Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell

1.1 Das Modell

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens

1.2.1 Erwartungswert und Varianz

1.2.2 Faltung

1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen

2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen

2.1 Charakterisierung

2.2 Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall

2.3 Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall

3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse

3.1 Annuitätenverteilungen und ihre Existenz

3.2 Eigenschaften von Annuitätenverteilungen

3.2.1 Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung

3.2.2 Zusammengesetzte Poissonverteilung

3.3 Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung

3.4 Anwendung der Annuitätenverteilung

A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme

A.1 Exakte Verteilung des Gesamtschadens

A.2 Panjer-Rekursion: Diskreter Fall

A.3 Panjer-Rekursion: Stetiger Fall

A.4 Parameterschätzung

A.5 Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens

B Verzeichnis über Verteilungen

Zielsetzung & Themen

Die vorliegende Arbeit untersucht Methoden zur Berechnung von Schadensverteilungen im kollektiven Versicherungsmodell. Das primäre Ziel besteht darin, die klassische Panjer-Klasse zu verallgemeinern, indem Annuitätenverteilungen als flexiblere Schadenzahlverteilungen eingeführt und analysiert werden, um eine präzisere Modellierung von Gesamtschäden, insbesondere unter Berücksichtigung von Diskontierungsfaktoren, zu ermöglichen.

• Mathematische Modellierung des Gesamtschadens mittels kollektivem Modell.
• Analyse der Panjer-Klasse und deren Rekursionsformeln für diskrete und stetige Schadenshöhen.
• Herleitung und mathematische Charakterisierung von Annuitätenverteilungen.
• Methoden zur Schätzung der Verteilungsparameter aus empirischen Schadensdaten.
• Implementierung numerischer Lösungsverfahren mittels Maple-Programmierung.

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell: Dieses Kapitel führt in das kollektive Risikomodell ein, definiert den Gesamtschaden als zufällige Summe und erarbeitet grundlegende Formeln für dessen Erwartungswert und Varianz.

2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen: Hier wird der Algorithmus von H. Panjer vorgestellt, der durch eine spezielle Rekursionsformel die Berechnung der Gesamtschadenverteilung für eine bestimmte Klasse von Schadenzahlverteilungen ermöglicht.

3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse: In diesem zentralen Kapitel wird die Panjer-Klasse durch die Einführung von Annuitätenverteilungen erweitert und es werden Verfahren zur Parameterschätzung sowie zur Modellierung diskontierter Gesamtschäden entwickelt.

A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme: Der Anhang dokumentiert die zur Berechnung und Simulation verwendeten Maple-Programme, die die theoretischen Ergebnisse der vorangegangenen Kapitel praktisch umsetzbar machen.

B Verzeichnis über Verteilungen: Dieses Kapitel bietet eine kompakte Übersicht der in der Arbeit verwendeten diskreten und stetigen Verteilungen inklusive ihrer Kenngrößen.

Schlüsselwörter

Risikotheorie, kollektives Modell, Panjer-Klasse, Schadenzahlverteilung, Annuitätenverteilung, Gesamtschaden, Faltung, erzeugende Funktion, diskontierter Gesamtschaden, Parameterschätzung, Momentenmethode, Poissonverteilung, Binomialverteilung, negative Binomialverteilung, Maple-Programmierung.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit befasst sich mit der versicherungsmathematischen Modellierung von Gesamtschäden, wobei der Fokus auf der effizienten Berechnung der Verteilung dieser Schäden unter Verwendung von Rekursionsformeln liegt.

Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?

Die zentralen Themen sind das kollektive Risikomodell, die Panjer-Rekursion für verschiedene Schadenzahlverteilungen sowie die theoretische Erweiterung dieses Modells durch Annuitätenverteilungen.

Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?

Das Ziel ist die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse zur besseren Abbildung komplexer Schadenszenarien und die Entwicklung numerischer Methoden zur Berechnung von diskontierten Gesamtschäden.

Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?

Es werden mathematische Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie (Momentenerzeugende Funktionen, Faltung) sowie numerische Approximationsverfahren mittels Softwareunterstützung (Maple) verwendet.

Welche Inhalte werden im Hauptteil vertieft?

Der Hauptteil behandelt die theoretische Herleitung der Annuitätenverteilungen, deren Existenzbedingungen sowie die spezifische Anwendung auf Modelle mit einem Diskontierungsfaktor.

Was charakterisiert die vorliegende Arbeit?

Die Arbeit verbindet eine tiefgehende theoretische Fundierung der Risikotheorie mit konkreten Ansätzen zur praktischen algorithmischen Umsetzung in der Versicherungsmathematik.

Wie unterscheidet sich die "Annuitätenverteilung" von klassischen Verteilungen?

Sie bietet eine flexiblere Struktur für die Schadenzahl, die durch einen zusätzlichen Parameter (δ) gesteuert werden kann, was sie zu einer verallgemeinerten Form klassischer Verteilungen wie der Poisson- oder Binomialverteilung macht.

Warum spielt die Maple-Programmierung eine so große Rolle in der Arbeit?

Da für die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens oft keine geschlossenen analytischen Lösungen existieren, ist der Einsatz numerischer Verfahren mittels Maple notwendig, um praxisrelevante Ergebnisse zu erzielen.