Das euklidische Steinerbaumproblem in der Ebene

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
• 1.1 Was ist ein euklidisches Steinerbaumproblem?
• 1.2 Motivation und praktische Relevanz
• 2 Grundlegende Definitionen
• 2.1 Definitionen aus der Graphentheorie
• 2.2 Spezifische Terminologie zum ESTP
• 3 Geometrische Lösungen zum ESTP
• 3.1 Lösung des ESTP für n=3.
• 3.2 Lösung des ESTP für n=4.
• 4 Grundlegende Resultate für das ESTP
• 4.1 Eigenschaften von euklidischen Steinerbäumen
• 4.2 Die Steinertopologien.
• 4.3 Die Komplexität des Problems
• 5 Exakte Algorithmen zum ESTP
• 5.1 Der Melzak-Algorithmus
• 5.1.1 Die Funktionsweise des Verfahrens
• 5.1.2 Beschränkung auf volle Steinertopologien
• 5.1.3 Erzeugung voller Steinerbäume in linearer Laufzeit
• 5.2 Der Algorithmus von Smith
• 5.3 Herausforderungen exakter Algorithmen
• 5.4 Der Geosteiner-Algorithmus
• 6 Der minimale Spannbaum
• 6.1 Der Algorithmus von Prim.
• 6.2 MST als Näherung für den euklidischen Steinerbaum
• 7 Heuristiken zum ESTP
• 7.1 Die Beasley-Heuristik
• 7.2 Ausblick: Weitere Heuristiken
• 8 Zusammenfassung

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Bachelorarbeit befasst sich mit dem euklidischen Steinerbaumproblem (ESTP) in der Ebene. Das Ziel der Arbeit ist es, einen umfassenden Überblick über dieses Problem zu geben, einschließlich seiner Definition, grundlegender Eigenschaften, exakter Lösungsansätze und Heuristiken.

• Definition und Eigenschaften des euklidischen Steinerbaums
• Geometrische Lösungen für spezielle Fälle
• Exakte Algorithmen zur Lösung des ESTP
• Heuristiken zur Approximation des ESTP
• Der minimale Spannbaum als Näherungslösung

Zusammenfassung der Kapitel

Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in das euklidische Steinerbaumproblem und seiner Bedeutung in der Praxis. Es werden grundlegende Definitionen aus der Graphentheorie und spezifische Terminologien zum ESTP eingeführt.

Kapitel 3 behandelt geometrische Lösungen für das ESTP in einfachen Fällen. Kapitel 4 erörtert wichtige Eigenschaften und Resultate des ESTP, einschließlich der Steinertopologien und der Komplexität des Problems.

Kapitel 5 befasst sich mit exakten Algorithmen zur Lösung des ESTP, insbesondere mit dem Melzak-Algorithmus und dem Algorithmus von Smith. Kapitel 6 untersucht den minimalen Spannbaum als Näherungslösung für den euklidischen Steinerbaum.

Kapitel 7 widmet sich Heuristiken zur Lösung des ESTP, insbesondere der Beasley-Heuristik.

Die Arbeit endet mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse und Schlussfolgerungen.

Schlüsselwörter

Euklidisches Steinerbaumproblem, Steinerbaum, Steinerpunkt, Graphentheorie, minimale Spannbäume, exakte Algorithmen, Heuristiken, Approximation, geometrische Lösungen, Komplexität.