Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
1 Einleitung
2 Renditen und ihre Charakteristiken
2.1 Diskrete und stetige Renditen
2.2 Stilisierte Fakten zu Renditen
3 Lineare Zeitreihenanalyse
3.1 Stochastische Prozesse und lineare Filter
3.1.1 Stationarität und Ergodizität
3.1.2 Lineare Filter und allgemeine lineare Prozesse
3.2 Einführung in ARIMA-Modelle
3.2.1 Autoregressive Prozesse
3.2.2 Moving-Average-Prozesse
3.2.3 ARMA-Prozesse und ARIMA-Prozesse
3.3 Anpassung von ARIMA-Modellen
3.3.1 Modellidentifikation
3.3.2 Parametersehätzung
3.3.3 Modelldiagnose
4 Volatilitätsanalyse
4.1 Struktur und Aufbau eines Volatilitätsmodells
4.1.1 Modellanpassung
4.1.2 Test auf bedingte Heteroskedastizität
4.2 ARCH-Prozesse
4.3 GARCH-Prozesse und Abwandlungen
4.3.1 Definition und Eigenschaften
4.3.2 Spezifikation eines GARCH-Modells
4.3.3 GARCH-in-the-Mean
4.3.4 Asymmetrische GARCH-Modelle
4.4 Stochastische Volatilität
4.4.1 Definition und Eigenschaften
4.4.2 Parametersehätzung
5 Praktische Anwendungen
5.1 Modellierung des DAX
5.2 Modellierung des Euro/US-Dollar-Kurses
5.3 Modellierung des Goldkurses
5.4 Vergleich der empirischen Ergebnisse
6 Fazit und Ausblick
A Anhang: Zeitreihenanalyse in R
A.l Prozess-Simulationen
A.2 Datenaufbereitung der Renditen
A.3 Visualisierung
A.4 Modellierung der Renditen
Literatur- und Quellenverzeichnis
Sachregister
2.1 DAX-Tagesrenditen: Renditeverlauf
2.2 DAX-Tagesrenditen: Quantil-Quantil-Plot
2.3 DAX-Tagesrenditen: Autokorrelationsfunktion
4.1 ARCH(1)-Zeitreihe 3)-Zeitreihe 1,1)-Zeitreihe
4.4 Zeitreihe mit stoehastiseher Volatilität
5.1 DAX-Tagesrenditen: ACF der Renditequadrate
5.2 DAX-Tagesrenditen: PACF der Renditequadrate
5.3 DAX-Tagesrenditen: Angepasster GARCH-Prozess
5.4 DAX-Tagesrenditen: ACF der Residuenquadrate
5.5 DAX-Tagesrenditen: Quantil-Quantil-Plot der Residuen
5.6 Tagesrenditen Euro/USD: Renditeverlauf
5.7 Tagesrenditen Euro/USD: ACF der Renditen
5.8 Tagesrenditen Euro/USD: ACF der Renditequadrate
5.9 Tagesrenditen Euro/USD: Angepasster GARCH-Prozess
5.10 Tagesrenditen Euro/USD: ACF der Residuenquadrate
5.11 Tagesrenditen Euro/USD: Quantil-Quantil-Plot der Residuen
5.12 Gold-Tagesrenditen: Renditeverlauf
5.13 Gold-Tagesrenditen: ACF der Renditen
5.14 Gold-Tagesrenditen: ACF der Renditequadrate
5.15 Gold-Tagesrenditen: Angepasster GARCH-Prozess
5.16 Gold-Tagesrenditen: ACF der Residuenquadrate
5.17 Gold-Tagesrenditen: Quantil-Quantil-Plot der Residuen
3.1 Stoehastiseher Prozess
3.2 ESACF-Tabelle
5,1 DAX-Tagesrenditen: ESACF-Tabelle
