Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Anlagenverzeichnis
2 Rohstoffe als eigenständige Assetklasse
2.1 Einordnung des Rohstoffsektors in die Klassifizierung der Assets
2.2 Investitionsmöglichkeiten in Rohstoffe
2.2.1 Probleme beim physischen Erwerb von Rohstoffen und bei der Investi-tion in Rohstoffaktien
2.2.2 Direktinvestition durch unbedingte Termingeschäfte
2.2.2.1 Funktionsweise und Bewertung von Commodity-Futures und –For-wards
2.2.2.2 Die wichtigsten Rohstoffbörsen und -indizes im Überblick
2.2.2.3 Renditequellen von Rohstoff-Indizes
2.2.3 Bedingte Termingeschäfte und strukturierte Produkte als Alternativen zum D
3 Modelltheoretische Grundlagen des Portfoliomanagements
3.1 Die Portfolio Selection Theory von Markowitz
3.1.1 Die Grundidee von Diversifikation und Wertpapiermischung
3.1.2 Das Standardmodell von Markowitz ohne risikolose Anlage
3.1.2.1 Die Menge aller möglichen Portfolios
3.1.2.2 Bestimmung der Effizienzkurve aus der Menge aller Portfolios
3.1.2.3 Isonutzenfunktionen und die Ableitung des optimalen Portfolios
3.1.3 Erweiterung zur Portfoliooptimierung mit risikolosem Zinssatz
3.1.3.1 Portfoliorendite und –risiko bei risikolosem Zinssatz
3.1.3.2 Kapitalmarktlinie und Tobin Separation
3.1.4 Kritische Würdigung der Portfolio Selection Theory
3.1.4.1 Unrealistische Modellannahmen und eine Vielzahl von Inputpara-metern
3.1.4.2 Extreme Portfoliogewichte
3.1.4.3 Sensitivität der Portfolioallokationen
3.1.4.4 Schätzfehler in den Eingabegrößen
3.2 Portfoliooptimierung unter Berücksichtigung höherer Momente der Verteilung
3.2.1 Die Grundidee höherer Momente im Portfoliomanagement
3.2.2 Weitere Ziele des Investors neben Rendite und Varianz
3.2.2.1 Schiefe als dritter Moment der Verteilung
3.2.2.2 Kurtosis als vierter Moment der Verteilung
3.2.3 Taylorentwicklung des Erwartungsnutzens und das Effizienzkriterium
3.2.4 Portfoliooptimierung mit dem Polynomial Goal Programming
3.2.4.1 Die Grundidee und Vorgehensweise des Polynomial Goal Program-ming
3.2.4.2 Polynomial Goal Programming angewandt auf höhere Momente
3.2.5 Kritische Würdigung der Berücksichtigung höherer Momente
3.3 Das Black-Litterman-Modell auf Basis von Umkehroptimierungen
3.3.1 Ansatz zur Lösung der Schwächen der Portfolio Selection Theory
3.3.2 Referenzportfolios als Startpunkt der Portfoliooptimierung
3.3.2.1 Ansätze zur Bestimmung des neutralen Portfolios
3.3.2.2 Ermittlung der Gleichgewichtsrenditen durch umgekehrte Optimie-rung
3.3.3 Individuelle Erwartungen des Investors und Vertrauensniveaus
3.3.3.1 Spezifikation der Renditeerwartungen
3.3.3.2 Beurteilung der Güte der Renditeprognosen
3.3.4 Einbindung der spezifischen Erwartungen in das Gleichgewichtsportfolio nach dem Bayesianischen Ansatz
3.3.5 Kritische Würdigung des Black-Litterman-M
4 Konstruktion und Analyse eines Musterportfolios zur praktischen Anwen-dung der Portfoliotheorien auf den Rohstoffsektor
4.1 Datenbasis für die Konstruktion eines Musterportfolios
4.1.1 Die Subindizes des Dow Jones-AIGCI zur Abbildung des Rohstoff-sektors
4.1.2 Analyse vergangener Renditeentwicklungen einzelner Rohstoffsek-toren
4.1.2.1 Der Gesamtrohstoffmarkt am Beispiel des DJ-AIG TR
4.1.2.2 Energierohstoffe am Beispiel des DJ-AIG Energy TR
4.1.2.3 Agrarwirtschaft am Beispiel des DJ-AIG Agriculture TR
4.1.2.4 Industriemetalle am Beispiel des DJ-AIG Industrial Metals TR
4.1.2.5 Edelmetalle am Beispiel des DJ-AIG Precious Metals TR
4.1.2.6 Viehwirtschaft am Beispiel des DJ-AIG Livestock TR
4.1.3 Wirkung unterschiedlicher Zeithorizonte auf die Schiefe von Roh-stoffen
4.1.4 Die Interaktion der einzelnen Sektoren und das Diversifikationspoten-tial
4.2 Bestimmung der optimalen Portfoliozusammensetzung mit der Portfolio Selection Theory nach Markowitz
4.2.1 Optimierung unter Berücksichtigung eines Leerverkaufsverbots
4.2.2 Optimierung unter Berücksichtigung der Restriktionen des DJ-AIGCI
4.2.3 Aufhebung von Leerverkaufsrestriktionen und Maximalgewichten
4.2.4 Kritische Würdigung der praktischen Portfoliooptimierung nach Markowitz
4.3 Praktische Optimierung unter Berücksichtigung höherer Momente
4.3.1 Polynomial Goal Programming bei Bestehen eines Leerverkaufs-verbots
4.3.2 Optimierung über höhere Momente für die Restriktionen des DJ-AIGCI
4.3.3 Aufhebung von Leerverkaufsrestriktionen und Maximalgewichten
4.3.4 Kritische Würdigung der praktischen Portfoliooptimierung unter Berück-sichtigung höherer Momente der Verteilung
4.4 Praktische Anwendung des Black-Litterman-Modells
4.4.1 Das neutrale Portfolio auf Basis naiver Diversifikation
4.4.2 Die Zusammensetzung des DJ-AIGCI als Benchmarkportfolio
4.4.3 Kritische Würdigung der praktischen Optimierung nach Black/L
5 Thesenförmige Z
A
L
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Abbildung 1: Abgrenzung des Rohstoffsektors und von dessen S
Abbildung 2: Entwicklung von Rohstoff-Futures vs. Rohstoffaktien von 1962-
Abbildung 3: Auszahlungsprofil von Rohstoff-F
Abbildung 4: Backwardation und Contango in Futures-Kurven
Abbildung 5: Struktur eines Total Return Commodity S
Abbildung 6: Bestimmung der kritischen Linie im 2-Asset-F
Abbildung 7: Bestimmung des optimalen Portfolios nach M
Abbildung 8: Kapitalmarktlinie und Tobin S
Abbildung 9: Zur Schiefe einer R
Abbildung 10: Zur Wölbung einer R
Abbildung 11: Die bedeutendsten Schritte des Black-Litterman-A
Abbildung 12: Das Prinzip der umgekehrten Optimierung nach Black/ L
Abbildung 13: Zusammensetzung und aktuelle Gewichtung des DJ-AIGCI
Abbildung 14: Renditen des Rohstoffmarktes im Vergleich zur N
Abbildung 15: Renditen im Energiesektor im Vergleich zur N
Abbildung 16: Renditen im Agrarsektor im Vergleich zur N
Abbildung 17: Renditen der Industriemetalle im Vergleich zur N
Abbildung 18: Renditen der Edelmetalle im Vergleich zur N
Abbildung 19: Renditen der Viehwirtschaft im Vergleich zur N
Abbildung 20: Historische Schiefe-Koschiefe-Matrix im R
Abbildung 21: Effizienzkurve bei der Markowitz-Optimierung ohne Leerverkä
Abbildung 22: Effizienzkurve bei Berücksichtigung der Restriktionen des DJ-AIG-CI
Abbildung 23: Effizienzkurve ohne Leerverkaufsbeschränkung und Maximalge-
Abbildung 24: Steigungen der Kapitalmarktlinien für die drei betrachteten Fällen
Abbildung 25: Trade-Off der Portfoliomomente für den Fall ohne Leerverkä
Abbildung 26: Trade-Off der Portfoliomomente für die DJ-AIGCI-R
Abbildung 27: Trade-Off der Portfoliomomente für den Fall ohne R
Abbildung 28: Interpretation der Prognosegüte als K
Abbildung 29: Zusammenhang zwischen Prognosegüte und P
Abbildung 30: Auswirkung verschiedener Korrelationen auf die Diversifikation für den 2-Asset-Fall
Tabelle 1: Charakteristika der Rohstoffsubsegmente im DJ-AIGCI
Tabelle 2: Schiefe von Rohstoffrenditen im Z
Tabelle 3: Historische Varianz-Kovarianz-Matrix im R
Tabelle 4: Historische Korrelationsmatrix im R
Tabelle 5: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen für den Fall ohne Leerverkäufe (Auszug)
Tabelle 6: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen für den Fall der DJ-AIGCI-Restriktionen (Auszug)
Tabelle 7: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen für den Fall ohne Leerverkaufsbeschränkung (Auszug)
Tabelle 8: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall ohne Leerverkäufe (Auszug)
Tabelle 9: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall der DJ-AIGCI-Restriktionen (Auszug)
Tabelle 10: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall ohne Leerverkaufsverbot (Auszug)
Tabelle 11: Gleichgewichtsrenditen auf Basis naiver D
Tabelle 12: Matrix der Investorerwartungen und der deren Ausprä
Tabelle 13: Matrix der P
Tabelle 14: Revidierte Portofoliorenditen auf Basis naiver D
Tabelle 15: Veränderungen in der Varianz-Kovarianz-M
Tabelle 16: Revidierte Varianz-Kovarianz-M
Tabelle 17: Revidierte Portfoliogewichte auf Basis naiver D
Tabelle 18: Gewichtungen des DJ-AIGCI als R
Tabelle 19: Gleichgewichtsrenditen mit dem DJ-AIGCI als B
Tabelle 20: Revidierte Portofoliorenditen mit dem DJ-AIGCI als Benchmarkport-
Tabelle 21: Revidierte Portfoliogewichte mit dem DJ-AIGCI als Benchmarkport-
Anlage 1: Überblick über ausgewählte Börsenplätze für R
Anlage 2: Erwartungswert und Varianz als Portfoliodeterminanten
Anlage 3: Annahmen über das Wahlverhaltens von Investoren und über die Eigen-schaften des Marktes
Anlage 4: Auswirkungen verschiedener Korrelationskoeffizienten auf die Diversifi-kationsmöglichkeiten
Anlage 5: Beweis zur Ableitung des Zusammenhangs >?>*@ im Black-Litter-man-Modell . XX
Anlage 6: Ableitung der Black-Litterman-Formel
Anlage 7: Schiefe-Koschiefe-Matrix im Rohstoffsektor
Anlage 8: Kurtosis-Kokurtosis-Matrix im R
Anlage 9: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen für den Fall ohne Leerverkäufe
Anlage 10: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen unter Berücksichtigung der Restriktionen des DJ-AIGCI
Anlage 11: Portfoliogewichtungen für verschiedene Rendite-Risiko-Kombinationen für den Fall ohne Leerverkaufsbeschränkungen
Anlage 12: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall ohne Leerverkäufe
Anlage 13: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall der DJ-AIGCI-Restriktionen
Anlage 14: Portfoliogewichtungen für verschiedene Kombinationen der Investorprä-ferenzen für den Fall ohne L
