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Gliederung
Seite
1. Einleitung...4
2. Theorie zum Rollkontaktproblem und zur Dauerfestigkeitsberechnung...6
2.1. Das Rollkontaktproblem...6
2.1.1. Vorraussetzungen...6
2.1.2. Hertzscher Kontakt...13
2.1.3. Zweidimensionale Rechnung nach McEwans...13
2.1.4. Dreidimensionale Rechnung mit dem Programm CONTACT...14
2.2. Dauerfestigkeitsnachweis...16
2.1.1. Festigkeitsrechnung...16
2.1.2. Dauerfestigkeitsrechnung...18
2.1.3. Lastakkumulation...25
3. Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche...27
3.1. Belastung einer deutschen Schnellfahrstrecke...27
3.2. Spannungsberechnung nach McEwans...28
3.3. Spannungsberechnung mit CONTACT...34
3.4. Lastakkumulation...43
3.5. Dauerfestigkeitsgrenzen der Schienenoberfläche...44
3.6. Abschätzung der Dauerfestigkeit...48
4. Auswertung und Diskussion...50
4.1. Auswertung der Spannungsberechnung...50
4.2. Auswertung der Dauerfestigkeitsabschätzung...52
5. Zusammenfassung und Ausblick...55
6. Anhang...57
6.1. Abschätzung der Radlasten...57
6.2. Abschätzung des Verkehrs...59
6.3. Geometrische Daten und Materialwerte...61
6.4. Tabellen und Diagramme...64
6.4.1. Dreidimensionale Darstellung der Spannungsverteilung unter der Oberfläche...64
6.4.2. Lastkollektive...70
6.4.3. Exakte Darstellung der Haigh-Schaubilder ...81
6.5. Literaturverzeichnis...83
2
Nomenklatur
A -
Einflußgrößenfunktion
E - N/mm
2
E-Modul
E
*
- N/mm
2
Äquivalent-E-Modul
F
1
-
Exzentrizitätsfaktor
G - N/mm
2
Schubmodul
M -
Mittelspannungsabhängigkeit
N
Lastspielzahl
P - N
Normalkraft
P
l
- N/mm
Normallinienlast
R
-
Verhältnis von Unter- zu Oberspannung
R - mm
Radius
R
*
- mm
Äquivalentradius
R
E
- N/mm
2
Dehngrenze
R
m
- N/mm
2
Zugfestigkeit
R
w
- N/mm
2
Wechselfestigkeit
S - mm
2
Oberfläche
T - N
Tangentialkraft
T
l
- N/mm
Tangentiallinienlast
X,Y -
Punkte auf der Oberfläche eines Körpers
a - mm
Radius
der
Kontaktellipse in x-Richtung
b - mm
Radius
der
Kontaktellipse in y-Richtung
c - mm
mittlerer
Kontaktradius
h
-
mm
Abstand zweier Körper unverformt
h'
-
mm
Abstand zweier Körper verformt
m, n -
Funktionen zur Berechnung der Spannung nach McEwan
p - N/mm
2
Flächenpressung
p
-
Faktor zur Berechnung der Haigh-Funktion nach Lüpfert
p
0
- N/mm
2
maximale
Flächenpressung
r
-
mm
Radius unter dem im radialen Koordinatensystem die
Spannung gemessen wird
w,u -
mm
Verschiebung
eines
Oberflächenpunktes bei Kontakt
x
-
mm
Koordinate längs zur Schiene
y
-
mm
Koordinate quer zur Schiene
z
-
mm
Koordinate senkrecht zur Schiene
-
°
Winkel der Hauptspannungsrichtungen
-
Mittelspannungsabhängigkeit
-
°
Winkel einer beliebigen Spannungsrichtung
-
Einflussfaktor der Vergleichsmittelspannung auf die
Äquivalentmittelspannung
-
°
Winkel unter dem im radialen Koordinatensystem die
Spannung gemessen wird
-
mm
maximale Deformation des Körpers
-
Verzerrung
-
Reibwert
-
Querkontraktionszahl
, S, Sigma
- N/mm
2
Normalspannung
I
-
N/mm
2
1.
Hauptspannung
3
II
-
N/mm
2
2.
Hauptspannung
a
-
N/mm
2
Amplitudenspannung
m
-
N/mm
2
Mittelspannung
*
m
- N/mm
2
Äquivalentmittelspannung
o
-
N/mm
2
Oberspannung
r
-
N/mm
2
Radialspannung
schw,
S
Schw
- N/mm
2
Schwellgrenze
u
-
N/mm
2
Unterspannung
v
-
N/mm
2
Vergleichsspannung
va
-
N/mm
2
Vergleichsamplitudenspannung
vm
-
N/mm
2
Vergleichsmittelspannung
x
- N/mm
2
Normalspannungskomponente in x-Richtung
xm
- N/mm
2
Normalmittelspannungskomponente in x-Richtung
y
- N/mm
2
Normalspannungskomponente in y-Richtung
ym
- N/mm
2
Normalmittelspannungskomponente in y-Richtung
z
- N/mm
2
Normalspannungskomponente
in
z-Richtung
zm
- N/mm
2
Normalmittelspannungskomponente in z-Richtung
, Tau -
N/mm
2
Schubspannung
xy
- N/mm
2
Schubspannungskomponente in der xy-Ebene
xz
- N/mm
2
Schubspannungskomponente in der xz-Ebene
yz
- N/mm
2
Schubspannungskomponente in der yz-Ebene
Abkürzungen:
DB
-
Deutsche Bahn AG
BEM
-
Boundary Element Method, Randelementmethode
DIN
-
Deutsche Industrienorm
EC
- Eurocity
EWV
-
Einzelwagenverkehr
EVZ
-
Ebener
Verzerrungszustand
FEM
-
Finite Elemente Methode
GEH
-
Gestaltänderungsenergiehypothese
IC - Intercity
ICE
-
Intercity
Express
ICG
-
InterCargo-Zug
ILR
-
Institut für Luft- und Raumfahrt an der Technischen Universität Berlin
KV
-
Kombinierter Verkehr
PfdW
-
Parabel für duktile Werkstoffe
RL
-
Radlast = Gewicht pro Rad
RSL
-
Radsatzlast = Gewicht pro Achse
UIC
-
Union International de Chemins de Fer - Internationaler Eisenbahn-
verband
4
1. Einleitung
Betriebsbedingte Oberflächenschäden an Schienen, wie Head Checks spielen bei der
Gewährleistung der Sicherheit des Fahrbetriebes im Schienenverkehr eine zunehmend wich-
tige Rolle. Diese Schäden können bei ungehindertem Wachstum zu Schienenbrüchen führen
und stellen somit eine Gefahr für die Reisenden dar. Eine durch solche Ermüdungs-
erscheinungen geschädigte Oberfläche belastet außerdem die Gleisanlagen und die Fahr-
zeuge, mindert den Fahrkomfort und führt zu höherer Lärmbelastung der Umgebung. Die
Kosten für die Beseitigung dieser Oberflächenschäden sind sehr hoch. Eine Analyse der
Ursachen ist deshalb von Interesse. In der Schienenoberfläche treten bei jeder Überrollung
beachtliche Spannungen auf, die zwar die Fließgrenze des Materials noch nicht erreichen,
aber möglicherweise ein Dauerfestigkeitsproblem darstellen, da die Lastspielzahlen sehr
hoch sind.
In der vorliegenden Arbeit soll eine ingenieurmäßige Dauerfestigkeitsabschätzung der
Schienenoberfläche durchgeführt werden. Ein Problem dabei ist, dass es sich bei der
Schienenoberfläche nicht um ein Bauteil handelt, das durch Kräfte belastet wird, sondern um
ein Kontinuum, in welchem ein mehrachsiger periodisch wechselnder Spannungszustand
herrscht.
Um ein Belastungskollektiv zu erstellen, wird die Überrollanzahl einer deutschen Schnell-
fahrtstrecke abgeschätzt. Die Berechnung der Spannungen in der Schienenoberfläche wird
zunächst als zweidimensionale Rechnung nach der Methode von McEwan durchgeführt. Als
zweite Herangehensweise wird eine dreidimensionale Spannungsberechnung mit dem
Programm CONTACT ausgeführt. Die Ergebnisse der beiden Methoden werden verglichen
und für beide Resultate wird eine Dauerfestigkeitsabschätzung ausgeführt.
Im ersten Teil dieser Arbeit wird die Theorie der Spannungsberechnung und der Dauer-
festigkeitsanalyse behandelt. Wichtige Formeln, auf die in späteren Abschnitten Bezug
genommen wird, werden, wenn nötig, hergeleitet bzw. vorgestellt. Das folgende Kapitel
beinhaltet die eigentliche Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche. Zunächst
werden die Belastungen der Strecke anhand von Fahrzeugdaten und Fahrplänen der DB
abgeschätzt und die Spannungen nach den beiden Methoden berechnet. Danach wird mit den
Ergebnissen der Spannungsberechnung anhand der Belastungszahlen der Strecke eine Last-
akkumulation durchgeführt. Nachdem anhand der vorhanden Materialwerte die Dauerfestig-
keitsgrenzen festgelegt wurden, wird die Dauerfestigkeit für die Schienenoberfläche
abgeschätzt. Im nachfolgenden Kapitel werden sowohl die Ergebnisse der Spannungs-
5
berechnung als auch die Dauerfestigkeitsabschätzung ausgewertet und mögliche Fehler
diskutiert. Am Ende der Arbeit wird eine Zusammenfassung und ein Ausblick gegeben. Im
Anhang finden sich die Abschätzung der Radlasten und des Verkehrs, die geometrischen
Daten und die Materialwerte sowie Tabellen und Diagramme.
Die Rechnungen für die dreidimensionale Spannungsberechnung wurden mit dem Programm
CONTACT ausgeführt. Alle anderen Berechnungen sowie die Erstellung der Diagramme
wurden mit dem Programmsystem MATLAB durchgeführt.
6
2. Theorie zum Rollkontaktproblem und zur Dauerfestigkeitsberechnung
2.1. Das Rollkontaktproblem
2.1.1. Vorraussetzungen
Koordinatensystem und Voraussetzungen
Es wird ein rechtwinkliges körperfestes Koordinatensystem festgelegt. Der Ursprung des
Koordinatensystems befindet sich in der Mitte der Kontaktfläche zwischen Rad und Schiene.
Die x-Achse verläuft parallel zur Schiene in Fahrtrichtung.
Abbildung 1: Koordinatensystem
Beim Rollkontakt entstehen hohe Spannungen in der unmittelbaren Umgebung der
Berührungsflächen der beiden Körper. Wenn die Kontaktfläche im Vergleich mit den
Dimensionen der beiden sich berührenden Körper klein ist, dann können die Körper als
Halbräume betrachtet werden, das heißt, ihre Ausdehnung in Richtung von dem
Berührungspunkt weg wird als unendlich angenommen.
Weiterhin wird in dieser Arbeit vorausgesetzt, dass die sich berührenden Körper aus dem
gleichen Werkstoff bestehen und die Oberflächen der Körper völlig glatt sind. Bei dem
Werkstoff soll es sich um ein linear-elastisches Material handeln, welches homogen und
x
y
z
ung
Fahrtricht
7
isotrop ist. Außerdem wird die Annahme getroffen, dass sich die Oberflächen der beiden
Körper durch Flächen zweiten Grades beschreiben lassen (Hertzannahme).
Grundlagen der Kontaktmechanik
Greift eine Linienlast P
l
in Normalenrichtung entlang der y-Achse auf der Oberfläche eines
Halbraums an, berechnet sich die Radialspannung in der x-z-Ebene wie folgt:
cos
2
r
P
l
r
(2.1)
Dabei ist r der Radius und
der Winkel in einem radialen Koordinatensystem, welches die
x-z-Ebene beschreibt.
Abbildung 2: Linienlast auf einer Oberfläche
(aus: [14], S. 13)
Die Spannungen im kartesischen Koordinatensystem errechnen sich mit Hilfe des Mohr-
schen Spannungskreises:
2
2
2
2
2
2
cos
1
2
z
x
zx
P
l
r
x
(2.2a)
2
2
2
3
2
2
cos
1
2
z
x
z
P
l
r
z
(2.2b)
2
2
2
2
2
2
sin
2
z
x
x
z
P
l
r
xz
(2.2c)
8
Abbildung 3: Spannungen im Halb-
raum unter einer Linienlast
Abbildung 4: Mohrscher Span-
nungskreis
(beides aus: [14], S. 13)
Spannungen aufgrund einer Tangentiallinienkraft T
l
an der Oberfläche können auf dieselbe
Weise berechnet werden:
2
2
2
2
2
z
x
x
z
T
l
x
(2.3a)
2
2
2
3
2
z
x
x
T
l
z
(2.3b)
2
2
2
2
2
z
x
zx
T
l
xz
(2.3c)
Mit der Beziehung
l
l
P
T
können die Gleichungen (2.2) und (2.3) zusammengefasst
werden, indem die Komponenten der Normal- und der Querspannungen addiert werden.
Unter der Annahme, dass die Last auf einer Linie angreift, ergibt sich jedoch für das Gebiet
unmittelbar unter dem Angriffspunkt der Kraft (r = 0) eine unendlich große Spannung (siehe
Abb. 5). Dieses Ergebnis ist nicht realistisch. Dadurch, dass sich die berührenden Körper
verformen, entsteht eine Kontaktfläche. Die Kraft verteilt sich somit auf eine Fläche mit der
Länge a:
a
l
dx
x
P
P
0
)
(
(2.4)
9
Abbildung 5: Spannungen unter Linienlast bzw.
Flächenlast (aus: [14], S. 17)
Berühren sich zwei Ellipsoide, dann ist die Kontaktfläche eine Ellipse mit den Radien a und
b. Es gilt also die Verteilung des Flächenpressung über der Kontaktfläche und anschließend
die daraus resultierenden Spannungen im Inneren der Körper zu berechnen.
Abbildung 6: Linienkontakt als Flächenlast
Abbildung 7: Kugelkontakt
(beides aus [14], S. 19)
10
2.1.2. Hertzscher Kontakt
Der erste Physiker, der eine befriedigende Lösung für das Problem der Berührung zweier
elastischer Körper fand, war Heinrich Hertz. Er untersuchte den Kontakt zwischen optischen
Linsen. Seine Theorie bietet auch eine hinreichende Lösung für das Problem des Roll-
kontakts.
Werden zwei Körper aneinandergepresst, dann nähern sie sich um die Summe aus den
Beträgen der Deformationen senkrecht zur Oberfläche an der Stelle des Kontaktes an.
Bezeichnet h den Abstand zweier Punkte auf den Oberflächen der beiden Körper vor dem
Kontakt, dann errechnet sich der Abstand h' nach dem Kontakt wie folgt, wobei w die
Verschiebung der Oberfläche in z-Richtung an der Stelle (x,y) ist:
y
x
w
y
x
w
y
x
h
y
x
h
,
,
,
,
2
1
2
1
(2.5)
In dieser Arbeit wird der Index 1 für die Schiene und der Index 2 für das Rad verwendet.
