und eine konkrete Börsenstrategie werden vorgestellt. Abschließend werden Kritikpunkte des Modells und die damit verbundenen Verlustrisiken diskutiert.

• Faire Bewertung von europäischen Call- und Put-Optionen
• Anwendung des Black-Scholes-Merton-Modells
• Mathematische Grundlagen des Modells
• Sensitivitätsanalyse der Optionspreise
• Risikomanagement im Derivatehandel

Zusammenfassung der Kapitel

1. Einführung: Dieses einführende Kapitel legt den Grundstein für die gesamte Arbeit. Es behandelt das Thema der Optionspreisbewertung im Kontext des Börsenhandels, erklärt die grundlegenden Konzepte von Call- und Put-Optionen, unterscheidet zwischen verschiedenen Positionen (Käufer/Verkäufer) und erläutert die Bedeutung von Forwards und Futures. Der Abschnitt über Händlertypen liefert ein Verständnis des Marktumfelds. Die Einführung dient als notwendige Grundlage, um die komplexeren Aspekte der Optionspreisberechnung in den folgenden Kapiteln zu verstehen.

2. Eigenschaften von Aktienoptionen: Dieses Kapitel befasst sich eingehend mit den Eigenschaften von Aktienoptionen. Es untersucht die Gründe, warum Anleger Aktienoptionen kaufen, und analysiert die Faktoren, die den Preis einer Option beeinflussen. Besonderes Augenmerk wird auf die Wertober- und Wertuntergrenzen gelegt, die für die Risikobewertung unerlässlich sind. Die Put-Call-Parität als wichtige Beziehung zwischen Call- und Put-Optionen wird detailliert erklärt. Dieses Kapitel vermittelt ein tiefgreifendes Verständnis der Eigenschaften von Optionen, die für die spätere Anwendung des Black-Scholes-Merton-Modells essentiell sind.

3. Wiener-Prozesse, Itôs Lemma und geometrische Brownsche Bewegung: Das Kapitel stellt die mathematischen Grundlagen für das Black-Scholes-Merton-Modell bereit. Es führt in stochastische Prozesse, Wiener-Prozesse (inklusive Markov-Prozesse und des allgemeinen Wiener-Prozesses) und das Itôs Lemma ein, ein fundamentales Werkzeug in der stochastischen Analysis. Die Herleitung des Itôs Lemmas wird detailliert dargestellt. Der Abschnitt über die geometrische Brownsche Bewegung als Modell für Aktienkurse verbindet die mathematischen Konzepte mit der Finanzwelt und bereitet den Weg zum Verständnis des Black-Scholes-Merton-Modells.

4. Black-Scholes-Merton-Modell: In diesem zentralen Kapitel wird das Black-Scholes-Merton-Modell zur Optionspreisbewertung umfassend erläutert. Die zugrundeliegenden Hypothesen des Modells werden diskutiert, gefolgt von der Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung. Die Berechnung des fairen Preises für Call- und Put-Optionen wird detailliert dargestellt, einschließlich der Berücksichtigung von Dividenden. Die Bedeutung der Volatilität als Schlüsselfaktor wird hervorgehoben. Dieses Kapitel bildet den Kern der Arbeit und liefert die Methodik zur Optionspreisberechnung.

5. Sensitivitäten von Optionspreisen: Dieses Kapitel analysiert die Sensitivitäten des Optionspreises gegenüber verschiedenen Einflussfaktoren (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho). Es untersucht, wie sich Änderungen des Basiswertkurses, der Volatilität, der Laufzeit und des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis auswirken. Dieses Kapitel liefert wichtige Erkenntnisse für das Risikomanagement im Optionshandel und ermöglicht eine genauere Einschätzung der Preisdynamik.

6. Strategie an der Börse: Dieses Kapitel präsentiert eine konkrete Handelsstrategie unter Verwendung des Black-Scholes-Merton-Modells. Es zeigt die praktische Anwendung des Modells und die Umsetzung einer Strategie, möglicherweise unter Einbezug einer österreichischen Aktiengesellschaft und der Verwendung von Programmen wie Mathematica und Excel.

