Hyperbolische Strukturen in Kreisinversionsfraktalen

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Mathematische Grundlagen
  • Uberblick ¨ uber den ¨ CP1
  • Die Kreisinversion
• Das Programm zur Kreisinversion
  • Technische Umsetzung der Kreisinversion
  • Die PostScript-Ausgabe: Ein Ausflug in den RP2
• Suchalgorithmen
  • Der Suchbaum und Grundlagen der Suche
  • Tiefensuche-Algorithmen
  • Abbruchkriterien
  • Sondersuche HinHer
• Das Inversion-7-3-Fraktal
  • Vorstellung des Inversion-7-3-Fraktals
  • Die Transformationsgruppe
  • Pflasterung der hyperbolischen Kreisscheibe in Abh¨angigkeit von rm
  • Ausblick: Dualit¨at und Schnittwinkel

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Diplomarbeit befasst sich mit der Erzeugung von Kreisinversionsfraktalen mit Hilfe eines iterierten Funktionensystems und der Analyse ihrer Struktur. Hierzu wird ein Programm entwickelt, welches die iterative Kreisinversion von Kreisen an beliebigen Kreisen ermöglicht. Die Arbeit konzentriert sich auf das Inversion-7-3-Fraktal, ein Fraktal, das durch die Inversion an acht Kreisen (sieben Kreise mit Mittelpunkten an den Eckpunkten eines regulären Siebenecks und einem achten Kreis im Mittelpunkt des Siebenecks) entsteht. Die Arbeit untersucht die Abhängigkeit des Musters der Fraktalpunktmenge von dem Radius des achten Kreises und zeigt, dass für bestimmte Radien das Muster einer verallgemeinerten apollonischen Kreispackung ähnelt.

• Die mathematischen Grundlagen der projektiven Geometrie und der Kreisinversion im CP1
• Die Entwicklung eines Programmes zur Berechnung und graphischen Ausgabe iterativer Kreisinversionen
• Die Entwicklung und Analyse von Suchalgorithmen zur Erzeugung des Orbits eines Startkreises unter einer Transformationsgruppe aus Kreisinversionen
• Die Untersuchung des Inversion-7-3-Fraktals in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises
• Die Analyse des Musters der Fraktalpunktmenge in Bezug auf hyperbolische Pflasterungen und apollonische Kreispackungen

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 2 führt die mathematischen Grundlagen der projektiven Geometrie im CP1 und der Kreisinversion ein.
• Kapitel 3 beschreibt die Implementierung des Programmes zur Kreisinversion, welches die Inversion von Kreisen an beliebigen Kreisen und deren graphische Ausgabe ermöglicht.
• Kapitel 4 stellt verschiedene Suchalgorithmen vor, mit denen der Orbit eines Startkreises unter einer Transformationsgruppe aus Kreisinversionen generiert werden kann, und analysiert die Effizienz der Algorithmen in Bezug auf verschiedene Abbruchkriterien.
• Kapitel 5 untersucht das Inversion-7-3-Fraktal in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises. Es werden die Beziehungen zwischen der Fraktalpunktmenge und hyperbolischen Pflasterungen sowie apollonischen Kreispackungen analysiert.

Schlüsselwörter

Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit dem Gebiet der Fraktalen Geometrie und verwendet insbesondere die Kreisinversion als Werkzeug zur Erzeugung fraktaler Muster. Die Arbeit konzentriert sich auf das Inversion-7-3-Fraktal, ein Fraktal, das durch die Inversion an acht Kreisen entsteht. Die Arbeit befasst sich mit der Untersuchung der Struktur des Inversion-7-3-Fraktals in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises und den Beziehungen zwischen der Fraktalpunktmenge und hyperbolischen Pflasterungen sowie apollonischen Kreispackungen.