Abbildung 8: Hertzscher Kontakt von zwei runden
Körpern (aus [6], S. 88); die Verschiebung w ist in der
Zeichnung mit u gekennzeichnet.
Innerhalb der Kontaktfläche wird der Abstand h' gleich Null. Werden die Deformationen der
beiden Körper zusammengefasst (
2
1
), dann lautet die Kontaktbedingung:
*
2
*
2
2
1
2
2
,
,
y
x
R
y
R
x
y
x
w
y
x
w
(2.6)
11
Dabei wurde der Abstand
y
x
h ,
durch den Ausdruck ersetzt, der sich ergibt, wenn es sich
um den Abstand zweier sich berührender Paraboloide mit gleichen Hauptachsenrichtungen
handelt:
*
2
*
2
2
2
)
,
(
y
x
R
y
R
x
y
x
h
(2.7)
Die Radien errechnen sich aus den Radien der beiden Körper in Hauptachsenrichtung:
2
1
*
1
1
1
x
x
x
R
R
R
(2.8a)
2
1
*
1
1
1
y
y
y
R
R
R
(2.8b)
Wird überprüft, welche Flächenpressungen die Kontaktbedingung erfüllen, ergibt sich
folgende Gleichung
1
:
2
2
0
)
(
)
(
1
)
,
(
b
y
a
x
p
y
x
p
(2.9)
Hierbei sind a und b die Radien der Kontaktellipse. Um diese Werte zu erhalten, wird
zunächst der mittlere Kontaktradius
ab
c
ausgerechnet
2
:
1
3
*
*
4
3
F
E
PR
c
(2.10)
In der Gleichung werden Äquivalentwerte benutzt, die sich aus den Eigenschaften der beiden
Körper zusammensetzen. Der Äquivalentradius R
*
setzt sich aus den Radien der äqui-
valenten Krümmungsradien der beiden Körper zusammen:
*
*
*
y
x
R
R
R
(2.11)
und das äquivalente Elastizitätsmodul errechnet sich aus den E-Moduln und den Quer-
kontraktionszahlen der beiden Körper:
2
2
2
1
2
1
*
1
1
1
E
E
E
(2.12)
Jedoch sind in dieser Arbeit die Materialwerte für Rad und Schiene gleich. Der Exzent-
rizitätsfaktor
1
F
bezeichnet die Exzentrizität der Kontaktellipse und hängt von den geometri-
schen Eigenschaften der beiden Körper ab. Er kann aus dem Diagramm 1 abgelesen werden.
1
Siehe [6], S. 65.
2
Siehe [6], S. 95ff.
12
Diagramm 1: Exzentrizitätsfaktor (aus [6], S. 97)
y
x
R
R
R
R
^
;
^
Die maximale Flächenpressung, also der Druck in der Mitte der Kontaktellipse, ist durch die
Gleichung:
2
1
3
2
*
2
*
3
2
0
1
6
2
3
F
R
E
P
c
P
p
(2.13)
gegeben
3
.
3
Siehe [6], S. 96.
13
2.1.3 Zweidimensionale Rechnung nach McEwans
In der zweidimensionalen Rechnung wird angenommen, eine Walze rollt auf einer ebenen
Unterlage. Die Flächenpressung unter der Walze entspricht in Längsrichtung der Verteilung,
die sich ergibt, wenn die Verteilung der Druckspannung über der Hertzschen Kontaktellipse
der Länge nach in der Mitte durchgeschnitten wird. Die maximale Flächenpressung ist mit
der Gleichung (2.13) gegeben. In der Querrichtung (hier in y-Richtung) ist die Flächen-
pressung unter der Walze an jeder Stelle gleich. Unter der Walze kann ein ebener
Verzerrungszustand (EVZ) angenommen werden. Das bedeutet eine konstante Verzerrung in
y-Richtung.
Die Länge der Kontaktfläche berechnet sich nach der Gleichung
4
:
*
2
4
E
R
P
a
l
(2.14)
Wobei
l
P eine Linienlast über die Breite der Walze ist. Sie berechnet sich aus der
Beziehung:
2
0
p
a
P
l
(2.15)
McEwen entwickelte eine Lösung zur Berechnung der Kontaktspannungen unter Ein-
beziehung der Tangentialkraft aufgrund der Reibung.
5
Er führte dazu die beiden Funktionen
m und n ein:
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
z
x
a
z
x
z
x
a
m
(2.16a)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
z
x
a
z
x
z
x
a
n
(2.16b)
Die Vorzeichen von m und n stimmen jeweils mit den Vorzeichen von z und x überein.
Die Spannungsanteile aufgrund der Normalkraft in Abhängigkeit von m und n sind dann:
z
n
m
n
z
m
a
P
l
px
2
1
2
2
2
2
2
2
(2.17a)
2
2
2
2
2
1
2
n
m
n
z
m
a
P
l
pz
(2.17b)
2
2
2
2
2
2
n
m
m
z
n
a
P
l
pxz
(2.17c)
4
Siehe [6], S. 99ff.
5
Vgl.: [10] oder [6], S. 102ff.
14
Für die Komponenten aufgrund der Tangentialkraft gilt mit der Beziehung
l
l
P
T
folgendes:
2
2
2
2
2
2
2
n
m
m
z
n
n
x
a
P
l
tx
(2.18a)
2
2
2
2
2
2
n
m
m
z
n
a
P
l
tz
(2.18b)
z
n
m
n
z
m
a
P
l
txz
2
1
2
2
2
2
2
2
(2.18c)
Um die jeweilige Gesamtspannung (
x
,
z
,
xz
) zu erhalten, sind die Spannungsanteile auf-
grund der Normalkraft und aufgrund der Tangentialkraft für die jeweiligen Spannungs-
richtungen zu addieren.
Für die Gesamtspannung in y-Richtung gilt:
z
x
y
(2.19)
2.1.4 Dreidimensionale Rechnung mit dem Programm CONTACT
Bei der dreidimensionalen Rechnung sind die sich berührenden Körper in beiden Haupt-
achsenrichtungen x und y gekrümmt. Das heißt, die Kontaktspannung ist auch in diesen
beiden Richtungen veränderlich, und die Berührungsfläche besitzt die Form einer Ellipse.
Eine solche Rechnung ist komplizierter als die Rechnung eines Walzenkontakts und kann
nicht mehr analytisch durchgeführt werden. Das Programm CONTACT ist ein numerisches
Rechenprogramm, welches die Kontaktspannungen und die Spannungen im Inneren von sich
berührenden Körpern ausrechnet. Es wurde von dem niederländischen Wissenschaftler
J.J. Kalker aufgrund seiner Forschungen auf dem Gebiet der Kontaktmechanik entwickelt
6
.
CONTACT basiert auf dem Verfahren der Randelementmethode (engl.: Boundary Element
Method - BEM). Dieses ist neben der Methode der finiten Elemente (FEM) ein wichtiges
Diskretisierungsverfahren zur Berechnung von Anfangs-/Randwertproblemen in der
mathematischen Physik. Ein großer Vorteil der BEM ist die Tatsache, dass nur die Ober-
fläche der betrachteten Struktur zu diskretisieren ist und nicht deren ganzes Volumen.
6
Für das Programm siehe [15] , für die theoretischen Grundlagen siehe [7].
15
Kalker hat das Hooke'sche Gesetz
E
,
(2.20)
welches in dieser Form nur auf Volumen anwendbar ist, in eine Nachgiebigkeit-
sformulierung umgewandelt, die sich auf die vorgegebene Belastung an der Oberfläche
bezieht:
7
:
V
dS
Y
p
Y
X
A
X
u
,
(2.21)
Diese lässt sich im Fall des Rad/Schiene-Kontakts anwenden. Die Funktion A(X,Y) nennt
Kalker ,,influence function" (Einflußgrößenfunktion oder -matrix); sie repräsentiert die
Verschiebung eines Punktes X infolge einer Punktlast, die auf den Punkt Y wirkt. Diese
Funktion hängt sehr stark von der Form des Körpers ab. Sie kann aber mit Hilfe der
Annahme berechnet werden, dass die beiden Körper jeweils Halbräume sind, d. h. ihre
Ausdehnung wird nach einer Seite jeweils als unendlich angenommen (s. o.).
Damit kann das Programm unter anderem zur Berechnung der dreidimensionalen
Spannungsverteilungen bei Hertzschen Kontaktproblemen herangezogen werden. Bei der
dreidimensionalen Berechnung sind nun aber beide Radien der Kontaktellipse notwendig.
Der mittlere Radius der Kontaktellipse c ist mit der Gleichung (2.10) gegeben. Aus der
Definition des mittleren Kontaktradius
b
a
c
können der Radius a der Kontaktellipse in
x-Richtung und der Radius b der Kontaktellipse in y-Richtung ausgerechnet werden:
b
a
c
a
/
(2.22a)
a
b
c
b
/
(2.22b)
Der Wert b/a kann aus dem Diagramm 1 abgelesen werden, wenn die Radien der Körper
bekannt sind.
7
Siehe [7], S. 20ff.
16
2.2. Dauerfestigkeitsnachweis
2.2.1. Festigkeitsrechnung
Bestimmung der Hauptspannungsrichtungen
Ist eine Hauptspannungsrichtung festgelegt - dies ist der Fall bei einem ebenem
Verzerrungszustand können die beiden anderen Hauptspannungsrichtung mit Hilfe des
Mohrschen Spannungskreises berechnet werden:
2
1
2
2
2
2
xz
z
x
z
x
I
(2.23a)
bzw.
2
1
2
2
2
2
xz
z
x
z
x
II
(2.23b)
Der Winkel
der beiden Hauptspannungsrichtungen errechnet sich aus den Gleichungen:
2
1
2
2
4
2
cos
xy
z
x
z
x
(2.24a)
2
1
2
2
4
2
2
sin
xy
z
x
xy
(2.24b)
Abbildung 9: Haupt-spannungen und
Haupt-spannungsrichtungen beim ebenen
Spannungszustand.
Abbildung 10: Ebener Spannungs-
zustand; Spannungen im beliebigen
Schnitt.
beides aus [18], S. 234.
17
Um die Spannungen in einer beliebigen Richtung zu bestimmen, betrachtet man den
Spannungszustand an einem Element in dem Kontinuum. Wird hier das Gleichgewicht
gebildet und umgeformt, erhält man folgende Formeln für die Normal- bzw. Schubspannung
unter einem beliebigen Winkel
:
ß
ß
xz
z
x
z
x
2
sin
2
cos
2
2
(2.25a)
ß
ß
xz
z
x
ß
2
cos
2
sin
2
(2.25b)
Sind die Hauptspannungen bekannt, ergibt sich die Normalspannung senkrecht zu
ß
aus
dem Mohrschen Spannungskreis:
ß
II
I
ß
90
(2.26)
Festigkeitshypothesen
Die Tragfähigkeit eines Werkstoffs hängt von der Art der mehrdimensionalen Bean-
spruchung ab. Festigkeitshypothesen stellen Annahmen dar, wie die einzelnen Komponenten
der Belastung zu bewerten sind. Aus den verschiedenen Spannungskomponenten wird eine
Vergleichsspannung berechnet, die geringer sein muss, als eine zulässige materialabhängige
Grenzspannung:
G
v
(2.27)
Die einfachste Annahme ist die Normalspannungshypothese. Diese besagt, ein Bauteil hält
solange, bis in einer Richtung die Spannung eine Grenzspannung überschreitet:
i
v
max
(2.28)
Diese Hypothese ist geeignet für spröde Werkstoffe. Es wird angenommen, dass es zu einem
Trennbruch senkrecht zur Richtung dieser Zugspannung kommt, nachdem die Grenz-
spannung überschritten ist.
Für zähe Werkstoffe hingegen wird zweckmäßigerweise die Gestaltänderungsenergie-
hypothese (GEH) verwendet, da hier in nahezu allen Fällen gegen Fließen (bzw. plastische
Deformation) abgesichert wird. Hierbei wird davon ausgegangen, dass hydrostatische
Spannungszustände, also Zustände, in denen ausschließlich gleich große Normalspannungen
auftreten, lediglich eine reversible Volumenänderung, jedoch keine bleibende Gestalt-
änderung hervorrufen können. So eine Spannung kann zwar zum Trennbruch führen, nicht
aber zum Fließen des Materials. Die Spannungen werden bei der GEH aufgeteilt in die-
jenigen, welche das Volumen ändern, das ist der hydrostatische Spannungszustand und in
diejenigen, welche die Form des Werkstoffs ändern. Für zähe Werkstoffe ist nur der Form-
18
änderungsanteil von Bedeutung. Daher bleibt der hydrostatische Spannungsanteil in der
Gestaltänderungsenergiehypothese unberücksichtigt. Lediglich der Formänderungsanteil
(deviatorischer Spannungsanteil) wird zur Ermittlung der Vergleichsspannung (nach v.
Mises) herangezogen:
2
2
2
2
2
2
3
5
,
0
xz
yz
xy
y
z
z
y
y
x
v
(2.29)
Diese Formel nimmt unter Nutzung der Hauptnormalspannungsrichtungen die Form
2
1
3
2
3
2
2
2
1
5
,
0
v
(2.30)
an.
2.2.2. Dauerfestigkeitsrechnung
Festigkeitshypothesen dienen zur Berechnung von Vergleichsspannungen bei statischen
Beanspruchungen. Bei periodisch-mehrachsigen Beanspruchungen, die durch eine einzige
äußere Belastung hervorgerufen wird, verlaufen alle Spannungskomponenten zueinander
proportional und synchron. In diesem Fall kann die Bewertung der Ertragbarkeit in nahezu
gleicher Weise wie bei quasistatischen Beanspruchungen mit den oben aufgeführten
Festigkeitshypothesen vorgenommen werden. Als Festigkeitsgrenze
G
ist die Wechsel-
festigkeit R
W
einzusetzen.
8
Dies gilt jedoch nur bei reiner Wechselbeanspruchung, das heißt,
die Mittelspannung muss Null sein. Ist die Mittelspannung ungleich Null, muss deren Ein-
fluss berücksichtigt werden.
Festigkeitsbedingungen
Die Mittelspannung ist der Mittelwert aus Oberspannung
o
, dem größten Wert der
Spannung je Schwingspiel und der Unterspannung
u
, dem kleinsten Wert der Spannung je
Schwingspiel
2
u
o
m
(2.31)
Die Amplitudenspannung ist der Spannungsausschlag der Beanspruchung
2
u
o
a
(2.32)
8
Siehe [8], S. 44f.
19
Bei schwingender Beanspruchung kann zwischen Wechselbeanspruchung und Schwell-
beanspruchung im Druck- und im Zugbereich unterschieden werden (siehe
Abb. 12).
