Abbildungsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1. Einleitung
2. Portfoliotheorie nach Markowitz
2.1. Definitionen
2.1.1. Portfolio
2.1.2. Erwartungswert
2.1.3. Varianz und Standardabweichung
2.1.4. Kovarianz
2.2. Annahmen der Portfoliotheorie nach Markowitz
2.3. Portfoliotheorie nach Markowitz
2.4. Portfoliotheorie nach Markowitz mit risikolosem Zinssatz
2.5. Kritische Würdigung des Modells
3. Erweiterungen der Portfoliotheorie nach Markowitz
3.1. Änderung der Verteilungsannahmen
3.2. Änderung des Risikomaßes
3.2.1. Value-at-Risk
3.2.2. Expected Shortfall
3.3. Schätzfehler
3.3.1. Maximum-Likehihood-Schätzer
3.3.2. Bootstrapping
3.3.3. Heuristische Ansätze
4. Alternative Ansätze
4.1. Bayesianischer Ansatz
4.2. Black-Litterman-Verfahren
4.3. Behavioral Portfoliotheorie
4.3.1. SP/A-Theorie
4.3.2. Neue Erwartungstheorie
4.3.3. Single-Mental-Account-Behavioral-Portfoliotheorie (BPT-SA)
4.3.4. Multiple-Mental-Accounts-Behavioral-Portfolio-Theorie (BPT-MA)
5. Fazit
6. Literaturverzeichnis
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Seit der Einführung der Börse ist es für Investoren möglich, in verschiedenen Anlagen über einen breiten Markt zu investieren. Ziel eines jeden Investors ist es, eine möglichst hohe Rendite zu erzielen und gleichzeitig das Risiko gering zu halten. Die moderne Portfoliotheorie beschäftigt sich mit der Frage, wie Individuen durch das Erwerben verschiedener Wertpapiere sein persönliches Portfolio optimieren kann. Der US-amerikanische Ökonom Harry Markowitz legte hierfür mit seinem Artikel „Portfolio Selection“ den Grundstein. Ziel seiner Arbeit war es, die erwartete Rendite zu einem gegebenen Risiko zu maximieren beziehungsweise das Risiko zu einer gegebenen Rendite zu minimieren. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch als das „Mean-Variance-Optimierungsproblem“ bezeichnet.
Das Thema der vorliegenden Arbeit wird die analytische Darstellung der Entwicklung sowie der aktuellen Verfahren in der Portfoliotheorie sein. Demnach wird sich die Arbeit mit der ursprünglichen Portfoliotheorie von Markowitz beschäftigen. Dabei werden zunächst gängige Definitionen vorgestellt. Anschließend sollen die Annahmen, auf welchen das Modell von Markowitz beruht, beleuchtet werden, um schließlich das Modell von Markowitz insgesamt nachzuzeichnen. Abschließend soll das Modell noch kritisch gewürdigt werden.
Da das Modell auf viele Annahmen beruht, welche die Theorie zwar vereinfachen, aber realitätsfern sind, gibt es inzwischen eine Vielzahl von weiterführenden Arbeiten, die auf diese Theorie aufbauen und verschiedene Ansätze verfolgen, um die Portfoliotheorie von Markowitz auszubauen. Im zweiten Abschnitt werden diese Erweiterungen der Portfoliotheorie vorgestellt, die durch die Modifikation gewisser Annahmen zu anderen Ergebnissen kommen. Im dritten Abschnitt werden alternative Ansätze der Portfoliotheorie besprochen.
Im Fazit werden zunächst die wichtigsten Ergebnisse der vorliegenden Studie kurz zusammengefasst. Darüber hinaus wird ein Ausblick auf die Zukunft der Portfoliotheorie gegeben werden.
Harry M. Markowitz veröffentlichte 1952 seine Arbeit „Portfolio Selection“, die in der Regel als der Ursprung der „Modernen Portfoliotheorie“ betrachtet wird. Markowitz stellte eine normative Theorie des Portfoliomanagements auf, die aufzeigt, wie Investoren unter bestimmten Voraussetzungen am Markt agieren sollten.
