Der topologische Begriff des Zusammenhangs und seine Anwendung in der klassischen Analysis

Inhaltsverzeichnis

• Elementare Begriffe der Topologie
• Topologische Räume
• Umgebungen
• Häufungspunkte
• Basen und Umgebungsbasen
• Basen
• Subbasen
• Umgebungsbasen und Umgebungssubbasen
• Metrische Räume
• Stetigkeit und Konvergenz
• Stetige Abbildungen
• Homöomorphismen
• Topologische Invarianz
• Konvergenz
• Kompaktheit
• Überdeckung
• Kompakte topologische Räume
• Lebesguesche Zahl einer Überdeckung
• Fundamentalkonstruktionen
• Die Relativtopologie
• Die Produkttopologie.
• Produktinvarianz
• Die Quotiententopologie
• Initialtopologie
• Finaltopologie.
• Zusammenhangseigenschaften
• Zusammenhängende topologische Räume
• Topologische Invarianz
• Zusammenhangskomponenten
• Zusammenhangskomponenten einzelner Punkte
• Total unzusammenhängende topologische Räume
• Quasikomponenten
• Produktinvarianz
• Zusammenhängende Teilmengen von R und R²
• Zusammenhängende Teilmengen von R
• Zusammenhang in allgemeinen Ordnungstopologien
• Zwischenwertsatz
• Lokal zusammenhängende Räume
• Erblichkeit
• Qoutienteninvarianz
• Lokaler Zusammenhang und stetige Abbildungen
• Produktinvarianz
• Wegzusammenhang
• Wegzusammenhängende topologische Räume
• Die Beziehung zum Zusammenhang
• Topologische Invarianz und Produktinvarinz
• Einfach zusammenhängende Räume
• Grundlagen der Homotopietheorie
• Homotopie
• Die Fundamentalgruppe
• Die Fundamentalgruppe wegzusammenhängender Räume
• Homotopie und stetige Abbildung .
• Die Fundamentalgruppe einfach zusammenhängender Räume
• Die Fundamentalgruppe des Einheitskreises
• Liftung einer Abbildung
• Der Brouwersche Fixpunktsatz
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer
• Brouwerscher Fixpunktsatz
• Der Fundamentalsatz der Algebra
• Fundamentalsatz der Algebra

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem topologischen Begriff des Zusammenhangs und untersucht seine Analogien zur klassischen Analysis. Ziel ist es, die verschiedenen Zusammenhangsbegriffe wie Zusammenhang, lokaler Zusammenhang, Wegzusammenhang und einfacher Zusammenhang zu erforschen und ihre Eigenschaften im Kontext von Standardkonstruktionen der Topologie (z. B. Teilräume, Produkträume und Quotientenräume) zu beleuchten.

• Verhalten von Zusammenhangsbegriffen unter Standardkonstruktionen der Topologie
• Stetige Abbildungen und Homöomorphismen im Zusammenhang mit Zusammenhangseigenschaften
• Anwendung des Zusammenhangs in der reellen Analysis, insbesondere der Beweis des Zwischenwertsatzes
• Grundlagen der algebraischen Topologie, insbesondere in Bezug auf den einfachen Zusammenhang
• Anwendung der Homotopietheorie zur Beweisführung des Brouwerschen Fixpunktsatzes und des Fundamentalsatzes der Algebra

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Elementare Begriffe der Topologie: In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe der Topologie eingeführt, darunter topologische Räume, Umgebungen, Häufungspunkte und die verschiedenen Arten von Topologien (natürliche, diskrete und indiskrete Topologie).
• Kapitel 2: Basen und Umgebungsbasen: Dieses Kapitel behandelt Basen und Umgebungsbasen in topologischen Räumen und zeigt, wie diese zur Beschreibung von Topologien verwendet werden können.
• Kapitel 3: Metrische Räume: Hier werden metrische Räume als Spezialfälle von topologischen Räumen vorgestellt und ihre Eigenschaften im Zusammenhang mit der Metrik erläutert.
• Kapitel 4: Stetigkeit und Konvergenz: Dieses Kapitel behandelt die Konzepte von Stetigkeit und Konvergenz in topologischen Räumen und untersucht die Eigenschaften stetiger Abbildungen, insbesondere Homöomorphismen, sowie die topologische Invarianz.
• Kapitel 5: Kompaktheit: In diesem Kapitel wird der Begriff der Kompaktheit eingeführt und seine Eigenschaften in Bezug auf Überdeckungen und die Lebesguesche Zahl erläutert.
• Kapitel 6: Fundamentalkonstruktionen: Dieses Kapitel befasst sich mit verschiedenen Standardkonstruktionen in der Topologie, darunter die Relativtopologie, die Produkttopologie, die Quotiententopologie sowie Initial- und Finaltopologien.
• Kapitel 7: Zusammenhangseigenschaften: Hier werden die verschiedenen Zusammenhangsbegriffe eingeführt und ihre Eigenschaften und Verhaltensweisen in Bezug auf Standardkonstruktionen der Topologie und stetige Abbildungen untersucht. Der Zwischenwertsatz der reellen Analysis wird in diesem Zusammenhang behandelt.
• Kapitel 8: Lokal zusammenhängende Räume: Dieses Kapitel behandelt lokal zusammenhängende Räume und ihre Eigenschaften in Bezug auf Erblichkeit, Quotienteninvarianz und stetige Abbildungen.
• Kapitel 9: Wegzusammenhang: Dieses Kapitel befasst sich mit Wegzusammenhang und seiner Beziehung zum Zusammenhang, sowie mit topologischen und Produktinvarianz. Der Begriff des einfachen Zusammenhangs wird eingeführt.
• Kapitel 10: Grundlagen der Homotopietheorie: Dieses Kapitel gibt eine Einführung in die Homotopietheorie und behandelt die Konzepte der Homotopie, der Fundamentalgruppe und ihrer Eigenschaften. Es wird gezeigt, wie die Homotopietheorie zur Untersuchung des einfachen Zusammenhangs verwendet werden kann.
• Kapitel 11: Der Brouwersche Fixpunktsatz: In diesem Kapitel wird der Brouwersche Fixpunktsatz vorgestellt und dessen Beweis mit Hilfe der Homotopietheorie erläutert.

Schlüsselwörter

Topologie, Zusammenhang, lokaler Zusammenhang, Wegzusammenhang, einfacher Zusammenhang, stetige Abbildung, Homöomorphismus, topologische Invarianz, Standardkonstruktionen der Topologie (Teilräume, Produkträume, Quotientenräume), Zwischenwertsatz, Homotopietheorie, Fundamentalgruppe, Brouwerscher Fixpunktsatz, Fundamentalsatz der Algebra.