Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort

2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen

2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell

2.2. Die Logistische-Differentialgleichung und die Weltpopulation

2.3. Klassifizierungen von Differentialgleichungen

2.3.1. Gewöhnlich und partielle Differentialgleichungen

2.3.2. Ordnung von Differentialgleichungen

2.3.3. Lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen

2.3.4. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen

3. Differentialgleichungen erster Ordnung

3.1. Trennung der Variablen

3.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung – Variation der Konstanten

3.3. Elastizitäten sowie Eindeutigkeit und Existenz von Lösungen

3.4. Nicht-lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

3.4.1. Exakte Differentialgleichungen erster Ordnung

3.4.2. Integrierender Faktor

4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung

4.1. Charakteristische Gleichung – homogener Fall

4.2. Spezielle Lösung – inhomogener Fall

4.3. Angebot, Nachfrage und der Preis

5. Differentialgleichungssysteme

6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen

6.1. Modellannahmen

6.2. Herleitung des Differentialgleichungssystems

6.3. Analyse des Modells

7. Nachwort

Zielsetzung & Themen

Diese Bachelorarbeit verfolgt das Ziel, Lösungsansätze und Erkennungsmerkmale für gewöhnliche Differentialgleichungen zu systematisieren und deren Anwendung in ökonomischen Modellen exemplarisch darzustellen. Dabei wird der Fokus auf die Herleitung mathematischer Zusammenhänge und deren wirtschaftswissenschaftliche Interpretation gelegt.

• Grundlagen und Klassifizierung dynamischer Systeme
• Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung
• Analyse ökonomischer Prozesse wie Zinsrechnung und Bevölkerungsmodelle
• Modellierung von Marktgleichgewichten und Konjunkturzyklen mittels Differentialgleichungssystemen

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1. Vorwort: Das Kapitel erläutert die Bedeutung mathematischer Modellierung für ökonomische Fragestellungen und definiert den Rahmen der Bachelorarbeit.

2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen: Hier werden grundlegende Konzepte wie stetige Verzinsung und logistisches Wachstum eingeführt sowie eine erste Einordnung der Modelltypen vorgenommen.

3. Differentialgleichungen erster Ordnung: Dieses Kapitel behandelt formale Lösungsverfahren wie die Trennung der Variablen und die Variation der Konstanten sowie die theoretische Fundierung durch Existenz- und Eindeutigkeitssätze.

4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung: Der Fokus liegt hier auf linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und deren Lösung über charakteristische Gleichungen, angewandt auf Angebots- und Nachfragemodelle.

5. Differentialgleichungssysteme: Es wird definiert, wie simultane ökonomische Sachverhalte durch DGL-Systeme abgebildet werden können.

6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen: Eine detaillierte Analyse der Konjunkturzyklen mittels eines Räuber-Beute-Modells bildet den Abschluss der inhaltlichen Arbeit.

7. Nachwort: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und hebt die interdisziplinäre Relevanz der behandelten Methoden hervor.

Schlüsselwörter

Differentialgleichung, DGL, mathematische Modellierung, Wirtschaftswissenschaften, stetige Verzinsung, logistisches Wachstum, Differentialgleichungssysteme, Goodwin-Modell, Lotka-Volterra, Konjunkturtheorie, Variation der Konstanten, Charakteristische Gleichung, Preisbildung, Wachstumsrate, Lohnquote

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?

Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung gewöhnlicher Differentialgleichungen zur mathematischen Modellierung ökonomischer Prozesse.

Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?

Schwerpunkte sind unter anderem Wachstumsmodelle, Marktgleichgewichte bei Angebot und Nachfrage sowie Konjunkturzyklen.

Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?

Ziel ist es, Lösungsansätze für verschiedene Klassen von Differentialgleichungen zu erarbeiten und deren Verhalten in wirtschaftlichen Kontexten beispielhaft zu analysieren.

Welche wissenschaftlichen Methoden finden Anwendung?

Die Arbeit nutzt analytische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster und n-ter Ordnung, Methoden zur Bestimmung partikulärer Lösungen sowie die qualitative Analyse von DGL-Systemen.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil gliedert sich in die Lösungsmethodik für DGL erster und höherer Ordnung sowie die Anwendung dieser Methoden auf konkrete Wirtschaftsmodelle wie das Goodwin-Konjunkturmodell.

Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren das Dokument?

Wichtige Begriffe sind Differentialgleichung (DGL), mathematische Modellierung, ökonomische Dynamik, Lotka-Volterra und Konjunkturmodelle.

Was besagt die logistische Differentialgleichung in diesem Zusammenhang?

Sie beschreibt ein Populationswachstum, das durch begrenzte Ressourcen oder Kapazitätsgrenzen gehemmt wird.

Wie wird das Goodwin-Modell in der Arbeit analysiert?

Das Modell wird als DGL-System interpretiert, das die Interaktion zwischen Lohnquote und Beschäftigungsquote mittels einer Räuber-Beute-Dynamik erklärt.