Finite-Elemente-Methode (FEM) Berechnung der Rissausbreitung mittels Phasenfeldmethode

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

1.1 Aufbau der Arbeit

1.2 Motivation und Problemstellung

2 Grundlagen

2.1 Grundlegende Aspekte der Technischen Mechanik

2.1.1 Stereo-Statik

2.1.2 Elasto-Statik

2.1.3 Werkstoffmechanik

2.2 Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie

2.2.1 Kinematische Gleichung

2.2.2 Lokale Impulsbilanz

2.2.3 Konstitutive Gleichung

2.2.4 Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen

2.2.5 Starke Formulierung des Randwertproblems nach Lamé-Navier

2.3 Technische Bruchmechanik

2.3.1 Konventionen und Definitionen

2.3.2 Linear-elastische Bruchmechanik

3 Finite-Elemente-Methoden

3.1 Variationsgleichung des Lamé-Problems

3.2 Numerische Diskretisierung eines Scheibenproblems

3.2.1 Baryzentrische Koordinaten als Formfunktionen des Dreiecks

3.2.2 Galerkin-Methode zur Approximation der Variationsgleichung

3.2.3 Koordinatentransformation

3.2.4 Gauß-Legendre-Quadratur

3.3 Technische Umsetzung und Lösung

3.3.1 Assemblierung

3.3.2 Einarbeiten von Randbedingungen

3.3.3 Gleichungslöser

3.3.4 Post Processing

4 Phasenfeldmodell

4.1 Motivation

4.2 Historische Einordnung

4.3 Regularisierte Form der Gesamtenergie von Körpern mit Sprödrissen

4.4 Lösen der Evolutionsgleichung

4.4.1 Schwache Form der Allen-Cahn-Gleichung

4.4.2 Örtliche Diskretisierung mittels FEM

4.4.3 Zeitdiskretisierung mittels Implizit-Euler-Ansatz

5 Umsetzung der Risssimulation

5.1 Initialisierungsphase

5.2 Iteration

5.3 Varianten der Sensitivitätsanalyse

5.4 Post Processing

6 Simulationen

6.1 Benchmark Mode-I Zugversuch

6.1.1 Varianten der Kerbwirkung

6.1.2 Lasteinleitung während der Iteration

6.1.3 Vergleich der Sensitivitätsanalysen

6.1.4 Interpretation von lc

6.1.5 Einfluss der Mobilität

6.1.6 Energetische Wechselwirkung zwischen Gc und ¯u

6.2 Schubversuch - Mode-II

6.2.1 Modellierung als Einflussfaktor

6.2.2 Versionsvergleich für Mode II

6.2.3 Messung und Interpretation des Rissfortschritts

6.3 Dreipunkt-Biegeversuch

6.3.1 Symmetrischer Versuchsaufbau

6.3.2 Asymmetrischer Versuchsaufbau

6.3.3 Variation der Lasteinleitung

6.4 Zugversuch an geschwächten Bauteilen

6.4.1 Allseitig gelagerte Platte mit Löchern

6.4.2 Real gelagerte Platte mit Löchern

6.5 Diskussion einer Parametrisierung

7 Fazit

A Berechnungen

A.1 Bestimmung von Eigenwerten

B Programmcodes

B.1 MATLAB-Code zur Verschiebungsberechnung

B.1.1 Erstellung eines Ansatzes

B.1.2 Berechnung der Verschiebung

B.2 MATLAB-Code zur Rissanalyse

B.2.1 Masterprogramm für Parameterstudien

B.2.2 lc-Studie

B.2.3 Mobilitätsstudie

B.2.4 Rissfortschritt

B.2.5 Optimierungsproblem: HERTZSCHE Pressung auf einem NEUMANN-Rand

B.3 MATLAB-Code zur Visualisierung

B.3.1 Plot der Vernetzung inkl. Randbedingungen

B.3.2 Plot der Feldvariablen

C Modelle

Zielsetzung & Themen

Das Hauptziel dieser Bachelorarbeit besteht in der Implementierung und Analyse der Phasenfeldmethode (PFM) zur numerischen Simulation von Rissausbreitungsprozessen in spröden Materialien. Dabei wird die Forschungsfrage verfolgt, inwiefern und unter welchen numerischen Bedingungen das Phasenfeldmodell in der Lage ist, qualitativ korrekte Rissverläufe in verschiedenen Belastungsszenarien effizient und stabil abzubilden.

