Hyperzirkularität und Berechenbarkeit. Metamathematische und philosophische Implikationen der Unvollständigkeit axiomatischer Systeme der Peano-Arithmetik

Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)

• I Einführung und Grundlagen
• 1 Überblick und Fragestellungen
• 2 Historischer und ideengeschichtlicher Kontext
• 2.1 Arithmetische und mengentheoretische Preliminarien
• 2.2 Allgemeines zu formalen Systemen
• II Metamathematik
• 3 Die semantische Variante des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes
• 4 Die schwache syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze
• 4.1 Der Aufbau der Gödelschen Originalarbeit 1931
• 4.2.1 Definition der Syntax
• 4.2 Das System P . . .
• 4.2.2 Definition der Semantik
• 4.2.3 Definition der Axiome und Schlussregeln.
• 4.2.4 Gödelisierung: Die Arithmetisierung der Syntax.
• 4.2.5 Ein Vergleich des Systems P mit dem System der Principia Mathematica
• 4.3 Primitiv-rekursive Funktionen.
• 4.4 Satz V: Der Zusammenhang zwischen dem System P und den primitiv-rekursiven Funktionen
• 4.5 Satz VI: w-Widerspruchsfreiheit.
• 4.6 Die schwache syntaktische Variante des ersten Unvollständigkeitssatzes
• 4.7 Der zweite Unvollständigkeitssatz.
• 4.8 Zwischenbetrachtung: Das Diagonallemma
• 5 Die starke syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze
• 6 Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik: Unvollständigkeit ohne Selbst-bezüglichkeit?
• 6.1 Grundlagen der Modelltheorie.
• 6.2 Das Skolem-Gödel-Theorem
• 6.3 Der Vollständigkeitssatz
• 6.4 Satz von Löwenheim-Skolem .
• 6.5 Unvollständigkeit modelltheoretisch: Kripkes Beweisskizze des ersten Unvoll-ständigkeitssatzes . . .
• 6.6 Kommt Kripkes' Beweis ohne Selbstbezüglichkeit aus?
• 7 Fünf Fehlinterpretationen der metamathematischen Resultate
• 8 Das natürliche Unabhängigkeitsphänomen der Goodstein-Folgen
• 8.1 Die Definition der Goodstein-Folgen
• 8.2 Der Satz von Goodstein
• 8.3 Der Satz von Kirby und Paris
• III Erkenntnistheorie
• 9 Die Church-Turing-These
• 9.1 Berechenbarkeit.
• 9.2 Die Turing-Maschine
• 9.3 Registermaschinen
• 9.4 Die Church-These
• 10 Der Antimechanismus
• 10.1 Einführung in die Lucas-Penrose-Debatte
• 10.2 Das Argument von Lucas
• 10.3 Slezaks externer Betrachter
• 10.4 Benacerrafs Analyse
• 10.5 Whiteleys Bemerkung
• 11 Das Phänomen der Hyperzirkularität
• 12 Schlussbetrachtungen und Ausblick

Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)

Die Masterarbeit untersucht die metamathematischen Implikationen der Unvollständigkeit axiomatischer Systeme der Peano-Arithmetik, insbesondere im Hinblick auf das Phänomen der Hyperzirkularität. Die Arbeit analysiert die Gödelschen Unvollständigkeitssätze und ihre Bedeutung für die Philosophie der Mathematik und die Erkenntnistheorie.

• Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze
• Hyperzirkularität
• Die Church-Turing-These
• Der Antimechanismus
• Die Grenzen der Formalisierung

Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)

• Kapitel 1 gibt einen Überblick über die Fragestellungen und den historischen Kontext der Arbeit.
• Kapitel 2 beleuchtet die arithmetischen und mengentheoretischen Grundlagen sowie allgemeine Konzepte formaler Systeme.
• Kapitel 3 erläutert die semantische Variante des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes.
• Kapitel 4 behandelt die schwache syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze, einschließlich der Definition des Systems P, der Gödelisierung und des Zusammenhangs zwischen dem System P und primitiv-rekursiven Funktionen.
• Kapitel 5 untersucht die starke syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze.
• Kapitel 6 analysiert die Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik und die Frage, ob Unvollständigkeit ohne Selbstbezüglichkeit möglich ist.
• Kapitel 7 beleuchtet fünf Fehlinterpretationen der metamathematischen Resultate.
• Kapitel 8 untersucht das natürliche Unabhängigkeitsphänomen der Goodstein-Folgen.
• Kapitel 9 behandelt die Church-Turing-These und die Konzepte der Berechenbarkeit, der Turing-Maschine und der Registermaschinen.
• Kapitel 10 analysiert das Argument des Antimechanismus, insbesondere im Kontext der Lucas-Penrose-Debatte.
• Kapitel 11 widmet sich dem Phänomen der Hyperzirkularität.

Schlüsselwörter (Keywords)

Die Arbeit fokussiert auf die Themen der Gödelschen Unvollständigkeitssätze, Hyperzirkularität, Berechenbarkeit, Antimechanismus, Formalisierung, Peano-Arithmetik, Modelltheorie, Church-Turing-These, Lucas-Penrose-Debatte und die Grenzen der mathematischen Erkenntnis.