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Der Weierstraßsche Produktsatz und
die Weierstraßsche Sigma-Funktion
Bachelorarbeit
von Jessika Wedemeyer
Abgabe: 19. Juli 2012
Fachbereich Mathematik und Informatik
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Grundlagen
3
1.1
Grundlegende Definitionen und S¨
atze . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Definition: komplex differenzierbar
. . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Definition: analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Definition: ganze Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.4
Definition: holomorph
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.5
Definition: Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.6
Definition und Satz: Ordnung an der Stelle a . . . . . .
5
1.1.7
Definition: isolierte Singularit¨
at . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.8
Definition: Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.9
Satz: Charakterisierung von Polen . . . . . . . . . . . .
6
1.1.10 Definition: meromorphe Funktion . . . . . . . . . . . .
6
1.1.11 Definition: logarithmische Ableitung
. . . . . . . . . .
7
1.1.12 Definition: periodische Funktion . . . . . . . . . . . . .
7
2 Unendliche Produkte in
C
8
2.1
Unendliche Produkte komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.1
Definition: Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Satz: Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.3
Konvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4
Defintion: absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5
Satz: absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6
Beispiel: Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Unendliche Produkte komplexer Funktionen . . . . . . . . . . 13
2.2.1
Definition: gleichm¨
aßige Konvergenz
. . . . . . . . . . 14
2.2.2
Satz: gleichm¨
aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3
Definition: kompakte Konvergenz . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4
Eigenschaften unendlicher Funktionenprodukte . . . . . 16
2.2.5
Satz: kompakte Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
INHALTSVERZEICHNIS
3 Der Weierstraßsche Produktsatz
19
3.1
Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1
Endliche Nullstellenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2
Unendliche Nullstellenmenge . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2
Konvergenzerzeugende Faktoren: Weierstraßfaktoren . . . . . . 21
3.2.1
Definition: Weierstraßfaktoren . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2
Absch¨
atzung der Weierstraßfaktoren
. . . . . . . . . . 21
3.3
Der Weierstraßsche Produktsatz ¨
uber
C . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1
Satz: Weierstraßscher Produktsatz ¨
uber
C . . . . . . . 23
3.3.2
Definition: Charakteristik einer Folge . . . . . . . . . . 25
3.3.3
Definition: Kanonisches Weierstraßprodukt . . . . . . . 25
3.3.4
Produktentwicklung einer ganzen Funktion . . . . . . . 26
3.3.5
Beispiel: Produktentwicklung der Sinusfunktion . . . . 27
4 Die Weierstraßsche - Funktion
30
4.1
Das Gitter und die Weierstraßsche -Funktion . . . . . . . . . 30
4.1.1
Definition: Diskrete Teilmenge von
R
2
. . . . . . . . . 30
4.1.2
Satz: diskrete Untergruppen von
C = R
2
. . . . . . . . 30
4.1.3
Definition: Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.4
Charakteristik des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.5
Herleitung der Weierstraßschen - Funktion . . . . . . 33
4.2
Weitere Weierstraßsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1
Die Weierstraßsche -Funktion . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2
Die Weierstraßsche -Funktion
. . . . . . . . . . . . . 35
5 Schlussbemerkung
38
Literaturverzeichnis
39
2
Kapitel 1
Einleitung und Grundlagen
In dieser Arbeit wollen wir uns mit einem Teilgebiet der Funktionentheorie
besch¨
aftigen. Wir werden uns den unendlichen Produkten, ihren Eigenschaf-
ten und ihrer Anwendung widmen.
Sch¨
uler lernen bereits, wie sie eine differenzierbare Funktion (in der Schule
nur gr¨
oßtenteils reellwertige Polynomfunktionen ab 2. Grades) in ein Produkt
ihrer Linearfaktoren zerlegen, sodass ihre Nullstellen aus diesem Produkt di-
rekt ablesbar sind. Doch auch andersherum wird in der Schule gelehrt, wie
anhand von vorgegebenen Nullstellen bestimmten Grades eine solche diffe-
renzierbare Funktion "gebastelt"werden kann. Diese dort noch sehr simple
Theorie wird in der Funktionentheorie oder auch komplexen Analysis auf
komplexwertige Funktionen erweitert. Mit ebendiesem Thema werden wir
uns in dieser Arbeit besch¨
aftigen.
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
(* 31. Oktober 1815,
19. Fe-
bruar 1897), ein bedeutsamer Mathematiker aus dem M¨
unsterland, widmete
sich in der zweiten H¨
alfte des 19. Jahrhunderts der Theorie der Produkt-
entwicklung einer Funktion anhand ihrer Nullstellen. Sein Ergebnis, dass es
ganze Funktionen (Definition folgt) mit willk¨
urlich vorgegebenen Nullstellen
gibt, ver¨
anderte das mathematische Denken der Funktionentheoretiker im
19. Jahrhundert grundlegend. Man konnte mit dieser Erkenntnis auf einmal
neue Funktionen "bauen", die im damaligen Funktionenvorrat noch nicht
vorgekommen waren (vgl. [Remmert 2007, Kap. 3, S. 82]).