Die zentrale Annahme in seinem Modell besteht darin, dass Anleger ihre Investitionsentscheidungen ausschließlich basierend auf den beiden Größen Rendite µ und Risiko σ treffen. Das Ziel ihrer Investition ist es, bei einem gegebenen Risiko einen möglichst hohen Anlageerfolg zu erzielen beziehungsweise bei einem anvisierten Anlageerfolg ein möglichst geringes Anlagerisiko einzugehen. Markowitz quantifiziert Anlageerfolg als den Erwartungswert und das Anlagerisiko als die Standardabweichung.1
Die im vorherigen Abschnitt bereits eingeführten Begriffe wie „Erwartungswert“ und „Standardabweichung“ sollen nun neben weiteren Bezeichnungen in diesem Abschnitt kurz definiert werden, um ein allgemeines Verständnis zu schaffen und den Untersuchungsgegenstand zu präzisieren.
Unter einem Portfolio versteht man die Investition in mehrere Wertpapiere. Typischerweise werden Portfolios nach Instrumenten, in die investiert wird, geografische Streuung der Investments, Strategien der Portfoliomanager und dem Anlagehorizont kategorisiert. Der vollständigen Erstellung eines Portfolios geht in der Regel eine umfangreiche Analyse voraus, mit dem sich ein Portfoliomanager beschäftigt. Die Details dieser Analyse ist das Ziel dieser Arbeit und wird in den folgenden Abschnitten genauer erklärt werden.
Der Erwartungswert µ ist ein Grundbegriff der Stochastik und beschreibt den Wert, die die Zufallsvariable im Durchschnitt annimmt. In der Finanzwelt spricht man hier häufig von der erwarteten Rendite, was den Gesamterfolg einer Kapitalanlage bezeichnet. Betrachtet man den Fall der Rendite eines Portfolios, so handelt es sich hierbei um die Summe der erwarteten Rendite eines Wertpapieres multipliziert mit ihrer jeweiligen Gewichtung im Portfolio. Die Rendite eines Portfolios lässt sich demnach durch folgende Gleichung definieren:
Dabei bezeichnen die erwartete Rendite eines Wertpapieres und die Gewichtung im Portfolio.2
Auch die Standardabweichung ist ein Grundbegriff der Stochastik und beschreibt ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen X um ihren Erwartungswert. In der Finanzwelt wird dieses Maß verwendet, um das Risiko einer Anlage zu quantifizieren. Sie ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz.
Die Varianz wird dabei wie folgt definiert:
Wenn man nun die Streuung bzw. die Standardabweichung der Rendite eines Portfolios berechnen möchte, muss Folgendes beachtet werden. Die Summe einer Varianz ist nicht gleich der Summe der Varianzen. Die Kovarianz spielt bei der Quantifizierung des Risikos nämlich auch eine Rolle.3
Die Kovarianz beschreibt in der Stochastik eine Kenngröße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mathematisch lässt sich die Kovarianz auf folgende Weise definieren:
Die Kovarianz ist positiv, wenn die beiden Zufallsvariablen einen Zusammenhang besitzen. Das bedeutet, wenn die erste Zufallsvariable einen hohen (niedrigen) Wert annimmt, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass die zweite Zufallsvariable auch einen hohen (niedrigen) Wert annimmt.
Ist die Kovarianz jedoch negativ, dann besteht zwischen den Zufallsvariablen ein gegenläufiger Zusammenhang. Wenn also die erste Zufallsvariable einen hohen (niedrigen) Wert annimmt, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass die zweite Zufallsvariable ebenfalls einen niedrigen (hohen) Wert annimmt.
Bei einer Kovarianz von null besteht keinerlei Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen. Demnach kann bei einem hohen oder niedrigen Wert der ersten Zufallsvariable die zweite Zufallsvariable mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen hohen oder einen niedrigen Wert annehmen.4
Bezogen auf das Risiko eines Portfolios, was man auch als die Varianz einer Summe ansehen kann, lässt sich dieses wie folgt definieren:
Vor der Betrachtung der eigentlichen Portfoliotheorie von Markowitz wird sich dieser Abschnitt zunächst mit den Annahmen beschäftigen und analysieren, welche Bedeutung diese für das Modell haben.