In früheren Jahren spielten Rohstoffe allenfalls eine untergeordnete Rolle in den Investitionsentscheidungen sowohl von professionellen Portfoliomanagern als auch von Privatanlegern.[1] Als Grund wurde dafür häufig das hohe Risiko, gemessen an der Volatilität der Preisbewegungen, angegeben, welches Rohstoffen als Investmentalternative angeblich innewohnt.[2] In den letzten Jahren jedoch gewannen Rohstoffe als Assetklasse, wohl auch vor dem Hintergrund der rasant ansteigenden Rohstoffpreise und dem seit Jahren intakten Superzyklus, immer mehr an Bedeutung.[3] Die Wissenschaft ist sich dabei schon seit langer Zeit einig, dass Rohstoffe einen positiven Beitrag zur Portfoliooptimierung leisten können. Ein wichtiger Vorzug ist dabei in der Absicherung gegen Inflationsrisiken zu sehen, da Rohstoffe, historisch betrachtet, eine positive Korrelation mit der Inflation aufweisen.[4] Der größte Vorteil liegt dabei in der absichernden Wirkung von Rohstoffen gegenüber unerwarteter Inflation, da vorhersehbare Inflation auch zu höheren Bond- und Aktienrenditen führt, eine unerwartete Inflation in der Vergangenheit jedoch meist in negativen Bond- und Aktienrenditen resultierte.[5] Des Weiteren kann in fast allen vergangenen Perioden ein unkorrelierter Verlauf, in Teilen sogar eine negative Korrelation zwischen Rohstoff- und Aktienrenditen einerseits sowie zwischen Rohstoff- und Bondrenditen andererseits festgestellt werden.[6] Dadurch bietet ein Investment in Rohstoffe dem Anleger letztlich die Möglichkeit zur Diversifikation seines Portfolios.[7] Verstärkt wird dieser Effekt noch durch Studien, die zeigen, dass sich Rohstoffe vor allem in Zeiten schlechter Finanzmarktstimmung besonders gut entwickeln.[8] In den Phasen später Konjunkturexpansion sowie früher Rezession, in denen Aktien und Bonds regelmäßig Renditen erzielen, die unter dem langjährigen Durchschnitt liegen, konnten Rohstoffe in der Vergangenheit überdurchschnittliche Renditen generieren.[9]
Allerdings zeigt eine Reihe von Studien auch, dass Rohstoffe nicht nur wegen ihrer diversifizierenden Wirkung für das Portfoliomanagement von Interesse sein können, sondern dass sie darüber hinaus eine sehr attraktive Rendite-Risiko-Struktur aufweisen, da sie im langjährigen Durchschnitt etwa gleiche Renditen und Standard-abweichungen generieren konnten wie Aktien.[10] Ergänzt durch eine von Anlegern bevorzugte höhere, positive Schiefe und eine vergleichbare Kurtosis wie Aktien sind Rohstoffe somit durch ein großes Aufwärtspotential bei gleichzeitig geringerem Abwärtsrisiko gekennzeichnet.[11] Vor dem Hintergrund einer anhaltenden Globalisierung und eines stetigen Wachstums von Schwellenländern wie China oder Indien, gehen viele Experten von einer weiter steigenden Rohstoff-Nachfrage sowohl durch die produzierenden Unternehmen als auch durch Konsumenten aus.[12] Kombiniert mit möglichen Angebotsbeschränkungen, die durch endliche Ressourcenvorkommen, fehlende Infrastruktur oder politische Instabilitäten in den fördernden Ländern auftreten können, wird daher ein großes Aufwärtspotential für Rohstoffpreise gesehen.[13]
Seit die Rohstoffpreise im Jahr 2008 jedoch sehr stark gefallen sind, wie beispielsweise Rohöl, das vom Höchststand von mehr als 147 US-Dollar je Barrel im Juli 2008 um mehr als 70% auf unter 40 US-Dollar zum Jahresende zurückging, oder Zink, das von mehr als 4.500 US-Dollar je Tonne im Dezember 2006 gar um fast 80% auf nur noch knapp über 1.100 US-Dollar einbrach, wurden die Anleger wieder stärker für die Risiken eines Rohstoffinvestments sensibilisiert.[14] Denn es wurde bereits in früheren Studien gezeigt, dass die einzelnen Rohstoff-Subsegmente nur eine sehr geringe Korrelation untereinander aufweisen und sich die einzelnen Bereiche in der Vergangenheit durchaus unterschiedlich gut entwickelt haben, so dass durch eine aktive Anlagestrategie Überrenditen erzielt werden konnten.[15]
Aus diesem Grund geht die hier vorliegende Arbeit nicht der Frage nach, wie Rohstoffe zur Optimierung eines Multi-Asset-Portfolios beitragen können, sondern es soll vielmehr analysiert werden, welche Allokation der einzelnen Subsegmente innerhalb des Rohstoffsektors den größten Nutzen für einen Investor generieren kann. Für die Optimierung werden dabei die Portfolio Selection Theory von Markowitz, das daran anknüpfende Modell unter Berücksichtigung höherer Verteilungsmomente sowie das Black-Litterman-Modell herangezogen und die resultierenden Portfolioallokationen miteinander verglichen. Die Arbeit bezieht sich dabei ausschließlich auf die strategische Asset Allokation, Timing-Aspekte, die darüber hinaus großen Einfluss auf den Erfolg eines Portfolios haben können,[16] bleiben außen vor
Unter dem Begriff Rohstoffe werden gemeinhin grundlegende Erzeugnisse der Land-, Forst- oder Fischwirtschaft sowie Minerale zusammengefasst, die entweder in natürlicher Form dem primären Sektor entstammen oder als Halbfabrikat von Produzenten und Konsumenten verwendet werden.[17] Rohstoffe zeichnen sich dabei dadurch aus, dass ihnen ein innerer Wert zu Grunde liegt und sie dadurch ähnlich wie Immobilien in die Klasse der Realwirtschaftsgüter als Gegenpol zu den Finanzgütern wie Bonds oder Aktien einzuordnen sind.[18] Man kann dabei zwischen lagerfähigen und nicht lagerfähigen Rohstoffen unterscheiden sowie zwischen Rohstoffarten, die eine Saisonalität hinsichtlich ihres Preisniveaus und ihrer Volatilitäten aufweisen und solchen, bei denen diese Faktoren keinen Einfluss haben.[19] Die besondere Eigenschaft aller Rohstoffe liegt jedoch darin, dass ihre Verfügbarkeit eingeschränkt ist, so dass diese, wenn überhaupt, nur langfristig beeinflusst werden kann und dass sie in der Regel sehr stark ortsgebunden sind.[20] Vor diesem Hintergrund ist die weit verbreitete Verwendung von derivativen Instrumenten als Substitut für Rohstoffe auf Grund ihrer hohen Standardisierung und der damit verbundenen einfachen und kostengünstigen Verwahrungsmöglichkeit ein logischer Schritt.[21] Dadurch wird der Markt für zwei Gruppen von Teilnehmern geöffnet. Auf der einen Seite stehen die Hedger, wie beispielsweise Landwirte oder Bauunternehmen, die bestrebt sind, sich gegen zukünftige Preisschwankungen abzusichern, auf der anderen Seite stehen Spekulanten, die den Hedgern gegen Bezahlung einer Prämie die gewünschte Sicherheit bieten und darüber hinaus versuchen, von den Preisschwankungen zu profitieren.[22] Der Beweis, dass es sich bei Rohstoffen um eine eigenständige Assetklasse handelt, wird anhand der folgenden Eigenschaften erbracht:[23]
- Rohstoffe bzw. einzelne Gruppen sind eine homogene Anlageklasse;
- der Rohstoffmarkt ist ausreichend groß, Marktdaten sind ausreichend verfügbar und es besteht die Möglichkeit zur passiven Investition;
- die Renditestruktur einer Rohstoffanlage kann nicht durch entsprechende Kombinationen anderer Anlageklassen nachgebildet werden;
- dadurch können Rohstoffe den Nutzen eines Portfolios erhöhen
Die Anlageklasse kann dann noch weiter untergliedert werden in erneuerbare Rohstoffe, also Agrarprodukte, die pflanzliche und tierische Produkte enthalten, sowie nicht erneuerbare Rohstoffe mit Energierohstoffen sowie Edel- und Industriemetallen.[24] Abbildung 1 gibt einen Überblick über die Abgrenzung des Sektors in Anlehnung an die Außenhandelsstatistik der Bundesrepublik Deutschland
Abbildung 1: Abgrenzung des Rohstoffsektors und von dessen Subsegmenten[25]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Wie oben bereits angedeutet wurde, geht die Investition in Rohstoffe in Form eines physischen Erwerbs mit der Schwierigkeit der Lagerfähigkeit der Produkte einerseits und der Problematik des Transports und der Lagerhaltung der lagerfähigen Produkte andererseits einher.[26] Zwar gibt es für Investoren durchaus eine Reihe von Möglichkeiten, wie beispielsweise die Anmietung von Lagerhallen, um diese Probleme zu umgehen, jedoch dürften diese alle „zu teuer und unrealistisch für die meisten Investoren sein, da diese für die Lagerung und die Versicherung aufzukommen hätten“[27] und es darüber hinaus eine Vielzahl von Rohstoffen, wie beispielsweise Uran, gibt, in die physisch überhaupt nicht investiert werden kann.[28]
Deshalb spielten Direktinvestitionen in Rohstoffe lange Zeit allenfalls eine un-tergeordnete Rolle, während indirekte Investitionen, wie der Aktien- oder Bonder-werb von Rohstoffunternehmen, eine weit verbreitete Alternative darstellt.[29] Allerdings ist auch diese Art der Investition kritisch zu betrachten, da die Beteilung an Rohstoff-orientierten Unternehmen nicht den Preisbildungsprozess von direkten Rohstoffinvestitionen nachbilden kann.[30] Dies begründet sich in der Tatsache, dass Unternehmen fast nie ein „pure play“[31] darstellen, sondern meist eine breit gefasste Geschäftstätigkeit verfolgen, die das Investment wie folgt beeinflusst:[32]
- Die Unternehmen sind in der Regel gut diversifiziert, so dass der Investor niemals den reinen Ertrag aus einem spezifischen Rohstoff erhält;
- Rohstoffpreisentwicklungen sind nur ein Faktor neben Zinsen, Löhnen oder Forschung, die den Verdienst eines Unternehmens bestimmen;
- spezifische Unternehmensaktivitäten beeinflussen den Aktienkurs wohl stärker als den Wert des zu Grunde liegenden Assets, also des Rohstoffs
Abbildung 2 zeigt den Einfluss unterschiedlicher Investitionsarten auf deren Rendite
Abbildung 2: Entwicklung von Rohstoff-Futures vs. Rohstoffaktien von 1962-2003[33]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Aus diesem Grund werden im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich direkte Investitionen in derivative Finanzinstrumente auf Rohstoffe herangezogen und keine Investitionen in physische Rohstoffe oder Rohstoffaktien betrachtet
