Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell

Inhaltsverzeichnis

0. MOTIVATION

1. EINLEITUNG

1.1. MODELLIERUNG DES AKTIENKURSES MIT DEM LOG-LINEAREN ANSATZ

1.2. STOCHASTISCHE PROZESSE UND BROWNSCHE BEWEGUNG

1.3. DIE BLACK-SCHOLES-FORMEL

2. WICHTIGE VERTEILUNGEN

2.1. NORMALVERTEILUNG

2.2. X²-VERTEILUNG

2.3. F-VERTEILUNG

2.4. T-VERTEILUNG (STUDENT-VERTEILUNG)

2.5. DICHTE DER T4-VERTEILUNG MIT VARIANZ 1

3. F-TEST

3.1. DAS MODELL

4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE

4.1. DURCHFÜHRUNG DER SIMULATION

4.2. PROGRAMMIERUNG DES F-TESTS

4.3. ERGEBNIS UND INTERPRETATION

5. TEST MIT REALEN DATEN

5.1. PRÜFEN DER MODELL-VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE REALEN DATEN

5.2. TESTERGEBNISSE

6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL

Zielsetzung & Themen

Diese Bachelorarbeit untersucht die Eignung des Black-Scholes-Modells für Finanzdaten, indem sie theoretische Modellannahmen wie Normalverteilung und Unabhängigkeit der Renditen durch Simulationen und empirische Analysen mit realen Aktienmarktdaten kritisch hinterfragt.

• Stochastische Modellierung von Aktienkursen mittels geometrischer Brownscher Bewegung
• Statistische Verteilungsanalyse von Finanzrenditen
• Vergleichende Untersuchung zwischen Normalverteilung und T4-Verteilung
• Anwendung des F-Tests zur Varianzprüfung in simulierten und realen Datensätzen
• Kritische Diskussion von Modellannahmen im Kontext realer Marktdaten

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

0. MOTIVATION: Einführung in die Problematik der Aktienkursvorhersage und die zentrale Rolle der Statistik und Volatilitätsschätzung im Black-Scholes-Modell.

1. EINLEITUNG: Mathematische Fundierung der Modellierung von Aktienkursen durch den log-linearen Ansatz, stochastische Prozesse und die Herleitung der Black-Scholes-Formel.

2. WICHTIGE VERTEILUNGEN: Zusammenstellung der für die Analyse notwendigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie Normal-, X²-, F- und T-Verteilung.

3. F-TEST: Definition und theoretische Herleitung des F-Tests als statistisches Instrument zur Prüfung der Varianzgleichheit.

4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE: Durchführung einer Simulationsstudie unter Verwendung von Standardnormal- und T4-verteilten Zufallsvariablen zur Validierung der statistischen Schätzer.

5. TEST MIT REALEN DATEN: Empirische Anwendung der entwickelten Testmethoden auf historische Tagesrenditen von BMW und DAX zur Überprüfung der Modellvoraussetzungen.

6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL: Abschließende kritische Reflexion über die Diskrepanzen zwischen Modelltheorie und Marktrealität sowie Ausblick auf mögliche Modellerweiterungen.

Schlüsselwörter

Black-Scholes-Modell, Finanzdaten, Aktienkurse, Stochastik, Brownsche Bewegung, Normalverteilung, T4-Verteilung, Varianzschätzung, F-Test, Volatilität, Renditen, Zeitreihenanalyse, Modellvalidierung, Statistik, Finanzmathematik.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit analysiert die mathematischen Grundlagen und die praktischen Grenzen des Black-Scholes-Modells bei der Modellierung von Finanzmarktdaten.

Was sind die zentralen Themenfelder?

Die zentralen Felder sind die stochastische Finanzmathematik, die Verteilungsanalyse von Renditen und die Überprüfung statistischer Modellannahmen.

Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?

Ziel ist es, die Abweichungen zwischen theoretischen Modellannahmen (z.B. Normalverteilung, konstante Volatilität) und der Realität von Finanzdaten zu identifizieren und quantitativ zu bewerten.

Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?

Es werden mathematische Modellierungen, numerische Simulationen sowie statistische Tests (insbesondere der F-Test) auf simulierte und historische Marktdaten angewendet.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil umfasst die theoretische Herleitung der Verteilungen, die Programmierung von Simulationsmodellen zur Varianzprüfung und die empirische Testung anhand von DAX- und BMW-Daten.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Black-Scholes-Modell, T4-Verteilung, Varianzschätzung, stochastische Prozesse und Volatilitätsanalyse charakterisieren.

Warum wird die T4-Verteilung anstelle der Normalverteilung untersucht?

Die T4-Verteilung wird untersucht, da sie „schwerere Tails“ aufweist und somit extreme Kursausschläge, wie sie in der Realität vorkommen, besser abbilden kann als die Normalverteilung.

Welches Ergebnis liefern die Tests bei realen Finanzdaten?

Die Tests zeigen, dass reale Daten die Modellvoraussetzung der Unabhängigkeit verletzen und durch die T4-Verteilung zwar besser als durch die Normalverteilung, aber dennoch nicht vollständig zufriedenstellend approximiert werden.

Welche Rolle spielt die Volatilität in der Arbeit?

Die Volatilität wird als entscheidender, unbekannter Parameter im Black-Scholes-Modell identifiziert, dessen Annahme einer Konstanz bei längeren Zeiträumen in der Realität problematisch ist.