Numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
• 2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte
• 2.1 Begriffe aus der Optionstheorie
• 2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen
• 2.3 Das Finanzmarktmodell
• 2.4 Die Dynamik des Aktienkurses
• 3 Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung
• 3.1 Herleitung der Black-Scholes Gleichung
• 3.2 Die Kennzahlen des Black-Scholes Modells
• 3.2.1 Delta
• 3.2.2 Gamma
• 3.2.3 Theta
• 3.2.4 Rho
• 3.2.5 Vega oder Kappa
• 4 Die Volatilität
• 4.1 Historische Volatilität
• 4.2 New Volatility
• 4.3 Implizite Volatilität
• 4.4 Stochastische Volatilität
• 4.5 Lokale Volatilität
• 5 Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl mit Hilfe des Black-Scholes Modells
• 5.1 Portfolio 1 (große Werte der historischen Volatilität)
• 5.2 Portfolio 2 (kleine Werte der historischen Volatilität)
• 5.3 Portfolio 3 (große New-Volatility Werte)
• 5.4 Portfolio 4 (kleine New-Volatility Werte)
• 6 Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tatsächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten
• 7 Optionspreisberechnung durch Baummodelle
• 7.1 Die Geschichte der Baummodelle
• 7.2 Binomialbäume als Berechnungsgrundlage für Optionsscheine
• 7.3 Trinomialbäume
• 7.4 Implizite Theorie
• 7.5 Implizite Binomialbäume
• 7.6 Konstruktion eines impliziten Trinomialbaumes
• 8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle
• 8.1 Grundidee
• 8.2 Zufallszahlen
• 8.2.1 Algorithmen zur Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen
• 8.2.2 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen
• 8.3 Monte-Carlo Simulation einer europäischen Call-Option
• 8.4 Konvergenz bezüglich der numerischen Integration stochastischer Differentialgleichungen
• 8.5 Das Heston-Modell in Monte-Carlo-Simulationen (stochastisches Volatilitätsmodell)
• 8.5.1 Asiatische Option im Heston-Modell
• 8.5.2 Kalibrierung des Heston-Modells mit aktuellen Marktdaten für europäische Option
• 8.6 Lokales Volatilitätsmodell
• 8.7 Vergleich der Volatilitätsmodelle

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Diplomarbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung von Optionspreisen. Ziel ist es, verschiedene Methoden zur Optionspreisberechnung zu untersuchen und zu vergleichen.

• Vergleich verschiedener Volatilitätsmodelle (historische, implizite, stochastische, lokale Volatilität)
• Anwendung des Black-Scholes Modells und dessen Kennzahlen
• Anwendung von Baummodellen (Binomial- und Trinomialbäume)
• Anwendung von Monte-Carlo-Simulationen
• Portfolioauswahl basierend auf Volatilitätskennzahlen

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 dient als Einleitung. Kapitel 2 beschreibt grundlegende Definitionen und Konzepte aus der Optionstheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und dem Finanzmarktmodell. Kapitel 3 erläutert das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung und seine Kennzahlen. Kapitel 4 befasst sich mit verschiedenen Volatilitätsmodellen. Kapitel 5 untersucht die Anwendung der historischen und New Volatility im Kontext der Portfolioauswahl mit dem Black-Scholes Modell. Kapitel 6 beschreibt die statistische Auswertung der Portfolios. Kapitel 7 behandelt die Optionspreisberechnung mittels Baummodellen. Kapitel 8 widmet sich der Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und dem Einfluss unterschiedlicher Volatilitätsmodelle.

Schlüsselwörter

Optionspreisberechnung, Black-Scholes Modell, Volatilität (historisch, implizit, stochastisch, lokal), Baummodelle, Monte-Carlo-Simulation, Portfolioauswahl, Risikomanagement.