Da, wie oben gezeigt wurde, sowohl der physische Handel von Rohstoffen als auch der Erwerb von Wertpapieren von Rohstoffunternehmen mit einer Vielzahl von Problemen belegt ist, erfolgen Transaktionen im Rohstoffsektor in der Regel auf Kassamärkten (Spot Markets) oder Terminmärkten (Futures Markets).[34] Unter einem Rohstoff-Future versteht man dabei eine standardisierte Vereinbarung, die den Käufer (Verkäufer) verpflichtet, eine festgelegte Menge eines bestimmten Rohstoffs zu einem festgelegten Zeitpunkt und zu einem festgelegten Preis zu erwerben (verkaufen).[35] Forwards entsprechen der Struktur nach einem Future mit dem einzigen Unterschied, dass sie nicht auf organisierten Märkten gehandelt werden.[36] Deshalb sollen im Folgenden lediglich Rohstoff-Futures für die Berechnungen herangezogen werden. Das Auszahlungsprofil eines Rohstoff-Futures stellt sich wie folgt dar.
Abbildung 3: Auszahlungsprofil von Rohstoff-Futures[37]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Zur Bewertung von Rohstoff-Futures bedient man sich im Allgemeinen dem Cost-of-Carry-Ansatz, der die Beziehung zwischen Spot- und Futures-Preisen von Rohstoffen durch die Berücksichtigung von Lagerhaltungs- und Finanzierungskosten beim Spotkurs umschreibt.[38] Darüber hinaus ist aber auch das so genannte Convenience Yield bei der Preissetzung zu berücksichtigen, da der Besitz eines Rohstoffs gegenüber einem Futures-Kontrakt den Vorzug aufweist, dass durch Lagerhaltung die Produktion im Unternehmen aufrecht gehalten werden kann und man von temporären Engpässen profitieren kann.[39] Daher kann der Preis eines Rohstoff-Futures[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zum Zeitpunkt t mit Lieferzeitpunkt T gemäß der von Working im Jahr 1949 entwickelten Theory of Storage[40] mit % als Spotpreis zu einem beliebigen Zeitpunkt t,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Zinsen der Finanzierung, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]als Lagerhaltungskosten und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Convenience Yield ermittelt werden als:[41]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
bzw. ausgedrückt als stetiger Verzinsungsprozess:[42]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Zu Beginn liegt der Wert eines Futures-Kontraktes bei Null.[43] Der Vorteil einer Investition in Rohstoff-Futures ist daher in der Möglichkeit zu sehen, dass der Investor abhängig von seinen Markterwartungen auf steigende (Long-Positionen) wie auch auf fallende Kurse (Short-Positionen) setzen kann, was jedoch durch den Nachteil kurzfristig sehr volatiler Preisbewegungen im Rohstoffsektor erkauft wird.[44]
Da es in frühen Zeiten fast ausnahmslos Derivate auf Rohstoffe und dabei vor allem Terminkontrakte waren, die wegen der Möglichkeit zur Standardisierung und Glattstellung börsengehandelt wurden, weisen die Rohstoffbörsen heute eine bis in die Mitte des 19.Jahrhunderts zurückreichende Tradition auf.[45] Als die heute größte Börse für den Handel von Rohstoffen, Futures und Optionen gilt das Chicago Board of Trade (CBoT) mit einem Handelsvolumen von mehr als 800 Millionen Kontrakten im Jahr 2006.[46] Darüber hinaus sind neben einer Vielzahl von lokalen Handelszentren vor allem die auf einzelne Rohstoffsegmente spezialisierten Börsenplätze in New York (NYMEX, NYCE, NYBoT, COMEX), Chicago (CBoT, CME), London (IPE, LME, LCE) und Tokio (TOMOC, TGE) von großer Bedeutung.[47] Die Börsen erfüllen dabei vor allem die Funktion der physischen Warenvermittlung und der Preisbildung.[48] Einen detaillierten Überblick über Rohstoffbörsen liefert Anlage 1
Eine Möglichkeit in Rohstoffe zu investieren, ohne sich den Schwierigkeiten einer physischen Transaktion aussetzen zu müssen, stellen Rohstoffindizes dar, die sich dadurch auszeichnen, dass sie durch einen passiven, vollkommen besicherten Erwerb von einzelnen Rohstoff-Futures die Rendite-Risiko-Struktur des gesamten Rohstoffmarktes nachbilden.[49] Der älteste Rohstoffindex ist dabei der im Jahr 1957 vom Commodity Research Bureau eingeführte Reuters-Jeffries CRB Commodity Index. Die größte Bedeutung haben aber mittlerweile der 1992 veröffentlichte und 2007 von Standard & Poor’s übernommene Goldman Sachs Commodity Index (S&P GSCI) mit einem Marktanteil von über 50% sowie der Dow Jones-AIG Commodity Index (DJ-AIGCI) erlangt.[50] Weitere Rohstoffindizes, die sich größtenteils nur in der Zusammensetzung und der Art der Berechnung voneinander unterscheiden, sind der Rogers International Commodity Index (RICI), der Deutsche Bank Liquid Commodity Index (DBLCI), sowie eine Reihe von Indizes, die von ehemaligen Investmentbanken wie Merrill Lynch oder Lehman Brothers aufgelegt werden, die aber allesamt bestenfalls eine untergeordnete Rolle spielen.[51] Von den meisten dieser Indizes werden darüber hinaus Subindizes für die einzelnen Rohstoff-Subsegmente ermittelt.[52] Die Besonderheit von Rohstoff-Indizes liegt dabei in ihrer Konstruktionsweise, die vorsieht, dass der gesamte Wert der zu Grunde gelegten Futures-Kontrakte zusätzlich in den risikolosen Zinssatz investiert wird, so dass der Index letztlich als vollkommen unverschuldet angesehen werden kann.[53] Mit anderen Worten ausgedrückt, bedeutet dies nichts anderes, als dass für jeden Dollar an offenen Rohstoffpositionen ein weiterer Dollar in den risikolosen Zinssatz investiert wird.[54]
Betrachtet man nun die Investition in Rohstoffe anhand von vollkommen besicherten Rohstoff-Indizes, wie sie im vorigen Kapitel vorgestellt wurden, dann lassen sich insgesamt drei Ertragsquellen identifizieren, aus denen Rohstoffe eine Rendite generieren: Die erste und wohl intuitivste Renditequelle ist der so genannte Spot Yield, der aus Änderungen in den Kassapreisen der Rohstoffe entsteht.[55] Die zweite Renditequelle, als Collateral Yield bezeichnet, spiegelt den Ertrag aus der Anlage in den risikolosen Zinssatz wieder und ist somit eine Besonderheit von vollkommen besicherten Rohstoff-Indizes.[56] Um die dritte Renditequelle von Rohstoff-Indizes ermitteln zu können, muss man sich der Konzepte der Backwardation und des Contango bedienen.[57] Ein Rohstoffmarkt befindet sich definitionsgemäß in starker Backwardation, wenn die Preise für Futures-Kontrakte unter den erwarteten zukünftigen Kassakursen notieren.[58] Schwache Backwardation liegt folglich dann vor, wenn die erwarteten zukünftigen Spotpreise höher sind als die diskontierten Futures-Preise.[59] Die umgekehrte Situation, in der der Futures-Kurs über dem erwarteten zu-künftigen Kassakurs liegt, wird als Contango bezeichnet.[60] Der ursprüngliche Erklärungsansatz für diese Marktsituation geht auf John Maynard Keynes‘ „Theory of Normal Backwardation“[61] zurück, nach der ein Marktteilnehmer, der seine Rohstoffposition absichern will, eine Risikoprämie zahlen muss, damit die Gegenpartei das Hedgegeschäft annimmt.[62] Das Konzept lässt sich zwar schlüssig auf Rohstoffe anwenden, die nicht lagerfähig sind und sofort vermarktet werden müssen, wie z.B. Agrarrohstoffe oder Vieh, es liefert jedoch keine Erklärung für lagerfähige Rohstoffe, wie etwa Metalle.[63] Eine weitere Erklärung setzt daher an der oben dargestellten Theory of Storage von Working an und besagt, dass Verbraucher und Lagerhalter bereit sind, eine Verfügbarkeitsprämie, die so genannte Convenience Yield, zu bezahlen, um einen reibungslosen Produktionsablauf sicherstellen zu können.[64] Diese Erklärungen führen dazu, dass Futures-Kurven in Backwardation mit zunehmender Laufzeit abfallen und Futures-Kurven in Contango mit zunehmender Laufzeit ansteigen, so dass zum Laufzeitende der Futures-Preis dem Spotpreis entspricht.[65]
Abbildung 4: Backwardation und Contango in Futures-Kurven[66]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Ein Investor kann somit eine Rollrendite, das so genannte Roll Yield, generieren, indem er in Märkten, die in Backwardation notieren, Futures-Positionen erwirbt, die noch eine lange Laufzeit haben und somit unter dem Spotpreis gehandelt werden, diese bis kurz vor Laufzeitende hält und dann zu einem höheren Kurs wieder veräußert.[67] Befindet sich der Markt jedoch im Contango, dann muss der Investor vom niedrigeren Preis des auslaufenden Kontraktes in den höheren Preis des nächsten Kontraktes rollen, so dass die Rollrendite in diesem Fall negativ ausfallen kann.[68]
Gemäß einer von der Bank für Internationalen Zahlungsverkehr veröffentlichten Statistik belief sich der weltweit ausstehende Nominalbetrag aller Rohstoffderivate im Juni 2008 auf 13,229 Billionen US-Dollar.[69] Der Markt hat sich dabei seit Juni 2006 von 6,394 Billionen US-Dollar mehr als verdoppelt und seit Juni 1998 von 451 Milliarden US-Dollar fast verdreißigfacht.[70] Die größte Position im Markt nehmen dabei neben den im vorangegangenen Kapitel vorgestellten Rohstoff-Futures vor allem Optionen auf Rohstoff-Futures und Rohstoff-Swaps ein
Optionen auf Rohstoff-Futures, die im Juni 2008 ein Marktvolumen von 5,447 Billionen US-Dollar aufwiesen,[71] unterscheiden sich dabei konzeptionell derart von Futures-Kontrakten, als sie ihrem Besitzer das Recht, aber nicht die Pflicht einräumen, eine festgelegte Menge eines bestimmten Rohstoff-Futures zu einem festgelegten Zeitpunkt und zu einem festgelegten Preis zu erwerben (Call-Option) oder zu veräußern (Put-Option) und somit durch ein limitiertes Risiko gekennzeichnet sind.[72]
Bei einem Rohstoff-Swap wiederum wird eine Vereinbarung getroffen, bei der der Swap-Käufer für eine bestimmte Menge zu festgelegten zukünftigen Zeitpunkten einen Festpreis an den Verkäufer bezahlt, während dieser wiederum verpflichtet ist, den sich zu den jeweiligen Zeitpunkten einstellenden Marktpreis zu bezahlen.[73]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[74]
