1. Problemstellung
1.1. Themenfindung und Bezug zu den Inhalten der Ausbildung
1.2. Bezug zu den Ausbildungsstandards
1.3. Leitfragen und Zielvorstellungen
2. Unterrichtspraxis
2.1. Planung der Unterrichtseinheit
2.1.1. Unterrichtliche Voraussetzungen
2.1.2. Vorstellung des Unterrichtsgegenstandes
2.1.3. Didaktische Überlegungen und Entscheidungen
2.1.4. Methodische Überlegungen und Entscheidungen
2.1.5. Verlaufsplan
2.2. Ausgewählte Aspekte des Unterrichtsgeschehens
2.2.1. Arbeit in den Expertengruppen
2.2.2. Arbeit in den Unterrichtsgruppen
3. Evaluation und persönliches Resümee
3.1. Evaluationsverfahren
3.2. Evaluationsergebnisse
3.2.1. Ergebnisse und Auswertung der Evaluationsbögen
3.2.2. Ergebnisse und Auswertung der Klassenarbeit
3.3. Schlussfolgerungen und persönliches Resümee
4. Quellenverzeichnis
4.1. Literatur
4.2. Lehrbücher und Aufgabensammlungen
5. Anhang
Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit beschäftigte sich mit der Makromethode „Lernen durch Lehren“ (LdL) im Mathematikunterricht einer achten Klasse an einem Gymnasium. Zur Durchführung der Einheit wurde als Sozialform das Gruppenpuzzle verwendet1. Das bedeutet, dass die Schülerinnen und Schüler (SuS) sich selbständig in Kleingruppen ein Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme (LGS) erarbeiten, ein eigenes Arbeitsblatt dazu vorbereiten und den anderen SuS ihr Verfahren erklären bzw. sich erklären lassen sollten.
Die Idee, die SuS in den Lehr- und Lernprozess auf Seiten der Lehrenden miteinzubinden, wurde mir bereits im Grundlagenmodul GY-MAT-G am 01.09.2010 von Herr Hormann vermittelt. Dabei wurde mir deutlich, dass diese Methode immer wieder im Unterrichtsalltag zur Anwendung kommt, beispielsweise wenn die SuS ihren Mitschülern eine Aufgabe oder eigene Ideen an der Tafel erläutern. Bereits hierbei handelt es sich um eine durch die SuS ausgeführte Lehrtätigkeit. Außerdem wurde in diesem und in den folgenden Mathematikmodulen immer wieder auf die Sozialform des Gruppenpuzzles verwiesen, bei dem sich die SuS in Expertengruppen bestimmte Inhalte erarbeiten und danach in ihren Stammgruppen erklären. Das Gruppenpuzzle basiert auf der Idee, dass ein nachhaltiges Lernen vor allem dann gelingt, wenn man sein Wissen anderen erklären kann und damit die eigenen fachlichen Kompetenzen in einer praktischen Anwendung erproben kann2. In den Mathematikmodulen blieb die Sozialform aber meistens nur auf einen kleinen Themenbereich im Rahmen einer (Doppel)Stunde beschränkt.
In den Pädagogikmodulen fiel mir auf, dass vor allem die Fremdsprachenlehrer LdL nutzen, da hierbei die aktive Nutzung der Fremdsprache ein wesentliches Merkmal der Unterrichtsgestaltung ist3. In meinen Augen ist aber auch die Verwendung der Fachsprache im Unterrichtsfach Mathematik ein wesentliches, nicht zu vernachlässigendes, Merkmal. Die endgültige Entscheidung, LdL auch im Rahmen einer kompletten Unterrichtseinheit im Mathematikunterricht zu nutzen, folgt aus dem Pädagogikmodul A-GY-PAE-0022 am 21.09.2011 bei Herr Gidl-Kilian. Hier wurden die Makromethoden vorgestellt, so dass ich mich schwerpunktmäßig mit LdL in einem allgemeinen Rahmen beschäftigen konnte. Ich habe festgestellt, dass das LdL-Konzept nach Jean Pol Martin in seiner ursprünglichen Idee zwar die Planung und Durchführung einer Schulstunde vorsieht, eine Änderung dieser Struktur jedoch möglich ist, ohne das LdL-Prinzip zu verletzen4. Daher entschied ich mich dafür, LdL als Methode für die selbständige Erarbeitung von rechnerischen Lösungsverfahren bei LGS zu nutzen.