• Grundlagen der Technischen Mechanik und linearen Elastizitätstheorie
• Numerische Lösung von Randwertproblemen mittels Finite-Elemente-Methode (FEM)
• Modellierung von Rissausbreitung durch die Phasenfeldmethode (PFM)
• Analyse und Vergleich verschiedener Sensitivitätsanalysen zur Bestimmung rissauslösender Energiedichten
• Validierung der Simulationsergebnisse durch Benchmarks (Zug-, Schub- und Biegeversuche)

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einleitung: Diese Einleitung motiviert die Relevanz der bruchmechanischen Rissmodellierung anhand praktischer Beispiele wie dem Zugunglück von Eschede und skizziert den methodischen Aufbau der Arbeit.

2 Grundlagen: Hier werden die theoretischen Fundamente der Technischen Mechanik, der linearen Elastizitätstheorie und der klassischen Bruchmechanik für die spätere Modellbildung dargelegt.

3 Finite-Elemente-Methoden: Dieses Kapitel behandelt die numerische Diskretisierung mittels FEM, inklusive der Herleitung von Variationsgleichungen und der technischen Umsetzung des Lösungsprozesses in MATLAB.

4 Phasenfeldmodell: Es erfolgt die Einführung der Phasenfeldmethode als stetiges Modell zur Rissdarstellung sowie die Herleitung der zugehörigen Evolutionsgleichungen.

5 Umsetzung der Risssimulation: Hier wird der konkrete Algorithmus zur numerischen Kopplung von Verschiebungsfeld und Phasenfeld sowie die Implementierung verschiedener Sensitivitätsanalysen erläutert.

6 Simulationen: In diesem Hauptteil werden umfangreiche numerische Benchmarks, wie Zug-, Schub- und Biegeversuche, zur Evaluierung der verschiedenen Modellvarianten und Parameter durchgeführt.

7 Fazit: Die Arbeit schließt mit einer zusammenfassenden Bewertung der untersuchten Sensitivitätsanalysen und einem Ausblick auf zukünftige Anwendungsmöglichkeiten der Phasenfeldmethode.

Schlüsselwörter

Phasenfeldmethode, Finite-Elemente-Methode, Rissausbreitung, Bruchmechanik, Elastizitätstheorie, Sensitivitätsanalyse, MATLAB, Strukturmechanik, Bauteilversagen, Numerische Simulation, Energiebetrachtung, Mode-I, Mode-II, Diskretisierung, Materialverhalten.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?

Die Arbeit beschäftigt sich mit der computergestützten Simulation von Rissausbreitung in spröden Bauteilen unter Verwendung der Phasenfeldmethode.

Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?

Die Schwerpunkte liegen auf der Kontinuumsmechanik, der Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung sowie der mathematischen Modellierung von Risswachstum durch Phasenfeldparameter.

Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?

Das Ziel ist die Evaluierung der Eignung der Phasenfeldmethode für die Vorhersage von Rissverläufen und die Identifikation optimaler numerischer Parameter für die Simulationsgeschwindigkeit und Genauigkeit.

Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?

Es werden variationsanalytische Methoden, die Finite-Elemente-Diskretisierung, das Galerkin-Verfahren sowie numerische Integration mittels Gauß-Legendre-Quadratur angewendet.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil umfasst die detaillierte Umsetzung des Modells in MATLAB, die Implementierung verschiedener Sensitivitätsanalysen für die rissauslösende Energie sowie die Durchführung und Diskussion zahlreicher Benchmark-Simulationen.

Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?

Wesentliche Begriffe sind Phasenfeldmethode, FEM, Rissfortschritt, Sprödbruch, Sensitivitätsanalyse und Bruchmechanik.

Warum ist das Verfahren der Phasenfeldmethode vorteilhaft gegenüber klassischen Ansätzen?

Der Vorteil liegt darin, dass Risse als stetiges Phasenfeld abgebildet werden, wodurch aufwendige Neuvernetzungsschritte während der Simulation entfallen.

Welche Bedeutung haben die im Anhang enthaltenen Programmcodes?

Die enthaltenen MATLAB-Codes dokumentieren die technische Umsetzung der FEM-Berechnungen, der Assemblierung und der spezifischen Rissanalyse-Algorithmen und dienen der Reproduzierbarkeit der Simulationsergebnisse.