Grundsätzlich geht Markowitz davon aus, dass Investoren „gierig“ sind und demnach Portfolios mit einer hohen erwarteten Rendite präferieren. Allerdings sind diese Investoren auch risikoscheu, weshalb sie auch Portfolios mit einem geringen Risiko bevorzugen. Zusätzlich nimmt Markowitz an, dass sich jeder Investor zum risikolosen Zinssatz Geld leihen und Geld verleihen kann. Außerdem sind Steuern und Transaktionskosten irrelevant. Des Weiteren wird angenommen, dass Vermögenswerte unendlich teilbar sind, was Investoren erlaubt, Bruchteile von Aktien zu erwerben. Zudem geht Markowitz aus Vereinfachungsgründen davon aus, dass die Rendite normalverteilt ist, dass das Risiko sich durch die Standardabweichungen und die Kovarianzen der einzelnen Wertpapiere quantifizieren lässt, dass Investoren ihren Nutzen in einem 1-Periode-Anlagehorizont maximieren wollen und dass die Kapitalmärkte vollkommen sind.5
Gemäß der oben genannten Annahmen und der Bildung von Portfolios mit N riskanten Wertpapieren sollten Investoren nach Markowitz ihr optimales Portfolio aus der Menge von Portfolios bestimmen, die
1. eine maximale erwartete Rendite für unterschiedliche Risikoniveaus und
2. ein minimales Risiko für verschiedene Niveaus der erwarteten Rendite anbieten.
Die Menge der Portfolios, die beide Bedingungen erfüllen, lassen sich in einem (σ-µ)-Koordinatensystem abbilden. Zusammen bilden sie eine Linie, die auch als „efficient frontier“ (deutsch: „effizienter Rand“) bekannt ist.6 Eine Möglichkeit, diesen effizienten Rand in einem (σ-µ)-Koordinatensystem aufzutragen, wäre das Ausprobieren von jeder denkbaren Gewichtung eines Wertpapiers im Portfolio. Man würde somit einen geographischen Ort aller möglichen (σ-µ)-Kombinationen erhalten. Alternativ könnte man den effizienten Rand mittels der Mean-Variance-Optimierung berechnen. Dabei sieht das Optimierungsproblem so aus:
Minimiere die Portfoliovarianz
Unter den Bedingungen
Dieses Optimierungsproblem sagt aus, dass man bei einer gegebenen Zielrendite das Risiko minimieren möchte. B2 sagt hier lediglich aus, dass das gesamte Vermögen in riskanten Wertpapieren investiert ist. Durch Variation der Zielrendite erhält man anschließend verschiedene Minima der Varianz, die Punkte auf dem (σ-µ)-Koordinatensystem darstellen. Durch Verbinden aller Punkte erhält man anschließend den effizienten Rand.
Grundsätzlich gilt, dass ein Portfolio als „effizient“ bezeichnet wird, wenn kein Portfolio existiert, dass bei einem gegebenen Risiko eine höhere erwartete Rendite erwirtschaften kann bzw. bei einer gegebenen erwarteten Rendite ein geringeres Risiko besitzt. Diese Menge von effizienten Kombinationen bzw. Portfolios ist als blauer Rand in Abbildung 1 zu sehen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Effzienter Rand
Es ist also nicht möglich, durch eine Änderung der Gewichtung von einzelnen riskanten Wertpapieren ein Portfolio zu bilden, das über dem effizienten Rand liegt.7 Weiterhin zeigt Abbildung 1 einzelne Punkte innerhalb des effizienten Rands. Diese Punkte symbolisieren die Menge von ineffizienten Portfolios, da eine höhere erwartete Rendite bei gleichbleibendem Risiko bzw. eine niedrigeres Risiko bei gleichbleibender Rendite möglich ist.
Zuletzt wurde in der Abbildung das „varianzminimale Portfolio“ gekennzeichnet. Dieses Portfolio weist das geringste Risiko auf. Alle Punkte unterhalb des varianzminimalen Portfolios gehören zwar zum effizienten Rand, allerdings kann man sie nicht als „effizient“ bezeichnen, da auch hier eine höhere erwartete Rendite bei gleichbleibendem Risiko bzw. eine niedrigeres Risiko bei gleichbleibender Rendite möglich ist.
Abbildung 1 zeigt demnach, dass Investoren zwischen mehreren effizienten Portfolios wählen können. Dabei birgt der Wunsch nach mehr Rendite auch gleichzeitig ein höheres Risiko. Welches Portfolio für einen Investor optimal ist, hängt von dessen Risikoaversion ab. Typischerweise verwendet man in der Literatur eine quadratische Nutzenfunktion8, die folgende Form besitzt:
Dabei bezeichnet den Grad der Risikoaversion eines Investors. Intuitiv kann man anhand obiger Gleichung (6) erkennen, dass ein sehr risikoaverser Investor weniger riskante und somit renditearme Portfolios bevorzugt, da er zwar einen höheren Nutzen durch eine höhere Rendite erhalten würde, allerdings diesen Nutzen durch ein höheres Risiko einbüßen würde.
