Positivitätserhaltende Methoden hoher Konvergenzordnung für die eindimensionalen Eulergleichungen

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens
  • Kernelemente am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung
  • Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall
  • Implementierung
  • Erste Anwendungen und Analyse
• Modifikationen für den nichtlinearen Fall
  • Kurzer Exkurs zu Erhaltungsgleichungen.
  • Das nichtlineare Schema
  • Einführung zum Limiting
  • Umsetzung für die eindimensionalen Eulergleichungen
  • Anwendung
• Fortgeschrittenes Limiting
  • Limiting in charakteristischen Variablen
  • Positivitätslimiter.
• Schluss

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Bachelorarbeit befasst sich mit der discontinuous Galerkin Methode zur numerischen Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, insbesondere der Eulergleichungen. Der Schwerpunkt liegt auf der Analyse der Bedeutung des Limiters für die Leistungsfähigkeit dieser Methode.

• Herleitung und Beschreibung des discontinuous Galerkin Verfahrens für den eindimensionalen Fall
• Demonstration wichtiger Elemente des Verfahrens anhand von Beispielen
• Untersuchung der Verbesserung der Genauigkeit des Verfahrens durch Anwendung des Positivitätslimiters
• Vergleich verschiedener Limiter wie TVD und TVB
• Analyse der Auswirkungen des Limiters auf die Effizienz und Genauigkeit der Simulationen

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Einleitung:

  Dieses Kapitel führt in die Thematik der numerischen Simulationen in der Physik ein, insbesondere im Bereich der Astrophysik. Es erläutert die Bedeutung der Eulergleichungen als zentrale Gleichungen der Fluiddynamik und stellt deren Relevanz in der numerischen Simulation dar.

• Kapitel 2: Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens:

  Dieses Kapitel beschreibt die discontinuous Galerkin Methode als ein leistungsstarkes numerisches Verfahren zur Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen. Es behandelt die Kernelemente des Verfahrens am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung und erläutert die Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall. Die Implementierung und erste Anwendungen werden ebenfalls behandelt.

• Kapitel 3: Modifikationen für den nichtlinearen Fall:

  Dieses Kapitel befasst sich mit den Modifikationen des discontinuous Galerkin Verfahrens, die für den nichtlinearen Fall erforderlich sind. Es beinhaltet einen kurzen Exkurs zu Erhaltungsgleichungen, die Herleitung des nichtlinearen Schemas sowie die Einführung des Limiters als wichtigen Bestandteil der Methode.

• Kapitel 4: Fortgeschrittenes Limiting:

  Dieses Kapitel behandelt verschiedene Limiter-Techniken, insbesondere das Limiting in charakteristischen Variablen. Der Fokus liegt auf dem Positivitätslimiter, der die numerische Lösung stabilisiert und die Genauigkeit erhöht.

Schlüsselwörter

Discontinuous Galerkin Methode, Eulergleichungen, numerische Simulation, hyperbolische Differentialgleichungen, Limiting, TVD-Limiter, TVB-Limiter, Positivitätslimiter, Erhaltungsgleichungen, Astrophysik.