Das Verhältnis zwischen Ober- und Unterspannung wird R genannt
o
u
R
(2.33)
Für reine Schwellbelastung im Druckbereich ist
R
, bei reiner Wechselbeanspruchung
ist
1
R
und für reine Schwellbelastung im Zugbereich ist
0
R
.
Abbildung 11: Spannungs-Zeit-Schaubild für
Schwingbeanspruchung
Abbildung 12: Bereiche der Schwingbeanspruchung
(beides aus DIN 50100, S.2)
Zur Beurteilung der Dauerfestigkeit bei einer Beanspruchung mit positiver oder negativer
Mittelspannung eignet sich die Darstellung in einem Haigh-Schaubild, in dem die Ampli-
tudenspannung über der Mittelspannung aufgetragen ist. Darin können die Dauerfestigkeits-
grenzen eingezeichnet werden. Liegen die tatsächlichen Werte unterhalb der Grenzlinien, ist
die Dauerfestigkeit gewährleistet.
Die Gesamtbelastung setzt sich also aus einer konstanten Mittelspannung und einer perio-
dischen Amplitudenspannung zusammen. Die Maximalwerte der Spannung berechnen sich
wie folgt:
a
m
max
(2.34)
20
Wenn als jeweilige Grenzwerte für Amplituden- bzw. Mittelspannung die Wechselfestigkeit
bzw. die Zugfestigkeit angenommen wird, dann ergeben sich die Grenzen der ertragbaren
Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Mittelspannung aus folgender Ellipsen-
gleichung:
1
2
2
w
a
m
m
R
R
(2.35)
Diese Gleichung führt im Haigh-Schaubild zu der Gerberparabel, nach der die ertragbare
Spannungsamplitude festgelegt ist durch:
2
1
m
m
w
a
R
R
(2.36)
Mit dieser Beziehung wird der Einfluss der Mittelspannung im Druckbereich und Zug-
bereich identisch bewertet. Versuche haben aber gezeigt, dass eine negative Mittelspannung
die Dauerfestigkeit erhöht
9
. Mit der Parabel:
m
m
w
a
R
R
1
(2.37)
wird der stabilisierende Einfluss einer negativen Mittelspannung berücksichtigt. Sie wird für
duktile Werkstoffe empfohlen
10
. Weitere Approximationen der Haigh-Funktion sind von
Goodmann und Smith entwickelt worden:
Goodmann:
m
m
w
a
R
R
1
(2.38)
Smith:
m
m
m
m
w
a
R
R
R
1
1
(2.39)
Die ersten beiden Parabeln bieten sich vor allem für Stähle bzw. Werkstoffe mit duktilen
Eigenschaften an. Das Dauerfestigkeitsverhalten von spröden Materialien wie Grauguss lässt
sich besser mit der Goodman-Gerade oder mit dem Ansatz von Smith beschreiben. Trotz
dieser Differenzierung herrschen im Druckbereich noch große Unterschiede zwischen den
genannten Ansätzen
11
.
9
Siehe [16], S. 73f; [13], S. 417.
10
Siehe [8], S. 65.
11
Siehe [8], S. 65f.
21
Diagramm 2: Haigh-Schaubild mit Dauerfestigkeitsgrenzen nach Smith, Goodmann,
Gerber und für duktile Werkstoffe (PfdW).
An das Festigkeitsverhalten verschiedener metallischer Werkstoffe anpassbare Funktionen
haben Schütz und Lüpfert aufgestellt. Die Mittelspannungsabhängigkeit nach Schütz ist
unter Verwendung von Gl. (2.33) folgendermaßen definiert
12
:
2
2
0
0
1
Schw
Schw
W
R
m
R
a
R
a
R
M
(2.40)
Die Funktion, welche die Dauerfestigkeitsgrenze beschreibt, fällt im Haigh-Schaubild mit
wachsender Mittelspannung unter dem Winkel
ab:
M
^
tan
(2.41)
Nach Lüpfert wird die Haigh-Funktion, d.h. die Dauerfestigkeitsgrenze durch die Gleichung
p
m
m
w
a
R
R
1
(2.42)
beschrieben
13
.
12
Siehe [13], S. 417.
13
Siehe [8], S. 68f.
22
Der Exponent p wird aus der Bruch-, Wechsel- sowie der Schwellfestigkeit berechnet:
m
schw
w
schw
R
R
p
2
1
ln
2
ln
(2.43)
Eine weitere Möglichkeit, die Grenzen der Dauerfestigkeit darzustellen, bietet das Smith-
Schaubild. Hier wird auf der Abszisse die Mittelspannung und auf der Ordinate die Ober-
und die Unterspannung aufgetragen. Werkstoffeigenschaften wie Bruchspannung, Dehn-
grenze oder Wechselfestigkeit bestimmen die Dauerfestigkeitsgrenzen. Sind diese Werte
gegeben, können die Schwellspannung oder die ertragbaren Ober- bzw. Unterspannungen
abgelesen werden. Zur Abschätzung der Dauerfestigkeit in Abhängigkeit von der Mittel-
spannung ist das Haigh-Schaubild aber die übersichtlichere Darstellung.
Diagramm 3: Smith-Diagramm (aus DIN 50100, S. 7)
Die bisher genannten Vorgehensweisen eignen sich jedoch nur zur Beurteilung der Dauer-
festigkeit bei einachsiger periodischer Belastung. Treten mehrachsige Spannungszustände
auf, dann muss eine Vergleichsspannung gebildet werden, um die Dauerfestigkeit über-
prüfen zu können.
23
Mittelspannungseinfluss bei mehrachsiger Belastung
Die naheliegendste Vorgehensweise ist es, einfach die Vergleichsspannungen laut den
Gln. (2.29) und (2.30) zu bestimmen. Um aus den Einzelspannungen eine Vergleichs-
spannung zu errechnen, zerlegt man sämtliche auftretenden Spannungskomponenten in ihre
konstanten und ihre schwingenden Anteile. Aus den konstanten Spannungsanteilen bildet
man eine ,,statische" Vergleichsspannung, aus den schwingend auftretenden Anteilen eine
,,schwingende" Vergleichsspannung. Der mehrachsige Spannungszustand kann dann in eine
fiktiv-einachsige, schwingende Beanspruchung überführt werden
14
:
va
vm
v
(2.44)
Analog zu der einachsigen Beanspruchung (siehe Gl. 2.35) ergibt sich eine Ellipsen-
gleichung für die Grenzwerte der Dauerfestigkeit:
1
2
2
w
va
m
vm
R
R
(2.45)
Diese Gleichung kann wieder im Haigh-Schaubild als Gerberparabel eingetragen werden.
Das Problem bei dieser Vorgehensweise ist jedoch, dass der negative Mittelspannungs-
einfluss hier nicht berücksichtigt wird. Die Vergleichsspannungen sind laut Definition
immer positiv, so dass auch nur positive Vergleichsmittelspannungen vorkommen können,
selbst wenn die einzelnen Spannungen, aus denen sich die Vergleichsspannung zusammen-
setzt, negativ sind. Der stabilisierende Einfluss der negativen Mittelspannung kann bei dieser
Vorgehensweise nicht berücksichtigt werden.
Es stellt sich also die Frage, wie negative Mittelspannungen zu beurteilen sind. Eine
Möglichkeit ist es, die Amplitudenvergleichsspannung
va
mit einem Wert zu vergleichen,
der neben der Wechselfestigkeit R
W
die Summe der konstanten Normalspannungsanteile
also der Mittelspannungen in jeder Richtung enthält, wie es oft in der Literatur angegeben
wird
15
:
zm
ym
xm
W
va
R
(2.46)
In dieser Gleichung wirken sich also Drucknormalspannungen positiv und Zugnormal-
spannungen negativ auf die Dauerfestigkeit aus. Die Größe
ist die Mittelspannungs-
empfindlichkeit des Materials. Ein Nachteil bei diesem Verfahren ist jedoch, dass nur die
Summe der Normalspannungen, nicht aber ihre räumliche Verteilung in die Rechnung
einfließen. Es ist also vollkommen gleich, ob ein weitgehend hydrostatischer Spannungs-
zustand herrscht, also die drei Normalspannungen gleich groß sind oder ob erhebliche Unter-
14
Vgl. [2], S. 257; [8], S. 69f ; [19], S. 269.
15
Vgl. [2], S. 258 ; [8], S. 70; [19], S. 269.
24
schiede zwischen den einzelnen Spannungskomponenten herrschen. Im zweiten Fall treten
aber deviatorische Spannungsanteile auf, welche die Gestalt des Materials ändern und die
Dauerfestigkeit herabsetzen. Es muss also zusätzlich zu den konstanten Normalspannungen
noch eine Komponente berücksichtigt werden, welche die deviatorischen Spannungsanteile
beinhaltet. Diese Anteile sind in der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergie-
hypothese enthalten. Die modifizierte Form von Gl. (2.46) muss also folgendermaßen lauten:
vm
zm
ym
xm
W
va
R
(2.47)
Da die Vergleichsspannung per Definition immer positiv ist (siehe Gln. 2.29 oder 2.30), setzt
die Vergleichsmittelspannung die Dauerfestigkeitsgrenze immer herab. Durch den Faktor
wird der Einfluss der Vergleichsmittelspannung im Vergleich mit den Normalmittel-
spannungen festgelegt. Der Ausdruck in der Klammer kann also als eine Äquivalentmittel-
spannung für eine mehrachsige Belastung definiert werden:
vm
zm
ym
xm
m
(2.48)
In diesem Wert wird sowohl der Einfluss der konstanten Normalspannungen, der je nach
Vorzeichen positiv oder negativ sein kann, als auch der Einfluss der Vergleichsmittel-
spannung, der immer negativ ist, berücksichtigt. Die Bestimmung der Parameter und
stellt allerdings ein Problem dar, da diese experimentell bestimmt werden müssen. Es liegen
jedoch bisher noch keine verlässlichen experimentell gewonnenen Vergleichswerte für
räumliche Spannungen vor
16
und diese können auch im Rahmen dieser Arbeit nicht erbracht
werden. Es gibt zwar noch weitere Bewertungsverfahren für das Problem des Mittel-
spannungseinflusses bei mehrachsiger periodischer Belastung
17
, jedoch stellte Lüpfert in
seiner Untersuchung zu dem Thema fest, dass allen bisher durchgeführten Verifikationen der
bekannten Festigkeitsbedingungen gemeinsam ist, dass sie sich ausschließlich auf deren
Eigenschaften zur Bewertung ebener Spannungszustände beziehen
18
. Aufgrund fehlender
Materialwerte wird der Parameter in dieser Arbeit auf den Wert 1 geschätzt. Die äqui-
valente Mittelspannung
m
i
st also die Summe aus den konstanten Normalspannungs-
anteilen und deren Vergleichsspannung. Der Faktor stellt die Mittelspannungsabhängigkeit
des Werkstoffes dar. In einem Haigh-Schaubild konkretisiert er sich als der negative Betrag
der Steigung der Dauerfestigkeitsgrenze, falls hierfür eine Gerade angenommen wird. Um
diese Steigung für den Fall eindimensionaler Belastung zu berechnen, gibt es die beiden
oben diskutierten Möglichkeiten: Einmal die Berechnung nach Goodman (Gl. 2.47) hier ist
der Parameter gleich dem Quotienten aus Wechselfestigkeit R
W
und Zugfestigkeit R
M
16
Siehe [8], S. 77;
17
Siehe [8], S.71ff; [19], S. 269.
18
Siehe [8], S. 77;
25
und zum andern die Bestimmung der Mittelspannungsabhängigkeit nach Schütz (siehe
Gln. 2.40 und 2.41). Für den dreidimensionalen Fall werden diese Gleichungen übernom-
men, nur die Mittelspannung wird durch die Äquivalentmittelspannung und die Amplituden-
spannung durch die Vergleichsamplitudenspannung ersetzt. Außerdem wird in dieser Arbeit
die äquivalente Mittelspannung in die oben diskutierte Gleichung zur Dauerfestigkeits-
abschätzung für duktile Werkstoffe (Gl. 2.37) und in die von Lüpfert vorgeschlagene Parabel
(Gl. 2.42) eingesetzt, wobei ebenfalls statt der einachsigen Mittelspannung die Äquivalent-
mittelspannung und anstelle der Amplitudenspannung die Vergleichsamplitudenspannung
verwendet wird.
2.2.3. Lastakkumulation
Für die Dauerfestigkeitsrechnung ist es notwendig, Lastkollektive zu erstellen. Die
Beanspruchungs-Zeitfunktion kann beliebig kompliziert sein und ist meist nicht direkt in der
Dauerfestigkeitsanalyse weiterverarbeitbar. Sie wird durch eine möglichst einfache Kenn-
funktion ersetzt. Das Ergebnis des Kennzeichnungsverfahrens sollte die wesentlichen Inhalte
des ursprünglichen Ablaufs enthalten und die Rekonstruktion eines Ablaufs ermöglichen, der
dem Originalablauf ähnlich ist. Das Ergebnis des Kennzeichnungsverfahrens ist ein Last-
kollektiv.
Ein einfaches Zählverfahren ist die Klassengrenzenüberschreitungszählung. Es werden
bestimmte Spannungsabschnitte als Klassen definiert. Die Zählung registriert die Klassen-
grenzendurchgänge an aufsteigenden Flanken der Beanspruchungs-Zeitfunktion. Als Ergeb-
nis liefert sie ein Klassengrenzenüberschreitungskollektiv (vgl. Abb. 13). Aus diesem
Kollektiv können Schwingspiele rekonstruiert werden, die der ursprünglichen Bean-
spruchung statistisch entsprechen.
Abbildung 13: Illustration des Klassengrenzenüberschreitungs-Zählverfahren (aus
[18], S. 66)
26
Verloren gehen bei diesem Verfahren die Reihenfolge der Einzelschwingungen im Ablauf,
das Zeitgesetz des Schwingvorgangs (z.B. Sinusschwingung), die Frequenz sowie alle
Informationen über die Amplituden der Einzelschwingspiele. Aus dem Lastkollektiv können
jedoch die Maximalwerte für die alle Schwingspielzahlen abgelesen werden.
Abbildung 14: Rekonstruktion der Beanspruchungs-Zeitfunktion aus einem
Klassengrenzenüberschreitungs-Kollektiv (aus [18], S. 70)
27
3. Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche
3.1. Belastung einer deutschen Schnellfahrstrecke
Abschätzung der Radlasten
In dieser Arbeit wird die Belastung auf einer viel befahrenen Schnellfahrstrecke der
Deutschen Bahn untersucht. Auf dieser Strecke soll gemischter Verkehr herrschen, das heißt,
es gibt sowohl Güterverkehr als auch Personenverkehr. Der Güterverkehr setzt sich aus
unterschiedlichen Zugarten wie InterCargo-Zügen oder Containerzügen zusammen und der
Personenverkehr besteht aus Schnellfahrzügen, wie dem ICE, anderen Fernverkehrszügen
und Nahverkehrszügen.
