Optionsbewertung in zeitstetigen Sprung-Diffusionsmodellen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Einführung in die Optionsbewertung in vollständigen Kapitalmärkten

2.1. Vollständiger Kapitalmarkt und stetiger Aktienkursverlauf, das Black-Scholes-Modell

2.1.1. Die Fundamentalgleichung

2.1.2. Die empirische Verteilung von Aktienkursen

2.2. Vollständiger Kapitalmarkt und reiner Sprungprozess

2.2.1. Die allgemeine Bewertungsgleichung

2.3. Risikoneutrale Bewertung

3. Optionsbewertung im unvollständigen Kapitalmarkt

3.1. Das Merton-Modell

3.1.1. Die allgemeine Bewertungsgleichung

3.1.2. Diversifizierbarkeit des Sprungrisikos

3.2. Bewertung im allgemeinen Gleichgewicht

3.2.1. Logarithmisch normalverteilte Sprungamplituden

3.2.2. Doppelt exponentialverteilte Sprungamplituden

3.2.3. Stochastische Intensität und Verteilung der Sprungamplituden

4. Approximation des unvollständigen Kapitalmarktes

4.1. Der Kapitalmarkt

4.2. Der risikoneutrale Assetpreisprozess

4.3. Preisgleichung für eine europäische Kaufoption

5. Ausblick und Schlussbemerkungen

Zielsetzung & Themen

Die vorliegende Arbeit untersucht die Bewertung von Derivaten unter der Annahme, dass der Kurs des Underlying Assets einem Sprung-Diffusionsprozess folgt, da klassische Modelle wie das von Black-Scholes die empirisch beobachteten Kurssprünge nicht ausreichend abbilden. Dabei steht die Herausforderung im Mittelpunkt, dass der Kapitalmarkt durch diese Annahme unvollständig wird, wodurch die klassische Arbitragebewertung nicht mehr uneingeschränkt anwendbar ist.

• Methoden der Optionsbewertung in vollständigen versus unvollständigen Kapitalmärkten
• Modellierung von Aktienkursen mittels Sprung-Diffusionsprozessen
• Untersuchung des Merton-Modells und Ansätze der Gleichgewichtsbewertung
• Einfluss von stochastischer Intensität und Sprungamplitudenverteilungen
• Approximationsmöglichkeiten für unvollständige Kapitalmärkte

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1. Einleitung: Diese Einleitung erläutert die Problematik der Optionsbewertung in zeitstetigen Modellen und führt die Notwendigkeit ein, über das Black-Scholes-Modell hinaus Sprung-Diffusionsprozesse zur realitätsnäheren Abbildung von Aktienkursen zu betrachten.

2. Einführung in die Optionsbewertung in vollständigen Kapitalmärkten: Das Kapitel stellt grundlegende Modelle vor, die auf einem vollständigen Kapitalmarkt basieren, wie das Black-Scholes-Modell und einfache Sprungprozess-Modelle, und zeigt deren Grenzen bei der empirischen Verteilung von Aktienkursen auf.

3. Optionsbewertung im unvollständigen Kapitalmarkt: Es wird das Merton-Modell sowie Ansätze zur Bewertung im allgemeinen Gleichgewicht eingeführt, um der Unvollständigkeit des Kapitalmarktes bei Sprungrisiken zu begegnen, inklusive stochastischer Intensitäten und komplexerer Sprungamplitudenverteilungen.

4. Approximation des unvollständigen Kapitalmarktes: Dieses Kapitel präsentiert Verfahren, um unvollständige Kapitalmärkte durch die Hinzunahme weiterer Assets und Optionen zu approximieren und so eine risikoneutrale Bewertung zu ermöglichen.

5. Ausblick und Schlussbemerkungen: Zusammenfassend wird bewertet, dass der Komplexitätszuwachs durch Sprung-Diffusionsmodelle den Erkenntnisgewinn übersteigt und die Anwendung klassischer Modelle wie Black-Scholes bei volatilen Märkten kritisch zu sehen ist.

Schlüsselwörter

Optionsbewertung, Sprung-Diffusionsprozess, unvollständiger Kapitalmarkt, Black-Scholes-Modell, Merton-Modell, allgemeines Gleichgewicht, risikoneutrale Bewertung, Volatility Smile, Poisson-Prozess, stochastische Intensität, Arbitragefreiheit, Marktportfolio, Kapitalmarkttheorie, Derivate, Hedging.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen Bewertung von Optionen, wenn der Kursverlauf des Basiswertes (Underlying) durch Sprung-Diffusionsprozesse statt nur durch stetige Prozesse modelliert wird.

Was sind die zentralen Themenfelder?

Die zentralen Felder sind die Optionspreistheorie, die Modellierung von stochastischen Prozessen in der Finanzwirtschaft sowie die Bewertung im allgemeinen Gleichgewicht unter Berücksichtigung von Sprungrisiken.

Was ist das primäre Ziel der Arbeit?

Das Ziel ist es, Methoden zur Bewertung von Optionen unter realistischeren Marktannahmen (mit Kurssprüngen) zu präsentieren und dabei die resultierenden Herausforderungen, insbesondere die Unvollständigkeit des Kapitalmarktes, zu analysieren.

Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?

Es werden mathematische Methoden der stochastischen Analysis verwendet, darunter das Itô-Lemma für Sprungprozesse, Radon-Nikodym-Transformationen zum Maßwechsel sowie Gleichgewichtsansätze mittels Nutzenfunktionen.

Was wird im Hauptteil behandelt?

Der Hauptteil gliedert sich in die Vorstellung klassischer Modelle unter vollständigen Marktannahmen, die Analyse des unvollständigen Marktes (Merton-Modell, allgemeines Gleichgewicht mit verschiedenen Sprungverteilungen) und die Approximation solcher Märkte durch ergänzende Assets.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Die Arbeit wird primär durch Begriffe wie Sprung-Diffusionsprozess, unvollständiger Kapitalmarkt, risikoneutrale Bewertung und allgemeines Gleichgewicht definiert.

Wie unterscheidet sich das Modell von Kou (2002) von den anderen Modellen?

Das Kou-Modell zeichnet sich durch die Verwendung doppelt exponentialverteilter Sprungamplituden aus, was eine flexiblere und empirisch robustere Modellierung erlaubt, wobei es zudem im Rahmen der Gleichgewichtstheorie hergeleitet wird.

Warum reicht das Black-Scholes-Modell laut der Autorin nicht aus?

Das Black-Scholes-Modell impliziert stetige Pfade und eine konstante Volatilität, was empirisch beobachtete Phänomene wie "Volatility Smiles" und abrupte, große Kurssprünge in der Realität nicht erklären kann.