Auswertung von Zeitreihen mit Methoden der nichtlinearen Dynamik

In der vorliegenden Arbeit werden anhand von Zeitreihen mit bekannter unterliegender Dynamik die Algorithmen zur numerischen Bestimmung von invarianten dynamischen Größen abgeleitet, implementiert und insbesondere an Messdaten unbekannter Dynamik angewendet.

Als bekannte nichtlineare Dynamiken werden erläutert und ausgewertet: das Räuber-Beute-Modell, das Lorenzmodell, die quadratische Ikeda-Abbildung und die kubische Henon-Abbildung. Die analysierten Messdaten stammen von einem Nuclear-Magnetic-Resonance-Laserexperiment. Alle untersuchten nichtlinearen Systeme weisen ein deterministisch chaotisches Verhalten auf. Dabei zeigt sich, dass der durch die Bewegungsgleichungen beschriebene Fluß im Phasenraum auf einen z.T. fraktalen Unterraum - den Attraktor - beschränkt ist.

Neben Verfahren zur Rekonstruktion des Phasenraums und des Attaktors aus den Daten, wird eine Methode zur lokal-linearen Rauschunterdrückung für die Präparation von Messdaten im Detail abgeleitet, erläutert und angewendet.

Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der numerischen Bestimmung invarianter dynamischer Größen aus den Daten. Diese Größen charakterisieren die unterliegende nichtlineare Dynamik auf einer Makroskala und erlauben Vergleiche verschiedener Systeme. Die hier betrachteten Invarianten sind: der Lyapunov-Exponent, die verallgemeinerten Renyi-Entropien und die verallgemeinerten (fraktalen) Dimensionen des Attraktors. Die erforderlichen Algorithmen zur Bestimmung der Invarianten werden im Detail erläutert und ihre Wirkungsweise anhand der Ergebnisse kritisch gewürdigt.

Die vorliegende Arbeit stellt im Detail den Arbeitsprozess von den (Mess-)Daten zu den invarianten dynamischen Größen dar.