Optionsbepreisung für Garch-Prozesse

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

1.1 Problemstellung

1.2 Aufbau der Arbeit

2. Optionen und ihre Bewertung

2.1 Optionen

2.2 Optionsbewertung

2.2.1 Das Black/Scholes-Modell

2.2.2 Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell

3. GARCH-Modelle

3.1 Das symmetrische GARCH-Modell

3.2 Asymmetrische GARCH-Modelle

3.3 Schätzen und Testen

4. Das GARCH-Optionspreismodell

4.1 Das Grundmodell

4.2 Das Bewertungsproblem

4.3 Die risikoneutrale Bewertung

4.4 Das GARCH-Options-Delta

4.5 Vergleich mit dem Black-Scholes-Modell

4.6 Numerische Ergebnisse

5. Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise

5.1. Der Ansatz von Duan et al. (1999)

5.1.1 Das Grundmodell

5.1.2 Die analytische Approximation

5.1.3 Numerische Ergebnisse

5.2 Analytische Approximation für GJR-GARCH und EGARCH

5.2.1 Numerische Ergebnisse

6. Konvergenz zum zeit-stetigen Limit

7. Zusammenfassung und Ausblick

8. Abbildungen und Tabellen

Zielsetzung & Themen

Die vorliegende Diplomarbeit untersucht die Anwendung von GARCH-Modellen zur Optionsbewertung. Das primäre Ziel ist die Evaluierung des GARCH-Optionspreismodells von Duan (1995) sowie dessen analytischer Weiterentwicklungen, um systematische Bewertungsfehler des klassischen Black/Scholes-Modells zu beheben, die aus dessen restriktiven Annahmen hinsichtlich der Volatilität und der Renditeverteilung resultieren.

• Theoretische Grundlagen der Optionsbewertung und Kritik am Black/Scholes-Modell.
• Statistische Eigenschaften und Varianten von GARCH-Prozessen (symmetrisch, asymmetrisch).
• Vereinigung von GARCH-Prozessen mit der Optionspreistheorie und risikoneutrale Bewertung.
• Analytische Approximation von GARCH-Optionspreisen zur effizienten Berechnung.
• Konvergenz von GARCH-Modellen gegen zeit-stetige Diffusionsprozesse.

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1. Einleitung: Einführung in die Bedeutung der Optionsmärkte, Darstellung des Black/Scholes-Modells und Erläuterung des Forschungsziels, die Schwächen dieses Modells durch GARCH-basierte Ansätze zu adressieren.

2. Optionen und ihre Bewertung: Erläuterung der Grundprinzipien von Optionen sowie der klassischen Bewertungslogik inklusive des Black/Scholes-Modells und einer Diskussion empirischer Abweichungen.

3. GARCH-Modelle: Mathematische Darstellung von symmetrischen und asymmetrischen GARCH-Prozessen, die zur Modellierung zeitveränderlicher Volatilität und leptokurtischer Renditeverteilungen dienen.

4. Das GARCH-Optionspreismodell: Vorstellung des Ansatzes von Duan (1995), der GARCH-Prozesse in die Optionsbewertung integriert, sowie Erläuterung der risikoneutralen Bewertung in diesem Kontext.

5. Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise: Behandlung effizienter Approximationsmethoden für GARCH-Optionspreise nach Duan et al. (1999) sowie deren Erweiterung auf GJR-GARCH und EGARCH.

6. Konvergenz zum zeit-stetigen Limit: Analyse des theoretischen Zusammenhangs zwischen diskreten GARCH-Prozessen und zeit-stetigen bivariaten Diffusionsmodellen im Sinne der schwachen Konvergenz.

7. Zusammenfassung und Ausblick: Resümee der Ergebnisse bezüglich der Leistungsfähigkeit von GARCH-Modellen und ein Ausblick auf notwendige zukünftige Forschungsanstrengungen für die Praxis.

8. Abbildungen und Tabellen: Präsentation der grafischen Auswertungen und tabellarischen Daten zum Vergleich von Optionspreismodellen.

9. Literaturverzeichnis: Auflistung aller verwendeten wissenschaftlichen Quellen.

Schlüsselwörter

Optionsbewertung, Black/Scholes-Modell, GARCH-Modelle, Volatilität, Heteroskedastizität, Leptokurtosis, Leverage-Effekt, Duan (1995), Analytische Approximation, Risikoneutrale Bewertung, Zeitveränderliche Varianz, Finanzmärkte, Volatilitäts-Smile, Delta-Hedging, Konvergenz.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit untersucht, wie das mathematische Modell von Black und Scholes zur Bewertung von Finanzoptionen durch modernere GARCH-Modelle verbessert werden kann, um real beobachtete Marktphänomene besser abzubilden.

Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?

Die zentralen Themen sind die mathematische Modellierung von Aktienrenditen und Volatilität, die Optionspreistheorie, die risikoneutrale Bewertung in unvollständigen Märkten sowie effiziente numerische und analytische Näherungsverfahren.

Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?

Das Ziel ist es, das GARCH-Optionspreismodell von Duan (1995) und seine Weiterentwicklungen zu evaluieren, um zu zeigen, dass diese Modelle systematische Fehler des Standard-Black/Scholes-Modells – wie die Unterbewertung von Optionen – korrigieren können.

Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?

Die Arbeit stützt sich primär auf ökonometrische Zeitreihenanalyse, stochastische Prozesse und die mathematische Finanztheorie. Es werden Monte-Carlo-Simulationen und analytische Edgeworth-Expansions-Ansätze verwendet.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil umfasst die detaillierte mathematische Herleitung von GARCH-Prozessen, die Integration dieser in die Optionsbewertung mittels risikoneutraler Transformation, die Herleitung analytischer Approximationen sowie den Nachweis der Konvergenz zu stetigen Diffusionsmodellen.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Die wichtigsten Begriffe sind Optionsbewertung, GARCH-Modelle, Heteroskedastizität, Volatilität, Leverage-Effekt und analytische Approximation.

Warum reicht das Black/Scholes-Modell für die Praxis oft nicht aus?

Es basiert auf restriktiven Annahmen wie einer konstanten Volatilität und normalverteilten Renditen. Empirische Daten zeigen jedoch, dass Renditen "Fat Tails" aufweisen und Volatilitäten zeitlich stark schwanken.

Wie löst Duan (1995) das Problem der Risikoneutralität bei GARCH-Modellen?

Duan führt ein "locally risk-neutral Valuation Relationship" (LRNVR) ein, das eine Transformation des Wahrscheinlichkeitsmaßes ermöglicht, um Arbitragefreiheit in einem ansonsten unvollständigen Markt zu gewährleisten.

Warum ist eine analytische Approximation für GARCH-Modelle wichtig?

GARCH-Optionspreise sind nicht direkt formelmäßig berechenbar. Reine Monte-Carlo-Simulationen sind für den massenhaften Handel an "Trading Desks" zu rechenintensiv, weshalb schnelle Approximationsformeln für die praktische Anwendung zwingend erforderlich sind.