Darüber hinaus gewinnen Rohstoffzertifikate und eine Vielzahl komplexer Finanzprodukte wie Commodity Linked Structured Notes oder Commodity Linked Discount Bonds, die auf Rohstoffindizes basieren und die ähnlich konzipiert sind wie Collateralized Debt Obligations (CDOs) zur Bündelung von Kreditrisiken ständig an Bedeutung.[75] Trotz dieser großen Bandbreite an Alternativen soll die Portfoliooptimierung auf Basis von Rohstoff-Futures im Mittelpunkt dieser Arbeit stehen
Ausgangspunkt der Überlegungen von Harry M. Markowitz in seiner Bahnbrechenden Arbeit „Portfolio Selection“ aus dem Jahr 1952 und deren Erweiterung aus dem Jahr 1959 ist das in der Praxis häufig zu beobachtende Verhalten von Investoren, Vermögen auf mehrere Wertpapiere zu verteilen.[76] Der Neuheitsgrad und gleichzeitig auch der Schlüssel zum Verständnis dieser Theorie bestehen darin, dass Markowitz erstmals das Risiko eines Wertpapiers in der Variabilität von dessen Erträgen erkannte.[77] Denn wenn für die Zusammenstellung von Portfolios ausschließlich die Rendite herangezogen würde, müsste der gesamte Betrag in den Rohstoff mit der höchsten erwarteten Rendite investiert werden.[78] Zwar war auch vorher schon der Risikomindernde Effekt von Diversifikation bekannt, wie man an dem alten englischen Sprichwort „Don’t put all your eggs in one basket“[79] ablesen kann.[80] Jedoch war Markowitz der Erste, der einen Schritt über diesen allgemeinen Grundsatz hinausging und den Fragen nachging, wie das Verhalten der Risikostreuung zu erklären sei und wie die Diversifikation darüber hinaus rational gestaltet werden könne.[81]
Um sich dieser Problemstellung zu nähern, schlägt Markowitz eine Aufteilung des Prozesses der Portfoliowahl in zwei aufeinander folgende Stufen vor, wobei sich seine Ausführungen im Folgenden ausschließlich auf die zweite Stufe beziehen:[82]
1. Prognose zukünftiger Renditen mittels Beobachtungen und Erfahrungen;
2. Wahl des optimalen Portfolios auf Basis der relevanten Prognosen
Im Allgemeinen besteht die Zielsetzung eines Investors darin, für eine gegebene erwartete Rendite das Risiko, gemessen an der Streuung der Renditen um den Erwartungswert, also die Varianz,[83] zu minimieren bzw. für ein gegebenes Risikoniveau die erwartete Rendite zu maximieren.[84] Somit kann das Optimierungsproblem, das Markowitz aufstellt, als Trade-Off zwischen Rendite und Risiko interpretiert werden.[85] Wie Rendite und Varianz eines Portfolios bestimmt werden können, welche Annahmen dem Modell zu Grunde liegen und welchen Einfluss verschiedene Korrelationskoeffizienten auf die Diversifikation haben, zeigen die Anlagen 2 bis 4
Wie Anlage 4 zeigt, liegen für den 2-Asset-Fall alle erreichbaren Portfolios auf einer korrelationsabhängigen Verbindungslinie zwischen den Rendite-RisikoKombinationen der Wertpapiere. Fasst man nun mehr als zwei risikobehaftete Assets in einem Portfolio zusammen, dann liegen die erreichbaren Kombinationen nicht mehr auf einer Linie, sondern sie spannen eine Fläche im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Raum auf,[86] die auch „Menge aller möglichen Portfolios“[87] genannt wird. Diese Fläche hat die konvexe Form eines Regenschirms und kann, abhängig von den Assets, im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Raum weiter rechts oder links, höher oder tiefer, breiter oder enger aufgespannt sein.[88]
Innerhalb dieser aufgespannten Fläche kann ein Investor durch Bewegungen nach oben höhere Renditen, durch Bewegungen nach links geringere Varianzen realisieren, ohne die Menge der erreichbaren Portfolios zu verlassen.[89] Dies bedeutet nichts anderes, als dass es Portfolios gibt, die andere dominieren, die also entweder bei gleicher Rendite ein geringeres Risiko oder bei gleichem Risiko eine höhere Rendite aufweisen.[90] Deshalb verweist Markowitz auf das [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Prinzip und bezeichnet ein Portfolio als effizient, wenn keine andere Kombination existiert,
- bei gleicher erwarteter Rendite ein geringeres Risiko, oder
- bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite, oder
- zugleich eine höhere erwartete Rendite und ein geringeres Risiko hat.[91]
Verbindet man nun alle Kombinationen, die effizient gemäß der obigen Definition sind, durch einen Kurvenzug miteinander, dann erhält man den Rand der effizienten Portfolios bzw. die Effizienzkurve („Efficient Frontier“).[92]
In Matrixschreibweise lautet das zu lösende Optimierungsproblem zur Be-stimmung der Effizienzkurve, wenn keine Leerverkaufsbeschränkungen bestehen:[93]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
unter den Nebenbedingungen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Markowitz selbst schließt die Möglichkeit zu Leerverkäufen zwar aus, so dass zusätzlich die Nebenbedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] KL erfüllt sein muss,[94] dennoch soll hier der in der Literatur ebenfalls sehr weit verbreitete Ansatz ohne Leerverkaufsbeschränkung, wie ihn Black[95] entwickelt hat, dargestellt werden, da er als allgemein gültiger erscheint
Zur Ermittlung der Effizienzkurve unterscheidet Markowitz bei seiner „Kritischen-Linie-Methode“[96] zwischen den Isoertragslinien, einem System von parallelen Linien, das alle Portfolios mit gleicher erwarteter Rendite abbildet, und den Isovarianzkurven, einer Schar von konzentrischen Ellipsen, die alle Portfolios mit gleicher Varianz aufzeigt.[97] Kombiniert man diese beiden Kurven in einem Schaubild, dann erhält man durch ihre Tangentialpunkte die so genannte kritische Linie, eine Ortslinie, die für eine gegebene erwartete Rendite die Varianz minimiert und umgekehrt.[98] Diese Linie beginnt am Minimum-Varianz-Portfolio (MVP), im Zentrum des Ellipsensystems, und verbindet alle effizienten Portfolios, wobei die Menge der möglichen Portfolios zu beachten ist.[99] Die grafische Darstellung für die Bestimmung der kritischen Linie liefert Abbildung 6. Die Effizienzkurve kann dann bestimmt werden, indem man alle Portfolios auf der kritischen Linie in ein --Diagramm übersetzt.[100]
Abbildung 6: Bestimmung der kritischen Linie im 2-Asset-Fall[101]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Damit ein Investor nun aus den auf der Effizienzlinie liegenden Portfolios ein für ihn Optimales auswählen kann, muss seine individuelle Risikoneigung bekannt sein, die mit Hilfe von Isonutzenfunktionen abgebildet wird.[102] I
kennzeichnen dabei alle Kombinationen, für die ein Investor indifferent bezüglich des Rendite-Risiko-Trade-Offs ist und die damit den gleichen erwarteten Nutzen stiften.[103] Wie oben bereits erläutert wurde, weist die Nutzenfunktion eines risikoaversen Investors einen streng konkaven Verlauf auf
Um nun den Nutzen des Investors zu maximieren, ist dasjenige Portfolio zu finden, welches Teil der Effizienzkurve und gleichzeitig Teil der am höchsten gelegenen Isonutzenfunktion ist.[104] Diese beiden Bedingungen erfüllt genau das Portfolio, bei dem die Grenzrate der Substitution von erwarteter Rendite durch Risiko, die durch die Indifferenzkurven abgebildet wird, gleich der Grenzrate der Transformation ist, die durch die Minimum-Varianz-Opportunitätsmenge gebildet wird.[105] Mit anderen Worten ausgedrückt heißt dies, dass dasjenige Portfolio optimal ist, bei dem die am höchsten gelegene Indifferenzkurve die Effizienzkurve tangiert.[106] Abbildung 7 fasst das Vorgehen zur Bestimmung des optimalen Portfolios grafisch zusammen
Abbildung 7: Bestimmung des optimalen Portfolios nach Markowitz[107]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Auf Grund verschiedener Risikoeinstellungen weisen Investoren i.d.R. verschiedene Nutzenfunktionen auf und wählen damit auch verschiedene Portfolios.[108]
Bis zu diesem Punkt wurde angenommen, dass das Portfolio ausschließlich aus risikobehafteten Wertpapieren besteht. Tobin[109], Sharpe[110] und Lintner[111] haben die-ses Standardmodel um die Existenz eines risikolosen Zinssatzes # erweitert, zu dem Investoren sowohl Kapital aufnehmen als auch anlegen können (Tobin-SharpeLintner-Modell).[112] Unter einem risikolosen Zinssatz versteht man in diesem Zusammenhang eine Kapitalanlage- bzw. –aufnahmemöglichkeit, deren Auszahlung am Ende der Periode sicher ist, die also eine Standardabweichung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und eine Kovarianz mit allen riskanten Wertpapier von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aufweist.[113] Der Anleger hat nun die Möglichkeit, einen Anteil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in ein Portfolio aus riskanten Wertpapieren mit der Rendite und einen Anteil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in den risikolosen Zinssatz zu investieren, so dass sich die erwartete Rendite des Gesamtportfolios ergibt als:[114]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Die Varianz des Portfolios lässt sich dann ermitteln als:[115]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Da[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], lässt sich dieser Term vereinfachen zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Das Portfoliorisiko ist nun eine lineare Funktion des Risikos der riskanten Anlage, so dass der Anleger durch die Wahl des Anteils [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sein Risiko selbst bestimmen kann.[116]
