Kreis- und Kugelpackungen

Inhaltsverzeichnis

• Vorwort
• Vorüberlegungen
  • Kreise und Kugeln
  • Gitter
    • Fundamentalparallelotope
    • Bravais-Gitter
  • Packungsdichte
• Infinite Kreis- und Kugelpackungen
  • Infinite Kreispackungen
    • Quadratische und hexagonale Kreisgitterpackung
    • Dichteste infinte Kreispackung
  • Infinite Kugelpackungen
    • Ausgewählte infinite Kugelpackungen
      • Kubisch – primitive Kugelgitterpackung
      • Kubisch – raumzentrierte Kugelgitterpackung
      • Kubisch – flächenzentrierte Kugelgitterpackung
        • Tetragonal – raumzentrierte Kugelgitterpackung
        • Rhomboedrisch - primitive Kugelgitterpackung
      • Hexagonal - primitive Kugelgitterpackung
      • Hexagonal – dichte Kugelpackung
    • Dichteste infinte Kugelpackung
      • Dichteste Kugelgitterpackung
      • Kubisch – flächenzentriert vs. hexagonal – dicht
    • Zur Geschichte infiniter Kreis- und Kugelpackungen
    • Vorkommnisse und Anwendungen
  • Finite Kreis- und Kugelpackungen
    • Finite Kreispackungen
      • Ausgewählte finite Kreispackungen
        • Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung
        • Vergleich hexagonaler Pizzapackungen
      • Dichteste finite Kreispackung
    • Finite Kugelpackungen
      • Ausgewählte finite Kugelpackungen
        • Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung
        • Wurstpackung vs. Clusterpackung
      • Dichteste finite Kugelpackung
    • Zur Geschichte finiter Kreis- und Kugelpackungen
  • Ausblicke
    • Containerpackungen
    • Randparameter
    • n-dimensionale Kugeln
      • Infinite n-dimensionale Kugelpackungen
      • Finite n-dimensionale Kugelpackungen
  • Zusammenfassung

  Zielsetzung und Themenschwerpunkte

  Diese Arbeit befasst sich mit dem Thema Kreis- und Kugelpackungen und widmet sich insbesondere der Frage nach der optimalen Anordnung von kongruenten Kreisen und Kugeln. Sie analysiert verschiedene Packungsarten und untersucht die Packungsdichte, die ein Maß für die Effizienz der Ausnutzung des verfügbaren Raums darstellt.

  • Die Untersuchung verschiedener Packungsarten von Kreisen und Kugeln, sowohl in unendlichen als auch in endlichen Dimensionen.
  • Die Analyse der Packungsdichte als Maß für die Effizienz der Raumnutzung.
  • Die Erörterung der Geschichte der Kreis- und Kugelpackungen.
  • Die Betrachtung von Anwendungen und Vorkommen von Kreis- und Kugelpackungen in der realen Welt.
  • Die Diskussion von zukünftigen Forschungsperspektiven in diesem Bereich.

  Zusammenfassung der Kapitel

  • Das Vorwort stellt das Thema der Arbeit vor und zeigt anhand von Beispielen aus dem Alltag die Relevanz der Kreis- und Kugelpackungen.
  • Das Kapitel „Vorüberlegungen“ definiert grundlegende Begriffe wie Kreise, Kugeln, Gitter und Packungsdichte. Es dient als Grundlage für die anschließende Analyse verschiedener Packungsarten.
  • Das Kapitel „Infinite Kreis- und Kugelpackungen“ befasst sich mit der Analyse von unendlichen Packungsarrangements. Es werden verschiedene Packungsarten vorgestellt und die dichteste Kreis- und Kugelpackung untersucht.
  • Das Kapitel „Finite Kreis- und Kugelpackungen“ beschäftigt sich mit der Untersuchung von endlichen Packungsarrangements. Es werden verschiedene Packungsarten vorgestellt und die dichteste Kreis- und Kugelpackung für den endlichen Fall betrachtet.
  • Das Kapitel „Ausblicke“ gibt einen Ausblick auf zukünftige Forschungsperspektiven im Bereich der Kreis- und Kugelpackungen. Es werden Themen wie Containerpackungen, Randparameter und n-dimensionale Kugelpackungen betrachtet.

  Schlüsselwörter

  Kreispackungen, Kugelpackungen, Packungsdichte, Gitter, Fundamentalparallelotope, Bravais-Gitter, infinite Packungen, finite Packungen, dichteste Packung, Anwendungen, Vorkommen, Geschichte, Ausblicke, n-dimensionale Kugeln.

  Häufig gestellte Fragen

  Was ist die Packungsdichte?

  Die Packungsdichte ist ein Maß dafür, welcher Anteil eines verfügbaren Raums durch die darin angeordneten Kreise oder Kugeln ausgefüllt wird.

  Was ist die dichteste Kugelpackung?

  Die kubisch-flächenzentrierte und die hexagonal-dichte Packung erreichen beide eine maximale Dichte von ca. 74 % im unendlichen Raum.

  Was unterscheidet infinite von finiten Packungen?

  Infinite Packungen betrachten den unendlichen Raum, während finite Packungen die Anordnung einer begrenzten Anzahl von Objekten in einem geschlossenen Behälter untersuchen.

  Was ist eine „Wurstpackung“?

  Ein spezieller Typ der finiten Packung, bei dem die Kugeln linear (wie in einer Wurst) angeordnet sind, was in bestimmten Dimensionen die höchste Dichte liefert.

  Was sind Bravais-Gitter?

  Bravais-Gitter sind mathematische Modelle zur Beschreibung der regelmäßigen Anordnung von Punkten im Raum, die die Basis für Kristallstrukturen bilden.

  Wo finden Kugelpackungen Anwendung?

  Sie finden Anwendung in der Kristallographie, der Materialwissenschaft, der Logistik (Containerpackungen) und der Informationstheorie.