Die Planung, Durchführung und Evaluation dieser Unterrichtseinheit orientierte sich an den allgemeinen Ausbildungsstandards (AAS), welche für alle Lehrkräfte im Vorbereitungsdienst in Schleswig-Holstein gelten5. Viele der AAS spielen im Prinzip bei jeder Unterrichtseinheit eine wichtige Rolle6. Daher sollen hier nur einige hervorgehoben werden, die von besonderer Bedeutung für diese Einheit waren. Die SuS erarbeiteten sich die einzelnen Lösungsverfahren für LGS selbständig in Kleingruppen und entwickelten ein Arbeitsblatt relativ frei mit nur wenigen Vorgaben von Seiten der Lehrkraft. Hierbei hatten sie auch die Möglichkeit, sich die Zeit frei einzuteilen und Arbeit mit in die unterrichtsfreie Zeit zu nehmen (AAS 5). Durch die Gestaltung des Arbeitsblattes, die Präsentation des eigenen Verfahrens in Kleingruppen, die Hilfeleistung bei Problemen und die Möglichkeit, selbst Hausaufgaben zu stellen, wurden die SuS aktiv in die Gestaltung des Unterrichtes miteinbezogen (AAS 6). Des Weiteren wurden die Expertengruppen soweit es möglich war leistungshomogen zusammengestellt, um den Schwierigkeitsgraden der einzelnen Lösungsverfahren gerecht zu werden. Auf diese Art und Weise wurden unterschiedliche Voraussetzungen und Kompetenzen der SuS berücksichtigt (AAS 7).
Die genannten Aspekte und der eigenverantwortliche Unterricht hatten zur Folge, dass die Lernkompetenzen (Sach-, Methoden-, Selbst- und Sozialkompetenz) der SuS gefördert und gefordert wurden (AAS4 und AAS 29)7. Zusätzlich trugen die SuS Verantwortung für den eigenen Lernprozess, indem ihnen bewusst war, dass sie sich nicht nur in den Expertengruppen ein Verfahren selbständig erarbeiten sollten, sondern in den Unterrichtsgruppen die anderen Mitglieder auf ihre Erklärungen angewiesen waren (AAS 30 und AAS 20)8.
Neben den AAS wurden auch die fachspezifischen Ausbildungsstandards (FAS) berücksichtigt9. Bei der Planung der Unterrichtseinheit wurden die in den Bildungsstandards genannten Leitideen und Kompetenzen beachtet (FAS 1 und FAS 3). Zusätzlich führten die Vorbereitung von Übungsaufgaben und die Lehrtätigkeit der SuS dazu, dass die SuS dazu aufgefordert wurden, ihre Lösungswege und Ergebnisse von Aufgaben kritisch und verantwortungsbewusst zu reflektieren (FAS 5).
Thematisch standen die rechnerischen Lösungsverfahren bei LGS im Mittelpunkt dieser Unterrichtseinheit. Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss wurden in den Zielvorstellungen berücksichtigt10. Am Ende der Einheit sollten die SuS die verschiedenen rechnerischen Lösungsverfahren für LGS kennen und anwenden können. Sie sollten auch aus einfachen inner- und außermathematischen Situationen LGS aufstellen und ihre Lösungsmenge im Zusammenhang interpretieren können. Damit stand die Entwicklung der inhaltsbezogenen Kompetenzen unter der „Leitidee 1: Zahl und Operationen“ im Vordergrund. Gleichzeitig sollten aber auch die prozessbezogenen Kompetenzen „Mathematisch Argumentieren“ (K1), „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“ (K5) und „Kommunizieren“ (K6) gefördert werden.