Der Satz, der das Fundament dieser Theorie von Weierstraß darstellt, ist der
sogenannte Weierstraßsche Produktsatz ¨
uber
C. Er wird den Mittelpunkt
dieser Arbeit darstellen. Wir werden uns in diesem Kapitel grundlegenden
Definitionen und S¨
atzen der Funktionentheorie zuwenden. Es soll als knappe
(wiederholende) Einf¨
uhrung f¨
ur den Leser in die Funktionentheorie dienen.
3
1 Einleitung und Grundlagen
Im anschließenden zweiten Kapitel werden wir die unendlichen Produkte in
C n¨aher betrachten. Verschiedene Arten von Konvergenz sollen definiert und
umschrieben werden. Im dritten Teil, dem wichtigsten dieser Arbeit, wer-
den wir uns dem Weierstraßschen Produktsatz mit Hilfe der vorigen Kapitel
n¨
ahern und ihn beweisen, sowie ein Beispiel f¨
ur seine Anwendung anf¨
uhren.
Abschließend wollen wir im letzten Kapitel den Weierstraßschen Produktsatz
auf die Ebene
C = R
2
anwenden. Wir werden die sogenannte Weierstraßsche
-Funktion herleiten und aus ihr noch zwei weitere Weierstraßsche Funktio-
nen entwickeln.
Diese Arbeit wird auf der Grundlage des Buches Funktionentheorie von Fal-
ko Lorenz
[Lorenz 1997] entwickelt. Wir werden uns vor allem auf seine
Vorgehensweise bei Definitionen, S¨
atzen und Beweisen st¨
utzen und sie teil-
weise ausf¨
uhrlicher erl¨
autern.
1.1
Grundlegende Definitionen und S¨
atze
Wir wollen zun¨
achst einige wichtige grundlegende Definitionen und S¨
atze der
Funktionentheorie anf¨
uhren, die f¨
ur den weiteren Verlauf der Arbeit voraus-
gesetzt werden.
1.1.1
Definition: komplex differenzierbar
Sei M eine nichtleere Teilmenge von
C und f : M - C eine Funktion. f
heißt dann komplex differenzierbar in z
0
M, wenn
lim
zz
0
f(z) - f(z
0
)
z - z
0
in
C existiert.
1.1.2
Definition: analytisch
Sei U eine offene Menge in
C. Wir nennen eine Funktion f : U - C
analytisch in U, wenn f sich in jedem Punkt z
0
von U in eine Potenzreihe
entwickeln l¨
asst.
Die Menge aller analytischen Funktionen auf U bezeichnen wir mit
O(U) := {f : U C; f analytisch}.
1.1.3
Definition: ganze Funktion
Eine analytische Funktion f :
C - C heißt eine ganze Funktion. Beispiele
f¨
ur solche Funktionen sind die komplexe Exponentialfunktion und die kom-
4
1 Einleitung und Grundlagen
plexe Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Die auf
C definierten Polynomfunktionen
der Form
f(z) = a
n
z
n
+ . . . + a
1
z + a
0
, a
i
C, n N
sind ebenfalls ganze Funktionen.
Die ganzen Funktionen bilden einen Ring
O(C) mit
O(C) = {f : C - C; f analytisch}.
1.1.4
Definition: holomorph
Eine Funktion f : U
- C heißt holomorph, wenn U offen in C ist und f in
jedem Punkt von U komplex differenzierbar ist.
Bemerkung:
Es gilt: f analytisch
f holomorph. (vgl. [Lorenz 1997,
Kap. II, 2.1.2 und Kap. IV, 4.1.3])
1.1.5
Definition: Gebiet
Ein Gebiet in
C ist eine nichtleere offene und zusammenh¨angende Teilmenge
von
C.
1.1.6
Definition und Satz: Ordnung an der Stelle a
Gegeben seien ein Gebiet U und eine holomorphe Funktion f : U
- C
sowie ein a
U. Diese Funktion verschwinde in keiner Umgebung von a. Es
gibt dann ein k
N und eine analytische Funktion g : U - C mit
f(z) = (z - a)
k
g(z) in U, sowie g(a) = 0.
k und g sind hierdurch eindeutig bestimmt. Wir sagen dann, f sei von der
Ordnung k an der Stelle a und wir schreiben
ord
a
(f ) = k.
Im Falle von f (a) = 0 heißt ord
a
(f ) auch die Vielfachheit der Nullstelle a
von f . F¨
ur den Beweis vgl. [Lorenz 1997, Kap. IV, 4.3.1].
Bemerkung:
Sind f
1
, f
2
: U
- C holomorph, so gilt:
ord
a
(f
1
· f
2
) = ord
a
(f
1
) + ord
a
(f
2
).
