Analytische Eigenschaften des Hindernisproblems. Die Penalty-Methode und die duale Formulierung

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Mathematische Modellierung
• Analytische Eigenschaften
  • Schwache Formulierung und Energiefunktional
  • Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung
  • Äquivalente Formulierungen
    • Variationsungleichung
    • Lagrange-Multiplikator
  • Regularität der schwachen Lösung
• Penalty-Methode
  • Problemformulierung
  • Nichtkonforme Bestrafung
  • Konforme Bestrafung
• Duale Formulierung
  • Herleitung
  • Starke Dualität
• A Notationen
• B Hilfsaussagen
  • Differentiation in Banachräumen
  • Die Direkte Methode der Variationsrechnung
  • Funktionalanalytische Grundlagen
  • Fréchet-Differenzierbarkeit des Funktionals I
  • Majorisierte Konvergenz
    • Rechnungen zu Satz 3.2.1
    • Rechnungen zu Satz 3.3.1
  • Duale Formulierung: Maximierung
• Literaturverzeichnis
• Zusammenfassung

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, das sogenannte Hindernisproblem in seiner mathematischen Modellierung und seinen analytischen Eigenschaften zu untersuchen. Dabei steht die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Vordergrund, wobei die Variationsungleichung als zentrales Werkzeug eingesetzt wird. Die Arbeit beleuchtet auch die Beziehung zwischen der Minimierungsproblem- und der Variationsungleichungsformulierung sowie die Regularität der schwachen Lösung.

• Mathematische Modellierung des Hindernisproblems
• Analytische Eigenschaften der Lösung
• Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung
• Variationsungleichung und ihre Anwendung
• Regularität der schwachen Lösung

Zusammenfassung der Kapitel

Im ersten Kapitel wird das Hindernisproblem anhand einer elastischen Membran, die an einem Teil des Randes fixiert ist und einem Hindernis unterliegt, physikalisch motiviert. Es wird eine mathematische Modellierung des Problems als Minimierungsproblem im eindimensionalen Fall vorgenommen. In Kapitel 2 werden die analytischen Eigenschaften des Problems betrachtet, wobei der Fokus auf dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung liegt. Es werden verschiedene Formulierungen des Problems, darunter die Variationsungleichung, hergeleitet. Das Kapitel behandelt auch die Regularität der schwachen Lösung. Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Penalty-Methode, einem approximativen Verfahren zur Bestimmung der schwachen Lösung. Es werden zwei Arten der Penalty-Methode, die nichtkonforme und die konforme Bestrafung, vorgestellt und Fehlerabschätzungen für die Differenz der schwachen Lösung und der approximativen Lösung diskutiert. Das letzte Kapitel behandelt die duale Formulierung des Problems. Es erfolgt eine Herleitung der dualen Formulierung und ein Beweis der starken Dualität unter bestimmten Bedingungen.

Schlüsselwörter

Die wichtigsten Schlüsselwörter dieser Arbeit sind Hindernisproblem, Variationsungleichung, schwache Lösung, Existenz und Eindeutigkeit, Regularität, Penalty-Methode, duale Formulierung, freie Randwertprobleme.