In Abbildung 2 sieht man Indifferenzkurven, die die quadratische Nutzenfunktion eines Investors darstellen. Eine Indifferenzkurve zeigt typischerweise an, welche (σ-µ)-Kombinationen den gleichen Nutzen für einen Investor erbringen.9 Die optimalen Portfolios für jeden Investor erhält man, indem man den Tangentialpunkt zwischen der Indifferenzkurve und dem effizienten Rand bestimmt.10 Abbildung 2 zeigt, dass Investoren mit grüner Indifferenzkurve Portfolio P, Investoren mit schwarzer Indifferenzkurve Portfolio Q präferieren. Weiterhin lässt sich festhalten, dass Investoren mit grüner Indifferenzkurve risikoaverser sind. Dies erkennt man nicht nur an ihrer Präferenz für das risikoärmere Portfolio P, im Vergleich zu Portfolio Q, sondern auch an der Steigung der Indifferenzkurve. Für eine Einheit mehr Risiko erwarten diese Investoren mehr Rendite als Investoren mit schwarzer Indifferenzkurve.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: optimale Portfolios mit unterschiedlichen Nutzenfunktionen
In den Annahmen wurde schon erwähnt, dass Investoren die Möglichkeit offen steht, einen Teil ihres Vermögens in effiziente Portfolios zu investieren oder zum risikolosen Zinssatz anzulegen beziehungsweise im Extremfall Geld aufzunehmen, um dieses zusätzlich in effizienten Portfolios zu investieren. Ist dies der Fall, kann man das Rendite- und Risikoprofil auf folgende Weise formulieren:
bezeichnet hier die gewichtete Rendite aus risikolosem Zinssatz und der erwarteten Rendite eines effizienten Portfolios. ist dann die gewichtete Varianz aus risikoloser und riskanter Anlage. Da der risikolose Zinssatz nicht riskant ist und folglich auch keinen linearen Zusammenhang zur erwarteten Rendite eines effizienten Portfolios aufweist, müssen die Terme und gleich null sein. Aus Gleichung (8) folgt diese Formulierung für das Risiko der oben genannten Portfolios:
Durch Zusammenfassen der Gleichungen (7) und (9) erhalten wir schließlich eine neue Gleichung:
Gleichung (10) wird in der Literatur auch als die Kapitalmarktlinie bezeichnet11 Betrachtet man die Kapitalmarktlinie in einem (σ-µ)-Koordinatensystem, so erkennt man, dass diese, wie der Name schon verrät, eine Gerade ist und die Ordinatenachse beim risikolosen Zinssatz schneidet. Die Steigung ist der Quotient aus der Überrendite des Marktportfolios und aus dem Risiko des Marktportfolios Mathematisch betrachtet ist das Marktportfolio der Tangentialpunkt zwischen der Kapitalmarktlinie und der Effizienzkurve, wie in Abbildung 3 deutlich wird. Die Besonderheit des Marktportfolios ist die Kombination größtmöglicher Diversifikation sowie dem günstigsten Risiko/Rendite-Verhältnis. Unter der Annahme, dass alle Investoren über den gleichen Zugang zu Informationen verfügen und gleiche Erwartungen über die Rendite und das Risiko aller Wertpapiere besitzen, wird jeder Investor in dieses Marktportfolio investieren.12 Die Entscheidung, welches Portfolio aus der Palette der effizienten Portfolios zu wählen ist, ist somit irrelevant geworden.
[...]
1 Vgl. Kremer, 2011, S. 73
2 Vgl. Springer Fachmedien Wiesbaden "(Hrsg.)", 2013, S. 34
3 Vgl. Springer Fachmedien Wiesbaden "(Hrsg.)", 2013, S. 125
4 Vgl. Springer Fachmedien Wiesbaden "(Hrsg.)", 2013, S. 72
5 Vgl. Mondello, 2015, S. 104
6 Vgl. Markowitz,1952, S.82
7 Vgl. Markowitz,1952, S.83f.
8 Vgl. Rachev et al., 2008, S. 96
9 Vgl. Mondello, 2015, S. 137f.
10 Vgl. Mondello, 2015, S. 143f.
11 Vgl. Kremer, 2006, S. 95
12 Vgl. Bodie et al., 2011, S. 282
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