Zur Erläuterung ihrer Verfahren mussten die SuS an einem Beispiel das Vorgehen beschreiben und begründen. Zusätzlich mussten sie bei Rückfragen jederzeit mathematisch argumentieren können (K1). Bei der Entwicklung des Arbeitsblattes, aber auch bei der Bearbeitung der Aufgaben der Mitschüler mussten sie mit Gleichungen arbeiten und die Lösungsverfahren anwenden können (K5). Vor allem die prozessbezogene Kompetenz „Kommunizieren“ nahm in dieser Unterrichtseinheit eine entscheidende Rolle ein. Schließlich mussten die SuS in der Lage sein, ihre Lösungsverfahren zu erklären, aber auch die Erklärungen ihrer Mitschüler zu verstehen.
In der Fachliteratur wird immer wieder erwähnt, dass die von mir gewählte Methode LdL verschiedene Vorteile mit sich bringt. Hierzu gehören die stärkere Aktivierung der SuS und bessere Lernergebnisse dieser als im fremdgesteuerten (durch den Lehrer) Unterricht11. Vor allem liegt die Stärke von LdL im motivations- psychologischen Bereich. Die Möglichkeit, anderen SuS einen neuen Stoff zu vermitteln und zu erklären, ist eine besondere Herausforderung, die die SuS gerne annehmen12. Daraus ergab sich die folgende Hauptleitfrage, die im Rahmen der Unterrichtseinheit untersucht wurde:
Wirkt sich die Methode LdL bei rechnerischen Lösungsverfahren bei Linearen Gleichungssystemen positiv auf die Motivation und das Verständnis der SuS aus?
Direkt in diesem Zusammenhang sollten noch zwei Nebenleitfragen evaluiert werden, die sich aus der Hauptleitfrage ergaben oder von Interesse für weitere Überlegungen zur Gleichungslehre in der Schule waren13:
Welche Teilaspekte von LdL (selbständige Erarbeitung des Themas, Vorbereitung eines Arbeitsblattes, Lehren des Themas, Verständnis des durch die Mitschüler vermittelten Stoffes) spielen bei der Erarbeitung der rechnerischen Lösungsverfahren bei LGS eine Rolle?
Welches Lösungsverfahren bei LGS wird aus welchen Gründen von den SuS bevorzugt?
Im folgenden Abschnitt wird die der Unterrichtseinheit zugrunde liegende Planung beschrieben. Dabei gehe ich auf unterrichtlichen Voraussetzungen und den Fachgegenstand ein. Das Konzept der Einheit wird mit Hilfe der didaktischen und methodischen Überlegungen und eines Verlaufsplanes vorgestellt.
Die Klasse 8b setzt sich aus 19 Schülerinnen und 9 Schülern zusammen. Die Geschlechter sind relativ gleich über das Leistungsspektrum verteilt. Ich unterrichte die Klasse bereits im zweiten Schuljahr eigenverantwortlich im Fach Mathematik. Es handelt sich um eine stark heterogene Lerngruppe mit einer großen Leistungsspitze von sechs SuS, von denen drei zwar regelmäßig sehr gute schriftliche Leistungen bringen und gute Gruppenarbeitsergebnisse liefern, sich jedoch mit mündlichen Beiträgen zurückhalten. Die Leistungsspitze entwickelt auch oft eigene Lösungswege und fordert von Zeit zu Zeit etwas kompliziertere Aufgabenstellungen. Nur wenige SuS können sich an einzelnen Aufgaben „festbeißen“. Der Großteil gibt schnell auf, wenn der Lösungsweg nicht sofort ersichtlich ist und probiert nur selten unterschiedliche Strategien aus. Daher haben die meisten SuS oft Probleme mit offenen Fragestellungen, bei denen das Vorgehen nicht sofort klar wird. In diesen Fällen nehmen viele SuS eine negative Einstellung zum Mathematikunterricht ein.
