Lineare Algebra in der Baustatik

Inhaltsverzeichnis

• Danksagung
• Einleitung
• Grundlagen der Mechanik und der Statik
• Vektorräume in der Mechanik
• Kräfte als Vektoren.
• Drehmomente
• Drehmoment einer Kraft.
• Drehmoment als Kräftepaar.
• Grundlagen der Statik
• Statische Systeme.
• Koordinatensysteme und Basen
• Globales Koordinatensystem
• Gleichgewichtsbedingungen ebener Systeme
• Lagerreaktionen in der Ebene
• Schnittreaktionen
• Das Schnittprinzip
• Der Verlauf von Schnittgrößen
• Gelenke
• Statische Bestimmtheit eines Stabtragwerks
• statisch bestimmt.
• statisch unbestimmt
• kinematisch verschieblich
• Notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit
• Berechnungsmethoden in der Statik
• Berechnung statisch bestimmter Stabtragwerke
• Allgemeines zur linearen Stabstatik
• Ermittlung von Auflagerreaktionen
• Simultane Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen
• Gleichgewichtsbedingungen am Einzelelement
• Berechnung statisch unbestimmter Stabtragwerke
• Allgemeines zu den Berechnungsverfahren für statisch unbestimmte Tragwerke
• Das Elastitzitätsgesetz von Hooke.
• Die elastische Längsdehnung
• Die elastische Verdrehung des Stabachse
• Tragwerksverformungen
• Knotenweggrößen.
• Das Weggrößenverfahren - einführendes Beispiel.
• Allgemeine Beschreibung des Weggrößenverfahrens
• Statisches System
• Knotenkraft- und Knotenweggrößen
• Stabendschnittgrößen und Stabendweggrößen
• Der Zusammenhang zwischen Knoten- und Stabendweggrößen
• Die Zuordnung von Stabendweggrößen auf Stabendschnittgrößen.
• Der Zusammenhang zwischen den Stabendschnittgrößen und den Knotenkraftgrößen
• Lösen des Gleichungssystems: Berechnen der Tragwerksverformungen
• Ermittlung von Stabendschnittgrößen und Schnittgrößenverläufe
• Gelenkig angeschlossene Stäbe
• Beispiele für den Schulunterricht
• Dreigelenksbrücke
• Aufgabenstellung und Lösung
• Lehrplanbezug und nötige Vorkenntnisse
• Rampentragwerk
• Aufgabenstellung und Lösung
• Lehrplanbezug und nötige Voraussetzungen
• Mathematische Grundlagen
• Vektorrechnung
• Vektorräume
• Linearkombinationen und Basen
• Skalarprodukt.
• Kreuzprodukt
• Matrizenrechnung
• Matrizen.
• Invertierbare Matrizen
• Der Rang einer Matrix
• Die Determinante einer Matrix
• Systeme linearer Gleichungen
• Lineare Funktionen

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Ziel dieser Diplomarbeit ist es, die Anwendung der linearen Algebra in der Baustatik für Studierende und Lehrende der Mathematik verständlich und praxisnah darzustellen. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke gelegt, wobei das Weggrößenverfahren als Berechnungsmethode ausführlich erläutert wird.

• Anwendung der linearen Algebra in der Baustatik
• Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke
• Das Weggrößenverfahren
• Gleichgewichtsbedingungen und Lagerreaktionen
• Tragwerksverformungen

Zusammenfassung der Kapitel

Die Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Der erste Teil behandelt die Grundlagen der Mechanik und der Statik, wobei grundlegende Konzepte wie Vektorräume in der Mechanik, Drehmomente, statische Systeme, Gleichgewichtsbedingungen, Lagerreaktionen und das Schnittprinzip erläutert werden. Der zweite Teil widmet sich den Berechnungsmethoden in der Statik, mit besonderem Fokus auf die Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke. Das Weggrößenverfahren wird hier als zentrale Methode für die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke vorgestellt und anhand von Beispielen illustriert. Der dritte Teil behandelt die mathematischen Grundlagen der linearen Algebra, die für das Verständnis der Baustatik unerlässlich sind, wie z.B. Vektorrechnung, Matrizenrechnung und Systeme linearer Gleichungen.

Schlüsselwörter

Lineare Algebra, Baustatik, Stabtragwerke, statisch bestimmt, statisch unbestimmt, Weggrößenverfahren, Gleichgewichtsbedingungen, Lagerreaktionen, Schnittreaktionen, Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Systeme linearer Gleichungen, Tragwerksverformungen.

Häufig gestellte Fragen

Welche Rolle spielt die lineare Algebra in der Baustatik?

Die lineare Algebra ist unerlässlich für die Baustatik, da sie die mathematischen Grundlagen wie Vektorräume, Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme liefert, um Tragwerke und deren Verformungen computergestützt zu berechnen.

Was ist das Ziel dieser Diplomarbeit?

Das Ziel ist es, Anwendungen der linearen Algebra in der Baustatik so darzustellen, dass sie für Studierende und Lehrende der Mathematik auch ohne baustatische Vorkenntnisse verständlich sind.

Was wird unter dem Weggrößenverfahren verstanden?

Das Weggrößenverfahren ist eine zentrale Berechnungsmethode für statisch unbestimmte Systeme, bei der die Verformungen (Weggrößen) als Unbekannte in einem linearen Gleichungssystem ermittelt werden.

Warum wird die Baustatik als Bindeglied bezeichnet?

Die Baustatik verbindet die theoretischen Grundlagen der Mechanik mit den anwendungsorientierten Fächern des Bauingenieurwesens, indem sie Kräfte und Verformungen in realen Strukturen analysiert.

Welche praktischen Beispiele bietet die Arbeit für den Schulunterricht?

Die Arbeit präsentiert zwei konkrete Beispiele: eine Dreigelenksbrücke und ein Rampentragwerk, inklusive Aufgabenstellungen, Lösungen und Bezug zum Lehrplan.

Welche mathematischen Themen werden in der Arbeit vertieft?

Behandelt werden Vektorrechnung (Skalar- und Kreuzprodukt), Matrizenrechnung (Invertierung, Rang, Determinante), lineare Gleichungssysteme und lineare Funktionen.