Im Anhang 6.1. sind für die einzelnen Zugarten die Annahmen für das Gewicht der Wagen
und der Triebfahrzeuge sowie die sich daraus ergebenden Achslasten aufgelistet. Die aus den
Achslasten folgenden Radlasten für verschiedene Züge sind in der zweiten Spalte von
Tabelle 3.1 angegeben.
Zugtyp
Radlast
[t]
Lastspiele/
Tag
max.
Flächenlast p0
[N/mm
2
]
Länge a
[mm]
Güterzug Kombinierter Verkehr
5.95
2325
1057,7
8,25
IC/EC/D - Reisewagen
6.6
760
1094,9
8,54
ICE-Mittelwagen
Regionalzug Einfache Wagen
6.75
1296
1103,1
8,60
Regionalzug Doppelstockwagen
7.65
192
1150,1
8,97
Güterzug InterCargo
7.75
285
1155,1
9,01
Güterzug Einzelwagenverkehr,
Nah- und Übergabezug
8.75
1178
1202,8
9,38
Güterzug Logistik
9
0
1214,1
9,47
ICE-Triebwagen
9.75
252
1173,4
10,98
Lokomotive
10
679
1183,4
11,08
Güterzug langsam
11.25
880
1307,9
10,20
Tabelle 3.1: Zugtypen und zugehörige Radlasten sowie die Lastspiele pro Tag für die Strecke 2, die maximale
Flächenlast p0 und die Länge a der Kontaktfläche.
28
Abschätzung des Verkehrs
Im Anhang 6.2. wurde für mehrere Strecken der Zugverkehr geschätzt. Für zwölf Strecken
aus dem Netz der DB wurden sowohl die pro Tag verkehrenden Personenzüge als auch die
Güterzüge ermittelt. Zusammen mit der Lastabschätzung für die einzelnen Zugtypen kann
damit die Anzahl der Lastspiele pro Tag errechnet werden. Für die einzelnen Radlasten
ergeben sich auf jeder Strecke eine bestimmte Anzahl an Lastspielen. Die am stärksten
belastete Strecke in dieser Auflistung ist die Strecke 2, also der Abschnitt zwischen Appen-
weiler und Baden-Baden. Die Anzahl der Lastspiele für diese Strecke ist in der dritten Spalte
von Tabelle 3.1 angegeben.
Abschätzung der Reibwerte
Die Reibwerte , die bei der Reibung zwischen Schiene und Rad auftreten, bewegen sich in
einem Bereich um 0,2. Sie sind abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit von Rad und
Schiene und von den Umweltbedingungen. In dieser Arbeit werden die Spannungswerte für
die Reibwerte zwischen 0 und 0,4 ausgerechnet. Der Wert von 0,4 ist jedoch ein Maximal-
wert, welcher in der Praxis fast nie erreicht wird. Er wird deshalb bei Dauerfestigkeits-
berechnung nicht mit berücksichtigt. Die Diagramme, die als Beispiele für Spannungs-
verteilungen in den folgenden Kapiteln aufgeführt sind, beziehen sich immer auf einen
Reibwert von = 0,2 und auf die maximale Radlast von 11,25 t.
29
3.2. Spannungsberechnung nach McEwans
Die geometrischen Daten sowie die Materialwerte für die Schiene und das Rad sind im
Anhang 6.3 aufgelistet. Mit diesen Daten ergibt sich laut den Gln. (2.8) und (2.11) für
Triebwagenräder ein Äquivalentradius von:
mm
mm
mm
R
5
,
402
540
300
*
und für die Waggonräder beträgt dieser:
mm
mm
mm
R
5
,
367
450
300
*
Die Radien
1
x
R (Längsrichtung Schiene) und
2
y
R
(Querrichtung Rad) sind dabei jeweils
unendlich, fallen also in der Gl. (2.8) weg. Für das äquivalente Elastizitätsmodul (Gl. 2.12)
ergibt sich folgender Wert:
2
2
2
*
115385
210000
3
,
0
1
2
1
mm
N
mm
N
E
Mit diesen Werten können nach der Gl. (2.13) für die einzelnen Radlasten die jeweiligen
Flächenpressungen ausgerechnet werden. Der Exzentrizitätsbeiwert
1
F
wird im Diagramm 1
abgelesen. Mit
34
,
1
2
1
y
x
R
R
für Lokräder bzw. 1,22 für Waggonräder ergibt dafür sich in
beiden Fällen ein Wert von 0,99. Die Flächenlasten, die sich für die verschiedenen mög-
lichen Radlasten ergeben, sind in der vierten Spalte von Tabelle 3.1 aufgelistet. Die Werte
für die Radlasten von 9,75 t bzw. 10 t sind geringer, weil zu diesen Werten größere Räder
gehören und sich somit ein größerer Äquivalentradius ergibt. Die Länge a der Kontaktfläche
kann mit der Gl. (2.14) berechnet werden, die Werte sind in der fünften Spalte der Tabelle
3.1 angegeben.
Mit den Gln. von McEwan (2.16-2.19) können die Normalspannungen in x-, y- und
z-Richtung sowie die Schubspannung in der x-z-Ebene ausgerechnet werden. Die drei-
dimensionale Darstellung der Spannungsverteilung in der x-z-Ebene ist im Anhang 6.4.1 zu
finden (siehe Diagramme 6.1-1 bis 6.1-7). In den Diagrammen 4 und 5 sind die Spannungs-
verläufe entlang der x-Achse an der Oberfläche und in 6 mm Tiefe für einen Reibkoeffi-
zienten von 0,2 eingezeichnet. Es wurde mit vollem Gleiten gerechnet,
d. h. |T/P|=. Die Spannungsverteilung entlang der y-Achse wird bei Walzenkontakt als
konstant angenommen.
30
Diagramm 4: Normal- und Schubspannungen für die maximale Radlast an der Oberfläche
(für RL = 11,25t)
Diagramm 5: Normal- und Schubspannungen für die maximale Radlast in 6mm Tiefe (für
RL = 11,25t)
31
Es ist zu erkennen, dass an der Oberfläche die Spannungsspitzen in x- und in z-Richtung fast
gleich groß sind. In y-Richtung beträgt die größte Spannung ca. 2/3 von den Maximalwerten
in x- oder z-Richtung. An der Oberfläche herrscht also ein weitgehend hydrostatischer
Spannungszustand. Es treten zwar hohe Spannungswerte auf, diese sind aber in alle
Richtungen verhältnismäßig gleich groß, so dass das Material zwar stark gedehnt bzw.
gepresst, aber nur wenig verzerrt wird.
Ins Materialinnere hinein nimmt der Maximalwert von
x
sehr rasch ab, während das Maxi-
mum von
z
zuerst sehr wenig geringer wird. Daher ist in diesem Bereich die Spannung
senkrecht zur Schienenoberfläche dominierend. Die Schubspannungen sind im Vergleich mit
den Normalspannungen im Inneren größer als an der Oberfläche. Die maximalen Schub-
spannungen treten in einer Tiefe von ca. 6 mm auf (abhängig von der Größe der Belastung
und dem Reibkoeffizienten).
Mit Hilfe der Gl. (2.23) können aus diesen Spannungen die Hauptspannungen und die
Hauptspannungsrichtungen errechnet werden. In den Diagrammen 6 und 7 sind die Verläufe
der Hauptspannungen
I
und
II
entlang der x-Achse eingezeichnet. Die dritte Haupt-
spannungsrichtung verläuft in y-Richtung. Die Spannung in y-Richtung gleichzeitig einen
Hauptspannung. Die Diagramme mit der dreidimensionalen Darstellung der Haupt-
spannungen befinden sich im Anhang 6.4.1.
Diagramm 6: Hauptspannungen für die maximale Radlast an der Oberfläche (für
RL = 11,25 t)
32
Diagramm 7: Hauptspannungen für die maximale Radlast in 6 mm Tiefe (für RL = 11,25t)
An der Oberfläche treten sowohl Druck- als auch Zugspannungen auf. Die Zugspannungen
befinden sich am Rand der Kontaktfläche vor der Kontaktmitte. Die Druckspannungen sind
wesentlich höher als die Zugspannungen und ihr Maximum liegt ungefähr in Kontaktmitte.
Im Inneren des Gleiskörpers treten nur noch Druckspannungen auf. Die Maxima der Haupt-
spannungen liegen alle im Zentrum der Kontaktfläche. Die Verformungsenergie, die durch
den Kontakt in das Gleis geleitet wird, ändert vorwiegend nur das Volumen des Materials.
Lediglich die geringen Spannungsdifferenzen zwischen den Hauptspannungen führen zu
einer Änderung der Form des Materials und damit zu Verzerrungen, aufgrund derer sich
Risse bilden können. In der Vergleichsspannung, die sich mit der GEH (Gl. 2.29) berechnet,
wird nur dieser Anteil der Spannung betrachtet. Der Verlauf der Vergleichsspannung entlang
der x- bzw. der z-Achse ist in den Diagrammen 8 und 9 dargestellt.
33
Diagramm 8: Vergleichsspannung nach der GEH an der Oberfläche und in 6 mm Tiefe (für
RL = 11,25t)
Diagramm 9: Verlauf der Vergleichsspannungen über der Tiefe z für verschiedene Reib-
koeffizienten
(für RL = 11,25 t)
34
Der Verlauf der Vergleichsspannung über die Tiefe z zeigt für alle Reibwerte zwei Maxima,
eines an der Oberfläche und eines im Inneren in einer Tiefe von ca. 6 mm. Für geringe
Reibwerte ist das Maximum im Inneren höher, als das an der Oberfläche. Ab einem Reib-
wert von 0,3 übersteigt das Maximum an der Oberfläche das im Inneren. Es muss also zum
einen auf jeden Fall die Dauerfestigkeit an der Oberfläche untersucht werden. Die Lage des
Maximum im Inneren variiert in Abhängigkeit von der Größe des Reibwertes und der
Kontaktfläche a in Abhängigkeit der Radlast. Jedoch ist zu erwarten das bei der größten
Radlast von 11,25 t die maximale Vergleichsspannung auftritt. Bei anderen Radlasten
könnte das Maximum in einer anderen Tiefe liegen, jedoch wird hier die Vergleichs-
spannung geringer sein. Bei RL = 11,25 t tritt es jedoch immer in einem Bereich von ca. 6
mm auf. Deshalb wird als zweite kritische Stelle die Dauerfestigkeit in der Tiefe von 6 mm
untersucht.
3.3. Spannungsberechnung mit CONTACT
Die Berechnungen für den dreidimensionalen Fall wurden mit dem Programm CONTACT
durchgeführt. In einer Eingabedatei wurden Parameter an das Programm übergeben. Das
Programm CONTACT schreibt die Ergebnisse in eine Ausgabedatei, welche später aus-
gewertet wird.
Es wurden folgende Eingabeparameter übergeben:
- die Querkontraktionszahl
= 0,3
- das Schubmodul G = 81.000 N/mm
2
- die Radien a und b der Kontaktellipse: Die mit Hilfe der Gln. (2.22) erhaltenen
Ergebnisse sind in Tabelle 3.2 zusammengefasst. Das Verhältnis b/a beträgt dabei für
Waggonräder 0,89 und für Lokomotivräder 0,85.
- die mit dem Schubmodul G normierte Gewichtskraft P (siehe Tabelle 3.2)
- die Geschwindigkeit S: Dabei handelt es sich um den Weg, um den sich der Körper
während eines imaginären Zeitintervalls weiterbewegt haben soll. Dieser Parameter
ist lediglich eine "numerische Steuergröße" und wurde gleich Eins gesetzt.
- der Reibkoeffizient
: Es wurden Werte zwischen 0 und 0,4 verwendet.
- der Starrkörperschlupf: Er wurde so gewählt, dass vollständiges Gleiten vorliegt. Mit
einem Wert des Parameters FUX=1 ist diese Vorgabe erreicht. Der Schlupf in
y-Richtung und der Bohrschlupf wurden Null gesetzt.
35
Radlast
(t)
5,95 6,60 6,75 7,65 7,75 8,75 9 9,75 10 11,25
Radius a [mm]
5,4
5,6
5,7
5,9 5,9 6,2 6,2 6,7 6,8 6,7
Radius b [mm]
4,9
5,1
5,2
5,4 5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1
normierte Gewichts-
kraft P/G [mm
2
]
0,72 0,80 0,82 0,93 0,94 1,06 1,09 1,18 1,21 1,36
Tabelle 3.2: Radien a und b der Kontaktellipse und die mit dem Schubmodul normierte Gewichtskraft.
Die weiteren Steuerungsparameter für das Programm wurden so eingestellt, dass elastischer
Kontakt und vollständiges Gleiten vorherrscht.
Von den Ergebnissen der Ausgabedatei wurden die Normalspannungen und die Schub-
spannungen an der Oberfläche sowie in der x-z-Ebene für y = 0 und in der y-z-Ebene für x =
0 ausgewertet.
Die Normalspannungen an der Oberfläche des Gleises sind im Diagramm 10 eingezeichnet.
Hier sieht man noch deutlicher als bei der zweidimensionalen Berechnung, dass die
Spannungen in den drei Richtungen im Druckbereich ungefähr gleich groß sind, es herrscht
also ein nahezu hydrostatischer Druckzustand.
Diagramm 10: Normalspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für
RL = 11,25 t)
36
Die Schubspannungen an der Oberfläche sind im Diagramm 11 dargestellt. In der y-z-Ebene
treten keine Schubspannungen auf und in der x-y-Ebene sind diese so gering, dass sie im
Vergleich mit den Normalspannungen vernachlässigt werden können.
Diagramm 11: Schubspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für
RL = 11,25 t)
Da also nur in der x-z-Ebene beachtliche Schubspannungen auftreten, können die Haupt-
spannungen in dieser Ebene mit den Gln. (2.23) ausgerechnet werden. Sie sind im
Diagramm 12 wiedergegeben. Infolge der Schubspannungen liegen die Maxima der
Hauptspannungen in Diagramm 12 nicht mehr so dicht beisammen wie die Maxima
der Normalspannungen in Diagramm 10. Weiterhin treten in den Hauptspannungsrichtungen
überwiegend Druckspannungen auf. Lediglich am Rand der Kontaktellipse wird die
Spannung in einer Hauptrichtung positiv, während die Spannungen in den beiden anderen
Hauptrichtungen nur sehr gering sind.
37
Diagramm 12: Hauptspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für
RL = 11,25 t)
Werden die Spannungen an der Oberfläche entlang der y-Achse (vgl. Diagramm 13 und
Diagramm 14) betrachtet, ist für die Normalspannungen ein symmetrischer Spannungs-
verlauf zu erkennen. Bei den Schubspannungen ist zu sehen, dass sie in
y-Richtung in der x-y-Ebene nicht mehr vernachlässigbar sind. An den Seitenrändern der
Kontaktellipse, an denen die
xy
-Schubspannung maximal wird, sind die Normalspannungen
jedoch sehr gering.
