Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
• 2 Hauptteil
  • 2.1 Potenzreihen
  • 2.2 Differenzierbarkeit von Potenzreihen
  • 2.3 Integrierbarkeit von Potenzreihen
• 3 Schluss

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Arbeit untersucht die Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen. Ziel ist es, ausgehend von den Grundlagen der Potenzreihen, deren Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit zu erklären und zu veranschaulichen.

• Definition und Beispiele von Potenzreihen
• Konvergenzuntersuchung mittels Wurzel- und Quotientenkriterium
• Punktweise und gleichmäßige Konvergenz im Kontext der Differenzierbarkeit
• Sätze und Beweise zur Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen
• Beispiele zur Integration von Potenzreihen (arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1+x), log(1+2x))

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 (Einleitung): Dieses Kapitel führt in die Thematik ein und beleuchtet die historische Entwicklung der Betrachtung von Folgen und Reihen in der Analysis, mit Fokus auf den Grenzwertbegriff und die Bedeutung der Analysis für das Verständnis von Potenzreihen.

Kapitel 2.1 (Potenzreihen): Hier werden Potenzreihen definiert und anhand von Beispielen erläutert. Es werden das Wurzel- und Quotientenkriterium zur Bestimmung der Konvergenz/Divergenz von Reihen vorgestellt, inklusive Beweisen und Beispielen.

Kapitel 2.2 (Differenzierbarkeit von Potenzreihen): Dieses Kapitel behandelt die Differenzierbarkeit von Potenzreihen, wobei die punktweise und gleichmäßige Konvergenz eine Rolle spielt. Es werden relevante Sätze und Beweise präsentiert und durch Beispiele veranschaulicht.

Kapitel 2.3 (Integrierbarkeit von Potenzreihen): Dieses Kapitel befasst sich mit der Integrierbarkeit von Potenzreihen. Es werden Sätze und Beweise dargestellt und Beispiele wie arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1+x) und log(1+2x) zur Illustration der gliedweisen Integration verwendet.

Schlüsselwörter

Potenzreihen, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, Konvergenz, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Punktweise Konvergenz, Gleichmäßige Konvergenz, gliedweise Integration, gliedweise Differentiation, Analysis, Grenzwert.