Diplomarbeit, 2002
71 Seiten, Note: 1,7
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Kapitel 1
Grundlagen
Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie. Dabei werden neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen im Verlauf des Kapitels elementare Definitionen und Zusammenh¨ ange formuliert.
Es seien n, m ∈ N.
1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt Partition von n, geschrieben λ − n, falls gilt:
(i) λ 1 ≥ . . . ≥ λ m > 0.
m (ii) i=1 λ i = n.
Mit a i := |{j | λ j = i, 1 ≤ j ≤ m}, 1 ≤ i ≤ n, verwenden wir als abk¨ urzende Schreibweise λ = (n an , (n − 1) a n−1 , . . . , 1 a 1 ), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit a k = 0 ausgelassen werden.
Es ist l(λ) := m die L¨ ange von λ.
)
λ 1
definiert durch
i := |{j | λ j ≥ i, 1 ≤ j ≤ m}|, 1 ≤ i ≤ λ 1 .
Insbesondere ist λ − n.
1.1.2 Definition Definiere auf P(n) := {λ | λ − n} die lexikographische Ordnung < wie folgt. F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ), µ = (µ 1 , . . . , µ m ) ∈ P(n) ist λ < µ genau dann, wenn ein i ∈ {1, . . . , max{m, m }} existiert, so daß
λ j = µ j f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ i − 1 und λ i < µ i .
Dabei wird λ j := 0 f¨ ur alle j > m und µ j := 0 f¨ ur alle j > m gesetzt.
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1.1.10 Bemerkung Seien λ ∈ P(n) und p ∈ N. Der p-Kern, das p-Gewicht, die p-Signatur und der p-Quotient von λ sind eindeutig durch λ bestimmt.
1.1.11 Definition Sei p ∈ N.
1.1.12 Bemerkung Sei p ∈ N. Eine Partition ist genau dann p-spaltensingul¨ ar, wenn die zu dieser Partition konjugierte Partition p-zeilensingul¨ ar ist.
Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A eine (als R-Linksmodul endlicherzeugte) R-Algebra. Des weiteren sei M ein (endlich-erzeugter) A-Linksmodul. 2
1.2.1 Schreibweise Seien R 1 und R 2 zwei Ringe. Die Schreibweise R 1 ∼ = R 2
bedeutet, daß R 1 und R 2 als Ringe isomorph sind.
Seien X und Y zwei A-Linksmoduln. Die Schreibweise X A ∼ = Y bedeutet, daß
X und Y als A-Linksmoduln isomorph sind.
1.2.2 Definition (a) Ein Untermodul U von M heißt echt, falls {0} < U < M .
[James & Kerber, Satz 2.7.37] ¨ aquivalent zum p-Quotienten (im Sinne von James & Kerber) ist.
2 Alle Aussagen dieses Abschnitts lassen sich analog auch f¨ ur A-Rechtsmoduln formulieren.
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1.2.10 Definition (a) M heißt freier A-Linksmodul, falls eine Menge S exi-
1.2.11Definition Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring, J(R) das Jacobson-Radikal von R, K := Quot(R) der Quotientenk¨ orper von R und k := R mit char(k) = p ∈ P. Dann heißt das Tripel (K, R, k) ein p-modulares System.
Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring und A ein Ring mit 1.
1.3.1 Bezeichnungen Sei X A ein Vetretersystem der Isomorphieklassen der endlich-erzeugten A-Rechtsmoduln, das heißt X A sei eine (nicht eindeutig bestimmte) Menge, so daß zu jedem A-Rechtsmodul 3 M genau ein A-Rechtsmodul M X ∈ X A existiert mit M ∼ = A M X .
F¨ ur einen A-Rechtsmodul M bezeichne M X den (eindeutig bestimmten) A- Rechtsmodulmit
M ∼ = A M X . M X ∈ X A und
1.3.2 Definition Es heißt
die freie abelsche Gruppe ¨ uber X A .
1.3.3 Definition Sei
F 0 := N + Q − M | N, Q, M ∈ X A und es existiert eine kurze exakte Folge {0} → N → M → Q → {0}} F ab (X A ).
Dann heißt
die Grothendieck-Gruppe von A. F¨ ur einen A-Rechtsmodul M sei
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und
m
(b
1
b
2
) =
m
◦
ϕ(b
1
b
2
)
Also ist der A-Rechtsmodul M auch ein B-Rechtsmodul.
(ii) Seien M, N A-Rechtsmoduln und ψ : M → N ein A-Modulhomomor- phismus.Wegen (i) sind M und N zwei B-Rechtsmoduln und ψ ist ein B-Modulhomomorphismus.
(iii) Wegen (i) und (ii) wird jede exakte Folge von A-Modulhomomor- phismenzu einer exakten Folge von B-Modulhomomorphismen.
der wegen (i) jeden A-Rechtsmodul auf diesen als B-Rechtsmodul abbildet.
Es seien (K, R, k) ein p-modulares System und A eine (als R-Rechtsmodul endlich-erzeugte) R-Algebra. Weiterhin seien M ein (endlich-erzeugter) A-Rechts- modulund E := End A (M ) der Endomorphismenring von M .
1.4.1 Bemerkung (a) M ist E-Linksmodul mittels
E × Hom A (Y, M ) → Hom A (Y, M ), (ϕ, β) → ϕ ◦ β,
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