Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Problemformulierung
• Galerkin-Zeitdiskretisierung
• Superkonvergenzeigenschaften
• Newton-Verfahren zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems
• Eine erste Entkopplungsvariante
  • Inexakter Löser der linearen Subprobleme
  • Konvergenz der inexakten Newton-Iteration
  • Realisierungen erster und zweiter Ordnung
• Eine zweite Entkopplungsvariante
  • Approximation der Koeffizientenmatrix
  • Single-Newton-Iteration
  • Fehleranalyse
• Numerische Resultate
• Fazit und Ausblick
• Literaturverzeichnis
• Anhang

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der zeitlichen Diskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen mittels kontinuierlicher Galerkin-Methoden. Ziel ist es, effiziente numerische Verfahren zur Lösung der resultierenden semidiskreten Gleichungssysteme zu entwickeln und zu analysieren. Dabei werden insbesondere Newton-basierte Lösungsmethoden für nichtlineare parabolische Probleme betrachtet.

• Entwicklung von Entkopplungsstrategien für das Newton-Update-Gleichungssystem
• Analyse der Konvergenz und Effizienz der entwickelten Verfahren
• Numerische Validierung der theoretischen Ergebnisse
• Untersuchung der Superkonvergenzeigenschaften der Galerkin-Zeitdiskretisierung
• Anwendung der entwickelten Verfahren auf konkrete Beispiele

Zusammenfassung der Kapitel

Das erste Kapitel bietet eine Einleitung in die Thematik der zeitlichen Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen und stellt den Kontext der Arbeit dar. Kapitel 2 definiert das zu lösende Problem und führt die notwendigen mathematischen Grundlagen ein. Kapitel 3 behandelt die Galerkin-Zeitdiskretisierung und erläutert die grundlegenden Konzepte und Eigenschaften der Methode. Kapitel 4 untersucht die Superkonvergenzeigenschaften der Galerkin-Zeitdiskretisierung. Kapitel 5 widmet sich der Anwendung des Newton-Verfahrens zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems. Kapitel 6 präsentiert eine erste Entkopplungsvariante für das Newton-Update-Gleichungssystem, die auf blockweiser Elimination basiert. Kapitel 7 stellt eine zweite Entkopplungsvariante vor, die auf der Idee der Single-Newton-Iteration beruht. Kapitel 8 zeigt numerische Resultate, die die Effizienz und Genauigkeit der entwickelten Verfahren bestätigen. Das Fazit und der Ausblick in Kapitel 9 fassen die wichtigsten Ergebnisse zusammen und geben Hinweise auf zukünftige Forschungsrichtungen.

Schlüsselwörter

Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die Galerkin-Zeitdiskretisierung, parabolische partielle Differentialgleichungen, Newton-Verfahren, Entkopplungsstrategien, Superkonvergenz, numerische Verfahren, Fehleranalyse und effiziente Implementierung.