38
Diagramm 13 Normalspannungen entlang der y-Achse an der Oberfläche für die maximale
Radlast (für RL = 11,25 t)
Diagramm 14 Schubspannungen entlang der y-Achse an der Oberfläche für die maximale
Radlast (für RL = 11,25 t)
39
Betrachtet man die Verteilung der Vergleichsspannung in y-Richtung (vgl. Diagramm 15),
ist zu erkennen, dass zumindest ab einem Reibwert von 0,2 die höchsten Spannungen in der
Mitte der Kontaktellipse auftreten. Das Zentrum der Kontaktellipse ist also kritischer als der
Rand der Ellipse und die Schubspannungen in der x-y-Ebene können vernachlässigt werden.
Es werden deshalb nur die Spannungen entlang der x-Achse bei einem y-Wert von 0 unter-
sucht.
Diagramm 15: Vergleichsspannung an der Oberfläche entlang der y-Achse für verschiedene
Reibwerte und für die maximale Radlast (für RL = 11,25 t)
Bei der Betrachtung der Spannungsverläufe im Inneren des Gleiskörpers (für die dreidimen-
sionale Darstellung der Spannungen: Siehe Anhang 6.4.1), ist zu erkennen, dass die
Spannungen
x
und
y
in z-Richtung schnell abklingen, während die Spannung
z
in dieser
Richtung nur sehr langsam abnimmt. Die Normal- und Schubspannungen in der Tiefe von 3
mm sind in den Diagrammen 16 und 17 eingezeichnet. Während die Spannung
z
gerade um
ca. ein Sechstel abgenommen hat, beträgt der Wert der Spannungen
x
und
y
nur noch
ungefähr ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.
40
Diagramm 16: Normalspannungen in der Tiefe von z = 3 mm für die maximale Radlast (für
RL = 11, 5t)
Diagramm 17: Schubspannungen in der Tiefe von z = 3 mm für die maximale Radlast (für
RL = 11,25 t)
41
In der x-z-Ebene (y=0) treten nur noch
xz
-Schubspannungen auf, so dass auch hier wieder
die Hauptspannungen in dieser Ebene berechnet werden können. Die Spannung
xy
ist in
dieser Tiefe bereits abgeklungen. Diagramm 18 zeigt, dass eine starke Druckspannung in der
zweiten Hauptspannungsrichtung auftritt, während in den beiden anderen Hauptspannungs-
richtungen die Spannungen relativ gering sind.
Diagramm 18: Hauptspannungen in der Tiefe von 3 mm für die maximale Radlast (für
RL = 11,25 t)
Die Vergleichsspannung nach der GEH ist hier also höher als an der Oberfläche. Diagramm
19 zeigt den Verlauf der Vergleichsspannungen an der Oberfläche und in einer Tiefe von 3
mm. Die Höhe der Spannungen an der Oberfläche ist jedoch stark von dem Reibkoef-
fizienten
abhängig. Für größere Werte von können die Vergleichsspannungen an der
Oberfläche die im Inneren übersteigen.
42
Diagramm 19: Vergleichsspannungen nach der GEH an der Oberfläche und in einer Tiefe
von z = 3 mm für die maximale Radlast (für RL = 11,25 t)
Diagramm 20 zeigt den Verlauf der Maximalwerte der Vergleichsspannungen nach der GEH
über die Tiefe z für verschiedene Werte des Reibkoeffizienten. Es ist zu erkennen, dass es
auch bei der Rechnung mit CONTACT zwei Ebenen in der Schiene gibt, die untersucht
werden müssen, da in diesen die Vergleichsspannungen ein Maximum besitzt. Das ist zum
einen die Oberfläche und zum anderen die Ebene in einer Tiefe von 3 mm.
Diagramm 20: Verlauf der Maximalwerte der Vergleichsspannungen über die Tiefe z für
verschiedene Reibkoeffizienten (für RL = 11,25 t)
43
3.4. Lastakkumulation
Mit dem Klassengrenzenüberschreitungs-Verfahren (vgl. Abschnitt 2.2.3) ist es möglich, aus
der Anzahl der Lastspiele und der Spannungsverteilung ein Lastkollektiv zu erstellen, das
alle wichtigen Informationen über die Belastung der Schiene enthält. Aus diesem Last-
kollektiv können die maximalen Spannungen abgelesen werden, die Ober- und die Unter-
spannung. Mit Hilfe der Gln. (2.31) und (2.32) lässt sich daraus die Mittelspannung und die
Amplitudenspannung errechnen. Der Abschnitt 6.4.2. im Anhang enthält die Diagramme mit
den Lastkollektiven (siehe Diagramme 6.3-1 bis 6.3-8 sowie Diagramme 6.4-1 bis 6.4-8)
und die Tabellen mit den Spannungswerten (siehe Tabellen
6.7-1 bis 6.7-4 sowie Tabellen 6.8-1 bis 6.8-4) sowohl für die zweidimensionale als auch für
die dreidimensionale Rechnung. Es wurden dabei jeweils Werte einmal von der Oberfläche,
zum anderen von der Tiefe verwendet, an der die maximale Vergleichsspannung auftritt, also
für die Rechnung nach McEwan die Tiefe von 6 mm und für die Rechnung mit dem
CONTACT-Programm die Tiefe von 3 mm.
Je nach Beschaffenheit der Strecke und den Witterungsbedingungen können unterschiedliche
Reibwerte zwischen der Schiene und dem Rad auftreten. Für die Berechnung wurde
folgende Verteilung der Reibwerte über das Jahr angenommen:
Reibwert
0 0,1 0,2 0,3
Anzahl der Tage / Jahr
10
90
150
90
Anzahl der Tage / Liegezeit
200 1800 3000 1800
Tabelle 3.3: Verteilung der Reibwerte
Das sind insgesamt zwar weniger als 365 Tage pro Jahr, aber an den Wochenenden herrscht
auf den Strecken weniger Verkehr. Es wurde mit einer Liegezeit der Schienen von 20 Jahren
gerechnet.
Um eine Dauerfestigkeitsabschätzung durchführen zu können, sind laut Gl. (2.47) die
Mittelspannungen in den drei Hauptspannungsrichtungen nötig. Diese können für die Rech-
nung nach McEwan aus den Tabellen 6.7-1 und 6.7-2 bzw. für die Rechnung mit
CONTACT aus den Tabellen 6.8-1 und 6.8-2 abgelesen werden. Aus diesen Werten berech-
net sich die Vergleichsmittelspannung laut Gl. (2.30) und die Äquivalentmittelspannung laut
Gl. (2.48). Die Amplitudenvergleichsspannung berechnet sich mit den Werten aus den
Tabellen im Anhang 6.4.2. nach der Gl. (2.30). Die Ergebnisse sind in Tabelle 3.4.
zusammengefasst.
44
McEwan CONTACT
z = 0 mm
z = 6 mm
z = 0 mm
z = 3 mm
Mittelspannung - I
Im
-180
-175
-140
-115
Mittelspannung - II
IIm
-875
-585
-785
-545
Mittelspannung - y
ym
-315
-230
-525
-125
Vergleichsmittelspannung
vm
638
385
562
425
Äquivalentmittelspannung
m
*
-732
-605
-888
-360
Vergleichsampitudenspannung
va
345
385
248
410
Tabelle 3.4: Spannungen in N/mm
2
zur Dauerfestigkeitsabschätzung der Rechnung nach McEwan und der
Rechnung mit dem CONTACT-Programm für die Oberfläche und die kritischen Tiefen im Inneren des Gleises.
Jetzt müssen diese Werte in ein Dauerfestigkeitsschaubild eingetragen und überprüft werden,
ob sie sich innerhalb der angenommenen Dauerfestigkeitsgrenzen befinden.
3.5. Dauerfestigkeitsgrenzen der Schienenoberfläche
Mit den im Anhang 6.3 angegeben Materialwerten kann einfach ein Dauerfestigkeits-
schaubild, ein sogenanntes Smith-Diagramm konstruiert werden. Mithilfe der Zugfestigkeit
R
M
und der Wechselfestigkeit R
W
können die Gerber-Parabel (siehe
Gl. 2.36) sowie die Goodman-Gerade (siehe Gl. 2.38) gezeichnet werden. Die Dauerfestig-
keitsgrenzen im positiven Bereich bilden die Goodman-Gerade sowie die Dehngrenze R
E
.
Diagramm 21: Dauerfestigkeitsschaubild für Schienenstahl UIC 900A.
45
Aus diesem Diagramm lässt sich die Schwellfestigkeit, das ist die Spannung, bei der das
Material bei einseitiger positiver Belastung gerade noch dauerfest ist, ablesen. Sie beträgt für
Schienenstahl:
2
480
mm
N
Schw
Mit dem Smith-Diagramm lässt sich somit auf einfache Weise die Dauerfestigkeit für
positive Mittelspannungen überprüfen. Im negativen Bereich wird die Mittelspannungs-
empfindlichkeit bei dieser Vorgehensweise jedoch nicht ausreichend berücksichtigt. Im
Bereich positiver Mittelspannungen bezieht zwar die Goodman-Gerade die Abhängigkeit der
Dauerfestigkeit von der Mittelspannung mit ein, im negativen Bereich ist sie allerdings eine
schlechte Näherung. Die Amplitudenspannung könnte bei entsprechend hoher Mittel-
spannung beliebig hoch werden. Dies ist unwahrscheinlich. Die Näherung nach Gerber
berücksichtigt hingegen die Mittelspannungsempfindlichkeit überhaupt nicht. Die Good-
mangerade ist somit im Bereich positiver Mittelspannungen eine brauchbare Dauer-
festigkeitsgrenze. Die Gerberparabel eignet sich eher als Dauerfestigkeitsgrenze im nega-
tiven Bereich, allerdings nur für Werkstoffe, bei denen eine negative Mittelspannung nicht
zu einer Erhöhung der Dauerfestigkeit führt.
Auf der Schienenoberfläche herrschen ausschließlich negative Mittelspannungen. Es tritt ein
Spannungsverlauf mit großen hydrostatischen Anteilen auf, das heißt, das Material wird von
allen Seiten unter Druck gesetzt. (Zwar treten bei einer Hauptspannung auch positive Werte
auf, aber die negativen Werte dieser Spannung sind betragsmäßig größer, so dass die Mittel-
spannung auch in dieser Spannungsrichtung negativ ist.)
Für die Untersuchung des Bereiches der negativen Mittelspannungen eignet sich das Haigh-
Schaubild. In ihm werden die ertragbaren Amplitudenspannungen über der Mittelspannung
aufgetragen. Diagramm 22 zeigt ein solches Schaubild, in dem Dauerfestigkeitsgrenzen und
die Messwerte aus dem Versuch entsprechend Abschnitt 6.3, Tabelle 6.5, eingezeichnet
wurden. (Genaue Darstellung des Haigh-Schaubildes: siehe Anhang 6.4.3.) Es wurden die
Goodman-Gerade (Gl. 2.38), die Parabel, welche für duktile Werkstoffe empfohlen wird (Gl.
2.37) sowie die Gerber-Parabel (Gl. 2.36) eingezeichnet.
46
Diagramm 22: Haigh-Schaubild. Die farbigen Linien sind die Dauerfestigkeitsgrenzen, die grauen Linien die
statischen Festigkeitsgrenzen. Die schwarzen Kreuze sind die Messwerte, die bei einem Dauerfestigkeits-
versuch mit Schienenstahl bei unterschiedlicher Mittelspannung ermittelt wurden. Die Ausfallwahrscheinlich-
keit beträgt jeweils 90%, 50% und 10%. Die Dauerfestigkeitgrenzen wurden für eine Ausfallwahrscheinlichkeit
von 10% konstruiert. Die schwarzen Linien sind stets lineare Verlängerungen von der Wechselfestigkeit aus
(
m
= 0).
Wenn die Messwerte für eine Mittelspannung von 0 und für die negative Mittelspannung
verbunden und linear in den negativen Bereich verlängert werden, ergibt sich eine auf den
Messwerten beruhende Näherung für die Dauerfestigkeitsgrenze des Werkstoffes. Es ist zu
erkennen, dass diese Linie (schwarz) der berechneten Parabel für duktile Werkstoffe (PfdW)
am ähnlichsten ist.
Rechnet man nach der Methode von Schütz
19
die Mittelspannungsempfindlichkeit aus, ergibt
sich nach Gl. (2.40) folgender Wert:
338
,
0
240
240
321
2
2
2
mm
N
mm
N
mm
N
M
Für die Steigung der Dauerfestigkeitsgrenze im negativen Bereich ergibt sich mit der
Gl. (2.41) also ein Wert von:
6
,
18
tan
1
M
19
Vgl. Schütz, S. 417.
47
Diese Gerade verläuft fast genauso, wie die Goodman-Gerade, welche einen Steigungs-
winkel von
7
,
18
950
321
tan
tan
2
2
1
1
mm
N
mm
N
R
R
M
W
besitzt. Eine weitere Möglichkeit, die Dauerfestigkeitsgrenze im negativen Bereich zu
bestimmen, hat Lüpfert
20
vorgeschlagen. Er rechnet mit den Materialwerten einen Expo-
nenten p aus, den er in die Haigh-Funktion einsetzt. Dieser errechet sich aus der
Gl. (2.43):
00
,
1
950
2
480
1
ln
321
2
480
ln
p
Die Haigh-Funktion lautet dann nach der Gl. (2.42) folgendermaßen:
m
m
w
a
R
R
1
Auch diese Näherung entspricht genau der Goodman-Gerade (siehe Gl. 2.38).
Sowohl der Ansatz von Goodman als auch die Näherung der Dauerfestigkeitsgrenze für
duktile Werkstoffe (PfdW) scheinen durch die Materialwerte bestätigt zu werden. Während
es aber fraglich ist, ob die Ansätze von Gerber, Smith und Goodman primär für einen Ein-
satz bei einer negativen Mittelspannung entwickelt wurden, ist der Ansatz der PdfW speziell
im Hinblick auf diesen Aspekt entwickelt worden. Für den Ansatz der PfdW spricht auch,
dass er im Druckbereich eine Art Mittelwert der vorliegenden Hypothesen darstellt, und dass
die einzigen verfügbaren experimentellen Ergebnisse aus einem Dauerfestigkeitsversuch für
Schienenstahl seine Richtigkeit zu bestätigen scheinen. Deshalb soll dieser Ansatz in dieser
Arbeit für die Bewertung der Dauerfestigkeitsabschätzung verwendet werden, bis eine
genauere experimentelle Untersuchung eine bessere Datenbasis für die Beurteilung schafft.
20
Vgl. Lüpfert, S. 68f.
48
3.6. Abschätzung der Dauerfestigkeit
In Diagramm 23 sind die Spannungswerte aus der Tabelle 3.4 (siehe Abschnitt 3.4) einge-
tragen, also die Äquivalentmittelspannung auf der Ordinate und die Vergleichsamplituden-
spannung auf der Abszisse. Es wurden vier Werte ausgerechnet und in das Diagramm als
Kreuz eingetragen. Die Werte beziehen sich einmal auf die Oberfläche und einmal auf das
Schieneninnere und wurden jeweils nach McEwan bzw. mit CONTACT ausgerechnet.