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Die Analyse von Finanzzeitreihen ist empirisch ausgeprägt, jedoch bietet die Theorie genauso wie in anderen wissenschaftlichen Gebieten eine Grundlage fiir statistische Inferenz, Finanzzeitreihen unterscheiden sieh dabei von anderen Zeitreihen vor allem durch folgendes Merkmal: Sie beinhalten Unsicherheit,[1] Um Vorhersagen über die Preisentwicklung von Finanztiteln zu treffen, analysieren nach wie vor viele Ökonomen historische Daten, Bis heute etablierte sieh jedoch kein festes Modell, mit dem man auf Dauer zukünftige Preise von Finanzzeitreihen prognostizieren könnte. In den letzten Jahrzehnten wurde Finanzzeitreihen, besonders Aktienkursen, eine Eigenschaft nachgewiesen, deren Erklärung im Hinblick auf die Optionsbewertung und Schätzung des Marktrisikos von großer Bedeutung ist[2]: das Auftreten von Phasen mit niedrigen und hohen Ausschlägen innerhalb eines gewissen Zeitraums, das unter dem Begriff „Volatilitätscluster“[3] zusammengefasst werden kann,
Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, wie das Phänomen der Volatilitätscluster sowie weitere empirische Eigenschaften von Finanzzeitreihen mit Hilfe stochastischer Prozesse modelliert werden kann. Ein Einstieg in den Begriff der Rendite sowie eine Liste stilisierter Fakten zu Renditen finden sieh in Kapitel 2, Grundlagen zu stochastischen Prozessen und deren Sehätzbarkeit werden in Kapitel 3 behandelt. Hier werden zudem spezielle lineare Prozesse (ARIMA-Prozesse) vorgestellt und einzelne Schritte zur Anpassung dieser an vorliegende Zeitreihen gegeben. Zur Erklärung volatiler Renditezeitreihen wird in Kapitel 4 eine Modellgleichung besprochen, die lineare Prozesse mit bedingter Heteroskedastizität, d, h, mit einer variablen bedingten Varianz, verknüpft. Im weiteren Verlauf werden einzelne Volatilitätsmodelle (ARCH-, GARCH-Prozesse, stochastische Volatilität) vorgestellt. Dabei soll untersucht werden, wie sie die beschriebenen Eigenschaften von Renditen abbilden können, In Kapitel 5 werden die Modelle auf ausgewählte empirische Finanzzeitreihen wie die DAX-Tagesrenditen oder den Goldkurs angewandt und auf ihre Adäquatheit hin überprüft. Am Ende werden in Kapitel 6 die Ergebnisse zusammengefasst und ein Ausblick über Anwendungsmöglichkeiten der Modelle gegeben.
Für das Verständnis der Arbeit sind Grundkenntnisse aus der Stochastik und der Zeitreihenanalyse erforderlich. Einen Einstieg geben Schlittgen (2008) sowie Elpelt/Hartung (2004), Alle in der Arbeit verwendeten Grafiken wurden eigenhändig mit der Statistik-Software R 2,12 in Windows 7 erstellt.
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden zeitabhängige Renditen als beschreibende Größe von Finanzzeitreihen vorgestellt und deren mathematische Eigenschaften analysiert. Die hierbei verwendeten Definitionen und Herleitungen sind aus Schmid/Trede (2006), Kap, 1, entnommen. Darauffolgend werden empirische Eigenschaften von Renditen beschrieben und anhand einer beispielhaften Finanzzeitreihe untersucht. Zuletzt wird auch der Frage nach der Vorhersehbarkeit zukünftiger Renditen unter dem Gesichtspunkt der Informationseffizienz von Märkten nachgegangen.