Schlüsselwörter

Black-Scholes-Merton-Modell, Optionspreisbewertung, Call-Optionen, Put-Optionen, europäische Optionen, Wiener-Prozesse, Itôs Lemma, geometrische Brownsche Bewegung, Volatilität, Sensitivitätsanalyse, Risikomanagement, Derivatehandel, Aktienoptionen, Handelsstrategie.

Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu: Optionspreisbewertung mit dem Black-Scholes-Merton-Modell

Was ist der Inhalt dieses Dokuments?

Dieses Dokument bietet eine umfassende Übersicht über die Optionspreisbewertung, insbesondere mithilfe des Black-Scholes-Merton-Modells. Es beinhaltet ein Inhaltsverzeichnis, die Zielsetzung und Themenschwerpunkte, Kapitelzusammenfassungen, und Schlüsselwörter. Der Fokus liegt auf der fairen Berechnung von Preisen für europäische Call- und Put-Optionen.

Welche Themen werden im Dokument behandelt?

Das Dokument behandelt folgende Kernbereiche: Einführung in den Optionshandel und die verschiedenen Arten von Optionen (Call, Put, Forwards, Futures), die Eigenschaften von Aktienoptionen (inkl. Wertobergrenzen und Put-Call-Parität), die mathematischen Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells (Wiener-Prozesse, Itôs Lemma, geometrische Brownsche Bewegung), die Anwendung des Black-Scholes-Merton-Modells zur Optionspreisbewertung, die Sensitivitätsanalyse der Optionspreise gegenüber verschiedenen Einflussfaktoren (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho), eine konkrete Börsenstrategie und schließlich eine kritische Auseinandersetzung mit dem Modell und seinen Grenzen.

Welche mathematischen Konzepte werden erklärt?

Das Dokument erklärt wichtige mathematische Konzepte, die für das Verständnis des Black-Scholes-Merton-Modells unerlässlich sind. Dazu gehören stochastische Prozesse, Wiener-Prozesse, das Itôs Lemma und die geometrische Brownsche Bewegung. Diese Konzepte werden verständlich erläutert und in den Kontext der Finanzmathematik eingeordnet.

Was ist das Black-Scholes-Merton-Modell?

Das Black-Scholes-Merton-Modell ist ein mathematisches Modell zur Bewertung von europäischen Optionen. Das Dokument beschreibt detailliert die zugrundeliegenden Annahmen, die Herleitung der Differentialgleichung und die Berechnung des fairen Preises für Call- und Put-Optionen. Es wird auch auf die Bedeutung der Volatilität eingegangen.

Welche Sensitivitäten werden im Zusammenhang mit Optionspreisen analysiert?

Die Sensitivitätsanalyse untersucht den Einfluss verschiedener Faktoren auf den Optionspreis. Konkret werden die sogenannten "Grieks" (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho) erläutert, die angeben, wie sich Änderungen des Basiswertkurses, der Volatilität, der Zeit bis zur Fälligkeit und des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis auswirken.

Wie wird das Black-Scholes-Merton-Modell in der Praxis angewendet?

Das Dokument präsentiert eine konkrete Handelsstrategie, die das Black-Scholes-Merton-Modell verwendet. Die praktische Anwendung des Modells wird anhand eines Beispiels (möglicherweise unter Einbezug einer österreichischen Aktiengesellschaft und der Verwendung von Programmen wie Mathematica oder Excel) illustriert.

Welche Kritikpunkte werden an dem Black-Scholes-Merton-Modell geäußert?

Das Dokument diskutiert auch die Kritikpunkte und die Grenzen des Black-Scholes-Merton-Modells. Es wird auf die Risiken hingewiesen, die mit der Anwendung des Modells verbunden sind, und es wird ein Beispiel für einen großen Verlust im Zusammenhang mit einem Derivatgeschäft vorgestellt.

Welche Schlüsselwörter sind relevant für dieses Dokument?

Die Schlüsselwörter umfassen: Black-Scholes-Merton-Modell, Optionspreisbewertung, Call-Optionen, Put-Optionen, europäische Optionen, Wiener-Prozesse, Itôs Lemma, geometrische Brownsche Bewegung, Volatilität, Sensitivitätsanalyse, Risikomanagement, Derivatehandel, Aktienoptionen, Handelsstrategie.