(Exakte Darstellung des Haigh-Schaubilds: siehe Anhang 6.4.3.)
Diagramm 23: Haigh-Schaubild mit den Dauerfestigkeitsgrenzen nach Goodman (rot) und nach der Näherung
für duktile Werkstoffe (blau) für die Ausfallwahrscheinlichkeit von 10%. Die Spannungswerte der Rechnung
nach McEwans (an der Oberfläche und in der Tiefe von 6 mm) und nach der Berechnung mit dem CONTACT-
Programm (an der Oberfläche und in der Tiefe von 3 mm) sind als schwarze Kreuze eingezeichnet.
In dem Diagramm ist zu erkennen, dass die Spannungswerte der Schienenoberfläche bei
beiden Näherungen unterhalb der Dauerfestigkeitsgrenze für duktile Werkstoffe liegen. Die
Äquivalentmittelspannungen an der Oberfläche sind relativ hohe Werte im negativen
Bereich und liegen übertragsmäßig über den Werten im Inneren der Schiene. Die
Vergleichsamplitudenspannungen im Inneren sind dagegen höher als diejenigen an der Ober-
fläche. Für die Spannungswerte im Inneren ist bei der Rechnung mit dem CONTACT-
49
Programm das Material nicht mehr dauerfest. Während bei der zweidimensionalen
Rechnung nach McEwans der Spannungswert in der Tiefe von 6 mm gerade noch dauerfest
ist, liegt der Wert für die dreidimensionale Rechnung bereits oberhalb der Dauerfestigkeits-
grenze für duktile Werkstoffe. Im Inneren der Schiene ist die Äquivalentmittelspannung
geringer als an der Oberfläche und die Vergleichsamplitudenspannung höher.
Nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze allerdings die Goodman-Gerade an, dann liegen alle
berechneten Werte im dauerfesten Bereich.
50
4. Auswertung und Diskussion
4.1. Auswertung der Spannungsberechnung
Die Ergebnisse der Spannungsberechnung nach McEwan und die Ergebnisse der Berech-
nung mit CONTACT sind weitgehend ähnlich. An der Oberfläche herrschen unter der
Kontaktfläche hohe Drucknormalspannungen. Achtbare Schubspannungen treten beim
reinen Rollen nur in der y-z-Ebene auf. Bei der dreidimensionalen Berechnung sieht man
noch deutlicher als im zweidimensionalen Fall, dass die Spannungen ungefähr gleich groß
sind. Der Spannungszustand, der hier herrscht, kommt dem hydrostatischen Spannungs-
zustand, bei dem die Spannungen in allen Richtungen gleich groß sind, noch näher. Das
zeigt sich auch an der Vergleichsspannung, diese ist für die Rechnung mit CONTACT an der
Oberfläche geringer als für die Rechung nach McEwan.
In einem kleinen Bereich um die Kontaktellipse treten bei der x-Komponente und in der
dreidimensionalen Rechnung auch bei der y-Komponente auch Zugspannungen an der Ober-
fläche auf. Diese sind aber nicht so groß, wie die Druckspannungen und sie klingen im
Inneren der Schiene schnell ab.
Je höher der Reibwert ist, desto größer sind auch die Spannungen. Dies gilt für die absoluten
Spannungswerte als auch für die relativen, das heißt, für die Differenzbeträge zwischen den
einzelnen Spannungskomponenten.
Im Inneren der Schienen klingen die Spannungswerte verständlicherweise ab. Dies erfolgt
jedoch für die einzelnen Komponenten unterschiedlich schnell. Während die x- und die y-
Komponente relativ schnell abklingen, bleibt die z-Komponente noch weitgehend konstant.
Dadurch erhöhen sich im Inneren die Spannungsdifferenzen zwischen den einzelnen
Komponenten und damit die Vergleichsspannung. Für die Vergleichsspannung gibt es also
zwei Stellen, an denen sie ein Maximum besitzt. Dies ist einmal die Schienenoberfläche, wo
alle Spannungskomponenten maximal und somit auch die Differenzen relativ groß sind. Ein
zweites Maximum liegt im Inneren der Schiene, weil die z-Komponente der Spannung
weniger stark abklingt als die x- und die y-Komponente.
Auch dieses Phänomen wird bei der dreidimensionalen Rechnung mit CONTACT deutlicher
als bei der Berechnung nach McEwan. Die x- und die y-Werte aus der dreidimensionalen
Rechnung klingen schneller ab, so dass zum einen die Vergleichsspannungen generell höher
sind und zum anderen das Maximum für die Vergleichsspannung eher erreicht ist. Während
es nach McEwan in einem Bereich von ca. 6 mm Tiefe liegt, befindet es sich bei der
51
Rechnung mit CONTACT bei ca. 3 mm Tiefe. Generell hängt aber die Lage dieses Maxi-
mums sowohl vom angenommenen Reibwert als auch von der Höhe der Belastung ab.
Der für den Rad-Schiene-Kontakt angenommene Reibwert hat aber im Inneren weniger Ein-
fluss auf die Spannungswerte als an der Oberfläche. Die Werte der Schienenoberfläche
hängen sehr stark von diesem Koeffizienten ab.
Fehlerdiskussion
Sowohl die zweidimensionale Rechnung nach McEwans als auch die dreidimensionale mit
CONTACT sind nur Näherungsrechnungen. Wobei die dreidimensionale Rechnung die
genauere Näherung ist. Es können aber trotzdem Ungenauigkeiten auftreten.
Eine weitere Näherung ist die Geometrie der Schiene und des Rades. Es wurden die Werte
angenommen, die in den Normen vorgegeben sind. Diese sind jedoch Lieferbedingungen
und beziehen sich deshalb auf neue Räder bzw. Schienen. Im Laufe der Zeit nutzen sich die
Schienen und die Räder ab, sie passen sich somit in ihrer Form gegenseitig an. Das bedeutet,
dass die Kontaktfläche zwischen Rad und Schiene größer wird. Die Flächenpressung an der
Kontaktfläche ist aber stark abhängig von der Größe der Kontaktfläche. Eine größere
Kontaktfläche bedeutet deshalb eine geringere Flächenpressung und damit eine geringere
Spannung.
Außerdem wurden in dieser Arbeit nur die Spannungen betrachtet, die aufgrund der
Flächenpressung zwischen Rad und Schiene auftreten. Im Gleis treten aber noch weitere
Spannungen auf, welche die Schiene sowohl entlasten als auch weiter belasten können.
Entlastend für die Dauerfestigkeit wirkt die Biegespannung des Gleises. Sie stellt eine
hydrostatische Druckspannung dar, welche die Mittelspannung im Material erhöht. Sie ist
jedoch im Vergleich zu den Kontaktspannungen nur gering. Weiterhin können Eigen-
spannungen aufgrund von Materialfehlern, Temperaturausdehnungen oder plastischen
Verformungen auftreten. Diese Spannungen und ihre Wirkungen zu bestimmen ist kompli-
ziert und wurde in dieser Arbeit nicht vorgenommen. Plastische Verformungen und Ver-
festigungen an der Schienenoberfläche, welche die Festigkeitswerte steigern und damit die
mögliche Materialbeanspruchbarkeit erhöhen können, wurden ebenfalls nicht mit in Betracht
gezogen.
Die Spannungsberechnungen wurden unter der Annahme vollzogen, dass zwischen Rad und
Schiene vollständiger Schlupf herrscht. Dies tritt jedoch nur unter bestimmten Vorraus-
setzungen auf, wie z. B. beim Beschleunigen. Bei kleinen Schlüpfen, wenn T/P kleiner ist,
52
teilt sich die Kontaktfläche in Haft- und Gleitgebiet auf.
21
Hierbei kommt es beim Übergang
vom Haften zum Gleiten zu Unstetigkeiten in den Spannungsverläufen an der Oberfläche,
die sich unter Umständen negativ auf die Dauerfestigkeit auswirken können. Um die Dauer-
festigkeitsabschätzung überschaubar zu halten, wurde auf die Berücksichtigung dieser
speziellen Eigenschaft des Rollkontakts mit Traktion verzichtet, zumal volles Gleiten bereits
bei sehr kleinen Schlüpfen von weniger als einem Prozent auftritt.
Schließlich ist die Annahme, dass die Oberflächen sowohl der Schiene als auch des Rades
vollkommen glatt sind, nur eine Näherung an reale Verhältnisse. Auf den Oberflächen treten
immer geringe Unebenheiten auf, welche die Belastungen der Schiene erhöhen können. Zur
Spannungsberechnung wurde nur der statische Anteil der Belastung berücksichtigt, der
dynamische wurde nicht beachtet.
In dieser Arbeit wurde vorausgesetzt, dass die Radfläche in y-Richtung waagerecht ist. Sie
ist aber geringfügig geneigt, wie in Abb. 15 im Anhang 6.3 zu erkennen ist. Das bedeutet,
dass zusätzliche Schubspannungen auftreten, die nicht mit beachtet wurden. Außerdem
verschiebt sich die Kontaktellipse vom Zentrum der Schienenoberfläche mehr an den Rand,
wodurch die Schiene höher belastet wird. Der in der Arbeit behandelte Fall behandelt auch
nur eine Geradeausfahrt. Zusätzliche Belastungen durch Kurvenfahrten sind nicht berück-
sichtigt worden.
4.2. Auswertung der Dauerfestigkeitsabschätzung
Während die Ergebnisse der Spannungsberechnung im zweidimensionalen Fall und im drei-
dimensionalen Fall sehr ähnlich waren, sind die Ergebnisse der Dauerfestigkeitsabschätzung
ziemlich unterschiedlich. Wenn also ähnliche Spannungswerte verschiedene Ergebnisse der
Dauerfestigkeitsabschätzung liefern, zeigt das, dass die Abschätzung relativ sensibel auf
Veränderungen der Werte reagiert. Die erhaltenen Werte liegen vermutlich alle in einem
Grenzbereich der Dauerfestigkeit und eine eindeutige Aussage ist nicht möglich.
Nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze die Goodman-Gerade an, was ja durch einige
Materialwerte bestätigt wird, sind alle Spannungswerte im dauerfesten Bereich. Wird aller-
dings die Parabel für duktile Werkstoffe als Dauerfestigkeitsgrenze festgelegt, was zum
einen sicherer ist und zum anderen durch mehrere Materialwerte bestätigt wird, ist zumin-
dest ein berechneter Wert außerhalb des dauerfesten Bereichs. Das bedeutet, in diesem
21
Siehe bspw. [6], [7].
53
Bereich können sich kleine Risse bilden, welche möglicherweise, wenn sie weiter wachsen,
zu Materialversagen führen.
Die Werte von der Oberfläche der Schiene sind alle im sicheren Bereich. Hier treten sehr
hohe Druckspannungen auf, dies setzt die Äquivalentmittelspannung herab. Die Differenz
zwischen den einzelnen Komponenten der Spannung an der Oberfläche ist nur gering, so
dass sowohl die Vergleichsmittelspannung, welche die Äquivalentmittelspannung beein-
flusst, als auch die Vergleichsamplitudenspannung, die direkt in dem Haigh-Schaubild auf-
getragen ist, gering sind. Diese Phänomene sind bei den Ergebnissen der Berechnung mit
CONTACT stärker ausgeprägt als bei den Ergebnissen der Rechnung nach McEwan, so dass
die dreidimensionalen Werte noch weiter im sicheren Bereich sind, als die zweidimensio-
nalen.
Im Inneren der Schiene sind die Verhältnisse zwischen den beiden Rechnungen genau um-
gekehrt. Bei der dreidimensionalen Rechnung klingen die Spannungswerte schneller ab, als
bei der zweidimensionalen Rechnung, so dass hier die Äquivalentmittelspannung größer ist.
Außerdem wird die Äquivalentmittelspannung noch erhöht durch die Vergleichsmittel-
spannung, welche bei der Rechnung mit CONTACT größer ist als bei McEwan. Auch die
Vergleichsamplitudenspannung bei Rechnung mit CONTACT ist höher. Dies führt dazu,
dass der Spannungswert in einer Tiefe von 3 mm bei der dreidimensionalen Rechnung nicht
mehr im dauerfesten Bereich ist, nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze die PfdW an.
Generell lässt sich sagen, dass die Werte im Inneren der Schiene kritischer sind, als an der
Oberfläche. Ob dies allerdings auch zu einem Dauerfestigkeitsversagen führt, muss dis-
kutiert werden. Wenn die Werte außerhalb der Dauerfestigkeitsgrenzen liegen, ist die Wahr-
scheinlichkeit hoch, dass die Belastung im Laufe der Zeit zu Bildung von Mikrorissen im
Material führt. Es muss jedoch unterschieden werden zwischen einer Anrissdauerfestigkeit
und einer Bruchdauerfestigkeit. Die Spannungen im Inneren der Schiene sind Druck-
spannungen. Bei negativen Mittelspannungen existiert das Phänomen, dass sich bildende
Anrisse nicht weiterwachsen
22
. Es ist anzunehmen, dass die Bildung von Mikrorissen im
Inneren der Schiene nicht unbedingt zum Versagen des Materials führt. Die sich bildenden
Anrisse wachsen dann nicht weiter oder verschließen sich durch die hohen Druckspannun-
gen sogar wieder.
22
Vgl. [16], S. 73ff.
54
Fehlerdiskussion
Auch bei der Dauerfestigkeitsrechnung muss angemerkt werden, dass es sich lediglich um
eine Näherungsrechnung handelt. Im dem Fall, der in dieser Arbeit untersucht wird, trifft
dies insbesondere zu, da für die Dauerfestigkeitsrechnung bei mehrachsiger periodischer
Belastung noch keine experimentellen Ergebnisse vorliegen. Sowohl die Lage der Dauer-
festigkeitsgrenzen, als auch der Einfluss einer negativen Mittelspannung konnten nur abge-
schätzt werden.
Weiterhin beruht die Verteilung der Reibwerte über das Jahr nur auf einer Schätzung und
nicht auf einer statistischen Analyse. Vor allem an der Oberfläche wirkt sich dieser Faktor
aber entscheidend auf das Ergebnis aus. Auch der Einfluss der Oberflächengüte auf die
Dauerfestigkeitsberechnung wurde vollständig außer Acht gelassen.
Ansonsten wirken sich die Fehler, die bei der Spannungsberechnung diskutiert wurden, auch
auf die Dauerfestigkeitsabschätzung aus.
55
5. Zusammenfassung und Ausblick
Als Ergebnis kann festgehalten werden, dass die Schiene an der Oberfläche dauerfest ist.