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Renditen beschreiben prozentuale Veränderungen der Preise von Finanztiteln, beispielsweise von Aktienkursen, -indizes oder Wechselkursen, Für Preise Pt und Perioden t = 0,sind diskrete Renditen Rt für t = wie folgt definiert:
Bildet man die Rendite über mehrere Perioden, etwa von G bis t2, so gilt
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Wegen Pt > 0 folgt aus Definition (2,1) —1 < Rt < ж. Ein Vorteil dieser Renditedefinition ist, dass sieh die Rendite eines Portfolios aus der gewichteten Summe der Renditen der einzelnen Wertpapiere ergibt: Es bezeichne Piyt den Preis und n die Anzahl einer Aktie г in einem Portfolio zum Zeitpunkt t. Der Kurs des Portfolios ist gegeben durch X)™=1 uiPi,t, wobei die einzelnen Aktien eine Gewichtung von
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im Portfolio haben. Für die Rendite Rt des Portfolios gilt somit
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Eine alternative Definition zu (2,1) ist die stetige Rendite
für t = 1 die sich über eine Taylor-Approximation erster Ordnung der Funk
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Für kurze Zeiträume mit geringen Preisveränderungen kann der hintere Fehlerterm vernachlässigt werden. Die Renditedefinition (2,3) wird in der Praxis häufig der Definition (2,1) vorgezogen, da sich die stetige Rendite über mehrere Perioden von ti bis t2 als Summe über die stetigen Renditen der einzelnen Perioden ergibt:
Außerdem hat die stetige Rendite gegenüber der diskreten den Vorteil, dass sie beliebige Werte annehmen kann. Die empirische Verteilung von rt hat keinen endlichen Träger und kann somit leichter als Realisation gängiger Verteilungen erklärt werden. Für die stetige Rendite rt eines Portfolios gilt eine analoge Gleichung zu (2,2) jedoch nur approximativ. Man erhält durch Xachrechnen den exakten Zusammenhang
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Spielt die Portfoliobildung gegenüber dem Zeitreihenaspekt eine größere Rolle, so wird auf die Renditedefinition (2,1) zurückgegriffen.
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Dass die statistische Untersuchung von Renditen der Untersuchung von Preisen vorgezogen wird, hat verschiedene Gründe, Zuerst ist festzuhalten, dass Renditen und Preise den gleichen Informationsgehalt besitzen. Offensichtlich lässt sich der Renditeverlauf aus dem Preisverlauf konstruieren. Umgekehrt kann man auch den Preisverlauf aus den Renditen R1,...,RT und einem Start preis P0 bilden. Es gilt nämlich für t = 1,...,T der Zusammenhang
Renditen besitzen jedoch eine höhere Vergleichbarkeit als Preise, da sie als relative Werte skalierungsunabhängig sind. Ferner sind sie auf Grund der zuvor beschriebe- non statistischen Eigenschaften einfacher zu handhaben,[4] [5]
Zu beachten ist, dass in den beiden vorgestellten Renditedefinitionen mehrere ökonomische Aspekte wie Inflation, Transaktionskosten oder Steuern vernachlässigt werden. Des Weiteren müssen Renditen im Zeit verlauf auf Grund von technisch bedingten Veränderungen immer wieder angepasst werden. So ergibt sich beispielsweise ein Aktienkurs Pt nach Dividendenzahlungen D zu PtEX = Pt — D. Um die Renditen ohne solch unerwünschte Effekte modellieren zu können, ist es nötig, entweder den Preis nach einem gegebenen Ereignis zu bereinigen oder die technisch bedingten Veränderungen bei allen vorherigen Preisen zu berücksichtigen. Eine Liste von Kursbereinigungsfaktoren wichtiger Ereignisse findet sich bei Schmid/Trede°,
In der Empirie lassen sich Gemeinsamkeiten zwischen Finanzzeitreihen beobachten, die vor allem die empirische Verteilung der Rendite betreffen. Solche nicht theoretisch fundierte, aber immer wieder beobachtbare Phänomene werden auch „stilisierte Fakten“ genannt. Eine Liste stilisierter Fakten über Vorteilungseigenschaften von Renditen findet sich bei Cont (2001), Hier einige Beispiele:
- Das Fehlen von Autokorrelationen: Mit Ausnahme von kurzfristigen Renditeverläufen innerhalb eines Tages scheinen Autokorrelationen oft insignifikant,
- „Heavy Tails“: Extreme Werte sind bei empirischen Renditeverteilungen häufiger zu beobachten als bei Realisationen von normalverteilten Zufallsgrößen,
- Volatilitätscluster: Große Schwankungen in den Finanzzeitreihen treten häufig in Clustern auf. Dies wird durch autokorrelierte Maße von Volatilität bestätigt,
- Leverage-Effekt: Die Volatilitätsmaße sind größtenteils negativ korreliert zu den Renditen,
- Asymmetrie der Verteilungsfunktion: In Renditezeitreihen von Aktienpreisen und -indizes sind große negative Werte häufiger zu beobachten als große positive Werte,
Einige der genannten Eigenschaften sollen beispielhaft an einer Zeitreihe von Tagesrenditen des Deutschen Aktienindex untersucht werden, Abb, 2,1 zeigt den Verlauf der stetigen Rendite des Schlusskurses vom 02,01,2001 bis 31,12,2010,[6]
Es sind Phasen mit geringen Sehwanknngen und Phasen mit teils heftigen Aussehlä- gen zu erkennen. In Abb, 2,2 sind die Quantile der empirisehen Verteilung der Renditen den Quantilen von normal verteilten Zufallsvariablen gegenübergestellt, Extreme Werte treten bei Renditen häufiger auf als bei normalverteilten Zufallsvariablen, Eine Asymmetrie der Verteilungsfunktion ist in diesem Beispiel nicht erkennbar, Abb, 2,3 zeigt, dass sich Autokorrelationen mehrerer Lags τ > 0 leicht außerhalb des Konfidenzbereiehes um Null zu einem Niveau von 95% befinden. In dem betrachteten Zeitraum scheinen DAX-Tagesrenditen schwach autokorreliert zu sein.