Ermittelt man den Anteil der riskanten Anlagen im Portfolio nun als Verhältnis aus Portfoliorisiko und Risiko der unsicheren Anlage [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] NO, dann erhält man durch Einsetzen dieses Terms in die Gleichung der Portfoliorendite folgenden Ausdruck:[117]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Diese in der Literatur als Kapitalmarktlinie bezeichnete Gerade wird durch zwei Punkte determiniert.[118] Sie verbindet den Ordinatenabschnitt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit dem Tangentialpunkt auf der Effizienzkurve der riskanten Wertpapiere, der als Marktportfolio bezeichnet wird.[119] Durch die Einbeziehung des risikolosen Zinssatzes vereinfacht sich die Portfolioauswahl enorm, da ein Investor nun nur noch die Zusammensetzung des Tangentialportfolios kennen muss.[120] Unter der Annahme homogener Erwartun-gen weist darüber hinaus auch das Tangentialportfolio für alle Anleger die gleiche Struktur auf.[121] Die dadurch gewonnene Erkenntnis, dass der Allokationsprozess von riskanten Anlagen nun von der Bestimmung des optimalen Portfolios getrennt werden kann, wird nach ihrem Begründer als Tobin Separation bezeichnet.[122] Entsprechend der Risikoaversion und damit der Lage der individuellen Nutzenfunktionen ergeben sich für verschiedene Investoren wiederum unterschiedliche Aufteilungsquoten des investierten Kapitals in das risikobehaftete Marktportfeuille und den risikolosen Zinssatz.[123] Grafisch stellt sich die Tobin Separation folgendermaßen dar:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[124]
Portfolios links vom Tangentialportfolio drücken dabei eine Kapitalanlage zum risikolosen Zinssatz aus, Portfolios rechts vom Tangentialportfolio eine zusätzliche Kapitalaufnahme.[125] Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, die Annahme eines einheitlichen Zinssatzes für Kapitalaufnahmen und –anlagen aufzuheben.[126] Auf die Darstellung dieser Modellerweiterung soll an dieser Stelle jedoch verzichtet werden
Zweifellos liefert die Portfolio Selection Theory einen Erklärungsansatz für das empirisch beobachtbare Diversifikationsverhalten von Investoren, indem erstmals eine zweidimensionale Portfoliobetrachtung angestellt wird und die zwischen den Assets bestehenden Korrelationen für das Portfoliorisiko herangezogen werden.[127]
Dennoch ergeben sich in der praktischen Umsetzung des Modells viele Probleme, wie die Bestimmung der Nutzenfunktion und der relevanten Parameter, die konkrete Ausgestaltung des Optimierungsansatzes oder die Frage nach dem richtigen Timing für den Kauf und Verkauf von Wertpapieren.[128] Besonders kritisch zu sehen ist auch die Annahme normal verteilter Renditen, die zwar notwendig ist, um das Problem der Portfolioauswahl auf die beiden Größen Rendite und Risiko begrenzen zu können, die aber im Rohstoffsektor keineswegs den Normalfall darstellt.[129] Des Weiteren ist bereits für ein relativ kleines Portfolio eine enorme Datenmenge zu bestimmen, da neben den erwarteten Renditen auch eine Varianz-Kovarianz-Matrix zu schätzen ist.[130] Zwar dürfte die Annahme, dass ein Portfoliomanager Detailinformationen über den von ihm bearbeiteten Markt besitzt und er somit wohl mit einer gewissen Sicherheit zuverlässige Prognosen über die zukünftigen Renditeentwicklung treffen kann, durchaus vertretbar sein. Aber selbst wenn man annimmt, dass er sich für diejenigen Märkte, die nicht sein vorrangiges Spezialgebiet sind, von Experten ebenso gute Erwartungen wie die Eigenen hinzuziehen kann, verbleibt noch immer das Problem, wie die Informationen konsistent aggregiert werden können.[131]
Eine weitere Problematik des Markowitz-Modells sind die sich im Optimierungsprozess ergebenden extremen Portfolioallokationen.[132] Für den Fall, dass der Investor die Optimierung ohne Beschränkungen durchführt, bedeutet dies im Ergebnis häufig hohe Long-Positionen in Rohstoffen, die eine hohe Rendite bezogen auf das dafür einzugehende Risiko aufweisen und hohe Short-Positionen in den anderen Rohstoffen, um das Portfolio zu finanzieren.[133] Solch extreme Leerverkaufspositionen beinhalten jedoch die Problem, dass sie aus regulatorischen, institutionellen, rechtlichen und Marketing-technischen Gründen häufig kaum umsetzbar sind.[134]
Um die Problematik hoher Short-Positionen zu lösen, werden daher häufig Leerverkaufsverbote eingeführt. Allerdings kann dies die Probleme meist nicht beheben, sondern führt vielmehr dazu, dass das optimale Portfolio eine so genannte „Eck“-Lösung aufweist, bei der viele Rohstoffe ein Portfoliogewicht von Null haben und im Portfolio nur wenige, mit hohen Gewichten belegte Rohstoffe verbleiben.[135]
Darüber hinaus haben Investoren, die Portfoliooptimierung auf Basis des Markowitz-Ansatzes betreiben, häufig mit der Problematik zu kämpfen, dass die Portfoliogewichte sehr instabil sind[136] und sehr sensibel auf veränderte Renditeerwartungen reagieren.[137] So kann bereits eine geringfügige Meinungsänderung des Investors hinsichtlich der zukünftigen Entwicklungsmöglichkeiten einzelner Rohstoffe zu einer dramatisch veränderten Zusammensetzung des optimalen Portfolios führen.[138] Eine solche Instabilität in den Portfoliogewichten hat aber zur Folge, dass es für den Investor sehr schwierig ist, die im Rahmen des Allokationsprozesses gewonnen Erkenntnisse zu interpretieren und er somit unter Umständen von unerwarteten Entwicklung negativ überrascht werden kann.[139]
Des Weiteren ist beim optimalen Portfolio häufig eine Tendenz zu beobachten, dass Rohstoffe mit einem positiven Preissetzungsfehler gegenüber solchen mit einem negativen Fehler eine signifikante Übergewichtung im Portfolio aufweisen.[140] Denn natürlicherweise werden für diejenigen Wertpapiere, die eine hohe (niedrige) erwartete Rendite, eine negative (positive) Korrelation mit anderen Wertpapieren und eine geringe (hohe) Varianz besitzen, hohe (niedrige) Gewichte im Portfolio errechnet. Aber gerade für diese Rohstoffe ist es besonders nahe liegend, dass ihnen ein Schätzfehler, also die Tatsache, dass die Ausprägung geschätzter Parameter von den Tatsächlichen abweichen, zu Grunde liegt.[141] Zwar können Schätzfehler durch eine große Stichprobe reduziert werden, dennoch sollte man das verbleibende Schätzrisiko bei der Bestimmung des optimalen Portfolios stets mit ins Kalkül ziehen.[142]
Bei aller Kritik darf man jedoch nicht vergessen, dass die Portfolio Selection Theory nicht nur an sich einen erheblichen Mehrwert für die Portfoliotheorie geliefert hat, sondern dass sie auch die Grundlage für das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und im Zuge dessen für die gesamte Kapitalmarkttheorie darstellt.[143] Im Folgenden werden nun Ansätze vorgestellt, die zumindest einen Teil der dargestellten Probleme zu überwinden versuchen
Die meisten Modelle zur Portfoliooptimierung basieren auf dem im vorangegangenen Kapitel vorgestellten Mean-Variance-Ansatz und leiten somit ihre Risikoprämie aus dem zweiten Moment der Verteilung, der Varianz, ab.[144] Allerdings wurde bereits deutlich, dass die ausschließliche Konzentration auf die ersten beiden Momente die Annahme einer quadratischen Nutzenfunktion sowie eine Normalverteilung der Renditen unterstellt.[145] Ein Ansatz, diese Annahmen, die nicht den Beobachtungen im Rohstoffsektor entsprechen, zu beseitigen, besteht darin, Schiefe und Wölbung der Verteilung in die Portfoliooptimierung zu integrieren.[146] Denn es kann empirisch gezeigt werden, dass höhere Momente der Verteilung nicht vernachlässigt werden dürfen, da sie zu signifikant anderen Ergebnissen führen als das Modell von Markowitz.[147] Jedoch ist die Bedeutung höherer Momente als der Kurtosis nicht sehr groß.[148] Neu ist der Ansatz der Integration höherer Momente dabei nicht, da bereits Markowitz in seiner Arbeit „im dritten Moment der Renditeverteilung eine Grundlage für die Neigung zum Spekulieren“[149] gesehen hat. Wie dies nun in ein systematisches Konzept umgesetzt werden kann, soll im Folgenden dargestellt werden
Neben Rendite und Varianz werden nun auch Schiefe und Kurtosis der Verteilung im Rahmen der Portfoliooptimierung berücksichtigt. Die Schiefe stellt dabei eine Art „Asymmetrie der Verteilung“[150] dar, wobei rechtschiefe Verteilungen mit positiver Schiefeausprägung tendenziell niedriger gewichtete hohe Extremwerte und eine höhere Wahrscheinlichkeit von Werten unterhalb des Erwartungswertes aufweisen, während linksschiefe Verteilungen mit negativer Schiefeausprägung die Gefahr höher gewichteter niedriger Extremwerte bergen.[151] Für Schiefewerte gleich Null liegt eine Normalverteilung vor.[152] Formal kann die Schiefe eines n-Asset-Portfolios [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Koschiefe zwischen den Anlagen i, j, k ermittelt werden als:[153]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
bzw. in Matrixschreibweise mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Renditevektor und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Vektor der erwarteten Rendite:[154]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Die Darstellung als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Matrix vereinfacht dabei die ursprüngliche Dreidimensionalität der Schiefe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], indem der entstandene Würfel schichtweise als Matrix geschrieben wird.[155] Ähnlich wie die Kovarianz zwischen Wertpapieren wird die Koschiefe ermittelt als:[156]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Es kann dabei gezeigt werden, dass risikoaverse Investoren positive (negative) Schiefen positiv (negativ) beurteilen bzw. im Allgemeinen ungerade Momente präferieren.[157] Grafisch kann die Schiefe einer Verteilung wie folgt dargestellt werden