5
1 Einleitung und Grundlagen
1.1.7
Definition: isolierte Singularit¨
at
Sei U
C offen und z
0
C. Ist dann f : U \ {z
0
} - C holomorph, so ist
z
0
eine isolierte Singularit¨
at von f .
Dieses z
0
ist zun¨
achst einmal nur eine Definitionsl¨
ucke von f . Das Entschei-
dende ist, dass es keine Folge von singul¨
aren Punkten von f gibt, die sich
gegen z
0
h¨
aufen, also, dass z
0
eine isolierte Definitionsl¨
ucke ist.
1.1.8
Definition: Pol
Eine isolierte Singularit¨
at a von f heißt Pol von f , wenn gilt
lim
za
f(z) = .
Diese Aussage ist in der erweiterten komplexen Ebene ^
C := C {} zu
begreifen. a = 0 ist zum Beispiel ein Pol von
1
z
.
1.1.9
Satz: Charakterisierung von Polen
Sei U ein Gebiet in
C und a U eine isolierte Singularit¨at der holomorphen
Funktion f : U
\ {a} - C. Dann sind ¨aquivalent:
(i) a ist Pol von f
(ii)
m N, sodass lim
za
(z
- a)
m
f(z) existiert und ungleich 0 ist.
(iii)
n N und h O(U) mit h(a) = 0 und
f(z) =
h(z)
(z
- a)
n
= (z
- a)
-n
h(z) auf U \ {a}.
Ist nun a ein Pol von f , so gilt m = n und m, n in (ii) und (iii) sind eindeutig.
Wir nennen n die Ordnung des Poles a von f und wir setzen
ord
a
(f ) =
-n.
F¨
ur den Beweis vgl. [Lorenz 1997, Kap. V, 5.1.3].
1.1.10
Definition: meromorphe Funktion
Sei U ein Gebiet in
C. Eine Abbildung f : U - ^C heißt eine meromorphe
Funktion, wenn folgende Bedingungen gelten:
6
1 Einleitung und Grundlagen
(i) Die Menge S
f
:=
{a U; f(a) = }, also die Menge der -Stellen von
f hat keinen H¨aufungspunkt. (Dies ist gleichbedeutend damit, dass S
f
diskret und abgeschlossen in U ist.)
(ii) Die Einschr¨
ankung von f auf U
\ S
f
ist holomorph. (U
\ S
f
ist wegen
(i) offen.)
(iii) Jedes a
S
f
ist ein Pol von f .
1.1.11
Definition: logarithmische Ableitung
Sei f = 0 und holomorph in einem Gebiet U . Dann ist
f (z)
f(z)
meromorph in U
und heißt logarithmische Ableitung von f .
1.1.12
Definition: periodische Funktion
Sei f eine meromorphe Funktion auf
C. Gibt es ein w C mit
f(z + w) = f(z) z C,
so nennen wir f eine periodische Funktion. Jedes w = 0 mit dieser Eigenschaft
nennen wir Periode von f . (Dabei interpretieren wir an den Polstellen von
f, dass " = "gilt.)
7
Häufig gestellte Fragen
Was besagt der Weierstraßsche Produktsatz?
Der Satz besagt, dass es zu jeder vorgegebenen Folge von komplexen Zahlen ohne Häufungspunkt eine ganze Funktion gibt, die genau an diesen Stellen ihre Nullstellen mit vorgegebener Vielfachheit hat.
Was ist eine ganze Funktion in der Mathematik?
Eine ganze Funktion ist eine komplexwertige Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene holomorph (komplex differenzierbar) ist.
Was ist die Weierstraßsche Sigma-Funktion?
Die Sigma-Funktion ist eine spezielle ganze Funktion, die bei der Untersuchung elliptischer Funktionen eine zentrale Rolle spielt und aus dem Produktsatz hergeleitet werden kann.
Welche Arten von Konvergenz werden bei unendlichen Produkten unterschieden?
Die Arbeit definiert normale Konvergenz, absolute Konvergenz sowie gleichmäßige und kompakte Konvergenz für unendliche Produkte komplexer Zahlen und Funktionen.
Warum war Weierstraß' Entdeckung im 19. Jahrhundert so bedeutend?
Sie ermöglichte es Mathematikern, neue Funktionen mit beliebig gewählten Nullstellen zu konstruieren, was den damaligen Vorrat an bekannten Funktionen grundlegend erweiterte.
Was versteht man unter einer meromorphen Funktion?
Eine meromorphe Funktion ist eine Funktion, die in einem Gebiet holomorph ist, bis auf isolierte Polstellen.
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- Jessika Wedemeyer (Autor:in), 2012, Der Weierstraßsche Produktsatz und die Weierstraßsche Sigma-Funktion, München, Page::Imprint:: GRINVerlagOHG, https://www.diplomarbeiten24.de/document/233388
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