Die Unkorreliertheit der Renditen ist eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit der mittelstarken Effizienzmarkthypothese. Diese besagt, dass alle öffentlichen Informationen in den Preisen eingespeist sind und als Konsequenz keine Vorhersagen von Renditewerten auf Basis einer Fundamentalanalyse getroffen werden kön- non.' Eine Gegenbewegung zu den Verfechtern der Effizienzmarkthypothese bilden die Vertreter des Behavorial Finance, die eine größere Abhängigkeit der Marktpreisentwicklung von der Psychologie der Marktteilnehmer sehen. Einige empirisch nachgewiesene Verhaltensweisen finden sieh bei Gertmenian/Chuvakhin (2002). Beispielsweise würden Investoren tendenziell ihren Vorhersagen zu sehr vertrauen, obwohl diese in der Realität weniger eintreffen, und ihre Entscheidungen könnten vom Status quo, d. h. von dem Preis des Finanztitels bei Markteintritt abhängen, Malkiel (2003) behauptet, dass kurzfristig irreguläre Preisveränderungen und Vorhersagemuster in Renditezeitreihen von Aktienkursen als Folge von irrationalem Verhalten der Marktteilnehmer auftreten können. Jedoch würden sieh daraus keine langfristig anwendbaren gewinnbringenden Methoden für Investoren ergeben. Vermeintliche Gewinne durch Fundamentalanalyse würden durch Transaktionskosten im Keim erstickt, so dass der Markt zumindest in dem Sinne effizient sei, dass keine Arbitrage möglich sei. Dies würde obiges Auftreten von schwachen Autokorrelationen in den Tagesschlusskursen des DAX erklären, ohne die mittelstarke Effizienzmarkthypothese in ihrer Idee zu verwerfen.
Zur Beschreibung von autokorrelierten Zeitreihen werden in Kapitel 3 mehrere lineare Modelle eingeführt. Diese eignen sieh für viele Finanzzeitreihen, die homoske- dastiseh sind bzw. eine konstante Varianz über den Zeitablauf besitzen. Beispielsweise lassen sieh monatliche Zinsspreads durch autoregressive Prozesse modellieren, wie von Mills gezeigt wird.[7] Für heteroskedastisehe Finanzzeitreihen, insbesondere für Aktienkurse, werden weiterführende Modelle benötigt, die in Kapitel 4 vorgestellt werden.[8]
[...]
[1] Vgl. Tsay (2005), S. 1.
[2] Vgl· Ncusscr (2009), S. 129.
[3] Eine mathematische Auslegung des Begriffs „Volatilität:' findet sich zu Beginn von Kapitel 4.
[4] Vgl· Tsay (2005), S. 2.
[5] Vgl. hierzu Sdmiid/Trede (2006), S. 9.
[6] Datenquelle: Yahoo! Finanzen (2011).
[7] Vgl. Fama (1970), S. 383, 413-416.
[8] Vgl. hierzu Mills (2005), S. 32-34.
