Zur Hilbert-Funktion

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Grundlegende Begriffe
  • Graduierte Algebra, Hilbert-Funktion
  • Hilbert-Serie und Hilbert-Polynom
• Hilbertpolynom und (projektive) Varietäten
  • Grad und Dimension einer projektiven Varietät
  • Satz von Bezout.
  • Hilbertfunktion nulldimensionaler Varietäten
• Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion und geometrische Konsequen- zen für Punktmengen
  • Theorem von Macaulay und O-Folgen
  • Zurück zu nulldimensionalen Varietäten: Ansatz I
  • Ansatz II
• Literaturverzeichnis, Quellen

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Hilbert-Funktion in der kommutativen Algebra. Sie untersucht die Vektorraumdimension graduierter Moduln und zeigt die polynomielle Natur dieser Funktion auf. Die Arbeit konzentriert sich auf Anwendungen und Verstrickungen der Hilbert-Funktion mit Fragen der kommutativen Algebra, insbesondere im Kontext projektiver Varietäten.

• Definition und Eigenschaften der Hilbert-Funktion
• Die Beziehung zwischen Hilbert-Polynom und projektiven Varietäten
• Anwendung der Hilbert-Funktion zur Bestimmung von Grad und Dimension projektiver Varietäten
• Analyse des Wachstumsverhaltens der Hilbert-Funktion im Zusammenhang mit Punktmengen
• Geometrische Interpretationen der Hilbert-Funktion für nulldimensionale Varietäten

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Einleitung

  Dieses Kapitel stellt die Hilbert-Funktion vor und erläutert ihre Bedeutung in der kommutativen Algebra. Es beschreibt die Hauptthemen der Arbeit und gibt einen Überblick über die Struktur des Textes.

• Kapitel 2: Grundlegende Begriffe

  Hier werden die fundamentalen Definitionen und Konzepte im Zusammenhang mit der Hilbert-Funktion eingeführt, darunter graduierte Algebren, Module und homogene Elemente.

• Kapitel 3: Hilbertpolynom und (projektive) Varietäten

  Dieses Kapitel untersucht die Beziehung zwischen dem Hilbert-Polynom und projektiven Varietäten. Es zeigt, wie das Hilbert-Polynom zur Definition von Grad und Dimension projektiver Varietäten verwendet werden kann und präsentiert einen Beweis von Bezouts Theorem.

• Kapitel 4: Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion und geometrische Konsequenzen für Punktmengen

  Hier wird das Wachstumsverhalten der Hilbert-Funktion analysiert, insbesondere im Zusammenhang mit nulldimensionalen Varietäten (Punktmengen). Es werden Macaulays Ansatz zur Klassifizierung des Wachstums der Hilbert-Funktion vorgestellt sowie zwei Ansätze zur Bestimmung der zugrunde liegenden Strukturen von Punktmengen.

Schlüsselwörter

Die Arbeit konzentriert sich auf die Themen Hilbert-Funktion, graduierte Algebra, projektive Varietäten, Hilbert-Polynom, nulldimensionale Varietäten, Punktmengen, Wachstumsverhalten, Theorem von Macaulay, O-Folgen, geometrische Strukturen.