Das Ergebnis für die Dauerfestigkeitsabschätzung im Inneren der Schiene kann nicht so ein-
deutig formuliert werden, da hier die Teilergebnisse der beiden durchgeführten Rechnungen
nicht übereinstimmen. Es muss unterschieden werden zwischen der zweidimensionalen
Rechnung nach McEwan, welche als Ergebnis liefert, dass das Material auch im Inneren
dauerfest ist, und der dreidimensionalen Berechnung mit dem CONTACT-Programm, das
ein negatives Ergebnis für das Schieneninnere liefert. Weiterhin muss unterschieden werden,
welche Dauerfestigkeitsgrenze angenommen wird. Nach Goodman ist das Material dauer-
fest, setzt man hingegen die PfdW als Grenze fest, ist das Schieneninnere nicht dauerfest.
Die Ergebnisse der Spannungsberechnung für das Innere der Schiene liegen also in einem
Grenzbereich. Da bei der Fehlerdiskussion jedoch die Faktoren überwiegen, welche das
Material entlasten (größere Kontaktfläche Materialabnutzung, evtl. kein vollständiger
Schlupf, zusätzliche Druckspannungen usw.) und außerdem im Inneren des Materials sich
bildende Anrisse nicht unbedingt zum Materialversagen führen, kann auch für das Innere der
Schiene als Ergebnis formuliert werden, dass das Material hier dauerfest ist. Unter ungüns-
tigen Umständen ist es jedoch nicht vollständig auszuschließen, dass ein Versagen des
Schienenmaterials auf ungenügende Dauerfestigkeit zurückzuführen ist.
Dieses Ergebnis beruht jedoch nur auf einer groben Abschätzung. Um genauere Ergebnisse
zu erhalten, ist es unerlässlich, dass das Materialverhalten experimentell überprüft wird. Es
muss untersucht werden, wie sich der Werkstoff bei negativen Mittelspannungen verhält und
wie er auf mehrachsige Belastungen reagiert. Mit den Ergebnissen einer solchen Unter-
suchung können die Dauerfestigkeitsgrenzen und der Mittelspannungseinfluss genauer
bestimmt werden. Untersuchungen über den Einfluss der Oberflächengüte auf die Dauer-
festigkeit und über die statistische Verteilung von Reibkoeffizienten zwischen Rad und
Schiene im Eisenbahnverkehr könnten bei zukünftigen Arbeiten zu diesem Thema ebenfalls
mit einfließen.
Um die Dauerfestigkeit sicher zu gewährleisten, bietet sich nur an, die Belastungen zu
senken. Die Spannungen in der Schiene hängen stark von der Größe der Kontaktfläche ab.
Generell führt ein konformerer Kontakt zwischen Rad und Schiene zu einer größeren
Kontaktfläche mit einer niedrigeren maximalen Hertzschen Pressung. Dies könnte aber in
einer gewissen Zielkonkurrenz zu anderen Problemfeldern, wie Verschleiß oder Fahr-
komfort, stehen. Eine andere Möglichkeit, die Belastung zu senken, ist die Absenkung der
56
maximalen Radlast. Dies ist durch ein geringeres Fahrzeuggewicht oder durch Erhöhung der
Achsenzahl machbar. Vor allem sollten Spitzenwerte bei der Belastung vermieden werden,
da die Überrollanzahl so hoch ist, dass diese Werte ein Dauerfestigkeitsproblem darstellen.
57
6. Anhang
6.1. Abschätzung der Radlasten
Für die verschiedenen Zugarten wurden folgende Radsatzlasten (RSL) ermittelt; diese ent-
sprechen dem doppelten der Radlast (RL):
ICE
Mittelwagen
23
(12 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):
Eigenmasse: 46,5 t
76 Personen: 7,6 t
Gesamt: 54,1
t
RSL:
13,5
t
Triebwagen
24
( 2 oder 4 Loks Ø 3 Loks pro Zug à 4 Radsätze):
Gewicht:
78,0
t
RSL:
19,5
t
IC/EC/D
Wagen
25
(8 - 12 Wagen Ø 10 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):
Eigenmasse: Ø 46,0 t
(ca. 42t 48t)
54 - 80 Plätze: Ø 6,8 t
Gesamt:
52,8 t
RSL:
13,2 t
Lokomotiven
26
(jeweils 4 Radsätze):
Gewicht: Ø 80,0 t
(ca. 74t 86t)
RSL:
20,0 t
Regionalzüge:
Doppelstockwagen
27
(4 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):
Eigenmasse: Ø 48,0 t
130 Plätze:
13,0 t
Gesamt:
61,0 t
RSL:
15,3 t
23
Aus [9], S. 132, Tab. 5.
24
Aus [9], S.117, Tab. 3.
25
Aus [11], S.10ff.
26
Aus [12], S. 15.
27
Geschätzt.
58
Einfache Wagen
28
(6 Wagen pro Zug à 4 Radsätze)
Eigenmasse: Ø 46,0 t
80 Plätze:
8,0 t
Gesamt:
54,0 t
RSL: 13,3 t
Im Schnitt hat also ein Regionalzug
12 Achsen mit RSL =
13,3 t
und 8 Achsen mit RSL =
15,3 t.
Lok: wie beim IC/EC/D
Güterzüge:
Für den Güterverkehr wurde für folgende Zugarten eine Schätzung der Belastungen auf-
gestellt:
KV
ICG etc.
Ganzzug
Logistik
Ganzzug
langsam
EWV
Nah /
Übergabe,
sonstige
Anzahl Waggons
25
15
20
20
20
10
Anzahl Radsätze / Waggon
4
2
2
4
3
3
Anzahl Radsätze / Zug
100
30
40
80
60
30
Eigengewicht Wagen [t]
20
16
16
25
20
20
Ladungsgewicht / Wagen [t]
27,5
15
20
65
32,5
32,5
Gesamtgewicht Wagen [t]
47,5
31
36
90
52,5
52,5
RSL [t]
11,9
15,5
18
22,5
17,5
17,5
Anzahl der Loks [t]
2
2
2
2
2
1
Anzahl der Radsätze (Loks)
8
8
8
8
8
4
RSL (Lok) [t]
20
20 20 20 20 20
Tabelle 6.1: Belastungen Güterzüge
Der Maximalwert für Achslasten ist in Deutschland gesetzlich auf 22,5 t beschränkt.
28
Aus [11], S.10ff.
59
6.2. Abschätzung des Verkehrs
Für den Personenverkehr wurde auf 12 Strecken das Verkehrsaufkommen ermittelt
29
. Auf-
geteilt in ICE-Züge, IC-/EC-/D-Züge sowie den Nahverkehr ergibt sich folgende Belastung
der Strecken.
Nr.
Abschnitt
Anzahl
Personen-
züge
ICE
IC/EC/D
Nah-
verkehr
von
bis
1
Glaubitz
Niederau
38
8
11
19
2
Appenweiler
Baden-Baden
64
21
19
24
3
Roth
Reuchtlingen
58
16
7
35
4
Lutherstadt Wittenb. Niedergörsdorf
23
8
6
9
5
Bamberg
Forchheim
52
9
3
40
6
Kassel Wilh.
Göttingen
63
57
6
0
7
Weißenfels
Bad Kösen
66
17
18
31
8
Schlüchtern
Haitz Höchst
62
30
8
24
9
Erfurt
Weimar
56
13
14
29
10
Iphofen
Neustadt/Aisch
53
9
22
22
11
Partenstein
Lohr / Stadt
45
0
20
25
12
Rosenheim
Kiefersfelden
49
2
24
23
Tabelle 6.2: Anzahl der Personenzüge pro Tag
Für den Güterverkehr ergeben sich auf denselben Strecken folgende Belastungen
30
:
Nr.
Abschnitt
Anzahl
Güter-
züge
Zugtypen Obergruppen
von
bis
KV
ICG
etc.
Ganz-
zug
Logistik
Ganz-
zug
langsam
EWV
Nah /
Über-
gabe,
sonstige
1
Glaubitz
Niederau
31
6
5
1
3
2
15
2
Appenweiler
Baden-Baden
69
23
10
0
11
15
10
3
Roth
Reuchtlingen
22
5
3
0
6
1
8
4
Lutherstadt Wittenb. Niedergörsdorf
16
3
1
0
1
1
10
5
Bamberg
Forchheim
33
2
3
0
4
6
19
6
Kassel Wilh.
Göttingen
19
9
6
1
0
1
2
7
Weißenfels
Bad Kösen
41
3
5
0
15
2
16
8
Schlüchtern
Haitz Höchst
41
10
9
0
7
2
13
9
Erfurt
Weimar
20
0
3
0
8
0
9
10
Iphofen
Neustadt/Aisch
39
13
6
4
4
0
12
11
Partenstein
Lohr / Stadt
46
8
6
4
10
8
11
12
Rosenheim
Kiefersfelden
45
27
5
0
3
8
4
Tabelle 6.3: Anzahl der Güterzüge pro Tag
29
Die Werte für den Personenverkehr wurden mit Hilfe des Fahrplans der DB AG (Gültigkeitszeitraum:
15.12.2002 13.12.2003) ermittelt.
30
Die Werte für den Güterverkehr wurden von der DB Netz AG bezogen.
60
Mit diesen Zahlen kann die Belastung der einzelnen Strecken errechnet werden. Mit Hilfe
der Radlasten der unterschiedlichen Zugtypen (siehe Abschnitt 6.1) wurde die Anzahl der
Lastspiele für die einzelnen Radlasten pro Tag ermittelt.
Nr.
Radsatzlasten
Summe
der Über-
rollungen
/Tag
Gesamt-
belastung
/Tag
(t)
Züge
/Tag
11,9 13,2 13,5 15,3 15,5 17,5 18 19,5 20 22,5
1
600 440 612 152 135 563 40 96 309 220
3167 49.194
69
2
2325 760 1296 192
285 1178
0
252
679
880
7847
121.451
133
3
450 280 1188 280 83 293 0 192 315 500
3580 57.065
80
4
300 240 492 72 30 345 0 96 146 80
1801 27.576
39
5
200 120 912 320 90 885 0 108 360 300
3295 54.111
85
6
900 240 2736 0 188 98 50 684 169 0
5064 73.045
82
7
275 720 1188 248 150 608 0 204 461 1220 5074 86.213
107
8
1000 320 1728 192 255 518 0 360 399 540
5312 82.548
103
9
0 560 972 232 90 278 0 156 293 600
3181 52.717
76
10
1325 880 696 176 173 353 160 108 437 300
4607 68.791
92
11
775 800 300 200 173 803 150 0 501 760
4461 73.430
91
12
2675 960 372 184 143 563 0 24 535 200
5655 80.062
94
5,95 6,6 6,75 7,65 7,75 8,75 9 9,75 10 11,25
Radlasten
Tabelle 6.4: Anzahl der Lastspiele pro Tag, für die verschiedenen Radlasten. Die am stärksten belastete
Strecke ist gelb markiert.
Die Strecke 2 ist die am stärksten belastete Strecke. Anhand dieser Strecke wird in dieser
Arbeit die Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche durchgeführt.
61
6.3. Geometrische Daten und Materialwerte
Geometrie von Schiene und Rad
Raddurchmesser:
ICE Mittelwagen
31
(neu/abgenutzt): 920/860 mm
ICE Triebwagen
32
:
1040 mm
Lokomotiven/Triebwagen
33
:
1100 mm
Güterwagen
34
:
920 mm
1000 mm
Reisezugwagen
35
:
920 mm
Für die Rechnung wird für Lokomotivräder ein Radius von
mm
R
x
540
2
und für Waggonräder ein Radius von
mm
R
x
450
2
verwendet. Der Radius R
y2
ist unendlich, das heißt in der Richtung quer zur Schiene ist das
Radprofil nicht gekrümmt
36
. Dies gilt allerdings nur für neue, das heißt nicht abgefahrene
Räder.
Abbildung 15: Radsatzprofil S1002 mit Radienbemaßung. Die Rad-
mitte befindet sich in dieser Abbildung auf der rechten Seite. (aus [20],
S. 35)
31
Aus [9], S. 75.
32
Aus [9], S. 54.
33
Aus [12], S. 14.
34
Aus [17].
35
Aus [11].
36
Vgl. DIN 5573 oder UIC 812-3.
62
Schienengeometrie:
Laut der Norm UIC 861 ist der Radius der Kontaktfläche einer Schiene:
mm
R
y
300
1
Der Radius R
x1
ist unendlich, da die Schiene in Fahrtrichtung nicht gekrümmt oder nur sehr
gering gekrümmt ist (Schienendurchbiegung oder Geländeerhebungen) und damit vernach-
lässigbar ist.
Abbildung 16: Schienenprofil UIC 60 mit
Radienbemaßung. (aus [20], S. 34)
Werkstoffeigenschaften für Rad und Schiene:
E-Modul:
2
2
1
210000
mm
N
E
E
Querkontraktionszahl:
3
,
0
2
1
Werkstoffeigenschaften des Schienenstahls:
Zugfestigkeit:
Die Mindestzugfestigkeit ist laut DIN 5901 vorgegeben mit:
2
,
880
min
mm
N
R
m
In der Literatur werden Werte zwischen
2
700
mm
N
und
2
1300
mm
N
angegeben
37
. Die
Verwendung richtet sich nach der Verwendung der Schiene, das heißt manchmal werden im
Bogen oder bei Weichen höherwertige Typen verwendet.
37
Vgl: [1], S. 69, Tafel 3; [3], S. 844; [4], S. 596; [5], S. 26.
63
Für die Rechnung wird ein Mittelwert gebildet aus den Messwerten für die 900A Güten, die
beim geraden Gleis verwendet werden:
2
950
mm
N
R
m
Dehngrenze:
Für die Dehngrenze sind in der Literatur Werte zwischen
2
450
mm
N
und
2
850
mm
N
ange-
geben. Für die Rechnung wurde folgender Mittelwert gebildet:
2
600
mm
N
R
E
Verhältnis zwischen Bruchfestigkeit und Dehngrenze beträgt 0,63 - d. h., der Stahl besitzt
eher duktile Eigenschaften.
Wechselfestigkeit:
Untersuchungen zur Wechselfestigkeit von Schienenstahl gibt es bisher nur wenige. Aus der
für Schnellfahrstrecken üblicherweise verwendeten Schiene wurden in einer Untersuchung
38
Proben entnommen, um deren Wechselverformungs- und Lebensdauerverhalten zu ermitteln.
Außerdem wurde noch der Mittelspannungseinfluss untersucht.
Für die Wechsel- bzw. Dauerfestigkeiten wurden folgende Werte ermittelt:
2
%
10
,
mm
N
R
D
2
%
50
,
mm
N
R
D
2
%
90
,
mm
N
R
D
2
100
mm
N
m
369 351 333
2
0
mm
N
m
342 331 321
2
100
mm
N
m
345 315 285
Tabelle 6.5: Wechselfestigkeiten für die Ausfallwahrscheinlichkeiten von 10%, 50% und 90%.
38
Siehe [1], S. 74.