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[158]
Da die ausschließliche Berücksichtigung der Schiefe häufig zu äußerst unbefriedigenden Ergebnissen im Sinne von Randlösungen oder extrem hohen Positionen in einzelnen Rohstoffen führt, ist es sinnvoll, die Präferenzen der Investoren noch um den vierten Moment der Verteilung, die Wölbung bzw. Kurtosis, die die Krümmung einer Häufigkeitsverteilung misst, zu erweitern.[159] Man spricht dabei von einer stärkeren Wölbung, wenn eine Verteilung leptokurtisch ist, also so genannte „fat tails“ aufweist.[160] Dies bedeutet nichts anderes, als dass eine höhere Wahrscheinlichkeit als bei einer Normalverteilung besteht, hohe Werte im Randbereich zu erhalten, wo-durch zwar eine größere Anzahl positiver Erträge zu erwarten ist, jedoch ebenso die Häufigkeit eines Eintritts negativer Ausreißer zunimmt.[161] Formal kann die Kurtosis eines n-Asset-Portfolios [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], als Kokurtosis zwischen den Wertpapieren i, j, k, l berechnet werden als:[162]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
bzw. in Matrixschreibweise:[163]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Wie oben kann die Vierdimensionalität der Kurtosis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vereinfacht als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Matrix dargestellt werden.[164] Die Kokurtosis errechnet sich dabei als:[165]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Allerdings kann empirisch belegt werden, dass Investoren die „fat tails“ einer leptokurtischen Verteilung stärker negativ beurteilen als sie die Spitzen positiv betrachten, so dass eine positive Wölbung letztlich negativ in die Präferenzen eines Investors eingehen bzw. im Allgemeinen Investoren gegenüber geraden Momenten abgeneigt sind.[166] Grafisch können gewölbt verteilte Renditen im Verhältnis zur Normalverteilung wie folgt dargestellt werden
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[167]
Da, wie oben bereits erwähnt wurde, nur die Schiefe und die Wölbung einen spürbaren, zusätzlichen Einfluss auf die Portfolioallokation haben, beschränken sich die folgenden Ausführungen auf die ersten vier Verteilungsmomente. Um nun die Investorpräferenzen hinsichtlich der höheren Momente nutzentheoretisch fundieren und das Optimierungsproblem lösen zu können, bietet sich eine Taylorentwicklung des Erwartungsnutzens an,[168] die allgemein ausgedrückt werden kann als:[169]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Wendet man die Taylorerweiterung nun auf den Fall mit den ersten vier Momenten an, dann erhält man folgende Approximation für das Präferenzfunktional:[170]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Dabei gilt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und somit dass, wie oben bereits ange-deutet, die Schiefe der Verteilung positiv und die Wölbung negativ in das Präferenzfunktional eingehen.[171] Um nun alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-effizienten Portfolios bestimmen zu können, ist zunächst wiederum das Dominanzkriterium zu definieren. Ein Portfolio p1 dominiert dabei im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Sinne ein anderes Portfolio P2 schwach, falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gleichzeitig gilt und strikt, falls mindestens eine Ungleichung erfüllt ist.[172] Ein Portfolio ist dann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]effizient, wenn kein anderes Portfolio realisiert werden kann, das dieses im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Sinne dominiert.[173] Dabei kann es nun durchaus vorkommen, dass Portfolios, die nach Markowitz effizient waren, nicht mehr effizient im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Sinne sind, genauso wie nun Portfolios, die vorher als nicht effizient angesehen wurden, effizient sind, weil sie entweder deutlich höhere Schiefen oder niedrigere Kurtosen aufweisen.[174]
Um den Trade-Off aus Maximierung von Rendite und Schiefe sowie Minimierung von Varianz und Kurtosis lösen zu können, dem sich ein Investor, der sein Port-folio unter Berücksichtigung höherer Momente optimiert, konfrontiert sieht, wird häufig das Polynomial Goal Programming (PGP) verwendet.[175] Mit Hilfe dieser Methode besteht die Möglichkeit, eine Vielzahl von oftmals auch widersprüchlichen Zielen in einen geeigneten funktionalen Zusammenhang zu bringen, der dann mit vergleichbar geringem Rechenaufwand als Simultansystem gelöst werden kann.[176] Es handelt sich dabei beim PGP weniger um eine reine Optimierungstechnik als um eine Methode zur Satisfiszierung von Zielen.[177] Denn die Zielsetzung dieses Ansatzes besteht darin, die Summe aller positiven wie negativen Abweichungen von den vorgegebenen Zielwerten der einzelnen Momente zu minimieren.[178] Ein großer Vorteil liegt dabei in der Flexibilität des Ansatzes, da ein Investor die Möglichkeit besitzt, seine eigenen Präferenzen hinsichtlich der einzelnen Momente zu integrieren.[179]
Besteht das allgemeine Optimierungsproblem für den Fall ohne Leerverkaufsbeschränkungen nun also darin, dass der Investor für einen normierten Varianzwert von Eins Rendite und Schiefe maximieren sowie die Kurtosis minimieren möchte, dann lässt sich hierfür folgendes Gleichungssystem aufstellen:[180]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Unter der Nebenbedingung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Da eine simultane Lösung dieses Problems nur sehr schwer zu realisieren sein dürfte, wird dieses in der Regel mit einem zweistufigen Prozess angegangen: Im ersten Schritt werden dabei zunächst alle nicht-dominierten Lösungen gesucht, in die dann im zweiten Schritt die individuellen Präferenzen des Investors integriert werden und das optimale Portfolio bestimmt wird.[181] Dafür müssen für die Rendite, Schiefe und Kurtosis die Abweichungsparameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie die Präferenzen des Investors[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]festgelegt werden, so dass das PGP bestimmt werden kann als:[182]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Unter den Nebenbedingungen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht
Die Präferenzen des Investors /01 drücken also die relative Bedeutung
Abweichungen der einzelnen Momente von ihren jeweiligen Optimalwerten aus, wobei ein Wert von Null eine Art Indifferenz gegenüber einem Moment impliziert.[183] Auf diese Weise kann man somit auch den Mean-Variance-Ansatz von Markowitz auf Basis des PGP nachbilden, indem man für Rendite und Varianz den Wert Eins sowie für Schiefe und Kurtosis jeweils den Wert Null setzt.[184]
Durch eine Vielzahl von Kombinationen der Werte für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man schließlich verschiedene Portfolios, die zwar nicht mehr als Effizienzkurve im zweidimensionalen Raum wie beim Mean-Variance-Ansatz interpretiert werden können, die jedoch als effizient [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Sinne angesehen werden können.[185]
Durch die Berücksichtigung höherer Momente der Verteilung im Rahmen der Portfoliooptimierung mit Rohstoffen kann die problematische Annahme normal verteilter Renditen der Portfolio Selection Theory überwunden und ein flexibler, relativ einfacher Ansatz gefunden werden, der auch die Präferenzen von Investoren integriert.[186] Allerdings dürfte ein großes Problem der praktischen Anwendung dieser Methode in der immensen Datenmenge zu sehen sein, die im Rahmen der Optimierung benötigt wird. Denn waren es bei der Portfolio Selection „nur“ die Erwartungswerte sowie die Varianzen und Kovarianzen der Rohstoffe im Portfolio, die zu prognostizieren waren, so kommen jetzt noch die Schiefen und Koschiefen sowie die Wölbungen und Kowölbungen für sämtliche Rohstoffklassen hinzu. Für den Fall eines 100Asset-Portfolios umfasst die zu schätzende Datenmenge dann insgesamt schon 4.598.125 Werte.[187]
Anfang der 1990-er Jahre entwickelten Fisher Black und Robert Litterman ein Modell, das auf den Ideen von Markowitz aufsetzt und versucht, dessen Probleme bei der praktischen Anwendung zu lösen.[188] Der Ansatz ist seither als Black-Litterman-Modell bekannt und gewinnt in der praktischen Asset Allokation zunehmend an Bedeutung, die sich vor allem durch seine Intuition, Flexibilität und einfache Implementierbarkeit erklären lässt.[189] Die Grundidee ist dabei, die individuellen Renditeerwartungen, die ein Anleger für einzelne Rohstoffe oftmals aufweist, mit den erwarteten Renditen eines Gleichgewichtsmodells zu verknüpfen.[190] Daher versteht man unter dem „optimale(n) Portfolio eine Kombination aus dem marktkapitalisierungsbasierten Gleichgewichtsportfolio und den Erwartungsportfolios.“[191]
Das Modell stellt eine Kombination aus dem Capital Asset Pricing Modell (CAPM) nach Sharpe[192], dem Ansatz der umgekehrten Optimierung nach Sharpe[193], der Methode der gemischten Schätzungen nach Theil[194], dem globalen CAPM nach Black[195] und Litterman[196] sowie Markowitz‘ Portfolio Selection Theory dar.[197] Der Ablauf des Black-Litterman-Ansatzes lässt sich folgendermaßen strukturieren:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[198]
3.3.2.1 Ansätze zur Bestimmung des neutralen P
Den Ausgangspunkt für das Modell stellt ein Referenzportfolio mit neutralen Erwartungen dar.[199]
[...]
