Zur Strukturanalyse von bedingt heteroskedastischen Zeitreihen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 GARCH(1,1) - Modell

2.1 Struktur

2.2 Momente

3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle

3.1 Struktur

3.2 Momente

4 GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse

4.1 Motivation

4.2 Parameterschätzung für GARCH(1,1) - Modell

4.2.1 Darstellungen für GARCH(1,1) - Modell

4.2.2 Die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung

4.2.3 Einige Hilfsresultate

4.3 Test

4.3.1 Teststatistik unter H0

4.3.2 Teststatistik unter HA

4.3.3 Beweis von Proposition 4.1

4.3.4 Beweis von Satz 4.5

4.3.5 Beweis von Satz 4.6

Zielsetzung & Themen

Die Arbeit untersucht das GARCH(1,1)-Modell von Bollerslev zur Beschreibung von Finanzzeitreihen und befasst sich primär mit der Frage, wie Strukturbrüche in Form von Parameteränderungen mittels einer sequentiellen Change-Point-Analyse zuverlässig erkannt werden können.

• Stationaritätseigenschaften des GARCH(1,1)-Modells
• Existenz und Endlichkeit von Momenten
• Erweiterte GARCH-Modelle und deren statistische Eigenschaften
• Sequentielle Change-Point-Analyse zur Überwachung der Modellkonstanz
• Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung der Modellparameter

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einleitung: Einführung in die Problematik bedingt heteroskedastischer Zeitreihen und Formulierung des Zieles, sequentielle Tests auf Strukturbrüche für GARCH-Modelle zu untersuchen.

2 GARCH(1,1) - Modell: Mathematische Definition des GARCH(1,1)-Prozesses sowie Herleitung von Bedingungen für dessen Stationarität und die Existenz von Momenten.

3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle: Vorstellung verschiedener Modifikationen (wie NGARCH, EGARCH oder TGARCH) zur Abbildung asymmetrischer Volatilitätseffekte und Untersuchung derer stationärer Lösungen.

4 GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse: Detaillierte Analyse eines sequentiellen Tests zur Detektion von Parameteränderungen, einschließlich Parameterschätzung und asymptotischer Verteilung der Teststatistik.

Schlüsselwörter

GARCH(1,1), bedingte Heteroskedastizität, Volatilität, Finanzzeitreihen, Change-Point-Analyse, Stationarität, Strukturbruch, Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung, Teststatistik, Stoppzeit, Autoregressive Modelle, Renditen, Volatilitätscluster, Ergodizität, asymptotische Normalverteilung

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundlegend?

Die Arbeit analysiert stochastische Prozesse mit nicht konstanter Volatilität, sogenannte GARCH-Modelle, und entwickelt Methoden, um Veränderungen in deren Struktur über die Zeit statistisch nachzuweisen.

Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?

Die zentralen Themen sind die theoretischen Eigenschaften von GARCH(1,1)-Modellen (Stationarität, Momente), Erweiterungen dieser Modelle sowie die Anwendung sequentieller statistischer Tests zur Identifikation von Strukturbrüchen.

Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?

Das Hauptziel ist es, einen sequentiellen Test für GARCH(1,1)-Prozesse zu spezifizieren, der es erlaubt, abrupte Änderungen der Modellparameter zeitnah zu erkennen.

Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?

Es werden finanzökonometrische Modellierung, Methoden der Stochastik sowie asymptotische Testtheorie und Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzverfahren verwendet.

Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?

Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung des GARCH(1,1)-Modells, die Diskussion verschiedener Modellerweiterungen zur Abbildung von Leverage-Effekten sowie die formale Herleitung und Untersuchung des sequentiellen Change-Point-Tests.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Wichtige Begriffe sind GARCH(1,1), bedingte Heteroskedastizität, Volatilität, Change-Point-Analyse, Stationarität und asymptotische Normalverteilung.

Warum ist das klassische GARCH-Modell für manche Anwendungen unzureichend?

Das Standardmodell nimmt einen symmetrischen Effekt von Schocks auf die Volatilität an. In der Praxis beobachtet man jedoch oft, dass negative Nachrichten (z.B. Kursverluste) die Volatilität stärker beeinflussen als positive (Leverage-Effekt).

Wie funktioniert der sequentielle Change-Point-Test?

Bei Ankunft neuer Daten wird fortlaufend geprüft, ob die Teststatistik einen vordefinierten Schwellenwert überschreitet. Ist dies der Fall, wird auf einen Strukturwechsel entschieden und die Prozedur gestoppt.