Inkonsistenzen im mathematischen Formelwerk in Solvency 2

Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)

• Einleitung
• Mathematische Grundlagen
  • Risikomaße
  • Value-at-Risk und Solvency Capital Requirement
  • Tail Value at Risk
  • Prämienprinzip
  • Abhängigkeit
    • Copulas
    • Komonotonie und Kontramonotonie
    • Lineare Abhängigkeit / Lineare Korrelation
• Die Wurzelformel bei sphärischer und elliptischer Verteilung
  • Motivation der Wurzelformel
  • Sphärische und elliptische Verteilungen
    • Sphärische Verteilungen
    • Elliptische Verteilungen
    • Korrelation und Kovarianz bei elliptischen Verteilungen
    • Value-at-Risk für elliptisch verteile Risiken
  • Zusammenfassung
• Die Wurzelformel mit Prämienprinzip
  • Beispiel Erwartungswertprinzip
  • Beispiel Standardabweichungsprinzip
  • Beispiel Varianzprinzip
  • Zusammenfassung
• Mathematische Inkonsistenzen im Standardmodell
  • Beispiele: Aggregierte SCR`s – Unabhängige Risiken
    • Beta verteilte Risiken
    • Lognormal verteilte Risiken
  • Beispiele: Aggregierte SCR`s - Abhängige Risiken
    • Beispiel 1
    • Beispiel 2
  • Value-at-Risk, falsche Diversifikationseffekte
    • Beispiel Lognormalverteilung
• Fazit
• Literatur
• Anhang
  • Summe zweier unabhängiger betaverteilter Risiken
  • Summe dreier unabhängiger betaverteilter Risiken

Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)

Ziel dieser Arbeit ist die Darlegung der Inkonsistenzen in dem Standardmodell, die im Wesentlichen durch zwei Umstände entstehen.

• Die verwendete Wurzelformel zur Bestimmung des Gesamt-SCR aggregiert die einzelnen Risiken mit Hilfe der Korrelation. Dadurch wird im Allgemeinen die gemeinsame Verteilung nicht eindeutig bestimmt. Durch diesen Umstand unter- bzw. überschätzt die Wurzelformel den wahren SCR für viele Verteilungen.
• Im Allgemeinen ist das verwendete Risikomaß Value-at-Risk nicht subadditiv und somit nicht kohärent, wodurch ein falscher Diversifikationseffekt auftritt.
• Die Wurzelformel wird für sphärische und elliptische Verteilungen untersucht, um Bereiche zu identifizieren, in denen sie konsistent ist.
• Es werden Beispiele mit verschiedenen Prämienprinzipien betrachtet, um die Auswirkungen auf die Konsistenz der Wurzelformel zu analysieren.
• Die Arbeit analysiert die Auswirkungen des falschen Diversifikationseffekts des Value-at-Risk auf die Berechnung des SCR.

Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)

• Einleitung: Die Arbeit stellt das Solvency 2 Projekt und die Standardformel vor, die zur Aggregation von Risiken verwendet wird. Die Inkonsistenzen der Standardformel werden als Ausgangspunkt für die weiteren Untersuchungen benannt.
• Mathematische Grundlagen: Dieses Kapitel definiert grundlegende Begriffe der Risikotheorie wie Risikomaße, Value-at-Risk und Solvency Capital Requirement. Es werden die Eigenschaften von Risikomaßen diskutiert, insbesondere die Subadditivität, die für den Diversifikationseffekt relevant ist. Das Kapitel erläutert zudem den Zusammenhang zwischen Copulas und der Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Risiken.
• Die Wurzelformel bei sphärischer und elliptischer Verteilung: Dieses Kapitel analysiert die Wurzelformel im Kontext von sphärischen und elliptischen Verteilungen. Es zeigt, dass die Wurzelformel in diesem speziellen Fall korrekt ist, wenn der Erwartungswert als Prämie verwendet wird. Die Eigenschaften der Korrelation und Kovarianz bei elliptischen Verteilungen werden ebenfalls untersucht.
• Die Wurzelformel mit Prämienprinzip: Dieses Kapitel untersucht die Anwendung der Wurzelformel mit verschiedenen Prämienprinzipien wie dem Erwartungswertprinzip, dem Standardabweichungsprinzip und dem Varianzprinzip. Es zeigt, dass die Konsistenz der Wurzelformel auch vom verwendeten Prämienprinzip abhängt.
• Mathematische Inkonsistenzen im Standardmodell: Dieses Kapitel präsentiert Beispiele für unabhängige und abhängige Risiken, die zeigen, dass die Wurzelformel außerhalb der Welt der elliptischen Verteilungen nicht immer korrekt ist. Es wird aufgezeigt, dass die lineare Korrelation als Abhängigkeitsmaß nicht immer geeignet ist und dass der Value-at-Risk nicht subadditiv ist, was zu einem falschen Diversifikationseffekt führt.

Schlüsselwörter (Keywords)

Die Arbeit behandelt Themen wie Solvency 2, Standardmodell, Wurzelformel, Risikomaße, Value-at-Risk, Solvency Capital Requirement, Copulas, Abhängigkeiten, elliptische Verteilungen, Prämienprinzipien und Diversifikation.