Ein Großteil der Klasse ist aber trotzdem regelmäßig am Unterrichtsgespräch beteiligt. Es existiert eine große Gruppe bestehend aus sieben SuS, die vor allem schriftlich regelmäßig mangelhafte Leistungen liefern. Zwei davon haben in allen Schulfächern große Schwierigkeiten und werden voraussichtlich in nächster Zeit die Schulform wechseln. Bei den übrigen hat sich gezeigt, dass vor allem in den mathematischen Grundlagen große Lücken vorliegen, die sie bereits aus der Unterstufe mitgebracht haben. Sie können zwar die neuen Themen nachvollziehen und ihre Note durch ihre ausreichende mündliche Beteiligung oft leicht verbessern, jedoch zeigt sich in den Klassenarbeiten, dass immer wieder die gleichen Schwierigkeiten auftauchen14. Verstärkt wird dieses Problem zusätzlich durch die oft fehlenden Hausaufgaben. Auf diese Probleme habe ich die SuS und ihre Eltern bereits mehrmals hingewiesen und auch extra Übungsaufgaben angeboten. Ich befürchte jedoch, dass die SuS vor allem jetzt in der Pubertät sich nicht die Zeit dafür nehmen.
Eine Klassengemeinschaft ist sehr stark ausgeprägt. Gruppenarbeiten sind in allen Konstellationen möglich, da fast jeder in den Gruppen seine Arbeit leistet und gut mitarbeitet. Trotzdem lässt sich feststellen, dass seit Beginn dieses Schuljahres die Aufmerksamkeit der Klasse deutlich nachgelassen hat. Auch in den anderen Fächern taucht dieses Phänomen auf, was sich sicherlich zu einem großen Teil auf das Alter der SuS zurückführen lässt. Im Mathematikunterricht konnte ich feststellen, dass die SuS einen Bezug zur Realität fordern und bei solchen Aufgaben konzentrierter arbeiten als bei innermathematischen Fragestellungen. Bei innermathematischen Aufgaben muss den SuS immer wieder klargemacht werden, welchen Nutzen sie davon haben, was sicherlich aus SuS-Sicht nachvollziehbar ist. Des Weiteren haben viele SuS Probleme beim Erläutern von mathematischen Prozessen und Lösungswegen, obwohl sie entsprechende Aufgaben richtig gelöst haben. Hier werden die Fachausdrücke oft fehlerhaft verwendet oder die SuS verzichten gänzlich auf diese.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten15 16
Jedes Zahlenpaar ሺݔଵȁݔଶሻ, dessen Zahlen die erste und gleichzeitig die zweite Gleichung des Gleichungssystems erfüllen, ist eine Lösung dieses Gleichungssystems. Solche LGS mit zwei Variablen haben keine, eine oder unendlich viele Lösungen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Lösungsmenge eines solchen LGS zu bestimmen. Hierfür sind oft elementare Zeilenumformungen nötig. Zu den Zeilenumformungen gehören die Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl (außer der 0) und die Addition einer Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten einer Gleichung. Damit wird zwar das LGS verändert, jedoch nicht die Lösungsmenge selbst17.
Zu jeder linearen Gleichung gehört eine Gerade im Koordinatensystem, so dass sich durch das Zeichnen der beiden Graphen eine Lösung ablesen lässt (Graphisches Lösungsverfahren). Oft lassen sich damit aber nur Näherungswerte bestimmen. Rechnerische Lösungsverfahren liefern dagegen exakte Ergebnisse. So können beide Gleichungen durch elementare Zeilenumformungen nach einer gemeinsamen Variable (oder nach einem gemeinsamen Term) aufgelöst werden und durch Gleichsetzen in eine Gleichung mit einer Variablen umgeformt werden (Gleichsetzungsverfahren). Es ist auch möglich, nur eine Gleichung nach einer Variablen (oder nach einem Term) aufzulösen und in die andere Gleichung einzusetzen (Einsetzungsverfahren). In beiden Fällen entsteht eine Gleichung mit einer Variablen. Die dritte Möglichkeit ist, eine oder beide Gleichungen so umzuformen, dass die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen voneinander sind. Durch Addition der Terme ergibt sich eine Gleichung mit nur einer Variablen (Additionsverfahren). Ziel der drei Verfahren ist es jeweils, aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, eine Gleichung mit einer Variablen zu erzeugen, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Somit kann eine Variable direkt bestimmt werden und die zweite folgt durch Einsetzen der errechneten Variable in eine der beiden Gleichungen.
