Über die Hopf-Invariante

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
• 2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen
  • 2.1 Konventionen
  • 2.2 Faserungen
  • 2.3 Bemerkungen zu Homologie und Kohomologie
    • Beziehung zwischen Homologie und Homotopie
  • 2.4 Einhängung und Schleifenräume
  • 2.5 Der Abbildungszylinder
  • 2.6 Spektralfolgen.
• 3 Drei Definitionen der Hopf-Invariante
  • 3.1 Ursprüngliche Definition nach Hopf.
  • 3.2 Definition der Hopf-Invariante nach Steenrod
  • 3.3 Verallgemeinerte Hopf-Invariante nach Whitehead
• 4 Vergleich der Definitionen der Hopf-Invariante
  • 4.1 Vergleich der Definition nach Hopf mit der verallgemeinerten Hopf-Invariante nach Whitehead
  • 4.2 Vergleich der verallgemeinerten Hopfinvariante nach Whitehead mit der Definition nach Steenrod und der Definition nach Serre.
  • 4.3 Bemerkung zu Satz 4.1.6. .

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Hopf-Invariante, einem wichtigen Konzept in der algebraischen Topologie. Ziel ist es, die verschiedenen Definitionen der Hopf-Invariante, die von Hopf, Steenrod und Whitehead entwickelt wurden, zu untersuchen und ihre Beziehungen zueinander aufzuzeigen.

• Definitionen der Hopf-Invariante nach Hopf, Steenrod und Whitehead
• Vergleich der verschiedenen Definitionen
• Beziehungen zwischen den Definitionen im Kontext des Linksdistributivgesetzes
• Anwendungen der Hopf-Invariante in der algebraischen Topologie
• Zusammenhang zwischen der Hopf-Invariante und dem Hurewicz-Homomorphismus

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 bietet eine einführende Übersicht über die Geschichte und Motivation der Hopf-Invariante. In Kapitel 2 werden wichtige topologische Grundlagen und Konzepte wie Faserungen, Homologie, Kohomologie und Spektralfolgen erläutert. Kapitel 3 stellt die drei Definitionen der Hopf-Invariante von Hopf, Steenrod und Whitehead dar. Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Vergleich dieser Definitionen und zeigt deren Übereinstimmung in bestimmten Fällen auf. Dabei werden wichtige Sätze und Relationen zwischen den verschiedenen Definitionen bewiesen.

Schlüsselwörter

Hopf-Invariante, algebraische Topologie, Homologie, Kohomologie, Homotopie, Faserungen, Spektralfolgen, Abbildungszylinder, Linksdistributivgesetz, Hurewicz-Homomorphismus, Steenrod-Operationen, Whitehead-Produkt