[1] Vgl. Cerrahoglu/Mukherjee (2003) S.2; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.4
[2] Vgl. Akey (2005), S.27; Anson (1999), S.90; Vrugt el al. (2004), S.3
[3] Vgl. Froot (1995), S.76; Mezger/Eibl (2005), S.8; Vrugt el al. (2004), S.14
[4] Vgl. Anson (1999), S.87; Bodie/Rosansky (1980), S.30; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.14
[5] Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.26; Fama/Schwert (1977), S.144; Greer (2000), S.45
[6] Vgl. Akey (2005), S.12; Bodie/Rosansky (1980), S.31; Jensen/Johnson/Mercer (2000), S.503
[7] Vgl. Georgiev (2001), S.8; Nathan (2004), S.35; Schneeweis/Spurgin (1998), S.3
[8] Vgl. Edwards/Caglayan (2001), S.107; Vrugt el al. (2004), S.3; ZumBerge (2004), S.8-9
[9] Vgl. Anson (2006), S.308-309; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.22-24; Vrugt el al. (2004), S.5.
[10] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.4; Mezger/Eibl (2005), S.10; ZumBerge (2004), S.7
[11] Vgl. Bodie/Rosansky (1980), S.30; Greer (2000), S.48; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.12
[12] Vgl. Akey (2005), S.9-10; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.4; Greer (2000), S.45
[13] Vgl. Akey (2005), S.9; Faber (2004), S.1
[14] Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.28
[15] Vgl. Akey (2005), S.9; Mezger/Eibl (2006), S.21.
[16] Vgl. Nijman/Swinkels (2003), S.22-23; Till/Eagleeye (2003), S.46-48; Vrugt el al. (2004), S.14-15
[17] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.5; Rudolph/Schäfer (2005), S.160; Winggen (2004), S.8
[18] Vgl. Froot (1995), S.61; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.2; ZumBerge (2004), S.2
[19] Vgl. Blank/Carter/Schmiesing (1991), S.65; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.2
[20] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S.161
[21] Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (1996), S.192
[22] Vgl. Blank/Carter/Schmiesing (1991),S.22-23; Rogers (2005),S.96-98; Till/Eagleeye (2005), S.184.
[23] Vgl. Anson (2006), S.277; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.12-13; Greer (2000), S.45-46.
[24] Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (1996), S.192-193; Rudolph/Schäfer (2005), S.160
[25] Eigene Darstellung in Anlehnung an Rudolph/Schäfer (2005), S.160
[26] Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (1996), S.192-193; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.14.
[27] ZumBerge (2004), S.3-4
[28] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.14; Geman (2005), S.336
[29] Vgl. Geman (2005), S.336; Georgiev (2001), S.1
[30] Vgl. Cerrahoglu/Mukherjee (2003), S.6; CISDM (2004), S.6
[31] Anson (2006), S.280; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.30
[32] Vgl. CISDM (2004), S.6; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.14-15; Geman (2005), S.337
[33] Eigene Darstellung in Anlehnung an Gorton/Rouwenhorst (2004), S.30
[34] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S.161
[35] Vgl. Gorton/Rouwenhorst (2004), S.3; Nathan (2004), S.32; Radetzki (2008), S.91
[36] Vgl. Brealey/Myers/Allen (2008), S.729; Perridon/Steiner (2007), S.290
[37] Eigene Darstellung in Anlehnung an Rudolph/Schäfer (2005), S.24
[38] Vgl. Geman (2005), S.24-25; Hull (2006), S.157; Rudolph/Schäfer (2005), S.184
[39] Vgl. Brealey/Myers/Allen (2008), S.734; Fama/French (1987), S.56; Mezger/Eibl (2006), S.24
[40] Vgl. Working (1949), S.1254-1262
[41] Vgl. Brealey/Myers/Allen (2008), S.734; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.27; Fama/French (1987), S.56; Geman (2005), S.37; Rudolph/Schäfer (2005), S.194
[42] Vgl. Anson (2006), S.295; Geman (2005), S.38; Hull (2006), S.157
[43] Vgl. Black (1975), S.167; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.6
[44] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.17
[45] Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.22; Geman (2005), S.1; Rudolph/Schäfer (2005), S.162
[46] Vgl. Chicago Board of Trade (2008), URL siehe Literaturverzeichnis
[47] Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (1996), S.194-195; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.5-10
[48] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S.161
[49] Vgl. CISDM (2004), S.2; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.18; Georgiev (2001), S.1
[50] Vgl. Geman (2005), S.339; Metzger/Eibl (2006), S.20; Nathan (2004), S.33
[51] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007),S.19-22; Greer (2000), S.45-46; Metzger/Eibl (2005), S.10
[52] Vgl. CISDM (2004), S.3; Metzger/Eibl (2006), S.20; Nathan (2004), S.33
[53] Vgl. Akey (2005), S.19; Cerrahoglu/Mukherjee (2003), S.4; Egelkraut et al. (2005), S.1
[54] Vgl. Akey (2005), S.19; Till/Eagleeye (2005), S.5; ZumBerge (2004), S.6
[55] Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.25; Feldman/Till (2006), S.24; Georgiev (2001), S.4
[56] Vgl. Cerrahoglu/Mukherjee (2003), S.3; Till/Eagleeye (2005), S.5; ZumBerge (2004), S.6
[57] Vgl. Akey (2005), S.19
[58]. Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.21; Georgiev (2001), S.2; Litzenberger/Rabinowitz (1995), S.1517
[59] Vgl. Cerrahoglu/ Mukherjee (2003), S.2; CISDM (2004), S.4; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.25
[60] Vgl. Anson (2006), S.298; Geman (2005), S.363; Hull (2006), S.892; Rogers (2005), S.119-120
[61] Vgl. Keynes (1934), S.130-135
[62] Vgl. Carter/Rausser/Schmitz (1983), S.319; Chang (1985), S.193; Duffie (1989), S.99
[63] Vgl. Mezger/Eibl (2006), S.24
[64] Vgl. Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.26-27; Till/Eagleeye (2005), S.6
[65].Vgl. Geman (2005), S.38-39; Gorton/Rouwenhorst (2004), S.4-5; Mezger/Eibl (2006), S.26
[66] Eigene Darstellung
[67] Vgl. Ankrim/Hensel (1993), S.25; Georgiev (2001), S.9; ZumBerge (2004), S.6
[68] Vgl. Akey (2005), S.19; CISDM (2004), S.9; Demidova-Menzel/Heidorn (2007), S.30
[69] Vgl. Bank for International Settlements (2008), A106.
[70] Vgl. Bank for International Settlements (2000), S.81
[71] Vgl. Bank for International Settlements (2008), A106
[72] Vgl. Black(1975), S.170; Blank/Carter/Schmiesing (1991), S.18&25; Duffie (1989), S.285; Radetzki (2008), S.94
[73] Vgl. Anson (2006), S.283; Rudolph/Schäfer (2005), S.200; Schofield (2007), S.3
[74] Eigene D
[75] Vgl. Anson (2006), S.284-288; Dirmoser (2008), S.117; Hull (2006), S.891
[76] Vgl. Markowitz (1952), S.77; Rudolph (1995), S.27
[77] Vgl. Garz/Günther/Moriabadi (2002), S.21
[78] Vgl. Constantinides/Malliaris (1995), S.3; Lamberti (2005), S.29; Levy/Sarnat (1984), S.298
[79] Smith (1935), S.218
[80] Vgl. Brealey/Myers/Allen (2008), S.198; Rudolph (1995), S.26.