Der Lehrplan für die Sekundarstufe I der Gymnasien in Schleswig-Holstein schreibt für die Klassenstufe 8 das Thema Lineare Funktionen und Lineare Gleichungssysteme als siebenwöchige Unterrichtseinheit vor. Zu den verbindlichen Inhalten gehört das Lösen von LGS mit Hilfe von graphischen und rechnerischen Lösungsverfahren18. In den Fachanforderungen für das Fach Mathematik wird konkretisiert, dass mindestens zwei der vier Lösungsverfahren (graphisches Verfahren, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, und Additionsverfahren) behandelt werden sollen19. Nach dem schulinternen Fachcurriculum der Fachschaft Mathematik an der Immanuel-Kant-Schule ist die Behandlung des graphischen, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahrens verpflichtend.
Ich habe mich dafür entschieden, das Additionsverfahren aus verschiedenen Gründen nicht zu vernachlässigen. Zum einen bedient sich der Gaußsche Algorithmus, der in der Linearen Algebra in der Oberstufe und vor allem in den neueren Schulbüchern eine wichtige Rolle spielt, des Additionsverfahrens20. Spätestens zu diesem Zeitpunkt müssen die SuS das Prinzip hinter dem Additionsverfahren verstanden haben. Zum anderen bieten sich einige LGS direkt für die Anwendung eines Verfahrens an, ohne dass elementare Zeilenumformungen notwendig sind. Vor allem für die leistungsstärkeren SuS, die es in dieser Klasse in einer relativ großen Zahl gibt21, ist das Erkennen, welches Verfahren den schnelleren Lösungsweg bietet, eine wichtige und von ihnen geforderte Fähigkeit. Nach Rücksprache in der Fachschaft habe ich zusätzlich festgestellt, dass bei LGS, bei denen kein Verfahren ohne Zeilenumformungen anwendbar ist, jeder Kollege seine eigenen Favoriten bei den Lösungsverfahren hat. Das Additionsverfahren wurde hierbei oft genannt. Daher möchte ich den SuS die Möglichkeit geben, ein Verfahren für sich selbst zu finden, mit welchem sie am besten zurechtkommen.
Die Behandlung von LGS und damit ihrer Lösungsverfahren ist von besonderer Bedeutung für die SuS für den folgenden Mathematikunterricht und für ihren Alltag. In der 8. Klassenstufe werden die Grundlagen für das Verständnis dieses „zentralen Mathematisierungsmusters“22 gelegt. Mit der Hilfe von LGS können vielfältige innermathematische Probleme gelöst werden. So tauchen die Lösungsverfahren im Zusammenhang mit der Berechnung von Ebenen, Geraden und ihren Schnittgebilden in der Oberstufe auf. Außerdem kann bereits mit diesen einfachen Verfahren, und später mit dem Gaußschen Algorithmus, den SuS die Idee, die hinter einem Algorithmus steht, vermittelt werden. Die SuS führen systematisch Lösungsschritte durch und nähern sich damit einem Ziel. Des Weiteren wurde bereits im Rahmen dieser Unterrichtseinheit den SuS deutlich gemacht, dass sich außermathematische Situationen mit LGS modellieren und mit Hilfe der Lösungsverfahren lösen lassen, beispielsweise einfache Mischungsprobleme23.
