Numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte

2.1 Begriffe aus der Optionstheorie

2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen

2.3 Das Finanzmarktmodell

2.4 Die Dynamik des Aktienkurses

3 Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung

3.1 Herleitung der Black-Scholes Gleichung

3.2 Die Kennzahlen des Black-Scholes Modells

3.2.1 Delta

3.2.2 Gamma

3.2.3 Theta

3.2.4 Rho

3.2.5 Vega oder Kappa

4 Die Volatilität

4.1 Historische Volatilität

4.2 New Volatility

4.3 Implizite Volatilität

4.4 Stochastische Volatilität

4.5 Lokale Volatilität

5 Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl mit Hilfe des Black-Scholes Modells

5.1 Portfolio 1 (große Werte der historischen Volatilität)

5.2 Portfolio 2 (kleine Werte der historischen Volatilität)

5.3 Portfolio 3 (große New-Volatility Werte)

5.4 Portfolio 4 (kleine New-Volatility Werte)

6 Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tatsächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten

7 Optionspreisberechnung durch Baummodelle

7.1 Die Geschichte der Baummodelle

7.2 Binomialbäume als Berechnungsgrundlage für Optionsscheine

7.3 Trinomialbäume

7.4 Implizite Theorie

7.5 Implizite Binomialbäume

7.6 Konstruktion eines impliziten Trinomialbaumes

8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle

8.1 Grundidee

8.2 Zufallszahlen

8.2.1 Algorithmen zur Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen

8.2.2 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen

8.3 Monte-Carlo Simulation einer europäischen Call-Option

8.4 Konvergenz bezüglich der numerischen Integration stochastischer Differentialgleichungen

8.5 Das Heston-Modell in Monte-Carlo-Simulationen (stochastisches Volatilitätsmodell)

8.5.1 Asiatische Option im Heston-Modell

8.5.1 Kalibrierung des Heston-Modells mit aktuellen Marktdaten für europäische Option

8.6 Lokales Volatilitätsmodell

8.7 Vergleich der Volatilitätsmodelle

9 Schlussbemerkung

Zielsetzung & Themen

Die Arbeit untersucht numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen, um deren Anwendung in volatilen Finanzmärkten zu bewerten. Dabei liegt der Fokus auf der Modellierung der Volatilität, der Analyse verschiedener Schätzansätze (historisch vs. New Volatility) und der Überprüfung ihrer Genauigkeit durch den Vergleich mit tatsächlichen Kursentwicklungen von Euro Stoxx 50-Aktien mittels statistischer Tests und Monte-Carlo-Simulationen.

• Mathematische Grundlagen der Optionstheorie und Finanzmarktmodellierung
• Vergleich historischer Volatilitätsmodelle mit der "New Volatility"
• Implementierung numerischer Verfahren wie Binomial-/Trinomialbäume und Monte-Carlo-Simulationen
• Empirische Evaluierung der Modellgüte an realen Marktdaten der Daimler-Aktie und Euro Stoxx 50

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einleitung: Stellt das Ziel der Arbeit vor, numerische Methoden zur Optionspreisberechnung in einem volatilen Finanzmarktumfeld zu analysieren.

2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte: Führt die mathematischen und finanztheoretischen Grundlagen ein, einschließlich der Definition von Optionen, Wahrscheinlichkeitsräumen und des Finanzmarktmodells.

3 Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung: Leitet die zentrale Black-Scholes-Gleichung her und erläutert die sensitiven Kennzahlen, die sogenannten "Greeks".

4 Die Volatilität: Diskutiert verschiedene Ansätze zur Volatilitätsschätzung, von historischen Daten über die "New Volatility" bis hin zu stochastischen und lokalen Volatilitätsmodellen.

5 Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl mit Hilfe des Black-Scholes Modells: Analysiert Portfolios basierend auf unterschiedlichen Volatilitätsschätzungen und deren Einfluss auf Optionspreise.

6 Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tatsächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten: Vergleicht die Vorhersagequalität der verschiedenen Volatilitätsmodelle anhand eines statistischen Signifikanztests.

7 Optionspreisberechnung durch Baummodelle: Untersucht Binomial- und Trinomialbäume als alternative Berechnungsmethoden, insbesondere im Kontext impliziter Volatilitäten.

8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle: Erklärt die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Aktienkursen und wendet sie auf das Heston-Modell und andere Volatilitätsansätze an.

9 Schlussbemerkung: Fasst die Ergebnisse zusammen und bewertet die Anwendbarkeit der untersuchten Modelle für praktische Optionsstrategien.

Schlüsselwörter

Optionstheorie, Black-Scholes Modell, Volatilität, New Volatility, Monte-Carlo-Simulation, Binomialbaum, Trinomialbaum, Heston-Modell, Finanzmarkt, Derivate, Aktienkurs, Statistik, Regressionsanalyse, Portfolio-Auswahl, Optionspreisberechnung

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen unter Berücksichtigung verschiedener Volatilitätsmodelle, um deren Genauigkeit und Anwendbarkeit zu evaluieren.

Was sind die zentralen Themenfelder?

Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Modellierung von Finanzmärkten, der Schätzung von Volatilität mittels verschiedener Ansätze sowie der numerischen Simulation von Optionspreisen.

Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?

Das Ziel ist es, zu analysieren, wie unterschiedliche Volatilitätsmodelle die Optionspreisberechnung beeinflussen und wie gut diese Modelle die tatsächliche zukünftige Marktentwicklung prognostizieren können.

Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?

Es werden mathematische Ableitungen stochastischer Differentialgleichungen, statistische Signifikanztests sowie numerische Verfahren wie Binomial-/Trinomialbäume und Monte-Carlo-Simulationen mittels MATLAB eingesetzt.

Was wird im Hauptteil behandelt?

Der Hauptteil widmet sich der Herleitung des Black-Scholes Modells, der detaillierten Untersuchung verschiedener Volatilitätsschätzer und der empirischen Überprüfung dieser Modelle anhand von Aktien des Euro Stoxx 50.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Zu den wichtigsten Begriffen zählen Optionspreise, Volatilität (historisch, implizit, stochastisch, lokal), Monte-Carlo-Simulation, Black-Scholes-Gleichung und Finanzderivate.

Wie unterscheidet sich die "New Volatility" von der historischen Volatilität?

Die "New Volatility" gewichtet zeitnahe Daten stärker und basiert auf den Tagesspannen (Höchst-/Tiefstpreise), während die historische Volatilität als Standardabweichung der logarithmischen Kursänderungen über längere Zeiträume berechnet wird.

Warum ist das Heston-Modell in dieser Arbeit von Bedeutung?

Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das hilft, das Phänomen des "Volatility Smile" besser zu erklären, indem es die Volatilität selbst als stochastischen Prozess behandelt.