64
6.4 Tabellen und Diagramme
6.4.1. Dreidimensionale Darstellung der Spannungsverteilung unter der Oberfläche
Berechnung nach McEwan
Diagramm 6.1-1
Diagramm 6.1-2
65
Diagramm 6.1-3
Diagramm 6.1-4
66
Diagramm 6.1-5
Diagramm 6.1-6
67
Diagramm 6.1-7
Berechnung mit CONTACT
Diagramm 6.2-1
68
Diagramm 6.2-2
Diagramm 6.2-3
69
Diagramm 6.2-4
Diagramm 6.2-5
70
6.4.2. Lastkollektive
Mit Hilfe des Klassengrenzenüberschreitungs-Zählverfahren (siehe Abschnitt 2.2.3) wurden
für die Spannungen in den Hauptspannungsrichtungen Lastkollektive erstellt. Wie oft jeder
Reibwert zwischen 0 und 0,3 auftritt, wurde in Tabelle 3.3 zusammengefasst. Es wurde mit
einer Gesamtliegezeit der Schienen von 20 Jahren gerechnet. In den Diagrammen sind die
Lastkollektive dargestellt. Auf der Abszisse ist die Anzahl N der Lastspiele logarithmisch
aufgetragen und auf der Ordinate die jeweilige Spannung. Aus diesen Diagrammen lässt sich
für jede Lastspielzahl die maximale und die minimale Spannung ablesen, also die jeweilige
Ober- und Unterspannung. Dies wurde jeweils bei einer Lastspielzahl von N = 10
6
also für
den Wert, ab dem ein Material dauerfest ist und bei einer Lastspielzahl von N = 0 also
für die maximal auftretenden Spannungen getan. Aus diesen abgelesenen Werten wurden
anhand der Gln. (2.31) und (2.32) die Mittel- und die Amplitudenspannung errechnet.
Zusätzlich sind noch die Lastkollektive und die Spannungswerte der Vergleichsspannung
nach der GEH aufgeführt.
71
Werte von der Rechnung nach McEwan
Die Kollektive wurden jeweils für die Spannungen an der Oberfläche und in einer Tiefe von
6 mm ermittelt.
Diagramm 6.3-1: Hauptspannung I
Diagramm 6.3-2: Hauptspannung I
72
Diagramm 6.3-3: Hauptspannung II
Diagramm 6.3-4: Hauptspannung II
73
Diagramm 6.3-5: Spannung in Y-Richtung
Diagramm 6.3-6: Spannung in Y-Richtung
74
Diagramm 6.3-7: Vergleichsspannung
Diagramm 6.3-7: Vergleichsspannung
75
Werte bei N = 10
6
z = 0 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
610 -970 -180
790
Hauptspannung II
0 -1750 -875
875
Hauptspannung y
180 -810 -315
495
Vergleichsspannung
870 0 435
435
Tabelle 6.7-1
z = 3 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
0 -350 -175
175
Hauptspannung II
0 -1170 -585
585
Hauptspannung y
0 -460 -230
230
Vergleichsspannung
810 0 405
405
Tabelle 6.7-2
Maximalwerte
z = 0 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
620 -980 -180
800
Hauptspannung II
0 -1760 -880
880
Hauptspannung y
190 -820 -315
505
Vergleichsspannung
880 0 440
440
Tabelle 6.7-3
z = 3 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
0 -370 -185
185
Hauptspannung II
0 -1180 -590
590
Hauptspannung y
0 -470 -235
235
Vergleichsspannung
820 0 410
410
Tabelle 6.7-4
76
Werte aus der Rechnung mit CONTACT
Im Unterschied zu der obigen Ausführung mit den Werten aus der Rechnung nach McEwan
ist die Tiefe für die Werte unterhalb der Oberfläche 3 mm.
Diagramm 6.4-2: Hauptspannung I
Diagramm 6.4-2: Hauptspannung I
77
Diagramm 6.4-3: Hauptspannung II
Diagramm 6.4-4: Hauptspannung II
78
Diagramm 6.4-5: Spannung in Y-Richtung
Diagramm 6.4-6: Spannung in Y-Richtung
79
Diagramm 6.4-7: Vergleichsspannung
Diagramm 6.4-5: Vergleichsspannung
80
Werte bei N = 10
6
z = 0 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
620
-900
-140
760
Hauptspannung II
0
1570
785
-785
Hauptspannung y
0
1050
525
-525
Vergleichsspannung 790
0
395
395
Tabelle 6.8-1
z = 3 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
30
-260
-115
145
Hauptspannung II
0
1090
545
-545
Hauptspannung y
0
250
125
-125
Vergleichsspannung 840
0
420
420
Tabelle 6.8-2
Maximalwerte
z = 0 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
650
-910
-130
780
Hauptspannung II
0
1580
810
-770
Hauptspannung y
0
1060
530
-530
Vergleichsspannung 800
0
400
400
Tabelle 6.8-3
z = 3 mm
]
/
[
2
mm
N
o
]
/
[
2
mm
N
u
]
/
[
2
mm
N
m
]
/
[
2
mm
N
a
Hauptspannung I
40
-270
-115
155
Hauptspannung II
0
1100
550
-550
Hauptspannung y
0
260
130
-130
Vergleichsspannung 850
0
425
425
Tabelle 6.8-4
81
6.4.3. Exakte Darstellung der Haigh-Schaubilder
Diagramm 6.5-1
82
Diagramm 6.5-2
83
6.5. Literaturverzeichnis
Literatur
[1] Denne, B.; Lang, K.-H.; Löhe, D.: Verformungs- und Lebensdauerverhalten des
Schienenstahls UIC 60 900 A. In: ZEV + DET Glasers Annalen 125 (2001), S. 67-77.
[2] Dietmann, H.: Werkstoffverhalten unter mehrachsiger schwingender Beanspruchung.
Teil 1: Berechnungsmöglichkeiten. In: Zeitschrift für Werkstofftechnik 4 (1973),
S. 255-263.
[3] Flügge, J.; Heller, W.; Schweitzer, R.: Gefüge und mechanische Eigenschaften von
Schienenstählen. In: Stahl und Eisen 99 (1979), S. 841-845.
[4] Heller,W.; Schmedders, H.; Klein, H.: Stähle für den Eisenbahn-Oberbau. In:
Werk-
stoffkunde Stahl, Band II / Hrsg.: Verein Dt. Eisenhüttenleute. Berlin [u.a.] : Springer
[u.a.], 1985, S. 594 602.
[5] Herbst, R.; Patzelt, B.; Heyder, R.: Tribologische und werkstoffkundliche Unter-
suchungen an Rad- und Schienenstählen. In: Tribologie + Schmierungstechnik.
47 (2000), S. 26-33.
[6] Johnson, K.L.: Contact mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
[7] Kalker, Joost J.: Three-dimensional elastic bodies in rolling contact. Dordrecht:
Kluwer, 1990.
[8] Lüpfert, H.-P.: Beurteilung der statischen Festigkeit und Dauerfestigkeit metallischer
Werkstoffe bei mehrachsiger Beanspruchung. Leipzig; Stuttgart: Deutscher Verlag für
Grundstoffindustrie 1994.
[9] Martinsen, Wolfram O. (Hg.): ICE. Zug der Zukunft. Darmstadt: Hestra, 1997.
[10] McEwen, E.: Stresses in Elastic Cylinders in Contact along a Generatrix (including the
effect of tangential friction). In: Philosophical Magazine 40 (1949), S. 454-459.
[11] SBB Reisezug- und Gepäckwagen. hg. vom Generalsekretariat SBB. Bern 1997.
[12] SBB Lokomotiven und Triebwagen. hg. vom Generalsekretariat SBB. Bern 1997.
[13] Schütz, W.: Über eine Beziehung zwischen Lebensdauer bei konstanter und bei ver-
änderlicher Beanspruchungsamplitude und ihre Anwendbarkeit auf die Bemessung von
Flugzeugteilen. In: Zeitschrift für Flugwissenschaften 15 (1967), S. 407-419.
[14] Stolarski, T. A.; Tobe, S.: Rolling Contacts. London [u.a.] : Professional Engineering
Publ., 2000.
[15] Vollebregt, E.A.H.; Kalker J.J.; Wang G.: CONTACT '93 Users Manual. Technical
University of Delft 1993.
84
[16] Zürn, J.: Einfluß der Mittelspannung auf die Schwingfestigkeit einsatzgehärteter Stähle
am Beispiel 20 MOCr 4 und 16 MnCr 5. Berlin 1996.
[17] SBB Güterwagen. hg. vom Generalsekretariat SBB. Bern 1997.
[18] Gudehus, H. [Bearb.]: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsrechnung : Empfehlungen
zur Lebensdauerabschätzung von Maschinenbauteilen. / Hrsg.: Verein zur Förderung
der Forschung und der Anwendung von Betriebsfestigkeitskenntnissen in der Eisen-
hüttenindustrie. Düsseldorf: Verlag Stahleisen, 1995.
[19] Richter, F. Negative Mittelspannungen Eine Quelle für Fehlerrechnung. In:
Konstruktion 35 (1983), H. 7. S. 269-271.
[20] Knothe, K.; Stichel, S.: Schienenfahrzeugdynamik. Berlin, Heidelberg, New York:
Springer Verlag, 2003.
Normen:
DIN 5573
-
Schienenfahrzeuge Radprofile. Breite 135 und 140 mm. Juni 1995.
DIN 5574
-
Schienenfahrzeuge Radreifen. Breite 135 und 140 mm; Fertigmaße.
Dezember 1985.
DIN 5901
-
Breitfußschienen. Maße, statische Werte und Stahlsorten. November
1995.
DIN 50 100 -
Werkstoffprüfung Dauerschwingversuch. Begriffe; Zeichen; Durch-
führung; Auswertung. Februar 1978.
UIC 810-1
-
Technische Lieferbedingungen für Rohradreifen aus gewalztem
unlegiertem Stahl für Triebfahrzeuge und Wagen. 4. Ausgabe,
1.7.1981.
UIC 812-3
-
Technische Lieferbedingungen für Vollräder aus gewalztem unlegier-
tem Stahl für Triebfahrzeuge und Wagen. 5.Ausgabe, 1.1.1984.
UIC 860
-
Technische Lieferbedingungen für Schienen. 8. Ausgabe, 1.7.1986.
UIC 861-3
-
Einheitliche Schienenprofile von 60 kg/m. 3. Ausgabe, 1.1.1969.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Inhalt dieses Dokuments?
Dieses Dokument ist eine umfassende Sprachvorschau, die den Titel, das Inhaltsverzeichnis, Ziele und Leitthemen, Kapitelzusammenfassungen und Schlüsselwörter enthält. Der Fokus liegt auf der Analyse des Rollkontaktproblems und der Dauerfestigkeit von Schienenoberflächen, speziell in Bezug auf deutsche Schnellfahrstrecken. Das Dokument enthält ebenso eine Nomenklatur und eine Liste von Abkürzungen. Spannungsberechnungen nach McEwans, Berechnungen mit dem Programm CONTACT, Lastakkumulation und Dauerfestigkeitsabschätzungen sind ebenfalls enthalten.
Was sind die Hauptthemen des Dokuments?
Die Hauptthemen umfassen das Rollkontaktproblem, Dauerfestigkeitsberechnung, Spannungsanalyse in Schienenoberflächen, Lastakkumulation, Dauerfestigkeitsgrenzen von Schienenoberflächen und eine ingenieurmäßige Dauerfestigkeitsabschätzung.
Welche Annahmen und Vereinfachungen wurden getroffen?
Es wurden mehrere Annahmen getroffen, darunter: die Betrachtung von Rad und Schiene als Halbräume, lineare Elastizität des Materials, homogene und isotrope Materialien, glatte Oberflächen und Beschreibbarkeit der Oberflächen durch Flächen zweiten Grades (Hertzsche Annahme).
Welche Methoden zur Spannungsberechnung werden verwendet?
Es werden zwei Hauptmethoden verwendet: eine zweidimensionale Rechnung nach der Methode von McEwan und eine dreidimensionale Spannungsberechnung mit dem Programm CONTACT.
Was ist das Programm CONTACT und wie wird es verwendet?
CONTACT ist ein numerisches Rechenprogramm, das auf der Boundary Element Method (BEM) basiert. Es wird verwendet, um Kontaktspannungen und Spannungen im Inneren von sich berührenden Körpern (Rad und Schiene) zu berechnen. Die Ergebnisse werden für die dreidimensionale Spannungsanalyse verwendet.
Was sind die Dauerfestigkeitsgrenzen und wie werden sie bestimmt?
Die Dauerfestigkeitsgrenzen werden anhand von Materialwerten wie Dehngrenze, Zugfestigkeit und Wechselfestigkeit festgelegt. Die Mittelspannungsabhängigkeit wird durch verschiedene Modelle (Goodman-Gerade, Gerber-Parabel) berücksichtigt. Das Haigh-Schaubild wird zur Darstellung der ertragbaren Amplitudenspannungen in Abhängigkeit von der Mittelspannung verwendet.
Was sind die wichtigsten Abkürzungen, die in dem Dokument verwendet werden?
Zu den wichtigsten Abkürzungen gehören: DB (Deutsche Bahn AG), BEM (Boundary Element Method), FEM (Finite Elemente Methode), GEH (Gestaltänderungsenergiehypothese), ICE (Intercity Express), ICG (InterCargo-Zug), ILR (Institut für Luft- und Raumfahrt), KV (Kombinierter Verkehr), PfdW (Parabel für duktile Werkstoffe), RL (Radlast), RSL (Radsatzlast) und UIC (Union International de Chemins de Fer).
Wie wird die Lastakkumulation durchgeführt?
Die Lastakkumulation wird durch eine Klassengrenzenüberschreitungszählung durchgeführt, um ein Belastungskollektiv zu erstellen, das die Anzahl der Überrollungen und die entsprechenden Spannungen auf der Schienenoberfläche berücksichtigt.
Welche Materialwerte werden für Schiene und Rad angenommen?
Für die Schiene werden ein E-Modul von 210000 N/mm² und eine Querkontraktionszahl von 0,3 angenommen. Die Zugfestigkeit (Rm) variiert zwischen 700 N/mm² und 1300 N/mm² je nach Quelle.
Was ist das Ergebnis der Dauerfestigkeitsabschätzung?
Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die Schiene an der Oberfläche dauerfest ist, aber im Inneren (in einer Tiefe von ca. 3-6 mm) die Belastung möglicherweise die Dauerfestigkeitsgrenze überschreitet, abhängig von der verwendeten Berechnungsmethode (McEwan vs. CONTACT) und der angenommenen Dauerfestigkeitsgrenze (Goodman vs. PfdW). Es wird aber darauf hingewiesen, dass reale Gegebenheiten wie Materialabnutzung und die Existenz von Druckspannungen die tatsächliche Dauerfestigkeit positiv beeinflussen können.
Ende der Leseprobe aus 84 Seiten
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- Arbeit zitieren
- Klaus Ullrich (Autor:in), 2003, Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche unter rollender und gleitender Belastung, München, Page::Imprint:: GRINVerlagOHG, https://www.diplomarbeiten24.de/document/287746
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