Die hier beschriebene Unterrichtseinheit zu den rechnerischen Lösungsverfahren war in eine große Einheit zum Thema LGS eingebettet. Den SuS waren die Linearen Funktionen und ihre Eigenschaften bereits bekannt und sie konnten Gleichungen mit einer Variablen lösen. Ausgehend von Anwendungsbeispielen, bei denen eine bestimmte Bedingung erfüllt werden musste, hatten die SuS Lineare Gleichungen der Formܿ kennengelernt. Sie stellten fest, dass jede Lösung der Gleichung ein Zahlenpaar ist und es in der innermathematischen Betrachtung unendlich viele Lösungen gibt. Die Möglichkeit, die Lösungen mit Hilfe einer Linearen Funktion darzustellen, wurde gemeinsam behandelt. Anhand von weiteren praktischen Beispielen aus dem Alltag wurde eine zweite Bedingung eingeführt, die ebenfalls erfüllt werden musste. Damit lernten die SuS LGS kennen.
[...]
1 Nach der Definition von Wolfgang Mattes handelt es sich bei der Sozialform in dieser Unterrichtseinheit um das Gruppenmixverfahren, da auf die erste Stammgruppenphase verzichtet wird. Vgl.: Mattes: Methoden, S. 82f. Da in der Literatur Mattes der einzige ist, der hierfür eine neue Bezeichnung einführt, verzichte ich jedoch auf diese Trennung und nenne die benutzte Sozialform analog zu Barzel u.a.: Methodik, S. 96-103 auch Gruppenpuzzle.
2 Mattes: Methoden, S. 184.
3 Vgl.: Meyerhöfer: Überlegungen, S. 170. Zusätzlich wiederholen sich im Fremdsprachenunterricht die Unterrichtsformen oft, so dass die SuS den Unterricht schnell selbst gestalten können. Laumeyer: Lernen, S. 180.
4 Die Beteiligung der SuS an der Lehre ist in verschiedensten Formen möglich. Vgl.: Bastian: Lernen durch Lehren, S. 9.
5 IQSH: Vorbereitungsdienst, S. 5-8.
6 Z.B.: AAS1: Die Lehrkraft i.V. plant mittelfristig Unterricht unter Berücksichtigung der Lehrpläne, AAS 2: Die Lehrkraft i.V. plant Unterricht im Kontext von Unterrichtseinheiten, u.v.m.
7 Durch die Methode LdL kann ein Zuwachs in den vier Lernkompetenzen erwartet werden. Vgl.: Mattes: Methoden, S. 19.
8 Zur Übernahme der Verantwortung in einem Lehr-Lern-Arrangement durch die SuS und damit der Erwerb einer aktiven Haltung im didaktischen Arrangement siehe auch: Bastian: Lernen durch Lehren, S. 8.
9 IQSH: Grundlagen, S. 24.
10 Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister: Bildungsstandards. 3
11 Vgl.: Graef/Preller: LdL, S. 10, Mattes: Methoden, S. 185 und Meyer: Merkmale, S. 83.
12 Laumeyer: Lernen, S. 182.
13 Vgl.: Abschnitt 2.1.3. dieser Arbeit.
14 Eklatante Fehler tauchen beispielsweise im Rechnen mit Brüchen und mit rationalen Zahlen auf. 5
15 Weitere Darstellungsformen siehe: Klika u.a.: Mathematikunterricht, S. 34.
16 Gleichungssysteme, die sich durch elementare Zeilenumformungen auf dieses Gleichungssystem zurückführen lassen, sind hier mit eingeschlossen.
17 Vgl.: Klika u.a.: Mathematikunterricht, S. 35. Hier werden nur die Lösungsverfahren vorgestellt, die in einer 8. Klasse behandelt werden.
18 Ministerium für Bildung: Lehrplan, S. 66.
19 Ministerium für Bildung: Fachanforderungen, S. 10.
20 Vgl.: Klika u.a.: Mathematikunterricht, S. 33-36 und S. 101.
21 Siehe Abschnitt 2.1.1. dieser Arbeit.
22 Vgl.: Klika u.a.: Mathematikunterricht, S. 57 f.
23 Vgl.: Klika u.a.: Mathematikunterricht, S. 105-107 und S, 171-173. 7