[81] Vgl. Perridon/Steiner (2007), S.240
[82] Vgl. Markowitz (1952), S.77
[83] Vgl. Harrington (1983), S.6; Hielscher (1999), S.54; Markowitz (1976), S.49
[84] Vgl. Haley/ Schall (1973), S.113-114; Markowitz (1952), S.79; Reilly (2003), S.215
[85] Vgl. Fama/MacBeth (1973), S.633; Grinblatt/Titman (2002), S.131
[86] Vgl. Copeland/Weston/Shastri (2008), S.188; Hofmann (2006), S. 49; Steiner/Uhlir (2001), S.145
[87] Markowitz (1987), S.4
[88] Vgl. Hofmann (2006), S. 50; Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S. 194
[89] Vgl. Grinblatt/Titman (2002), S.131
[90] Vgl. Haley/Schall (1973), S.118; Poddig/Brinkmann/Seiler (2005), S.79
[91] Vgl. Markowitz (1952), S.82; Markowitz (1959), S.129; Markowitz (1987), S.6
[92] Vgl. Merton (1972), S.1851; Rudd/Clasing (1982); S.16, Sharpe (1970), S.52
[93] Vgl. Constantinides/Malliaris (1995), S.4; Serf (1995), S.66; Steiner/Uhlir (2001), S.146-147
[94] Vgl. Markowitz (1952), S.83; Markowitz (1959), S.131; Markowitz (1987), S.3
[95] Vgl. Black (1972), S.444-455
[96] Auckenthaler (1991), S.145; Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S.220
[97] Vgl. Markowitz (1952), S.84; Markowitz (1959), S.135-136
[98] Vgl. Dobbins/Witt (1983), S.39; Gügi (1995), S.75; Markowitz (2008), S.160-161
[99] Vgl. Francis/Archer (1979), S.91
[100] Vgl. Francis/Archer (1979), S.91; Levy/Sarnat (1984), S.286
[101] Eigene Darstellung in Anlehnung an Markowitz (1952), S.85
[102] Vgl. Reilly (2003), S.230; Steiner/ Bruns (2007), S.12
[103] Vgl. Farrell (1997), S.42; Perridon/Steiner (2007), S.244; Rudd/Clasing (1982), S.14
[104] Vgl. Poddig/Brinkmann/Seiler (2005), S.85; Sharpe (1970), S.56-57
[105] Copeland/Weston/Shastri (2008), S.176; Steiner/Uhlir (2001), S.144
[106] Vgl. Harrington (1983), S.10; Rudd/Clasing (1982), S.18; Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S.196
[107] Eigene Darstellung in Anlehnung an Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S.196
[108] Vgl. Reilly (2003), S.233; Rudd/Clasing (1982), S.19
[109] Vgl. Tobin (1958), S.65-86
[110] Vgl. Sharpe (1964), S.425-442
[111] Vgl. Lintner (1965), S.13-37
[112] Vgl. Hofmann (2006), S.52; Markowitz (1987), S.9
[113] Vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S.233; Sharpe (1970), S.66
[114] Vgl. Elton/Gruber (1991), S.85; Fischer (1996), S.55; Poddig/Brinkmann/Seiler (2005), S.79
[115] Vgl. Drukarczyk (1980), S.303; Hofmann (2006), S.53; Serf (1995), S.93-94
[116] Vgl. Drukarczyk (1980), S.303
[117] Vgl. Grinblatt/ Titman (2002), S.131; Hofmann (2006), S. 53
[118] Vgl. Perridon/Steiner (2007), S.251-254; Steiner/Bruns (2007), S.21-24.
[119] Vgl. Hofmann (2006), S. 55; Perridon/Steiner (2007), S.251-252; Steiner/Bruns (2007), S.22
[120] Vgl. Copeland/Weston/Shastri (2008), S.189; Merton (1972), S.1865
[121] Vgl. Steiner/Bruns (2007), S.23
[122] Vgl. Drukarczyk (1980),S.307; Poddig/Brinkmann/Seiler (2005), S.82; Steiner/Bruns (2007), S.23
[123] Vgl. Perridon/Steiner (2007), S.252
[124] Eigene Darstellung in Anlehnung an Copeland/Weston/Shastri (2008), S.190
[125] Vgl. Brealey/Myers/Allen (2008), S.212; Elton/Gruber (1991), S.86; Rudd/Clasing (1982), S.9-11
[126] Vgl. Haley/Schall (1973), S.119-125; Hofmann (2006), S. 59-61; Wang/Xia (2002), 81-103
[127] Vgl. Poddig/Dichtl/Petersmeier (2008), S.164; Steiner/Bruns (2007), S.14; Süchting (1995), S.368
[128] Vgl. Poddig/Brinkmann/Seiler (2005), S.84; Perridon/Steiner (2007), S.245
[129] Vgl. Dobbins/Witt (1983), S.40; Perridon/Steiner (2007), S.245
[130] Vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2003), S.263
[131] Vgl. Drobetz (2003), S.207
[132] Vgl. Bevan/Winkelmann (1998), S.1; He/Litterman (1999), S.4; Idzorek (2005), S.1
[133] Vgl. Black/Litterman (1992), S.28
[134] Vgl. Drobetz (2003), S.208
[135] Vgl. Black/Litterman (1992), S.28; Drobetz (2001), S.61
[136] Vgl. Jorison (1985), S.261; Michaud (1989), S.35
[137] Vgl. Black/Litterman (1991), S.2; Pojariev (2001), S.41
[138] Vgl. Best/Grauer (1991), S.339-340; Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2003), S.266
[139] Vgl. Drobetz (2001), S.62
[140] Vgl. Christodoulakis (2002), S.2
[141] Vgl. Michaud (1989), S.33-34; Kempf/Memmel (2002), S.896
[142] Vgl. Broadie (1993), S.22; Kempf/Memmel (2002), S.918
[143] Vgl. Haley/Schall (1973), S.129; Reilly (2003), S.233; Steiner/Bruns (2007), S.15
[144] Vgl. De Athayde/Flores (2003), S.243; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.371
[145] Vgl. Arditti/Levy (1975), S.797; Samuelson (1970), S.542; Simkowitz/Beedles (1978), S.928
[146] Vgl. Jondeau/Rockinger (2005), S.4; Horvath/Scott (1980), S.915
[147] Vgl. Chunhachinda et al. (1997), S.144; Prakash/Chang/Pactwa (2003), S.1375-1376
[148] Vgl. Guse (2005), S.31
[149] Markowitz (1952), S.90
[150] Jondeau/Rockinger (2005), S.4; Lai (1991), S.293; Wang/Xia (2002), S.8
[151] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.10; Prakash/Chang/Pactwa (2003), S.1376
[152] Vgl. Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.374.
[153] Vgl. De Athayde/Flores (2003), S.246; Guse (2005), S.36; Simkowitz/Beedles (1978), S.930
[154] Vgl. Chunhachinda et al. (1997), S.148; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376
[155] Vgl. De Athayde/Flores (2003), S.245; Guse (2005), S.36
[156] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.27; Jondeau/Rockinger (2006), S.34
[157] Vgl. Obeid (2004), S.152; Fogler/Radcliffe (1974), S.486; Kraus/Litzenberger (1976), S.1086
[158] Eigene Darstellung in Anlehnung an Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.11
[159] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (1999), S.201-202; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.374
[160] Vgl. Guidolin/Timmermann (2005), S.2; Haas (2007), S.1; Jondeau/Rockinger (2006), S.29
[161] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (1999), S.204; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376
[162] Vgl. De Athayde/Flores (2003), S.246; Jurczenko/Maillet (2006), S.54
[163] Vgl. Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376
[164] Vgl. De Athayde/Flores (2003), S.245; Guse (2005), S.36
[165] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.30; Jondeau/Rockinger (2006), S.34
[166] Vgl. Haas (2007), S.2; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376; Horvath/Scott (1980), S.917-918
[167] Eigene Darstellung in Anlehnung an Breuer/Schumacher/Gürtler (1999), S.29
[168] Vgl. Davies/Kat/Lu (2004),S.2; De Athayde/Flores (2003), S.244; Jondeau/Rockinger (2005), S.4
[169] Vgl. Jean (1971), S.505; Jurczenko/Maillet (2006), S.4; Horvath/Scott (1980), S.915
[170] Vgl. Jondeau/Rockinger (2005), S.14
[171] Vgl. Guidolin/Timmermann (2005), S.4; Haas (2007), S.6; Horvath/Scott (1980), S.916; Obeid (2004), 153
[172] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (1999), S.204
[173] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.33
[174] Vgl. Arditti/Levy (1975), S.808; Chunhachinda et al. (1997), S.163; Guse (2005), S.49-51
[175] Vgl. Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376; Prakash/Chang/Pactwa (2003), S.1376-1377
[176] Vgl. Davies/Kat/Lu (2004), S.3; Guse (2005), S.43; Lai (1991), S.294; Wang/Xia (2002), S.9
[177] Vgl. Kumar/Philippatos/Ezzel (1978), S.305
[178] Vgl. Kumar/Philippatos/Ezzel (1978), S.305; Tayi/Leonard (1988), S.403
[179] Vgl. Lai (1991), S.294; Prakash/Chang/Pactwa (2003), S.1377-1378
[180] Vgl. Gregoriou/Kaiser (2006), S. 311; Lai (1991), S.295; Tayi/Leonard (1988), S.403
[181] Vgl. Chunhachinda et al. (1997),S.148; Davies/Kat/Lu (2004), S.14; Tayi/Leonard (1988), S.403
[182] Vgl. Chunhachinda et al. (1997), S.149; Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S.376-377
[183] Vgl. Davies/Kat/Lu (2004), S.13; Lai (1991), S.296; Gregoriou/Kaiser (2006), S. 319
[184] Vgl. Heidorn/Kaiser/Muschiol (2007), S. 377
[185] Vgl. Chunhachinda et al. (1997), S.157-163; Guse (2005), S.37
[186] Vgl. Chunhachinda et al. (1997), S.144; Jondeau/Rockinger (2006), S.52; Lai (1991), S.302
[187] Vgl. Breuer/Schumacher/Gürtler (2006), S.37-38
[188] Vgl. Bevan/Winkelmann (1998), S.1; Lamberti (2005), S.35; Mankert (2006), S.9
[189] Vgl. Meucci (2006b), S.97
[190] Vgl. Black/Litterman (1992), S.28; Dichtl/Poddig (2002), S.755; Satchell/Scowcroft (2000), S.139
[191] Litterman (2003), S. 77
[192] Vgl. Sharpe (1964), S.425-442
[193] Vgl. Sharpe (1974), S.463-472
[194] Vgl. Theil (1971), S.1-768; Theil (1978), S.1-447
[195] Vgl. Black (1989), S.16-22; Black (1990) S.899-907
[196] Vgl. Litterman (2003), S. 76-88
[197] Vgl. Beach/Orlov (2006), S.6; Idzorek (2005), S.2
[198] Eigene Darstellung in Anlehnung an Drobetz (2003), S.218
[199] He/Litterman (1999), S.6; Idzorek (2005), S.3
